中考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练五圆的有关计算证明与探究试题
中档题型训练(五) 圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．圆的切线性质与判定【例1】(2016天水中考)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．【思路分析】(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DE＝EB，在Rt△CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【学生解答】解：(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切．理由是：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90°.∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4.∵CE切⊙O于点D，EB切⊙O于点B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°，设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得x＝6，即BE＝6.1．(2016毕节中考)如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交B C 于点F ，AC ＝FC.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)已知圆的半径R ＝5，EF ＝3，求DF 的长．解：(1)如图，连接AE ，AO.∵BE 为半圆，∴∠BAE ＝90°.∵BD ︵＝ED ︵，∴∠BAD ＝∠EAD＝45°，∴∠AFC ＝∠B ＋45°，∴∠CAF ＝∠EAC＋45°.∵AC ＝FC ，∴∠AF C ＝∠CAF，∴∠B ＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B ＝∠EAC.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B，∴∠EAC ＝∠OAB，∴∠OAC ＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°，∴AC ⊥OA ，∴AC 为⊙O 为切线；(2)如图，连接OD.∵BD ︵＝DE ︵，∴∠BOD ＝∠DOE＝90°.在Rt △OFD 中 ，OF ＝5－3＝2，OD ＝5，∴DF ＝OF 2＋OD 2＝29.2．(2016承德二中一模)已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF.(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长．解：(1)连接FO，易证OF∥AB.∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE.又∵OE＝OC，∴OF是线段CE的垂直平分CE，∴FC＝FE，∴∠FEC＝∠FCE.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，即∠OCE＋∠FCE＝90°，∴∠OEC＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴EF为⊙O的切线；(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°，∴∠COD＝∠EOA＝60°.∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，∴CD＝3 3.∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝33，AC＝6，∴AD＝37.圆与相似【例2】如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点(不与点A，B重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD.(1)弦长AB ＝________；(结果保留根号) (2)当∠D＝20°时，求∠BOD 的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A ，C ，D 为顶点的三角形与以B ，C ，O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【思路分析】(1)结合垂径定理过点O 作BC 的垂线，再由特殊直角三角形得12AB ＝32OB ＝3，则AB ＝23；(2)结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3)首先分析要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时，∠BOC ＝60°，∠BOD ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴△DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝12AB ＝ 3.【学生解答】解：(1)23；(2)连接OA.∵OA＝OB ＝OD ，∴∠BAO ＝∠B＝30°，∠D ＝∠DAO＝20°，∴∠DAB ＝∠BAO＋∠DAO＝50°，∴∠BOD ＝2∠DAB＝100°；(3)∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，∴∠BCO>∠DAC ，∠BCO>∠D ，∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD ＝120°，∴∠DAC ＝60°，∴△DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝12AB ＝ 3.3．(2016黄冈中考)已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P.求证：(1)∠BCP＝∠BAN；(2)AM MN ＝CBBP.证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ANC ＝90°，∴∠NAC ＋∠ACN＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠BAN ＝∠CAN，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠ACP ＝90°，∴∠ACN ＋∠PCB＝90°，∴∠BCP ＝∠CAN，∴∠BCP ＝∠BAN；(2)连接MN ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，又∵四边形AMNC 为⊙O 的内接四边形，∴∠ACB ＋∠AMN＝180°，又∵∠CBP＋∠ABC＝180°，∴∠PBC ＝∠AMN，由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC ∽△MNA ，∴AM MN ＝CBBP.4．(2016广东中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，过点B 作⊙O 的切线BD ，与CA 的延长线交于点D ，与半径AO 的延长线交于点E ，过点A 作⊙O 的切线AF ，与直径BC 的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE;(2)若S △AOC ＝34，求DE 的长；(3)连接EF ，求证：EF 是⊙O 的切线．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，又∠ABC＝30°，∴∠ACB ＝60°，又OA ＝OC ，∴△OAC 为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF 为⊙O 的切线，∴∠OAF ＝90°，∴∠CAF ＝∠AFC＝30°，∵DE 为⊙O 的切线，∴∠DBC ＝∠OBE＝90°，∴∠D ＝∠DEA＝30°，∴∠D ＝∠CAF，∠DEA ＝∠AFC，∴△ACF ∽△DAE ；(2)∵△AOC 为等边三角形，∴S △AOC ＝34OA 2＝34，∴OA ＝1，∴BC ＝2，OB ＝1，又∠D＝∠BEO＝30°，∴BD ＝23，BE ＝3，∴DE＝33；(3)如图，过点O 作OM⊥EF 于点M ，∵OA ＝OB ，∠O AF ＝∠OBE＝90°，∠BOE ＝∠AOF，∴△OAF ≌△OBE ，∴OE ＝OF ，∵∠EOF ＝120°，∴∠OEM ＝∠OFM＝30°，∴∠OEB ＝∠OEM＝30°，即OE 平分∠BEF，又∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM ＝OB ，∴EF 为⊙O 的切线．圆与锐角三角函数【例3】(2016菏泽中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CE DE ＝23，求cos ∠ABC 的值．【思路分析】 (1)连接OC.欲证DE 是⊙O 的切线，只需证得OC⊥DE；(2)由CE DE ＝23，可设CE ＝2k(k>0)，则DE＝3k ，在Rt △DAE 中，由勾股定理求得AE ＝DE 2－AD 2＝22k ，则tan E ＝AD AE ＝24，所以在Rt △OCE 中，tan E ＝OC CE ＝OC 2k ，求得OC ＝k 2.在Rt △AOD 中，由勾股定理得到OD ＝AO 2＋AD 2＝32k ，从而求出cos ∠ABC 的值． 【学生解答】解：(1)如图，连接OC. ∵AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥AB. ∴∠DAB ＝90°. ∵OD∥BC, ∴∠DOC ＝∠BCO，∠DOA ＝∠CBA.∵OC＝OB ，∴∠BCO ＝∠CBA，∴∠DOC ＝∠DOA.在△COD和△AOD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OA ，∠DOC ＝∠DOA，OD ＝OD ，∴△COD ≌△AOD(SAS )，∴∠OCD ＝∠DAB＝90°.即OC⊥DE 于点C.∵OC 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线； (2)由CE DE ＝23，可设CE ＝2k(k>0)，则DE ＝3k ，∴AD ＝DC ＝k ，∴在Rt △DAE 中，AE ＝DE 2－AD 2＝22k ，∴tan E ＝AD AE ＝24.∵在Rt △OCE 中，tan E ＝OC CE ＝OC 2k ，∴24＝OC 2k ，∴OC ＝OA ＝22k ，∴在Rt △AOD 中，OD ＝AO 2＋AD 2＝62k ，∴cos ∠ABC ＝cos ∠AOD ＝OA OD ＝33.5．(2016唐山九中一模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF.(1)求∠CDE 的度数；(2)求证：DF 是⊙O 的切线；(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．解：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝90°；(2)连接DO ，∵∠EDC ＝90°，F 是EC 的中点，∴DF ＝FC ，∴∠FDC ＝∠FCD，∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC，∴∠ODC ＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，∴∠ODF ＝∠OCF，∵E C ⊥AC ，∴∠OCF ＝90°，∴∠ ODF ＝90°，∴DF 是⊙O 的切线；(3)在△ACD 与△ACE 中，∠ADC ＝∠ACE＝90°，∠EAC ＝∠CAD，∴△ACD ∽△AEC ，∴AC AE ＝AD AC，∴AC 2＝AD·AE.又∵AC＝25DE ，∴20DE 2＝(AE －DE)·AE，∴(AE －5DE)(AE ＋4DE)＝0，∴AE ＝5DE ，AD ＝4DE ，在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2，∴CD ＝2DE.又在⊙O中，∠ABD ＝∠ACD，∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝ADCD＝2.6．(2016自贡模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF FD ＝13，连接AF 并延长⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，若CF ＝2，AF ＝3.(1)求证：△ADF∽△AED； (2)求FG 的长；(3)求证：tan E ＝54.解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∴AD ︵＝AC ︵，∴∠ADF ＝∠AED.∵∠FAD＝∠DAE，∴△ADF ∽△AED ；(2)∵CF FD ＝13，CF ＝2，∴FD ＝6，∴CD ＝DF ＋CF ＝8，∴CG ＝DG ＝4，∴FG ＝CG －CF ＝2；(3)∵AF＝3，FG ＝2，∴AG＝AF 2－FG 2＝5，∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG ＝AG DG ＝54.∵∠ADG ＝∠E，∴tan E＝54.。
北京市2013届中考数学二轮专题突破《圆中档题》课件(知识概括+典型例题点拨)
解：(1)证明：联结 OC. ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA. ∵AC 平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC. ∵CD⊥PA，∴∠ADC＝∠OCD＝90°， 即 CD⊥OC.∵点 C 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线．
(2)过 O 作 OF⊥AB 于 F， ∴∠OFA＝90°. ∵AB＝8，∴AF＝4. 在 Rt△AFO 中，∠AFO＝90°，∴AO2＝42＋OF2. ∵∠FDC＝∠OFA＝∠DCO＝90°， ∴四边形 DFOC 是矩形， ∴OC＝DF，OF＝CD. ∵AD∶DC＝1∶3， ∴设 AD＝x，则 DC＝OF＝3x， OA＝OC＝DF＝DA＋AF＝x＋4， ∴(x＋4)2＝42＋(3x)2， 解得 x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1.则 OA＝5. ∴⊙O 的半径是 5.
解：(1)证明：连接 OC， ∵OD⊥BC， ∴OC＝OB，CD＝BD， ∴△CDO≌△BDO， ∴∠COD＝∠BOD. 在△OCE 和△OBE 中， ∵OC＝OB ，∠COE＝∠BOE, OE＝OE， ∴△OCE≌△OBE， ∴∠OBE＝∠OCE＝90°， 即 OB⊥BE， ∴BE 与⊙O切，证明如下：联结 CO， ∵DM⊥AB，∴∠D＋∠A＝90°. ∵PD＝PC，∴∠D＝∠PCD. ∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA， ∴∠OCA＋∠PCD＝90°，∴PC⊥OC， ∴直线 PC 是⊙O 的切线．
(2)∵AN∥PC，∴∠NAC＝∠PCD＝∠D，AN⊥OC， 设垂足是 Q，则有 NQ＝AQ. 2 ∴Rt△CQA 中，tan∠QAC＝tanD＝ ， 2 设 CQ＝x，则 AQ＝ 2x， ∴OQ＝3－x. ∵OA2＝OQ2＋AQ2， ∴32＝(3－x)2＋( 2x)2，解得 x＝2， ∴AQ＝2 2， ∴AN＝2AQ＝4 2.
中考数学 中档题突破 专项训练五 与圆有关的证明与计算
25 16 ∴CE＝DE－CD＝ 3 －3＝ 3 .
2．如图，▱OABC 的对角线相交于点 D，⊙O 经过 A，D 两点，与 BO 的延长 线相交于点 E，点 F 为︵AE上一点，且A︵F＝A︵D.连接 AE，DF 相交于点 G，若 AG＝3，EG＝6.
(1)求▱OABC 对角线 AC 的长； (1)解：∵DE 是直径， ∴∠EAD＝90°.∵A︵F＝A︵D， ∴∠ADF＝∠AFD＝∠AED， 又∵∠DAE＝∠GAD＝90°，∴△ADE∽△AGD， ∴AADE＝AAGD，∴AD2＝AG·AE＝27， ∴AD＝3 3，∴AC＝2AD＝6 3.
1 ∴OE∥BC，OE＝BE＝2AB. ∴OFFB＝OBEC＝12，∴OBB－FBF＝12， ∴3 2B－F BF＝12，∴BF＝2 2；∴EC＝3 5.
35 易证 AE·BE＝EG·EC，∴EG＝ 5 .
类型二 圆的切线与相似结合
5.如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E.
x3＋x ＝4.
8．(2021·淮安)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 E 是 BC 的中点， 以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D，连接 DE.
(1)判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(1)证明：连接 DO， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝90°， E 为 BC 的中点，
(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (1)证明：连接 OD， ∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB， 又 AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE 是 ⊙O 的切线．
专题25 圆的有关计算与证明(共50题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题25圆的有关计算与证明（50题）一、单选题1．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在O 中，若30ACB ∠=︒，6OA =，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形ABCD 内接于O ，分别以AB BC CD AD 、、、为直径向外作半圆．若4,5==AB BC ，则阴影部分的面积是（）A ．41204π-B ．41202π-C ．20πD ．203．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ AC ），点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为 AC 上一点，OB AC ⊥于D ．若3003m AC =，150m BD =，则 AC 的长为（）A ．300m πB ．200m πC ．150m πD ．1003mπA ．21cm 4πB 5．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形段90︒的圆心角的圆心为为A BCD 、、、循环，则A ．40452πB ．20236．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角心，AC 为半径画弧，交AB 于点积是（）A ．π2-B ．2π2-7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB 是半圆O 的直径，点,C D 在半圆上， CDDB =，连接,,OC CA OD ，过点B 作EB AB ⊥，交OD 的延长线于点E ．设OAC 的面积为1,S OBE △的面积为2S ，若1223S S =，则tan ACO ∠的值为（）A ．2B ．223C ．75D ．32二、填空题8．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，连接AE DE ，，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE DE ，交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）9．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，O 的半径为2cm ，AB 为O 的弦，点C 为 AB 上的一点，将 AB 沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为_______．（结果保留π与根号）10．（2023·重庆·统考中考真题）如图，O 是矩形ABCD 的外接圆，若4,3AB AD ==，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）14．（2023·天津·统考中考真题）如图，在每个小正方形的边长为且顶点A，B均在格点上．（1）线段AB的长为________（2）若点D在圆上，AB与CD为等边三角形，并简要说明点15．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在H AH=．以点A为圆心，,3一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r r-=________________的半径为2r，则1216．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100︒的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________2cm ．三、解答题17．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，AB 与O 相切于点A ，半径OC AB ∥，BC 与O 相交于点D ，连接AD ．(1)求证：OCA ADC ∠∠=；(2)若12,tan 3AD B ==，求OC 的长．18．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，以ABC 的边AC 为直径作O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE AB ∥交O 于点E ，连接AD DE ，，B ADE ∠=∠．(1)求证：AC BC =；(2)若tan 23B CD ==，，求AB 和DE 的长．(1)求证：90ADC BAC ∠-∠=︒；（请用两种证法解答）(2)若ACP ADC ∠=∠，O 的半径为3，4CP =，求AP 的长．(1)求BED ∠的度数；(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG 235,4AD DE ==，求DG 的长．21．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点射线BE 与射线CD 交于点F ．(1)若13ED =，求DF 的长．(2)求证：1AE CF ⋅=．(3)以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段BE 于点G ．若EG ED =，求ED 的长．22．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB 为直径的半圆O ，50cm AB =，如图1和图2所示，MN 为水面截线，GH 为台面截线，MN GH ∥．计算：在图1中，已知48cm MN =，作OC MN ⊥于点C ．（1）求OC 的长．操作：将图1中的水面沿GH 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当30ANM ∠=︒时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q ，GH 与半圆的切点为E ，连接OE 交MN 于点D ．探究：在图2中(1)求证：2AOB ∠=∠(2)若4,5AB BC ==径，45ABD ∠=︒，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足45CFE ∠=︒．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB DG =；①求证：ABC GDE △≌△；②若312R CE ==，，求四边形ABCD 的周长．25．（2023·天津·统考中考真题）在O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为D ，60AOC ∠=︒，E 为弦AB 所对的优弧上一点．(1)如图①，求AOB ∠和CEB ∠的大小；(2)如图②，CE 与AB 相交于点F ，EF EB =，过点E 作O 的切线，与CO 的延长线相交于点G ，若3OA =，求EG 的长．26．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，5,25AC BC ==，点F 在AB 上，连接CF 并延长，交O 于点D ，连接BD ，作BE CD ⊥，垂足为E ．(1)求证：DBE ABC △∽△；(2)若2AF =，求ED 的长．27．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，ABC ABD 、内接于O AB BC P = ，，是OB 延长线上的一点，PAB ACB ∠=∠，AC BD 、相交于点E ．(1)求证：AP 是O 的切线；(2)若24BE DE ==，，30P ∠=︒，求AP 的长．28．（2023·湖南·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，交O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF DF =．(2)若55,sin 25AF ABD =∠=，求O 的半径．29．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点P 是O 外一点，PA 与O 相切于点A ，点C 为O 上的一点．连接PC 、AC 、OC ，且PC PA =．(1)求证：PC 为O 的切线；(2)延长PC 与AB 的延长线交于点D ，求证：PD OC PA OD ⋅=⋅；(3)若308CAB OD ∠=︒=，，求阴影部分的面积．30．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点E ．AE 平分BAC ∠，过点E 作ED AC ⊥于点D ，延长DE 交AB 的延长线于点P ．(1)求证：PE 是O 的切线；(2)若1sin ,43P BP ∠==，求CD 的长．31．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形(1)如图1，连接,OA CA ，若OA BD ⊥，求证；CA 平分BCD ∠；(2)如图2，E 为O 内一点，满足,AE BC CE AB ⊥⊥，若BD =32．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图①，点A 、B 、的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，O 是ABC 的外接圆，90ABC AB BC ∠=︒=，，点P 在O 上，且点P 与点B 在AC 的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若22PB PA =，则PB PC的值为__________．33．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，210AB =，O 的弦CD AB ⊥于点E ，6CD =．过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点F ，连接BC ．∠；(1)求证：BC平分DCF(2)G为 AD上一点，连接CG交AB于点H，若34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，行弦，弦AB交MC于点H．点A在¼MC上，点⋅=⋅．(1)求证：MH CH AH BH(2)求证：AC BC=．(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND NG的长．35．（2023·广东·统考中考真题）综合探究如图1，在矩形ABCD中(AB>BD于点E，连接CA'．(1)求证：AA CA '⊥'；(2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆．①如图2，O 与CD 相切，求证：3AA CA '='；②如图3，O 与CA '相切，1AD =，求O 的面积．36．（2023·山东·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径，C 是圆上一点，D 是 BC 的中点，弦DE AB ⊥，垂足为点F ．(1)求证：BC DE =；(2)P 是»AE 上一点，6,2AC BF ==，求tan BPC ∠；(3)在（2）的条件下，当CP 是ACB ∠的平分线时，求CP 的长．37．（2023·山东·统考中考真题）如图，已知AB 是O 的直径，CD CB =，BE 切O 于点B ，过点C 作CF OE ⊥交BE 于点F ，若2EF BF =．(1)如图1，连接BD ，求证：ADB OBE △≌△；(2)如图2，N 是AD 上一点，在AB 上取一点M ，使60MCN ∠=︒，连接MN ．请问：三条线段MN BM DN ，，有怎样的数量关系？并证明你的结论．38．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接,,AC AD BC ，作CF AD ⊥于点F ，交线段OB 于点G （不与点,O B 重合），连接OF ．(1)若1BE =，求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG =，猜想CAD ∠的度数，并证明你的结论．39．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图1，已知AB 是O 的直径，PB 是O 的切线，PA 交O 于点C ，43AB PB ==，．(1)填空：PBA ∠的度数是_________，PA 的长为_________；(2)求ABC 的面积；(3)如图2，CD AB ⊥，垂足为D ．E 是 AC 上一点，5AE EC =．延长AE ，与DC ，BP 的延长线分别交于点,F G ，求EF FG的值．40．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线与边BC 相交于点F ，与ABC 的外接圆相交于点D ．(1)求证：::ABF ACF S S AB AC =△△；(2)求证：::AB AC BF CF =；(3)求证：2AF AB AC BF CF =⋅-⋅；(4)猜想：线段,,DF DE DA 三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）41．（2023·浙江台州·统考中考真题）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB 是O 的直径，直线l 是O 的切线，B 为切点．P ，Q 是圆上两点（不与点A 重合，且在直径AB 的同侧），分别作射线AP ，AQ 交直线l 于点C ，点D ．(1)如图1，当6AB =，BP的长为π时，求BC 的长．(2)如图2，当34AQ AB =， BP PQ =时，求BC CD的值．(3)如图3，当6sin 4BAQ ∠=，BC CD =时，连接BP ，PQ ，直接写出(1)求CE 的长和y 关于x 的函数表达式．(2)当PH PN <，且长度分别等于PH ，PN ，a 的三条线段组成的三角形与(3)延长PN 交半圆O 于点Q ，当1534NQ x =-时，求43．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，点接AF ，过点C 作AF 的垂线，交AF 的延长线于点D 交AC 于点H ．(1)求证：CE 是O 的切线；(2)若tan 34E =，4BE =，求FH 的长．44．（2023·云南·统考中考真题）如图，BC 是O 的直径，A 是O 上异于B C 、的点．O 外的点E 在射线CB 上，直线EA 与CD 垂直，垂足为D ，且DA AC DC AB ⋅=⋅．设ABE 的面积为1,S ACD 的面积为2S ．(1)判断直线EA 与O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若21,BC BE S mS ==，求常数m 的值．45．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图1，锐角ABC 内接于O ，D 为BC 的中点，连接AD 并延长交O 于点E ，连接,BE CE ，过C 作AC 的垂线交AE 于点F ，点G 在AD 上，连接,BG CG ，若BC 平分EBG ∠且BCG AFC ∠=∠．(1)求BGC ∠的度数．(2)①求证：AF BC =．②若AG DF =，求tan GBC ∠的值，(3)如图2，当点O 恰好在BG 上且1OG =时，求AC 46．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形D 的直线l 交BA 的延长线于点M ，交BC 的延长线于点(1)求证：MN 是O 的切线；(2)求证：2AD AB CN =⋅；(3)当6AB =，3sin 3DCA ∠=时，求AM 的长．47．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，以Rt ABC △E 是BC 的中点，连接OE DE 、．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若4sin ,55C DE ==，求AD 的长．(3)求证：22DE CD OE =⋅．48．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知，AB 是半径为1的O 的弦，O 的另一条弦CD 满足CD AB =，且CD AB ⊥于点H （其中点H 在圆内，且AH BH CH DH >>，）．(1)在图1中用尺规作出弦CD 与点H （不写作法，保留作图痕迹）．(2)连结AD ，猜想，当弦AB 的长度发生变化时，线段AD 的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD 的长度；(3)如图2，延长AH 至点F ，使得HF AH =，连结CF ，HCF ∠的平分线CP 交AD 的延长线于点P ，点M 为AP 的中点，连结HM ，若12PD AD =．求证：MH CP ⊥．49．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在O 中，AB 是一条不过圆心O 的弦，点,C D 是 AB 的三等分点，直径CE 交AB 于点F ，连结AD 交CF 于点G ，连结AC ，过点C 的切线交BA 的延长线于点H ．(1)求证：AD HC ∥；(2)若2OG GC=，求tan FAG ∠的值；(3)连结BC 交AD 于点N ，若O ①若52OF =，求BC 的长；②若10AH =，求ANB 的周长；③若88HF AB ⋅=，求BHC △的面积．50．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，以CD AF ⊥交AF 的延长线于点D ，交点N ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：EM EN =；(3)如果N 是CM 的中点，且AB =。
中考数学【考前抢分题型集训手册】解答题集训五 圆的相关计算与证明题
解答题集训五圆的相关计算与证明题典例(8分)(2017福建,21)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,点P在CA的延长线上,∠CAD=45°.(1)若AB=4,求CD的长;(2)若BC=AD,AD=AP,求证:PD是☉O的切线.【参考答案及采分点】(1)如图,连接OC,OD,..................................................................................................................................... ①(1分) 则∠COD=2∠CAD=90°, .............................................................................................................................. ②(2分)∴CD的长为90π×2180=π. .................................................................................................................................... ③(4分) (2)证明:∵AD=AP,∴∠ADP=∠P.又∠CAD=∠ADP+∠P=45°,∴∠ADP=22.5°. ............................................................................................ ④(5分) ∵BC=AD,∴∠BOC=∠AOD,∴∠AOD=180°−∠COD2=180°−90°2=45°............................................................................................................. ⑤(6分)∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=1×(180°-45°)=67.5°, ................................................................................... ⑥(7分)∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=67.5°+22.5°=90°.又OD是☉O的半径,∴PD是☉O的切线. ................................................................................................. ⑦(8分) 【阅卷采分点】①正确作出辅助线,连接OC,OD,得1分.②根据同弧所对圆周角和圆心角的关系得出∠COD的度数,正确得1分.③运用弧长的计算公式求出CD的长,正确得2分.④由三角形外角与内角之间的关系求得∠ADP的度数,正确得1分.⑤由弧和圆心角的关系得∠AOD的度数,正确得1分.⑥由三角形内角和定理得∠ODA的度数,正确得1分.⑦由切线判定定理(体现半径与DP的垂直关系)得出所要证明的结论,正确得1分.【易失分点】1.错用“∵”和“∴”,扣“惩罚分”.2.漏写OD是☉O的半径,扣1分.3.有关角的计算错误,扣1分.4.弧长的计算应注意不要表达为CD=π这种形式,可以先设一个字母来代替弧长,如设CD的长为l,或者直接写CD的长为π.【解题通法】1.读题干,识图形从题干中提取关键信息,利用图形的基本性质挖掘图中的隐含条件,找出图中对应相等的量.圆的相关计算与证明题中一般利用垂径定理、圆周角定理及圆的基本性质等找出相等的弦或弧计算相关角的度数.2.关键步骤(1)求弧长,要用到弧长公式;(2)求线段长,常用到勾股定理、相似或全等、三角函数、面积相等等方法;(3)求面积,要用到面积公式;(4)证明圆的切线有两种方法:①有公共点,连半径,证垂直,②无公共点,作垂线段,证半径.3.关键字眼涉及判断性问题、存在性问题、探究性问题(如多条线段的关系或多个角的关系问题)等,应先,或先预留空间,待证明或求解完成后,再补上相应的结论.P13】1.(10分)(2016南平,22)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C在PB上,OC∥AP,CD⊥AP于点D.(1)求证:OC=AD;(2)若∠P=50°,☉O的半径为4,求四边形AOCD的周长(精确到0.1).(1)证明:∵PA切☉O于点A,∴OA⊥PA,即∠OAD=90°.(1分) ∵OC∥AP,∴∠COA=180°-∠OAD=180°-90°=90°.(2分) 又∵CD⊥PA,∴∠CDA=∠OAD=∠COA=90°, (3分) ∴四边形AOCD为矩形, (4分) ∴OC=AD.(5分) (2)∵PB切☉O于点B,∴∠OBP=90°.(6分) ∵OC∥AP,∴∠BCO=∠P=50°.(7分)在Rt△OBC中,sin∠BCO=OB,OB=4,OC∴OC=4≈5.22.(9分) 由(1)知四边形AOCD为矩形,∴四边形AOCD的周长为2(OA+OC)≈2×(4+5.22)≈18.4.(10分)2.(8分)(2017江苏淮安,25)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O是边AC上一点,以O为圆心,OA为半径的圆分别交AB,AC于点E,D,在BC的延长线上取点F,使得BF=EF,EF与AC交于点G.(1)试判断直线EF与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若OA=2,∠A=30°,求图中阴影部分的面积.(1)直线EF是☉O的切线.(1分)理由如下:如图,连接OE.∵OD=OE,∴∠OED=∠ODE.∵AD是☉O的直径,∴∠AED=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ADE=∠A+∠B=90°,∴∠ODE=∠B.(2分) 又∵BF=EF,∴∠B=∠BEF,∴∠BEF=∠OED.(3分) ∵∠BEF+∠DEG=90°,∴∠OED+∠DEG=90°,即OE⊥EF.又∵OE是☉O的半径,∴EF是☉O的切线.(5分) (2)由(1)可知,△OEG是直角三角形.又∵∠EOG=2∠A=60°,OE=OA=2,∴EG=OE·tan∠EOG=23, (6分)∴S阴影=S△EOG-S扇形DOE=12×2×23-60π×22360=23-2π3.(8分)3.(10分)(2017江苏盐城,25)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,AE 平分∠BAC交边BC于点E,经过点A,D,E的圆的圆心F恰好在y轴上,☉F与y轴相交于另一点G.(1)求证:BC 是☉F 的切线;(2)若点A ,D 的坐标分别为A (0,-1),D (2,0),求☉F 的半径;(3)试探究线段AG ,AD ,CD 三者之间满足的等量关系,并证明你的结论. (1)证明:如图,连接EF.(1分)∵AE 平分∠BAC , ∴∠BAE=∠CAE.∵EF=AF , ∴∠FEA=∠FAE , ∴∠FEA=∠EAC , ∴EF ∥AC. (2分)∵∠C=90°, ∴∠FEB=∠C=90°, ∴EF ⊥BC.又EF 是☉F 的半径,∴BC 是☉F 的切线.(3分) (2)如图,连接FD ,设☉F 的半径为r.(4分)∵A (0,-1),D (2,0), ∴AO=1,OD=2.∵∠FOD=90°,OD=2,AO=1,∴在Rt △FOD 中,由勾股定理得(r-1)2+22=r 2,(5分) 解得r=52,∴☉F 的半径为52. (6分) (3)AG=AD+2CD.(7分) 证明:如图,过点F 作FR ⊥AC ,垂足为点R ,则∠FRC=90°.(8分)∵CE 是☉F 的切线,切点为E , ∴∠FEC=90°.又∠C=90°,∴四边形EFRC 为矩形,∴EF=CR. ∵CR=RD+CD , ∴EF=RD+CD. ∵FR ⊥AD ,点F 为圆心, ∴RD=12AD ,∴EF=1AD+CD.2∵EF为半径,AG为直径,∴EF=1AG,2∴1AG=1AD+CD,∴AG=AD+2CD.(10分)4.(10分)(2017浙江金华,22)如图,已知:AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD是☉O的切线,AD⊥CD于点D,E 是AB延长线上一点,CE交☉O于点F,连接OC,AC.(1)求证:AC平分∠DAO;(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.①求∠OCE的度数;②若☉O的半径为22,求线段EF的长.(1)证明:∵直线CD与☉O相切,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠OCA.(2分) ∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OAC,∴AC平分∠DAO.(4分) (2)①∵AD∥OC,∠DAO=105°,∴∠EOC=∠DAO=105°.(5分) ∵∠E=30°,∴∠OCE=45°.(6分)②如图,过点O作OG⊥CE于点G,可得FG=CG.(7分) ∵OC=22,∠OCE=45°,∴CG=OG=2,∴FG=CG=2.(8分) ∵在Rt△OGE中,∠E=30°,∴GE=OG=23, (9分) tan30°∴EF=GE-FG=22.(10分)5.(10分)(2017浙江温州,21)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,☉O(圆心O在△ABC内部)经过B,C两点,交AB于点E,过点E作☉O的切线交AC于点F.延长CO交AB于点G,作ED∥AC交CG于点D.(1)求证:四边形CDEF是平行四边形;(2)若BC=3,tan∠DEF=2,求BG的值.(1)证明:如图,连接OE.(1分) ∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∴∠B=45°,∴∠EOC=2∠B=90°.(2分) ∵EF是☉O的切线,∴∠FEO=90°, (3分) ∴∠EOC+∠FEO=180°,∴EF∥OD.(4分) 又∵DE∥CF,∴四边形CDEF是平行四边形.(5分) (2)如图,过点G作GM⊥BC于点M, (6分) 则△GMB是等腰直角三角形,∴MB=GM.(7分) ∵四边形CDEF是平行四边形,∴∠FCD=∠FED.∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°,∴∠CGM=∠ACD,∴∠CGM=∠DEF.(8分) ∵tan∠DEF=2,∴tan∠CGM=CM=2,∴CM=2GM,∴CM+BM=2GM+GM=3,∴GM=1, (9分) ∴BG=2GM=2.(10分)。
二、解答重难题型突破+题型5 圆的综合++++课件+2025年中考数学总复习人教版(山东)
P在半圆弧AB上运动(不与A,B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于点D.
(1)如图1,求证:△PCD∽△ABC.
(2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由.
(3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数.
28
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠BCD=30°.
31
本课结束
∴BF=BE=5.
∵∠ABE=∠AMF=90°,∠BAE=∠MAF,
∴△AMF∽△ABE,
∴ = ,即 = = =2.
设MF=x,则AM=2x,
∴BM=10-2x.
5
∵BM2+MF2=BF2,
∴(10-2x)2+x2=52,解得x=3,x=5(不符合题意,舍去),即MF=3.
∴∠PCD=60°.
∵四边形ABDC内接于☉O,
∴∠B=∠PCD=60°.
9
(2)∵点C为的中点,
∴∠CAD=∠CDA,∴AC=CD.
∵∠ADB=90°,
∴∠CDA+∠CDP=90°.
在Rt△ADP中,∠CAD+∠P=90°,
∴∠CDP=∠P,
∴CD=PC=2 ,
∴AC=CD=PC=2 ,
,对角线AC为☉O
【例2】(2024·济南三模)如图,四边形ABCD内接于☉O,=
的直径,延长BC交过点D的切线于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
3
(2)若☉O的半径为5,tan∠DAC= ,求DE的长.
4
12
【自主解答】(1)连接DO并延长交AB于F,
中考数学总复习第二编中档题型突破专项训篇中档题型训五圆的有关计算、证明与探究试题
中档题型训练(五) 圆的有关计算、证明及探究命题规律圆的有关计算及证明是怀化中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考察，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的根本性质，特别是切线的性质与判定，同时要注意条件之间的相互联系． 命题预测 预计2021年怀化中考将以切线的判定及性质、求阴影的面积或弧长综合呈现，也可能设置考察某一个点的形式呈现.及圆有关的性质【例1】(2021 黔西南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥PD；(2)假设BC ＝3，sin P ＝35，求⊙O 的直径． 【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题．【学生解答】解：(1)∵∠C＝∠P，∠1＝∠C，∴∠1＝∠P，∴C B∥PD；(2)连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∵CD⊥AB，∴BD ︵＝BC ︵.∴∠P＝∠CAB.∴sin ∠CAB ＝sin ∠P ＝35，即BC AB ＝35.又∵BC＝3，∴AB ＝5.∴⊙O 的直径为5.1．(2021苏州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，D ，E 为⊙O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使得CD ＝BD ，连接AC 交⊙O 于点F ，连接AE ，DE ，DF.(1)证明：∠E＝∠C；(2)假设∠E＝55°，求∠BDF 的度数；(3)设DE 交AB 于点G ，假设DF ＝4，cos B ＝23，E 是AB ︵的中点，求EG·ED 的值．解：(1)连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD⊥BC.∵CD ＝BD ，∴AD 垂直平分BC ，∴AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E ＝∠C；(2)∵四边形AEDF 是⊙O 的内接四边形，∴∠AFD ＝180°－∠E.又∵∠CFD ＝180°－∠AFD，∴∠CFD ＝∠E＝55°.又∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF ＝∠C ＋∠CFD＝110°；(3)连接OE ，∵∠CFD ＝∠E＝∠C，∴FD Rt △ABD 中，cos B ＝23，BD ＝4，∴AB ＝6.∵E 是AB ︵的中点，AB 是⊙O 的直径，∴∠AOE ＝90°.∵AO ＝OE ＝3，∴AE ＝3 2.∵E 是AB ︵的中点，∴∠ADE ＝∠EAB，∴△AEG ∽△DEA ，∴AE EG＝DE AE，即EG·ED＝AE 2＝18. 圆的切线的性质及判定【例2】(2021 雅安中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O的切线，D 为⊙O 上的一点，CD ＝CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E.(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)假设BD 的弦心距OF ＝1，∠ABD ＝30°，求图中阴影局部的面积．(结果保存π)【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt △OBF 中，∠ABD ＝30°，OF ＝1，可求得BD 的长，∠BOD 的度数，又由S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD ，即可求解．【学生解答】解：(1)连接OD ，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°.∵CD ＝CB ，∴∠CBD＝∠CDB.∵OB＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB.∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD.∵点D 在⊙O 上，∴CD 为⊙O 的切线；(2)在Rt △OBF 中，∵∠ABD ＝30°，OF ＝1，∴∠BOF ＝60°，OB ＝2，BF ＝ 3.∵OF ⊥BD ，∴BD＝2BF ＝23，∠BOD ＝2∠BOF＝120°.∴S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD ＝120π×22360－12×23×1＝43π－ 3. 2．(2021黄石中考)如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(异于A ，B)，AD ⊥CD.(1)假设BC ＝3，AB ＝5，求AC 的值；(2)假设AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．解：(1)∵AB 是⊙O 直径，点C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝90°.∵BC ＝3，AB ＝5，∴AC ＝4；(2)连接OC ，∵AC 是∠DAB 的平分线，∴∠DAC ＝∠BAC.又∵AD⊥DC，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴∠DCA ＝∠CBA.又∵OA＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA，∵∠OAC ＋∠OBC＝90°，∴∠OCA ＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴DC 是⊙O 的切线．3．(2021 临沂中考)如图，点O 为Rt △ABC 斜边AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 及BC 切于点D ，及AC 交于点E ，连接AD.(1)求证：AD 平分∠BAC；(2)假设∠BAC＝60°，OA ＝2，求阴影局部的面积．(结果保存π)解：(1)∵⊙O 切BC 于点D ，∴OD ⊥BC ，∵AC ⊥BC ，∴AC ∥OD ，∴∠CAD ＝∠ADO，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO，∴∠OAD ＝∠CAD，即AD 平分∠CAB；(2)设EO 及AD 交于点M ，连接ED.∵∠BAC ＝60°，OA ＝OE ，∴△AEO 是等边三角形，∴AE ＝OA ，∠AOE ＝60°，∴AE ＝AO ＝OD ，又由(1)知，AC ∥OD 即AE∥OD，∴四边形AEDO 是菱形，那么△AEM≌△DOM，∠EOD＝60°，∴S △AEM ＝S △DMO ，∴S 阴影＝S 扇形EOD ＝60π×22360＝2π3. 4．(2021白银中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，BD ＝DC ，过点D 作DE⊥AC，垂足为点E ，⊙O 经过A ，B ，D 三点．(1)求证：AB 是⊙O 的直径；(2)判断DE 及⊙O 的位置关系，并加以证明；(3)假设⊙O 的半径为3，∠BAC ＝60°，求DE 的长．解：(1)连接AD ，∵在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴AB 为⊙O 的直径；(2)DE 及⊙O 相切．证明：连接OD ，∵AO ＝BO ，BD ＝DC ，∴OD 为△ABC 的中位线，∴O D∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE ⊥OD ，∴DE 是⊙O 的切线；(3)∵AO＝3，∴AB ＝6.又∵AB＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AD ＝3 3.∵AC ·DE ＝CD ·AD ，∴6·DE ＝3×33，∴DE ＝332. 圆及相似及三角函数的综合【例3】(2021 资阳中考)如图，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，连接OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于点E ，连接AD.(1)求证：△CDE∽△CAD；(2)假设AB ＝2，AC ＝22，求AE 的长．【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算．【学生解答】解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD＝90°.又∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，即∠BAC＝90°，∴∠CAD ＋∠BAD＝90°，∴∠ABD ＝∠CAD.∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，∴∠CAD ＝∠CDE.又∠C＝∠C，∴△CDE ∽△CAD ；(2)在Rt △OAC 中，∠OAC ＝90°，∴OA 2＋AC 2＝OC 2，即12＋(22)2＝OC 2，∴OC ＝3，∴CD ＝2.又由△CDE∽△CAD，得CD CE ＝CA CD ，即2CE ＝222，∴CE ＝ 2.∴AE ＝AC －CE ＝22－2＝ 2.5．(2021凉山中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC ︵的中点，AE ⊥AC 于点A ，及⊙O 及CB 的延长线交于点F ，E ，且BF ︵＝AD ︵.(1)求证：△ADC∽△EBA；(2)如果AB ＝8，CD ＝5，求tan ∠CAD 的值．解：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA ＝∠ABE.∵BF ︵＝AD ︵，∴∠DCA ＝∠BAE.∴△ADC∽△EBA；(2)∵A 是BDC ︵的中点，∴AB ＝AC ＝8.∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD ＝∠AEC，∴AC AE ＝DC AB ，∴AE ＝AC ·AB DC ＝645，∴tan ∠CAD ＝tan ∠AEC ＝AC AE ＝8645＝58.。
考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究试题
(河北专版)2017中考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究试题中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系.圆的切线性质与判定【例1】(2016天水中考)如图，点D为OO上一点，点C在直径BA的延长线上，且/ CDA=Z CBD.(1) 判断直线CD和OO的位置关系，并说明理由；(2) 过点B作OO的切线BE交直线CD于点E,若AC= 2, O O的半径是3,求BE的长.【思路分析】⑴ 连接OD根据圆周角定理求出/ DABF Z DBA= 90°,从而得出/ CDAb Z ADO= 90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC,由切线长定理得出DE= EB,在Rt△ CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.【学生解答】解：⑴ 直线CD和OO的位置关系是相切•理由是：连接OD.T AB是OO的直径，二/ ADB= 90°,「./ DAB^Z DBA= 90° . v/ CDA=Z CBDDAB^Z CDA= 90° . v OD= OADAB=Z ADOCDA^ /ADO= 90°,即ODLCE「•直线CD是OO的切线，即直线CD和OO的位置关系是相切；(2) v AC= 2, O O 的半径是3, • OC= 2+ 3 = 5 , OD= 3.在Rt△ CDO中 ,由勾股定理得CD= 4. v CE BOO 于点D, EB BOO 于点B, • DE= EB, / CBE= 90°,设DE= EB= x,在Rt△ CBE中，由勾股定理，得CE= BE+ BC ,则 2 2 2 (4 + x) = x + (5 + 3),解得x= 6,即BE= 6.1. （2016毕节中考）如图，以△ ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A, B两点，且与BC边交于点E, D为BE 的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F, AC= FC.（1）求证：AC是OO的切线；（2）已知圆的半径R= 5, EF= 3，求DF的长.解：⑴如图，连接AE AO. v BE 为半圆，•••/ BAE= 90° . •/ BD= ED,A Z BAD=Z EAD= 45°,「./ AFC=ZB + 45°,「./ CAF=Z EACb 45° . v AC= FC,「./ AFC=Z CAF B+ 45 ° =Z EAO 45°,「./ B=Z EAC v OA=OB OAB=Z B,「./ EAC=Z OAB OAC=Z OA&Z EAC=Z OA&Z OAB=Z BAE= 90°,•AC丄OA •- AC为OO为切线；(2 )如图，连接OD.v B D= D E, BOD=Z DOE= 90° .在Rt△ OFD中, OF= 5 —3 = 2 , OD= 5, •DF= OF+ OD= 29.2. (2016承德二中一模)已知如图，以Rt△ ABC的AC边为直径作OO交斜边AB于点E ,连接EO并延长交BC 的延长线于点D,点F为BC的中点，连接EF.(1) 求证：EF是OO的切线；(2) 若OO的半径为3, / EAC= 60°,求AD的长.解：⑴连接FQ 易证OF// AB.T AC 是OO 的直径，二CEL AE,v OF// AB,「. OF丄CE•又T OB OC /• OF是线段CE 的垂直平分CE 二FC= FE,「./ FEC=Z FCE.T OE= OCOEC=Z OCE V RgABC中，/ ACB= 90°,即 / OCE-Z FCE=90 °,「./ OECF Z FEC= 90°,即/ FEO= 90°,「. EF为OO 的切线；(2) VOO 的半径为3,「. AO= CO= EO= 3.V Z EAC= 60°, OA= OEEOA= 60°,：Z CO空Z EOA= 60°. •••在Rt△OCD中，Z COD= 60°, OC= 3,「. CD= 3 3. V在Rt^ACD中，Z ACD= 90°, CD= 3 3, AC= 6, A AD= 3 7.圆与相似【例2】如图，已知AB是OO的弦，OB= 2,Z B= 30°, C是弦AB上的任意一点（不与点A, B重合），连接CO并延长CO交OO于点D,连接AD.⑴弦长AB= 「;（结果保留根号）（2）当/D- 20。
中考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练五圆的有关计算证明与探究试题
中档题型训练 ( 五) 圆的相关计算、证明与研究圆的相关计算与证明是河北中考的必考内容之一，据有较大的比重，往常联合三角形、四边形等知识综合考察，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要娴熟掌握圆的基天性质，特别是切线的性质和判断，同时要注意已知条件之间的互相联系．圆的切线性质与判断【例 1】 ( 2016 天水中考 ) 如图，点 D 为⊙O 上一点，点 C 在直径 BA 的延伸线上，且∠ CDA ＝∠ CBD.(1) 判断直线 CD 和⊙O 的地点关系，并说明原因；(2) 过点 B 作⊙O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E ，若 AC ＝2，⊙ O 的半径是 3，求 BE 的长．【思路剖析】 (1) 连结 OD ，依据圆周角定理求出∠ DAB ＋∠ DBA ＝ 90°，进而得出∠ CDA ＋∠ ADO ＝ 9 0°，再根据切线的判断推出即可； (2) 第一利用勾股定理求出 DC ，由切线长定理得出 DE ＝EB ，在 Rt △CBE 中依据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【学生解答】解： (1) 直线 CD 和⊙O 的地点关系是相切．原因是：连结 OD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ADB ＝90°，∴∠ DAB ＋∠ DBA ＝ 90° . ∵∠ CDA ＝∠ CBD ，∴∠ DAB ＋∠ CDA ＝ 90° . ∵OD ＝ OA ，∴∠ DAB ＝∠ ADO ，∴∠ CDA ＋∠ADO ＝ 90°，即 OD ⊥CE ，∴直线 CD 是⊙O 的切线，即直线 CD 和⊙O 的地点关系是相切；(2) ∵AC ＝ 2，⊙ O 的半径是 3，∴ OC ＝ 2＋ 3＝ 5， OD ＝ 3. 在 Rt △ CDO 中，由勾股定理得 CD ＝4. ∵CE 切⊙O 于点D ， EB 切⊙O 于点 B ，∴ DE ＝ EB ，∠ CBE ＝ 90°，设 DE ＝ EB ＝ x ，在 Rt △ CBE 中，由勾股定理，得222CE＝ BE ＋ BC ，则 (4 ＋ x) 2＝ x 2＋ (5 ＋ 3) 2，解得 x ＝ 6，即 BE ＝ 6.1． ( 2016 毕节中考 ) 如图，以△ ABC 的 BC边上一点BE的下半圆弧的中点，连结AD交 BC 于点 F， AC＝FC. O为圆心的圆，经过A， B 两点，且与BC边交于点E，D为(1)求证： AC是⊙O的切线；(2)已知圆的半径 R＝ 5，EF＝ 3，求 DF 的长．︵︵解： (1) 如图，连结AE， AO.∵ BE为半圆，∴∠ BAE＝ 90°. ∵ BD＝ED，∴∠ BAD＝∠ EAD＝ 45°，∴∠ AFC ＝∠B＋45°，∴∠ CAF＝∠ EAC＋ 45° . ∵ AC＝ FC，∴∠ AFC＝∠ CAF，∴∠ B＋ 45°＝∠ EAC＋ 45°，∴∠ B＝∠EAC.∵OA＝ OB，∴∠ OAB＝∠ B，∴∠ EAC＝∠ OAB，∴∠ OAC＝∠ OAE＋∠ EAC＝∠ OAE＋∠ OAB＝∠ BAE＝90°，∴AC⊥ OA，∴AC为⊙O 为切线；(2 ) 如图，连结︵︵OD.∵ BD＝ DE，∴∠ BOD＝∠ DOE＝ 90° . 在Rt△ OFD中， OF＝ 5－ 3＝ 2， OD＝ 5，∴DF＝2 2OF ＋ OD＝ 29.2． ( 2016 承德二中一模 ) 已知如图，以Rt△ ABC的 AC 边为直径作⊙O 交斜边 AB 于点 E，连结 EO并延伸交 BC 的延伸线于点 D，点 F 为 BC的中点，连结 EF.(1)求证： EF 是⊙O的切线；(2)若⊙O 的半径为 3，∠ EAC＝ 60°，求 AD的长．解： (1) 连结 FO，易证OF∥AB.∵AC 是⊙O 的直径，∴ CE⊥ AE，∵ OF∥ AB，∴ OF⊥ CE.又∵ OE＝ OC，∴OF是线段 CE 的垂直均分 CE，∴ FC＝ FE，∴∠ FEC＝∠ FCE.∵OE＝ OC，∴∠ OEC＝∠ OCE∵. Rt△ ABC中，∠ ACB＝90°，即∠OCE＋∠ FCE＝ 90°，∴∠ OEC＋∠ FEC＝ 90°，即∠ FEO＝ 90°，∴ EF 为⊙O的切线；(2)∵⊙O的半径为 3，∴ AO＝ CO＝ EO＝3. ∵∠ EAC＝ 60°， OA＝ OE，∴∠ EOA＝ 60°，∴∠ COD＝∠ EOA＝ 60° .∵在 Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，∴CD＝3 3.∵在 Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝3 3，AC＝6，∴AD＝3 7.圆与相像【例 2】如图，已知AB 是⊙O 的弦， OB＝ 2，∠ B＝ 30°， C 是弦 AB 上的随意一点( 不与点A， B 重合 ) ，连结CO并延伸 CO交⊙O于点 D，连结 AD.(1)弦长 AB＝ _____ ___； ( 结果保存根号 )(2)当∠ D＝ 20°时，求∠ BOD的度数；(3) 当 AC 的长度为多少时，以A， C， D 为极点的三角形与以B，C， O 为极点的三角形相像？请写出解答过程．1 3AB＝2OB＝3，则AB＝2 【思路剖析】(1) 联合垂径定理过点O 作 BC 的垂线，再由特别直角三角形得23；(2) 联合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3) 第一剖析要使△ DAC 与△ BOC 相像，只好∠ DCA＝∠ BCO＝90°，此时，∠BOC＝ 60°，∠ BOD＝ 120°，∴∠DAC＝ 60°，∴△1DAC∽△ BOC.∵∠ BCO＝ 90°，即 OC⊥AB，∴ AC＝ AB＝ 3.2【学生解答】解：(1)2 3； (2) 连结OA.∵OA＝ OB＝ OD，∴∠ BAO＝∠ B＝ 30°，∠ D＝∠ DAO＝ 20°，∴∠DAB＝∠ BAO＋∠ DAO＝ 50°，∴∠ BOD＝2∠DAB＝ 100°； (3) ∵∠ BCO＝∠ DAC＋∠ D，∴∠BCO>∠ DAC，∠BCO>∠ D，∴要使△ DAC 与△ BOC 相像，只好∠ DCA＝∠ BCO＝90°，此时∠ BOC＝ 60°，∠ BOD＝ 120°，∴∠ DAC＝60°，∴△1DAC∽△ BOC.∵∠ BCO＝ 90°，即 OC⊥AB，∴ AC＝2AB＝3.3． ( 2016 黄冈中考 ) 已知：如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，以 AC为直径的⊙O 交 AB于点 M，交 BC 于点 N，连结AM CBAN，过点 C的切线交 AB的延伸线于点 P. 求证： (1) ∠BCP＝∠ BAN； (2) ＝ .MN BP证明： (1) ∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ ANC＝ 90°，∴∠ NAC＋∠ ACN＝ 90°，∵ AB＝ AC，∴∠ BAN＝∠ CAN，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠ACP＝90°，∴∠ACN＋∠PCB＝90°，∴∠BCP＝∠CAN，∴∠BCP＝∠BAN；(2) 连结MN，∵AB ＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵四边形AMNC为⊙O 的内接四边形，∴∠ACB＋∠AMN＝180°，又∵∠CBP＋∠ ABC＝AM CB180°，∴∠ PBC＝∠ AMN，由 (1) 知∠ BCP＝∠ BAN，∴△BPC∽△ MNA，∴＝.MN BP4． ( 2016 广东中考 ) 如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆， BC 是⊙O 的直径，∠ ABC＝ 30°，过点 B 作⊙O 的切线BD，与 CA的延伸线交于点 D，与半径 AO的延伸线交于点 E，过点 A 作⊙O 的切线 AF，与直径 BC的延伸线交于点F.(1) 求证：△ ACF∽△ DAE;3(2)若 S△AOC＝4，求 DE的长；(3)连结 EF，求证： EF 是⊙O的切线．解： (1) ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠ BAC＝ 90°，又∠ ABC＝ 30°，∴∠ ACB＝ 60°，又 OA＝ OC，∴△ OAC为等边三角形，即∠ OAC＝∠ AOC＝ 60°，∵ AF 为⊙O 的切线，∴∠ OAF＝90°，∴∠ CAF＝∠ AFC＝ 30°，∵ DE 为⊙O 的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90 °，∴∠D＝∠DEA＝30 °，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；32 3(2) ∵△ AOC 为等边三角形，∴S△AOC＝4 OA＝4，∴ OA＝ 1 ，∴ BC＝ 2， OB＝ 1，又∠ D＝∠ BEO＝30°，∴ BD ＝2 3 ， BE＝3，∴ DE＝ 3 3； (3) 如图，过点O 作 OM⊥EF 于点M，∵ OA＝ OB，∠ OAF＝∠ OBE＝ 90°，∠BOE＝∠AOF，∴△ OAF≌△ OBE，∴ OE＝ OF，∵∠ EOF＝ 120°，∴∠ OEM＝∠ OFM＝ 30°，∴∠ OEB＝∠ OEM＝30°，即 OE 均分∠ BEF，又∠ OBE＝∠ OME＝ 90°，∴ OM＝ OB，∴ EF 为⊙O的切线．圆与锐角三角函数【例 3 】( 2016 菏泽中考 ) 如图， AB是⊙O的直径，点 C 在⊙O上，连结 BC， AC，作 OD∥BC 与过点 A 的切线交于点 D，连结 DC并延伸交 AB的延伸线于点 E.(1)求证： DE是⊙O的切线；(2) 若CE 2＝，求 cos∠ABC的值．DE 3【思路剖析】 (1) 连结 OC.欲证 DE是⊙O 的切线，只要证得OC⊥DE； (2) CE 2，则 DE由＝，可设 CE＝2k(k>0)DE 32 2 AD 2 OC ＝ 3k，在Rt△ DAE中，由勾股定理求得AE＝DE－ AD＝ 2 2k，则tan E＝AE＝4，因此在Rt△OCE中，tan E＝CEOC k OD＝2 2 3＝，求得 OC＝. 在Rt△ AOD中，由勾股定理获得AO＋ AD＝k，进而求出cos∠ ABC的值．2k 2 2【学生解答】解：(1) 如图，连结 OC. ∵AD 是过点 A 的切线， AB 是⊙O 的直径，∴ AD⊥AB. ∴∠ DAB＝90°.∵OD∥BC, ∴∠ DOC＝∠ BCO，∠ DOA＝∠ CBA.∵OC＝ OB，∴∠ BCO＝∠ CBA，∴∠ DOC＝∠ DOA 在.△ CODOC＝ OA，和△ AOD中，∠ DOC＝∠ DOA，∴△ COD≌△ AOD(SAS) ，∴∠ OCD＝∠ DAB＝ 90° . 即 OC⊥DE 于点 C.∵OC 是⊙O 的半OD＝ OD，径，∴ DE是⊙O 的切线；(2) 由CE 2CE＝2k(k>0)，则 DE＝ 3k，∴ AD＝ DC＝ k，∴在2 22k ，∴＝，可设Rt△DAE中，AE＝DE－AD＝2DE 3AD 2 OC OC 2 OC 2k，∴在Rt △AOD中，OD＝22tan E＝＝. ∵在Rt△ OCE中，tan E＝＝，∴＝，∴ OC＝ OA＝AO＋ AD AE 4 CE 2k 4 2k 26 OA 3＝2 k，∴cos∠ ABC＝cos∠AOD＝OD＝3 .5． ( 2016 唐山九中一模 ) 如图，四边形ABCD内接于⊙ O，对角线的延伸线于点E，点 F 为 CE的中点，连结DB，DC， DF. AC 为⊙O 的直径，过点 C作AC的垂线交AD(1)求∠ CDE的度数；(2)求证： DF是⊙O的切线；(3)若 AC＝ 2 5DE，求tan∠ ABD的值．解： (1) ∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ EDC＝ 90°； (2) 连结 DO，∵∠ EDC＝ 90°， F 是 EC 的中点，∴ DF＝ FC，∴∠ FDC＝∠ FCD，∵ OD＝ OC，∴∠ OCD＝∠ ODC，∴∠ ODC＋∠ FDC＝∠ OCD＋∠FCD，∴∠ODF＝∠OCF，∵ EC⊥ AC，∴∠ OCF＝ 90°，∴∠ ODF＝ 90°，∴ DF 是⊙O 的切线； (3) 在△ ACD 与△ ACE 中，∠ ADC＝AC AD 2 ＝AD·AE.又∵ AC＝2∠ACE＝ 90°，∠ EAC＝∠ CAD，∴△ ACD∽△ AEC，∴ ＝，∴ AC 2 5DE，∴ 20DE＝ (AE－AE AC2 2 2DE)·AE，∴ (AE－ 5DE)(AE＋4DE)＝ 0，∴ AE＝ 5DE， AD＝ 4DE，在Rt△ACD中， AC＝AD＋ CD，∴ CD＝ 2DE.又在⊙O中，∠ ABD＝∠ ACD，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝AD＝ 2.CDCF 16． ( 2016 自贡模拟 ) 如图， AB 是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于点 G，点 F 是 CD上一点，且知足FD＝3，连结 AF 并延伸⊙O 于点 E，连结 AD， DE，若 CF＝ 2， AF＝ 3.(1)求证：△ ADF∽△ AED；(2)求 FG的长；5 (3) 求证：tan E＝4 .︵︵解： (1) ∵AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴ AD＝ AC，∴∠ ADF＝∠ AED.∵∠ FAD＝∠ DAE，∴△ ADF∽△AED； CF 1(2)∵＝， CF＝2，∴ FD＝6，∴ CD＝ DF＋ CF＝ 8，∴ CG＝ DG＝4，∴ FG＝ CG－ CF＝ 2； FD 3(3) ∵AF＝ 3， FG＝ 2，∴ AG＝225，∴在Rt△AGD中， tan ∠ADG＝AG 5 .∵∠ ADG＝∠ E，∴tanEAF－ FG＝＝4DG5 ＝4 .。
贵阳2019年中考数学 中档题型训练五 圆的有关计算、证明与探究(无答案)
圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是贵阳中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．与圆的有关性质【例1】(2015黔西南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C. (1)求证：CB∥PD；(2)若BC ＝3，sin ∠P ＝35，求⊙O 的直径．【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题．【学生解答】1．(2015黄石中考)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点． (1)求证：AB 平分∠OAC；(2)延长OA 至P 使得OA ＝AP ，连接PC ，若⊙O 的半径R ＝1，求PC 的长．圆的切线的性质与判定【例2】(2015雅安中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD ＝CB ，延长CD 交BA 的延长线于点E.(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若BD 的弦心距OF ＝1，∠ABD ＝30°，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)证∠ODC＝∠ABC＝90°；(2)在Rt △OBF 中，∠ABD ＝30°，OF ＝1，可求得BD 的长，∠BOD 的度数，又由S 阴影＝S 扇形OBD －S △BOD ，即可求解．【学生解答】2．(2015黄冈中考)已知：如图，在△ABC 中 ，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P.求证：(1)∠BCP＝∠BAN； (2)AM MN ＝CB BP.3．(2015深圳中考)如图(1)，水平放置着一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，AB＝BC＝6cm，OD＝3cm，开始的时候BD＝1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．(1)当B和O重合的时候，求三角板运动的时间；(2)如图(2)，当AC与半圆相切时，求AD；(3)如图(3)，当AB和DE重合时，求证：CF2＝CG·CE.4．(2015临沂中考)如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)圆与相似及三角函数综合【例3】(2015资阳中考)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD.(1)求证：△CDE∽△CAD；(2)若AB＝2，AC＝22，求AE的长．【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算．【学生解答】5．(2015乐山中考)已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图甲的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图乙，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)。
(完整版)青海专版中考数学复习第2编专题突破篇题型5圆的证明与计算精练试题
题型五 圆的证明与计算1． ( 2017 海南中考 ) 如图， AB 是⊙O 的弦， AB ＝ 5，点 C 是⊙O 上的一个动点，且∠ ACB ＝ 45°，若点M ， N 分5 2别是 AB ， AC 的中点，则 MN 长的最大值是 __ 2 __．,(第 1题图)) ,(第 2 题图))2． ( 德州中考 ) 如图，半径为1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，则3 π图中暗影部分的面积是__2 － 6 __．3． ( 永州中考) 如图，在⊙O中， A ， B 是圆上的两点，已知∠AOB ＝ 40°，直径 CD ∥AB ，连结AC ，则∠ BAC ＝__35__° .,( 第 3题图)) ,( 第 4题图))4． ( 2017 永州 中考 ) 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 ︵︵D 是 AC 的中点，点E 是 BC 上的一点，若∠CED ＝ 40°，则∠ ADC ＝ __10 0__° .5．如图，半径为3 的⊙A 经过原点 O 和点 C(0， 2) ， B 是 y 轴左边⊙A 优弧上一点，则tan∠OBC 为 ( )C1 2 2 2A . 2B ． 2 2C . 4D . 3,(第5 题图 )) ,(第6 题图 ))6． ( 聊城中考 ) 如图，四边形 ︵ ︵ ︵ABCD 内接于⊙ O ， F 是 CD 上一点，且 DF ＝ BC ，连结 CF 并延伸交 AD 的延伸线于点E ，连结 AC.若∠ ABC ＝ 105°，∠ BAC ＝ 25°，则∠E 的度数为 ()B． 45° ． 50° ． 55° ． 60° A B C D7． ( 2017 广东中考 ) 如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， DA ＝ DC ，∠ CBE ＝ 50°，则∠ DAC 的大小为 ( )C ． 130° ． 100° ． 65° ． 50°A B C D,( 第 7题图)) ,( 第 8题图))︵3，四边形 ABCD内接于⊙ O，连结 OB， OD，若∠ BOD＝∠ BCD，则 BD 8． ( 2017 咸宁中考 ) 如图，⊙ O的半径为的长为(C)3A．π B.2π C．2π D．3π9． ( 2017 滨州中考 ) 如图，点 E 是△ ABC 的心里， AE的延伸线交BC 于点 F，交△ ABC 的外接圆⊙O 于点 D. 连接 BD，过点 D 作直线 DM，使∠ BDM＝∠ DAC.(1)求证：直线 DM是⊙O的切线；2(2) 求证： DE＝DF·DA.证明： (1) 如答图①，连结 DO，并延伸交⊙O 于点 G，连结 BG.∵点 E 是△ ABC的心里，∴ AD均分∠ BAC，∴∠BAD＝∠ DAC.∵∠ G＝∠ BAD，∴∠ G＝∠ DAC＝∠ BDM.∵ DG为⊙O 的直径，∴∠ GBD＝ 90°，∴∠ G＋∠ BDG＝ 90°，∴∠ MDB＋∠ BDG＝ 90°.∴直线 DM是⊙O的切线；, 图①), 图②)(2)如答图②，连结 BE.∵点 E 是△ ABC的心里，∴∠ ABE＝∠ CBE，∠ BAD＝∠ CAD.∵∠ EBD＝∠ CBE＋∠ CBD，∠ BED＝∠ ABE＋∠ BAD，∠ CBD＝∠ CAD.∴∠ EBD＝∠ BED，∴ DB＝DE.∵∠ CBD＝∠ BAD，∠ ADB＝∠ ADB，2∴△ DBF∽△ DAB，∴ BD＝DF·DA.2∴ DE＝DF·DA.10.( 2017 温州中考 ) 如图，在△ ABC 中， AC＝ BC，∠ ACB＝90°，⊙ O(圆心 O 在△ ABC 内部 ) 经过 B， C 两点，交 AB于点 E，过点 E 作⊙O 的切线交 AC于点 F. 延伸 CO交 AB于点 G，作 ED∥AC 交 CG于点 D.(1)求证：四边形 CDEF是平行四边形；(2)若 BC＝ 3，tan∠ DEF＝ 2，求 BG的值．解： (1) 连结 CE.∵在△ ABC 中， AC＝ BC，∠ ACB＝ 90°，∴∠ B＝ 45° .∵EF是⊙O 的切线，∴∠ FEO＝90°，∠ FEC＝∠ B＝ 45°，∴∠ CEO＝ 45° . ∵ OE＝OC，∴∠ ECO＝∠ FEC＝ 45°，∴ EF∥CF.又∵ DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形；(2) 过点 G作 GM∥AC 交 BC于点 M.∵AC⊥BC，∴ GM⊥BC.又∠ B＝ 45°，∴△ GMB是等腰直角三角形，∴MB＝ GM.∵四边形CDEF是平行四边形，∴∠ FCD＝∠ FED.∵∠ FCD＝∠ CGM，∴∠ CGM＝∠ FED.CM∵ tan ∠DEF＝2，∴ tan ∠CGM＝＝2，GM∴CM＝2GM，∴ CM＋ BM＝ 2GM＋ GM＝BC＝ 3，∴GM＝1，∴ BG＝ 2GM＝ 2.11． ( 2017 宁德中考 ) 如图， BF 为⊙O的直径，直线AC交⊙ O于 A， B 两点，点D 在⊙O上， BD均分∠ OBC， DE ⊥AC于点 E.(1)求证：直线 DE是⊙O的切线；5(2)若 BF＝ 10，sin∠ BDE＝5，求 DE的长．解： (1) 连结 OD.∵OD＝OB，∴∠ ODB＝∠ OBD.∵BD均分∠O BC，∴∠ OBD＝∠ DBE，∴∠ ODB＝∠ DBE，∴ OD∥ AC.∵DE⊥AC，∴ OD⊥ DE.∵OD是⊙O 的半径，∴直线 DE是⊙O的切线；(2)连结 DF.∵BF 是⊙O 的直径，∴∠ FDB＝90°，∴∠ F＋∠ OBD＝ 90° .∵∠ OBD＝∠ DBE，∠ BDE＋∠ DBE＝ 90°，∴∠ F＝∠ BDE.BD 5在 Rt△BDF中，BF＝ sin F＝sin ∠BDE＝5，5∴ BD＝10×5＝ 2 5.BE 5在 Rt△BDE中， sin ∠BDE＝BD＝5，5∴BE＝2 5×5＝ 2.∴在 Rt△BDE中，DE＝BD2－ BE2＝16＝ 4.12． ( 2017 孝感中考 ) 如图，⊙ O的直径AB＝10，弦 AC＝ 6，∠ ACB的均分线交⊙O 于 D，过点D 作 DE∥AB 交CA的延伸线于点E，连结 AD， BD.︵(1)由 AB， BD，AD围成的曲边三角形的面积是 ________；(2)求证： DE是⊙O的切线；(3)求线段 DE的长．2525解： (1) 2＋4π；(2)∵AB 是直径，且 AB＝10，∴∠ ACB＝ 90°， AO＝ BO＝ DO＝ 5.∵CD均分∠ ACB，1∴∠ ABD＝∠ ACD＝2∠ACB＝ 45°，∴∠ AOD＝ 90° . 即 OD⊥AB.∵ DE∥AB，∴ OD⊥ DE，∴ DE是⊙O的切线；(3) ∵AB＝ 10， AC＝ 6，∴ BC＝A B2－ AC2＝ 8.过点 A 作 AF⊥DE于点 F，则四边形AODF是正方形．∴AF＝OD＝ FD＝5，∴∠ EAF＝ 90°－∠ CAB＝∠ ABC，∴tan ∠EAF＝ tan ∠CBA，EF AC EF 6 15∴ ＝，即＝，∴ EF＝，AF BC 5 8 41535∴DE＝DF＋ EF＝4＋ 5＝4 .︵13． ( 2017 营口中考 ) 如图，点 E 在以 AB 为直径的⊙O 上，点 C 是 BE的中点，过点 C作 CD垂直于 AE，交 AE 的延伸线于点D，连结 BE交 AC于点 F.(1)求证： CD是⊙O的切线；4(2) 若cos∠ CAD＝5， BF＝ 15，求 AC的长．解： (1) 连结OC.︵︵︵∵点 C是 BE的中点，∴ CE＝BC，∴ OC⊥BE.∵AB是⊙O 的直径，∴ AD⊥ BE，∴ AD∥ OC.∵AD⊥CD，∴ OC⊥ CD，∴ CD是⊙O 的切线．(2) 过点 O作 OM⊥AC 于点 M.︵︵︵EF BF ∵点 C是BE的中点，∴ CE＝ BC，∴∠ BAC＝∠ CAE，∴＝ .AE AB∵ cos∠CAD＝4EF 3 45，∴AE＝4，∴ AB＝3BF＝ 20.1 4在 Rt△AOM中，∠AMO＝90°，AO＝2AB＝10， cos∠OAM＝cos∠CAD＝5，∴ AM＝AO·cos∠ OAM＝ 8，∴ AC＝2AM＝ 16.14． ( 2017 江西中考 ) 如图①，⊙ O的直径 AB＝12， P 是弦 BC上一动点 ( 与点 B， C 不重合 ) ，∠ ABC＝ 30°，过点 P 作 PD⊥OP交⊙O于点 D.(1)如图②，当 PD∥AB 时，求 PD的长；︵︵ 1(2)如图③，当 DC＝ AC时，延伸 AB 至点 E，使 BE＝2AB，连结 DE.①求证： DE是⊙O的切线；②求 PC的长．解： (1) 连结 OD.∵OP⊥PD， PD∥AB，∴∠ POB＝ 90° .∵⊙ O的直径 AB＝ 12，∴ OB＝ OD＝6.3在 Rt△POB中，∵∠ABC＝30°，∴OP＝OB· tan 30°＝6×3＝23.在 Rt△POD中，PD＝OD2－OP2＝62－（2 3）2＝2 6；(2) ①连结 OD，交 CB于点 F，连结 BD.︵︵∵ DC＝AC，∴∠ DBC＝∠ ABC＝ 30°，∴∠ ABD＝ 60° .∵ OB＝OD，∴△ OBD是等边三角形，∴BD＝ OB.1∵ BE＝ 2AB，∴ OB＝ BE＝ DB，∴△ODE是直角三角形，∴∠ODE＝ 90°，∴DE是⊙O 的切线；②由①知，△OBD是等边三角形，且∠ ABC＝∠ CBD，∴OD⊥ BC，3∴CF＝FB＝OB·cos30°＝ 6×2＝ 3 3.在 Rt △POD中，OF＝DF，∴PF ＝12DO＝ 3( 直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半) ，∴ CP＝ CF－ PF＝ 3 3－3.15． ( 2017 包头中考 ) 如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD与 AB 交于点 E，过点 B 的切线 BP 与 CD的延伸线交于点P，连结 OC， CB.(1) 求证： AE·EB＝CE·ED；CE9(2)若⊙O 的半径为 3， OE＝ 2BE，＝，求tan∠ OBC的值及 DP的长．DE 5解： (1) 连结 A D.∵∠ A＝∠ BCD，∠ AED＝∠ CEB，∴△ AED∽△ CEB，AE ED∴＝，CE EB∴AE·EB＝CE·ED；(2)∵⊙O的半径为 3，∴ OA＝OB＝ OC＝ 3.∵ OE＝2BE，∴ OE＝ 2， BE＝ 1， AE＝ 5.CE9∵＝，∴设 CE＝ 9x， DE＝ 5x.DE 5∵AE·EB＝CE·ED，∴ 5× 1＝9x·5x，解得： x ＝1 ＝－13， x 3( 不合题意舍去 ) ，1 25∴CE＝9x＝ 3， DE＝ 5x ＝3.过点 C作 CF⊥AB 于 F.1∵OC＝CE＝ 3，∴ OF＝ EF＝2OE＝ 1，∴ BF＝ 2.在 Rt△OCF中，∵∠CFO＝90°，22 2∴ CF ＋ OF＝OC，∴ CF＝ 2 2.在 Rt△CFB中，∵∠CFB＝90°，CF 2 2∴tan ∠OBC＝BF＝2＝ 2.∵CF⊥AB 于 F，∴∠ CFB＝ 90° .∵BP是⊙O 的切线， AB是⊙O 的直径，∴∠ EBP＝ 9 0°，∴∠ CFB＝∠ EBP.在△ CFE和△ PBE中，∵∠ CFB＝∠ PBE， EF＝ EB，∠ FEC＝∠ BEP，∴△ CFE≌△ PBE(ASA) ，∴ EP＝ CE＝ 3，5 4∴DP＝ EP－ED＝ 3－3＝3.。