算法最大公约数

实验项目——求最大公约数
1. 实验题目
求两个自然数m和n的最大公约数。

2. 实验目的
⑴复习数据结构课程的相关知识，实现课程间的平滑过渡；
⑵掌握并应用算法的数学分析和后验分析方法；
⑶理解这样一个观点：不同的算法能够解决相同的问题，这些算法的解题思路不同，
复杂程度不同，解题效率也不同。

3. 实验要求
⑴至少设计出三个版本的求最大公约数算法；
⑵对所设计的算法采用Θ符号进行时间复杂性分析；
⑶上机实现算法，并用计数法和计时法分别测算算法的运行时间；
⑷通过分析对比，得出自己的结论。

一．连续整数检测：
#include<iostream.h>
int f1(int m,int n)
{ int t; if(m>n)t=n;
else t=m; while(t) {
if(m%t==0&&n%t==0)break;
else t=t-1; } return t; }
void main() { int a,b;
cout<<"请输入两个整数：";
cin>>a>>b;
cout<<"最大公约数是：";
cout<<f1(a,b)<<endl; }
根据代码考虑最坏情况他们的最大公约数是1，循环做了t-1次，最好情况是只做了1次，可以得出O（n）=n/2;
二．欧几里得算法
#include<stdio.h>
void main()
{
int r,n,m,t;
printf("请输入两个正整数:\n");
scanf("%d,%d",&n,& m);
if(n<m)/*选出较大数*/
{
t=n;
n=m;
m=t;
}
while(m!=0)/*辗转取余算法*/
{
r=n%m;
n=m;
m=r;
}
printf("它们的最大公约数为:%d\n",n);
}
根据代码辗转相除得到欧几里得的O(n)= log n
三．递归算法
#include<stdio.h>
int f(long a,long b)
{long s,t=a%b;
if(t==0)s=b;else s=f(b,t);
return s;}
int main()
{long a,b,t;
scanf("%ld%ld",&a,&b);
if(a<b){t=a;a=b;b=t;}
printf("%ld\n",f(a,b));}
}
时间复杂度：T(n)=O(n); 基本语句执行次数C(n)=n
四、算法计时和计数分析
计算每种算法运行的次数所用的时间，将其中计数器采用的是每做一次循环就加一代码如下：
#include"iostream.h"
#include"stdio.h"
#include"stdlib.h"
#include"time.h"
#define N 100
int w,w2,w3;//用于计数
int f1(int m,int n)
{ int t; if(m>n)t=n;
else t=m; while(t)
{ if(m%t==0&&n%t==0)break;
else t=t-1; w++; } return t; }
int f2(int m,int n) { int r;
r=m%n;w2=1; while(r!=0)
{ m=n; n=r;
r=m%n; w2++; }
return n; } int f3(int m,int n)
{ int i=2,j=0,h=0; int a[N],b[N],c[N];
while(i<n) { if(n%i==0)
{ j++; a[j]=i;
n=n/i; w3++;
} else
{ i++; w3++; }
} j++; a[j]=n; i=1;
int u; u=j; while(i<=j) {
//printf("%d ",a[i]);
i++; w3++; }
//printf("\n");
i=2; j=0; while(i<m)
{ if(m%i==0)
{ j++; b[j]=i;
m=m/i; w3++; }
else { i++; w3++;
} }
j++; b[j]=m; i=1;
while(i<=j) {
//printf("%d ",b[i]);
i++; w3++;
} int k=1;
for(i=1;i<=j;i++)
{ for(k=1;k<=u;k++) {
if(b[i]==a[k]) {
w3++; h++;
c[h]=a[k];//printf("\n%d ",c[h]); a[k]=a[k+1]; break;
} } } k=1; while(h>1) { k=k*c[h]*c[h-1]; h=h-2;
w3++; }
if(h==1) { k=k*c[1]; return k; }
else return k; }
int main(void)
{ int m,n; printf(" 请输入m,n :\n"); scanf("%d%d",&m,&n);
int k; k=f1(m,n);
printf(" 方法一最大公约数为：%d\n",k);
k=f2(m,n);
printf(" 方法二最大公约数为：%d\n",k);
k=f3(m,n); printf(" 方法三最大公约数为：%d\n",k); printf("\n--------------------\n"); printf("\n计数器显示结果：\n\n\n");
printf("方法一：%d \n",w2);
printf("方法二：%d \n",w);
printf("方法三：%d \n",w3);
printf("\n--------------------\n");
float a,i;
clock_t start,finish;
double usetime; i=0; start= clock();
while (i<1000000) { f1(m,n); i++; }
finish=clock(); usetime= finish-start;
printf(" 方法一用时%.f*10^(-6) 豪秒\n", usetime); i=0; start= clock();
while (i<1000000) {
f2(m,n); i++; }
finish=clock();
usetime= finish-start;
printf(" 方法二用时%.f*10^(-6) 豪秒\n", usetime); i=0; start= clock(); while (i<1000000) { f3(m,n); i++; }
finish=clock(); usetime= finish-start;
printf(" 方法三用时%.f*10^(-6) 豪秒\n", usetime);}
计数器：我想到的是做一次循环就加一计算算法运行时间结果：在计算时间过程中因为计算机的运算速度很快，所以我利用了循环把时间精确得到10-6毫秒
五、实验小结、分析和结论
首先要对这个问题进行分析，选择你所想用的算法，使这个程序能键盘输入自己想求的两个数，回车结束，即可看到该算法求出的最大公约数。

对这次试验，我只能用一些简单的代码进行编程，由于我的编程水平有限，我所用的代码也很简单，在算法三中，存在一个问题有待改进，那就是输入的两个数在分解质因数时只能是分解出三个质因数，否则出错。

对于复杂度的求解，可以根据我的结果分析得到欧几里得算法的是最优算法，连续整除法其次，最复杂的是分解质因数算法，再从代码运行的计数器和计算的时间来看所得结果一致，所以得出结论：欧几里得算法最优。

不过用代码求解复杂度我没有能够成功，以后还得继续改进和学习。

从这次实验中，我复习了C语言代码，同时也通过算法分许用三种方法求解出了最大公约数这个问题。

从这个试验的结果我了解到了算法的优与劣的差别，虽然得到的是同样的结果，但是需要的时间和资源却相差很大，这提示我们在以后写算法的时候要找出最优算法。

可见算法分析与设计课程的对计编程的人来说是多么的重要，在以后写程序过程中要时刻提醒自己找最优算法，当然得先学会O(n)的分析。

在以后的学习中我要学会多实践、多分析，在不停的改正错误中提高自己。