专题20 因动点产生的相似三角形问题(提优)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(解析版)
专题20 因动点产生的相似三角形问题（提优）
1．如图，在△ABC 中，AB ＝12cm ，BC ＝9cm ，动点P 从点A 开始沿AB 边以4cm /s 的速度向点B 运动；动点Q 从点B 开始沿BC 边以2cm /s 的速度向点C 运动．点P 和点Q 同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．设动点的运动时间为ts ，请问当△QBP 与△ABC 相似时，t 的值是多少？
【分析】分两种情形：当BP BA
=
BQ BC
时，两三角形相似，当
BP BC
=
BQ BA
时，两三角形相似，分别构建方程求
解即可．
【解答】解：由题意AB ＝12cm ＜BC ＝9cm ，AP ＝4t ，BQ ＝2t ，则BP ＝（12﹣4t ）cm ． 当BP BA
=
BQ BC
时，两三角形相似，
∴
12−4t 12
=2t 9
，
解得t =9
5． 当BP BC =
BQ BA
时，两三角形相似，
∴
12−4t
9
=
2t
12
，
解得t =
24
11
， 综上所述，当△QBP 与△ABC 相似时，t 的值是9
5
或2411．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒√3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（0≤t ≤5），连接MN ． （1）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值．
（2）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．
【分析】（1）分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；②当△NBM ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值； （2）过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，证出△BMD ∽△BAC ，得出比例式求出MD ＝t ．四边形
ACNM 的面积y ＝△ABC 的面积﹣△BMN 的面积，得出y 是t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．
【解答】解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°， ∴∠B ＝30°，
∴AB ＝2AC ＝10，BC ＝5√3．
分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时， 则
MB AB
=
BN BC ，即
2t
10
=
√3−√3t
5√3
， 解得：t =5
2
．
②当△NBM ∽△ABC 时， 同理可得：t =15
7， 综上所述：当t =5
2或157
时，△MBN 与△ABC 相似；
（2）过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，
∴△BMD ∽△BAC ， ∴
MD AC
=
BM AB
，即
MD 5
=
2t 10
，
解得：MD ＝t ．
设四边形ACNM 的面积为y ，
y =1
2×5×5√3−1
2（5√3−√3t ）t =√3
2（t ﹣2.5）2+75
8√3．
根据二次函数的性质可知，当t ＝2.5时，y 的值最小值为75√3
8
．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．
3．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，动点P 从点B 出发以2cm /s 速度向点c 移动，同时动点Q 从C 出发以1cm /s 的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t 秒． （1）根据题意知：CQ ＝ t cm ，CP ＝ （4﹣2t ） cm ；（用含t 的代数式表示） （2）t 为何值时，△CPQ 与△ABC 相似．
【分析】（1）结合题意，直接得出答案即可；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt △ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解．
【解答】解：（1）经过t秒后，CQ＝t，CP＝4﹣2t，
故答案为：t；（4﹣2t）．
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则AC
BC
=
QC
PC
，即
3
4
=
t
4−2t
，解得t＝1.2；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则PC
QC
=
AC
BC
，即
4−2t
t
=
3
4
，解得t=
16
11；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．
答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或16
11
秒．
【点评】本题考查动点问题，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（2）注意分类讨论．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少．
（2）当t为多少时，PQ的长度等于4√10？
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？
【分析】先由运动知，CQ＝2tcm，CP＝（20﹣4t）cm，再确定出0≤t≤5；
（1）先求出CP＝8cm，CQ＝6cm，最后用勾股定理求出PQ，即可得出结论；
（2）利用勾股定理得出（4√10）2＝（20﹣4t）2+（2t）2，解方程，即可得出结论；
（3）分①△CPQ∽△CAB和②△CPQ∽△CBA，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm，
∵AC＝20cm，
∴CP＝（20﹣4t）cm，
∵点P 在AC 上运动， ∴4t ≤20， ∴t ≤5，
∵点Q 在BC 运动， ∴2t ≤15， ∴t ≤7.5， ∴0≤t ≤5，
（1）当t ＝3时，CP ＝8cm ，CQ ＝6cm ，
在Rt △PCQ 中，根据勾股定理得，PQ =√CP 2+CQ 2=10（cm ）；
（2）在Rt △PCQ 中，根据勾股定理得，PQ 2＝CP 2+CQ 2， ∵PQ ＝4√10，
∴（4√10）2＝（20﹣4t ）2+（2t ）2， 解得，t ＝2或t ＝6（舍去），
即当t 为2时，PQ 的长度等于4√10；
（3）∵以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似，且∠C ＝∠C ＝90°， ∴①△CPQ ∽△CAB ， ∴CP AC
=
CQ BC
，
∴
20−4t 20
=
2t
15
，
∴t ＝3，
②△CPQ ∽△CBA ， ∴CP BC
=
CQ AC
，
∴
20−4t 15=
2t
20
，
∴t =40
11， 即当t 为3或
4011
时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ．现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 向点B 方向运动．如果点P 的速度是2cm /秒，点Q 的速度是1cm /秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）用含t 的代数式表示Rt △CPQ 的面积S ； （2）当t ＝2秒时，P ，Q 两点之间的距离是多少？
（3）当t 为多少秒时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？
【分析】（1）先由运动知，AP ＝2t ，CQ ＝t ，得出CP ＝8﹣2t ，最后用三角形的面积公式，即可得出结论； （2）先求出CP ＝4cm ，CQ ＝2cm ，最后用勾股定理求解，即可得出结论；
（3）分Rt △CPQ ∽Rt △CAB 或Rt △CPQ ∽Rt △CBA 两种情况，利用相似三角形的性质得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：AP ＝2t ，CQ ＝t ，则CP ＝8﹣2t ，
∴Rt △CPQ 的面积为S =1
2CP ×CQ =1
2×(8−2t)×t =4t −t 2（0≤t ≤4）；
（2）由题意得：AP ＝2t ，CQ ＝t ，则CP ＝8﹣2t ， 当t ＝2秒时，CP ＝8﹣2t ＝4cm ，CQ ＝2cm ．
在Rt △CPQ 中，由勾股定理得：PQ =√CP 2+CQ 2=√42+22=2√5cm ；
（3）由题意得：AP ＝2t ，CQ ＝t ，则CP ＝8﹣2t ，
∵以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，且∠ABC ＝∠PCQ ＝90°， ∴分Rt △CPQ ∽Rt △CAB 或Rt △CPQ ∽Rt △CBA 两种情况： ①当Rt △CPQ ∽Rt △CAB 时，则CP CA
=
CQ CB
，
∴
8−2t 8
=t
6，
解得：t =
12
5
秒； ②当Rt △CPQ ∽Rt △CBA 时，则CP CB
=
CQ CA
，
∴
8−2t 6
=t
8，
解得：t =32
11秒；
因此t =
125秒或t =32
11
秒时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似． 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，点B （12，10），过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ．作y 轴的垂线，垂足为C 点D 从O 出发，沿y 轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F 从B 出发，沿BA 方向以每秒2个单位长度运动．当E 点运动到点A 时，三点随之停止运动．设运动时间为t ．
（1）用含t 的代数式分别表示点E ，点F 的坐标．
（2）若△ODE 与以点A ，E ，F 为顶点的三角形相似，求t 的值．
【分析】（1）由题可得OE ＝3t ，OD ＝t ，BF ＝2t ，易证四边形OABC 是矩形，从而可得AB ＝OC ＝10，BC ＝OA ＝12，从而可求出OE 、AF ，即可得到点E 、F 的坐标；
（2）只需分两种情况（①△ODE ∽△AEF ，②△ODE ∽△AFE ）讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决问题
【解答】解：（1）由题可得OE ＝3t ，OD ＝t ，BF ＝2t ． ∵BA ⊥x 轴，BC ⊥y 轴，∠AOC ＝90°， ∴∠AOC ＝∠BAO ＝∠BCO ＝90°， ∴四边形OABC 是矩形， ∴AB ＝OC ，BC ＝OA ． ∵B （12，10），
∴BC ＝OA ＝12，AB ＝OC ＝10， ∴AF ＝10﹣2t ，AE ＝12﹣3t ，
∴点E 的坐标为（3t ，0），点F 的坐标为（12，10﹣2t ）；
（2）①当△ODE ∽△AEF 时， 则有OD AE =
OE AF
，
∴
t 12−3t
=
3t
10−2t
，
解得t 1＝0（舍），t 2=26
7；
②当△ODE ∽△AFE 时， 则有OD AF =
OE AE
，
∴
t 10−2t
=
3t
12−3t
，
解得t 1＝0（舍），t 2＝6．
∵点E 运动到点A 时，三点随之停止运动， ∴3t ≤12， ∴t ≤4． ∵6＞4， ∴t ＝6舍去， 综上所述：t 的值为267
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
7．如图（1），在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ．点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ．作PD ⊥AC 于D ，连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值； （2）当t 的值为 52或
2513
或
4013
时，△APQ 是等腰三角形．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠PDA ＝∠C ＝90°，根据相似三角形的性质得到
AP AB
=
PD BC
，求得PD =
6−6
5t ，根据三角形的面积公式得到S =1
2AQ ⋅PD =1
2⋅2t ⋅(6−6t
5)=−6
5t 2+6t =−6
5(t −5
2)2+15
2，根据二次函数的性质即可得到结论；
（2）当AP ＝AQ 时，即10﹣2t ＝2t ，当AQ ＝QP 时，如图1，过Q 作QE ⊥AP 于E ，根据相似三角形的性质得到
5−t 8
=
2t
10
，当AP ＝PQ 时，如图2，∵PD ⊥AC ，根据相似三角形的性质得到
10−2t 10
=t
8
，解方
程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵PD ⊥AC ， ∴∠PDA ＝∠C ＝90°，
又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADP ∽△ACB ， ∴
AP AB
=
PD BC
，
∵AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∠C ＝90°， ∴AB ＝10cm ，
∴AP ＝10﹣2t ，AQ ＝2t ， ∴
10−2t 10
=
MD 6，
∴PD =6−65
t ，
∴S =1
2AQ ⋅PD =1
2⋅2t ⋅(6−6t
5)=−6
5t 2+6t =−6
5(t −5
2)2+15
2， ∵0＜t ＜4，
∴t =5
2时，S 有最大值是
152
；
（2）当AP ＝AQ 时，即10﹣2t ＝2t ， 解得：t =52
，
当AQ ＝QP 时，如图1，过Q 作QE ⊥AP 于E ， ∴AE =12
AP =5﹣t ，
∵∠A ＝∠A ，∠AEQ ＝∠C ＝90°， ∴△AEQ ∽△ACB ， ∴AE AC =
AQ AB
， ∴
5−t
8
=
2t
10
，
解得：t =
2513
， 当AP ＝PQ 时，如图2，∵PD ⊥AC ， ∴AD =1
2AQ ＝t ， ∵△ADP ∽△ACB ， ∴AP AB
=
AD AC
，
∴
10−2t 10
=t
8
，
解得：t =
4013
， 综上所述，当t 的值为52
或2513
或
4013
时，△APQ 是等腰三角形，
故答案为：5
2或
2513
或
4013
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，（3）分类讨论是解题的关键．
8．如图，在△ABC 中，BA ＝BC ＝12cm ，AC ＝16cm ，点P 从A 点出发，沿AB 以每秒3cm 的速度向B 点运动，同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒4cm 的速度向A 点运动，设运动的时间为x 秒． （1）当x 为何值时，△APQ 与△CQB 相似？ （2）当S △BCQ S △ABC
=14
时，请直接写出
S △BPQ S △ABC
的值．
【分析】（1）分两种情况，根据相似三角形的性质列比例式求解即可：①当△APQ ∽△CQB 时；②当△APQ ∽△CBQ 时； （2）先由
S △BCQ S △ABC =1
4
得出CQ 的长，从而可得AQ 的长，再由点P 和点Q 的速度，可得AP 的长，从而
BP 的长可求，根据等高三角形的面积比等于高所在的底边之比，可求的答案． 【解答】（1）解：由题意得： AP ＝3x ，QC ＝4x ，AQ ＝16﹣4x ∴BA ＝BC ∴∠A ＝∠C ．
①当△APQ ∽△CQB 时
CQ AP
=
BC AQ
∴
4x 3x
=
12
16−4x
解得：x =7
4．
②当△APQ ∽△CBQ 时
CQ AQ
=
BC AP
∴
4x 16−4x
=
123x
解得：x 1＝﹣2+2√5，x 2＝﹣2﹣2√5（舍去）
综上所述，当x =74
或﹣2+2√5时，△APQ 与△CQB 相似． （2）由图形可知，当S △BCQ S △ABC =14
时，
CQ AC
=1
4
∵AC ＝16cm
∴CQ ＝4cm ，AQ ＝12cm
∵BA ＝BC ＝12cm ，点P 从A 点出发，沿AB 以每秒3cm 的速度向B 点运动，同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒4cm 的速度向 ∴AP ＝3cm ，BP ＝9cm ∴S △BPQ S △AQB =
912=3
4
∵S △BCQ S △ABC =14
， ∴S △AQB S △ABC =3
4
∴S △BPQ S △ABC =
S △BCQ S △ABC •S △AQB S △ABC =34×34=9
16
∴
S △BPQ S △ABC
的值为916
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等高三角形的面积问题等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合，是解题的关键．
9．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒3cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒2cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ． （1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；
（2）（如图2）连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB ，分△BPQ ∽△BAC 、△BPQ ∽△BCA 两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过P 作PM ⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，则有PB ＝5t ，PM ＝3t ，BQ ＝8﹣4t ，根据△ACQ ∽△CMP ，得出AC ：CM ＝CQ ：MP ，代入计算即可． 【解答】解：（1）①当△BPQ ∽△BAC 时，
∵BP BA =BQ BC ，BP ＝3t ，QC ＝2t ，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ， ∴
3t 10
=
8−2t
8
，
∴t =20
11，
②当△BPQ ∽△BCA 时， ∵BP BC
=
BQ BA
， ∴
8−2t 10
=
3t 8
，
∴t =
3223； ∴t =32
23或
2011
时，△BPQ 与△ABC 相似；
（2）如图所示，过P 作PM ⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ， 则有PB ＝3t ，PM =9
5t ，BM =12
5t ，MC =8−12
5t ， ∵∠NAC +∠NCA ＝90°，∠PCM +∠NCA ＝90°， ∴∠NAC ＝∠PCM 且∠ACQ ＝∠PMC ＝90°， ∴△ACQ ∽△CMP ， ∴AC CM =
CQ
MP ，
∴
6
8−125
t
=
2t
95
t 解得：t =1312
；
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
10．如图所示，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝16cm ．点D 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动，同时点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm /s ．连接DE ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜10），解答下列问题：
（1）当t 为何值时，△BDE 的面积为7.5cm 2；
（2）在点D ，E 的运动中，是否存在时间t ，使得△BDE 与△ABC 相似？若存在，请求出对应的时间t ；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE 边BE 的高即可求解； （2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可． 【解答】解：（1）分别过点D 、A 作DF ⊥BC 、AG ⊥BC ，垂足为F 、G 如图
∴DF ∥AG ，
DF AG
=
BD AB
∵AB ＝AC ＝10，BC ＝16∴BG ＝8，∴AG ＝6． ∵AD ＝BE ＝t ，∴BD ＝10﹣t ， ∴
DF 6
=
10−t 10
解得DF =3
5
（10﹣t ） ∵S △BDE =1
2
BE •DF ＝7.5 ∴3
5（10﹣t ）•t ＝15
解得t ＝5．
答：t 为5秒时，△BDE 的面积为7.5cm 2． （2）存在．理由如下：
①当BE ＝DE 时，△BDE ∽△BCA ， ∴
BE AB
=
BD BC
即
t
10
=
10−t 16
，
解得t =
5013
， ②当BD ＝DE 时，△BDE ∽△BAC ，
BE BC
=
BD AB
即
t
16
=
10−t 10
，
解得t =
8013
． 答：存在时间t 为5013
或
8013
秒时，使得△BDE 与△ABC 相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
11．如图，平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，OA ＝10，cos ∠COA =3
5．一个动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA 方向运动，过点P 作PQ ⊥OA ，交折线段OC ﹣CB
于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，点N 在射线OA 上，当P 点到达A 点时，运动结束．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）C 点的坐标为 （6，8） ，当t ＝
307
时N 点与A 点重合；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN 与菱形OABC 的重合部分面积为S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；
（3）如图2，在运动过程中，过点O 和点B 的直线将正方形PQMN 分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的1
5？若存在，请求出对应的t 的值；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）根据菱形的性质得出OA ＝OC ，再根据三角函数求出点C 的坐标即可，根据OA ＝10，构建方程求解即可．
（2）根据面积公式列出函数关系式，注意动点运动时的几种情况，得出自变量的取值范围； （3）根据被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的1
5，画出图示，分几种情况进行讨论解答．
【解答】解：（1）∵菱形OABC 中，OA ＝10， ∴OC ＝10， ∵cos ∠COA =35
，
∴点C 的坐标为：（6，8），
∵动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA 方向运动， ∵cos ∠COA =3
5=OP OQ ，OP ＝t ， ∴OQ =5
3
t ， ∴QP =43t ，
∵OA ＝10，N 点与A 点重合， ∴4
3t +t ＝10，
∴t =30
7
∴t =30
7时，N 点与A 点重合； （2）①0＜t ≤30
7，S =16
9t 2，
②
307
＜t ≤6，S =−
5027
t 2+
2809
t −
2003
，
③6＜t ≤8，S =−23
t 2+83
t +184
3
， ④8＜t ≤10，S ＝104﹣8t ；
（3）S 菱形＝80，直线OB 过原点（0，0），B 点（16，8），故直线OB 解析式为y =x
2， 直线OB 与PQ 、MN 分别交于E 、F 点，如图：
①当0＜t ≤6，EP =t
2，EQ =5t
6，FN =7t
6，FM =t
6， 若S 四边形QEFM =1
5S 菱形，则12(5t
6+t
6)⋅4t
3=16，t 1=2√6，
若S 四边形EPNF
=15S 菱形，则12(t 2+7t 6)⋅4t 3
=16，t 2=6
5√10，
②当6＜t ≤8，EP =t 2
，EQ =8−t 2
，FN =
t 2+4，FM =4−t 2
， 若S 四边形EPNF =1
5S 菱形则1
2(t +4)⋅8=16，t ＝0（舍），
若S 四边形QEFM =15
S 菱形，则1
2
(12−t)⋅8=16，t 3＝8；
③8＜t ≤10，不存在符合条件的t 值．
【点评】此题考查的是函数综合题，难度比较大，关键是运用四边形的性质和面积公式进行分析，注意出现的几种情况讨论，不能漏解．
12．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ． （1）若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值； （2）连接AQ 、CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值．
【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ ∽△BAC 时，BP ：BA ＝BQ ：BC ；当△BPQ ∽△BCA 时，BP ：BC ＝BQ ：BA ，再根据BP ＝5t ，QC ＝4t ，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，代入计算即可；
（2）过P 作PM ⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，则有PB ＝5t ，PM ＝3t ，MC ＝8﹣4t ，根据△ACQ ∽△CMP ，得出AC ：CM ＝CQ ：MP ，代入计算即可． 【解答】解：根据勾股定理得：BA =√62+82=10； （1）分两种情况讨论：
①当△BPQ ∽△BAC 时，
BP BA
=
BQ BC
，
∵BP ＝5t ，QC ＝4t ，AB ＝10，BC ＝8， ∴
5t 10
=
8−4t 8
，解得，t ＝1，
②当△BPQ ∽△BCA 时，BP BC
=
BQ BA
，
∴
5t 8
=
8−4t 10，解得，t =
3241
； ∴t ＝1或3241
时，△BPQ ∽△BCA ；
（2）过P 作PM ⊥BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，如图所示： 则PB ＝5t ，PM ＝3t ，MC ＝8﹣4t ，
∵∠NAC +∠NCA ＝90°，∠PCM +∠NCA ＝90°， ∴∠NAC ＝∠PCM ， ∵∠ACQ ＝∠PMC ， ∴△ACQ ∽△CMP ， ∴AC CM =
CQ MP
，
∴68−4t
=
4t 3t
，解得t =7
8
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，点C 在x 轴上，∠OCD ＝∠D ＝90°，AO ＝OC ＝10cm ，CD ＝6cm ． （1）请求出点A 的坐标．
（2）如图2，动点P 、Q 以每秒1cm 的速度分别从点O 和点C 同时出发，点P 沿OA 、AD 、DC 运动到点C 停止，点Q 沿CO 运动到点O 停止．设P 、Q 同时出发t 秒．
①是否存在某个时间t （秒），使得△OPQ 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
②若记△POQ 的面积为y （cm 2），求y （cm 2）关于t （秒）的函数关系式．
【分析】（1）做AE ⊥OC ，根据平行线的性质推出OM 的长度，然后运用勾股定理即可推出MA 的长度，即可推出A 点的坐标；
（2）①作AN ⊥OA ，设与OC 的延长线交于N 点，延长DA 到y 轴，设与y 轴交于点M ，通过求证△
OMA∽△NAO，推出AN=15
2cm，ON=
25
2cm，再分情况进行讨论．若∠OPQ＝90°，则△OPQ为直角
三角形，由PQ∥AN，推出OP
OA
=
OQ
ON
，即可求出t=
40
9；若∠OQP＝90°，则△OPQ为直角三角形，通
过求证∠AON∽△QOP，推出OP
ON =
OQ
OA
，即可求出t=
50
9cm，所以当t=
40
9cm或者t=
50
9cm时，△OPQ
为直角三角形；
②作QH⊥OA，把OP视作底边，由QH∥AN，推出QH
AN
=
OQ
ON
，再由OQ＝10﹣t，AN=
15
2，ON=
25
2，
推出高QH的长度，然后根据OP＝t，即可推出S=−3
10
t2+3t（0＜t＜10）．
【解答】解：（1）如图1，作AE⊥OC于E．
∴AE∥CD，
∵∠OCD＝∠D＝90°，
∴AD∥OC，
∵CD＝6cm，
∴AE＝DC＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴OE＝8cm，
∴A（8，6）；
（2）作AN⊥OA，设与OC的延长线交于N点，延长DA，与y轴交于点M．①如图2，
∵AD∥OC，
∴AM⊥OM，
∴DM∥OC，
∵A（8，6），
∴AM＝8cm，OM＝CD＝6cm，
∴∠AON＝∠MAO，
∵∠AMO＝∠OAN＝90°，
∴△OMA∽△NAO，
∴
OM AN
=
MA AO
=
OA ON
，
∵OM ＝6cm ，AM ＝8cm ，OA ＝10cm ， ∴AN =
152cm ，ON =25
2
cm ， 如图，若∠OPQ ＝90°，则△OPQ 为直角三角形，
∴PQ ∥AN ， ∴
OP OA =
OQ ON
，
∵P ，Q 两点的运动时间为t 秒，OC ＝OA ＝10cm ， ∴
t 10
=
10−t
252
，
∴t =40
9，
如图，若∠OQP ＝90°，则△OPQ 为直角三角形， ∵∠AON ＝∠QOP ， ∴∠AON ∽△QOP ， ∴
OP ON =
OQ
OA ， ∴t
252
=10−t 10
，
∴t =
50
9
cm ， ∴当t =409cm 或者t =50
9
cm 时，△OPQ 为直角三角形；
②如图3，作QH ⊥OA 于H ．
∵AN ⊥OA ， ∴QH ∥AN ， ∴
QH AN
=
OQ ON
，
∵OQ ＝10﹣t ，AN =15
2，ON =25
2， ∴QH =
30−3t
5
cm ， ∵OP ＝t ，
∴S △OPQ =QH⋅OP 2=30t−3t 2
10，
∴S =−
310
t 2
+3t （0＜t ＜10）． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理，点的坐标，相似三角形的判定及性质，关键在于根据题意画出辅助线，构建直角三角形，运用数形结合的思想推出相关的三角形相似，求出相关线段的长度，正确的进行分析．
14．如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，动点M 从A 出发在边AB 上以1cm /s 的速度向B 点匀速运动，同时，动点N 从D 出发在边DA 上以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，MN 与AC 相交于点Q ，设运动时间为t ．
（1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的1
8？
（2）是否存在时刻t ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t ＝1时，求NQ 的长．
【分析】（1）先由运动得出AM ＝tcm ，DN ＝2tcm ，再由△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的1
8，建立方
程求解，即可得出结论；
（2）分两种情况，利用相似三角形的对应边成比例建立方程求解，即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出MN ，再利用相似三角形的性质求出NE ，最后用△AQM ∽△EQN 得出比例式，即可得出结论．
【解答】解：（1）在矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ， ∴AD ＝BC ＝8cm ，∠BAD ＝90°，
由运动知，AM ＝tcm ，DN ＝2tcm （0＜t ＜4）， ∴AN ＝AD ﹣DN ＝（8﹣2t ）（cm ）， ∵△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的1
8，
∴1
2AM •AN =1
8
AB •BC ，
∴12
t （8﹣2t ）=1
8×4×6， ∴t ＝1或t ＝3，
即经过1秒或3秒，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的1
8；
（2）存在时间t ，t 为2秒或
165
秒时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似，
理由：在矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，
∴AD ＝BC ＝8cm ，CD ＝AB ＝4cm ，∠ADC ＝∠BAD ＝90°，
∵以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似，且∠ADC ＝∠MAN ＝90°， ∴①当△MAN ∽△ADC 时， ∴
AM AD =
AN CD ，
∴t 8
=8−2t
4
，
∴t =
165
， ②当△NAM ∽△ADC 时， ∴AN AD =
AM CD ，
∴
8−2t
8
=t 4
，
∴t ＝2；
（3）如图，
在矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ， ∴CD ＝AB ＝4cm ，AD ＝BC ＝8cm ， CD ∥AB ，当t ＝1时，DN ＝2，AM ＝1， ∴AN ＝AD ﹣DN ＝6，
在Rt △MAN 中，MN =√AN 2+AM 2=√37， 过点N 作NE ∥AM ，则NE ∥CD ， ∴△ANE ∽△ADC ， ∴NE CD =
AN AD ，
∴
NE 4
=68
，
∴NE ＝3cm ， ∵AM ∥NE ， ∴△AQM ∽△EQN ，
∴QM QN =
AM NE =1
3
，
∴
MN QN
=43
，
∴QN =34
MN =3√37
4
．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出NE 是解本题的关键．
15．如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，AC ＝6．△ECD 是△ABC 沿CB 方向平移得到的，连接AE ，AC 和BE 相交于点O ．
（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）如图2，P 是线段BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接PO 并延长交线段AE 于点Q ，QR ⊥BD ，垂足为点R ．
①四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积；
②当线段BP 的长为何值时，以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与△BOC 相似？
【分析】（1）四边形ABCE 是菱形．证明：∵△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，∴EC ∥AB ，EC ＝AB ．∴四边形ABCE 是平行四边形．又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCE 是菱形．
（2）①由菱形的对称性知，△PBO ≌△QEO ，可得S △PBO ＝S △QEO ，由△ECD 是由△ABC 平移得到的，可得ED ∥AC ，ED ＝AC ＝6．又∵BE ⊥AC ，∴BE ⊥ED ，可得S 四边形PQED ＝S △QEO +S 四边形POED ＝S △PBO +S
四边形POED
＝S △BED =12×BE ×ED =1
2×8×6＝24．
②如图，∵∠2是△OBP 的外角，∴∠2＞∠3．∴∠2不与∠3对应．∴∠2与∠1对应．即∠2＝∠1，∴OP ＝OC ＝3．过O 作OG ⊥BC 于G ，则G 为PC 的中点．可证△OGC ∽△BOC ．可得CG ：CO ＝CO ：BC ．从而可求解．
【解答】解：（1）四边形ABCE 是菱形．
专题20 因动点产生的相似三角形问题(提优)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(解析版)
专题20 因动点产生的相似三角形问题（提优） 1．如图，在△ABC 中，AB ＝12cm ，BC ＝9cm ，动点P 从点A 开始沿AB 边以4cm /s 的速度向点B 运动；动点Q 从点B 开始沿BC 边以2cm /s 的速度向点C 运动．点P 和点Q 同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点随之停止运动．设动点的运动时间为ts ，请问当△QBP 与△ABC 相似时，t 的值是多少？ 【分析】分两种情形：当BP BA = BQ BC 时，两三角形相似，当 BP BC = BQ BA 时，两三角形相似，分别构建方程求 解即可． 【解答】解：由题意AB ＝12cm ＜BC ＝9cm ，AP ＝4t ，BQ ＝2t ，则BP ＝（12﹣4t ）cm ． 当BP BA = BQ BC 时，两三角形相似， ∴ 12−4t 12 =2t 9 ， 解得t =9 5． 当BP BC = BQ BA 时，两三角形相似， ∴ 12−4t 9 = 2t 12 ， 解得t = 24 11 ， 综上所述，当△QBP 与△ABC 相似时，t 的值是9 5 或2411． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒√3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（0≤t ≤5），连接MN ． （1）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值． （2）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值． 【分析】（1）分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值；②当△NBM ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t 的值； （2）过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，证出△BMD ∽△BAC ，得出比例式求出MD ＝t ．四边形
专题20 因动点产生的相似三角形问题(基础)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(解析版)
专题20 因动点产生的相似三角形问题（基础） 1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 以2cm /s 的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1cm /s 的速度从点C 出发．沿CB 向点B 移动，设P 、Q 两点移动ts （0＜t ＜5）后，△CQP 的面积为Scm 2 （1）在P 、Q 两点移动的过程中，△CQP 的面积能否等于3.6cm 2？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ 与△CAB 相似． 【分析】（1）在矩形ABCD 中求出对角线AC 的长度，然后表示出CQ 、PC 的长度，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，然后在Rt △PHC 中表示出PH 的长度，根据面积为3.6cm 2，列方程求解． （2）分∠PQC ＝90°与∠CPQ ＝90°两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）在矩形ABCD 中， ∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ， ∴AC ＝10cm ，AP ＝2tcm ，PC ＝（10﹣2t ）cm ， CQ ＝tcm ， 过点P 作PH ⊥BC 于点H ， 则PH =3 5（10﹣2t ）cm ， 根据题意，得 12t •3 5（10﹣2t ）＝3.6， 解得：t 1＝2，t 2＝3． 答：△CQP 的面积等于3.6cm 2时，t 的值为2或3． （2）如答图1，当∠PQC ＝90°时，PQ ⊥BC ， ∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，QC ＝t ，PC ＝10﹣2t ， ∴△PQC ∽△ABC ， ∴ PC AC = CQ BC ，即 10−2t 10 =t 8 ，解得t =40 13（秒）； 如答图2，当∠CPQ ＝90°时，PQ ⊥AC ， ∵∠ACB ＝∠QCP ，∠B ＝∠QPC ，
专题27.39 相似三角形与动点问题(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础
专题27.39 相似三角形与动点问题（巩固篇） （专项练习） 一、单选题 1．如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，AD ＜BC ，∠ABC ＝90°，且AB ＝3，点E 是边AB 上的动点，当ADE 、BCE 、CDE 两两相似时，则AE ＝（ ） A ．32 B ．53 C ．32或53 D ．3 2 或1 2．如图，在钝角三角形ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝12cm ，动点D 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 运动，同时动点E 从点C 出发沿CA 以2cm/s 的速度向点A 运动，当以A ，D ，E 为顶点的三角形与∠ABC 相似时，运动时间是（ ） A ．3s 或4.8s B ．3s C ．4.5s D ．4.5s 或4.8s 3．如图，在ABC 中，6,4AC AB ==，点D 与点A 在直线BC 的同侧，且ACD ABC ∠=∠， 2CD =，点E 是线段BC 延长线上的动点，当DCE 和ABC 相似时线段CE 的长为（ ） A ．3 B ．43 C ．3或4 3 D ．4或3 4 4．如图，在∠ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，点D 是边BC 上一动点（不与B ，C 重合），∠ADE ＝45°，DE 交AC 于点E ，下列结论：∠∠ADE 与∠ACD 一定相似；∠∠ABD 与∠DCE 一定相似；∠当AD ＝3时，7 4 = CE ；∠0＜CE ≤2．其中正确的结论有几个？（ ）
A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 5．如图，在106⨯的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E 是格点四边形ABCD 的AB 边上一动点，连接ED ，EC ，若格点DAE △与EBC 相似，则DE EC +的长为（ ） A ． B C ． D ．6．如图，Rt ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝2cm ，D 为BC 的中点，若动点 E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E 点的运动时间为ts （0≤t ＜6），连接DE ，当BDE 与ABC 相似时，t 的值为（ ） A ．2 B ．2.5或3.5 C ．3.5或4.5 D ．2或3.5或4.5 7．如图，已知点A （1，0），点B （b ，0）（b ＞1），点P 是第一象限内的动点，且点P 的纵坐标为4 b ，若△POA 和△P AB 相似，则符合条件的P 点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2023九年级数学中考专题练习 存在性问题系列：相似三角形的存在性问题 (含解析)
存在性问题系列：相似三角形的存在性问题 2023九年级数学中考专题练习1．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s 的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t=时，△CPQ与△CBA相似． 2．如图，已知四边形ABCD中，B C =，点P是边BC上 ∠=∠，2 BC=，AB m CD=，5 使得APD B C ∠=∠=∠的点，当m=时，这样的P点只有一个． 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论： ①AD2=AE•AB； ②3.6≤AE＜10； ③当△ABD≌△DCE； ④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5． 其中正确的结论个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数6y kx =+的图象分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ， 点A 的坐标为(8,0)-． （1）点B 的坐标为 ； （2）在第二象限内是否存在点P ，使得以P 、O 、A 为顶点的三角形与OAB ∆相似？若存 在，请求出所有符台条件的点P 的坐标：若不存在，请说明理由． 5．如图，在四边形ABCD 中，//AB DC ，CB AB ⊥．16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，设运动的时间为()t s ，05t <<． （1）用含t 的代数式表示AP ； （2）当以点A ．P ，Q 为顶点的三角形与ABD ∆相似时，求t 的值；
专题22 因动点产生的直角三角形问题(基础)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(原卷版)
专题22 因动点产生的直角三角形问题（基础） 1．已知，A （1，﹣4），B （3，0），y 轴上存在点Q ，使△ABQ 是以AB 为直角边的直角三角形，求点Q 的坐标． 2．已知抛物线C 1：y ＝﹣x 2+bx +c 经过（﹣1，﹣6），（2，0）两点 （1）求抛物线解析式； （2）将抛物线C 1向上平移6单位得到抛物线C 2，若抛物线C 2与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，D （C 在D 左边），且点A （m ，m +1）在C 2上，连接BD ，求点A 关于直线BD 对称点A ′的坐标； （3）在抛物线C 2上是否存在点P ，使△PBD 是以BD 为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，OA ＝OB ＝OC ＝6，点G 的线段OB 上的一个动点，连接AG 并延长BC 于点D ． （1）当点G 运动到何处时△ABD 的面积为△ABC 面积的13； （2）在（1）的条件下，过点B 作BE ⊥AD ，交AC 于F ，垂足为E ，求点F 的坐标； （3）在（1）和（2）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点P ，使△BFP 为以边BF 为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，菱形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A ，D 在第一象限，线段AB 交y 轴于E ，且E 为AB 的中点，点M 为AC 和BD 的交点，连接CE ，有CE ⊥AB ，点A 的坐标为（1，2√3）； （1）求直线CE 的解析式； （2）点P 从原点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位运动，运动时间为t ，过点P 作PQ ⊥BC 交射线
2023年春九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题提升训练(附答案)
2023年春九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M． （1）若∠AOB＝60°，OM＝4，OQ＝1，求CP的长；（提示：过点P作PE⊥OA）（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形， ①证明：是定值； ②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围． 2．如图1，在矩形ABCD中，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，若点Q的运动路程x与线段BP的长y满足y＝﹣x+8，BD与PQ交于点E． （1）求AB，BC的长． （2）如图2，当点Q在CD上时，求． （3）将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连接EF，当EF所在直线与△BCD 的一边垂直时，求BP的长．
3．如图，已知菱形ABCD的三个顶点A（﹣2，0），B（2，0），D（0，2），连接AC，P 为AC的中点，点E为AD延长线上（异于点D）一动点，连接EP并延长与CD、AB分别交于G、F两点． （1）P点的坐标为； （2）求+的值； （3）连接EC，若∠CEF＝60°，求ED的长． 4．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B． （1）当点P在BC上时，那么点P与点A的最短距离是； （2）若点P在BC上时，求证：△ABP∽△PCQ； （3）在点P处设计并安装一个扫描器，按固定角（∠APQ）扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请求出点K被扫描到的总时长．
中考数学专题复习 专题20 相似三角形问题(学生版)
中考专题20 相似三角形问题 一、比例 1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的 长度的比相等，即 d c b a =(或a ：b= c ：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果作为比例内项的是两条相同的线段，即c b b a =或a ：b=b ： c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。 2．黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。 3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。 二、相似、相似三角形及其基本的理论 1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。 2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 3．三角形相似的判定方法 (1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 (2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。 (3)两个三角形相似的判定定理 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
初中相似三角形经典习题(附答案)
一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 考点：相似三角形的判定；平行线的性质。 分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC． 解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C． 又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC． 点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 考点：相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形。菁优网版权所有 专题：几何综合题。 分析：（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF． （2）根据点F是BC的中点这一条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可 解题． 解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD， ∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分） （2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC， ∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分） ∵AB∥DC∥EF，F为BC中点， ∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线， ∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分） 点评：本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE． 分析：由FD∥AB，FE∥AC，可知∠B=∠FDE，∠C=∠FED，根据三角形相似的判定定理可知：△ABC∽△FDE． 解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC， ∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED， ∴△ABC∽△FDE． 点评：本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理： （1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相似．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分） ∴∠BAF=∠AED．（4分） ∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分） ∴△ABF∽△EAD．（6分） 点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．
2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 第23题精选30道-相似三角形综合问题(练习版)
压轴第23题精选30道-相似三角形综合问题（学生版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在矩形ABCD 中，将△ABE 沿着BE 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，再将△DEG 沿着EG 翻折，使点D 落在EF 边上的点H 处． 若点A ，H ，C 在同一直线上，AB=1，则AD 的长为（ ） A ．32 B C D 2．如图，四边形ABCD 为菱形，BF △AC ，DF 交AC 的延长线于点E ，交BF 于点F ，且CE ：AC ＝1：2．则下列结论不正确的有（ ） A ．△ABE △△ADE ； B ．△CBE ＝△CDF ； C ．DE ＝FE ； D ．S △BC E ：S 四边形ABFD ＝1：9 3．如图，在Rt ABC ∆中，90,BAC BA CA ∠=︒==D 为BC 边的中点，点E 是CA 延 长线上一点，把CDE ∆沿DE 翻折，点C 落在C '处，EC '与AB 交于点F ，连接BC '．当43 FA EA =时，BC '的长为（ ）
A B ． C D ．4．如图，正方形ABCD 边长为8， E 为AD 中点，线段PQ 在边DC 上从左向右以1个单位/秒的速度运动，3PQ =，从P 点与D 点重合时开始计时，到Q 点与C 点重合时停止，设运 动时间为t 秒，连结BE EP BQ ､､，在运动过程中，下列4个结论： △当1t =时，BAE BCQ ≌；△只有当53 t =时，以点E D P ､､构成的三角形与BCQ △相似；△四边形EPQB 的周长最小等 于16+△四边形EPQB 的面积最大等于38．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（ ） A ．2 B ．74 C D ．3 6．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，D 、E 为线段AC 上两动点，且30DBE ∠=︒，过点D 、E 分别作AB 、BC 的平行线相交于点F ，分别交BC 、AB 于点H 、G ．现有以下结 论：△ABC S △当点D 与点C 重合时，12FH =；△AE CD +=； △当AE CD =时，四边形BHFG 为菱形，其中正确结论为（ ） A ．△△△ B ．△△△ C ．△△△△ D ．△△△
2021年九年级中考数学一轮复习专题 《四边形综合：动点与相似》高频考点训练(一)
2021年中考数学一轮复习专题《四边形综合：动点与相似》 高频考点训练（一） 1．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE， （1）求证：△DHC≌△CEB； （2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长； （3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，的值为． 2．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a2+b2＝c2． （1）直接填空：如图①，若a＝3，b＝4，则c＝；若a+b＝4，c＝3，则直角三角形的面积是． （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图
形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2． （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8，BC＝10，利用上面的结论求EF的长？ 3．四边形ABCD是矩形，点E是射线BC上一点，连接AC，DE． （1）如图1，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度数； （2）如图2，点E在边BC的延长线上，BE＝AC，若M是DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥MC； （3）如图3，点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F，∠AED＝2∠AEB，AF ＝4，AB＝4，则CE＝．（直接写出结果） 4．如图．正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD运动，运动时间为t秒（t＞0），以AE为一条边，在正方形ABCD左侧作正方形AEFG，连接BF．
九年级初中数学 专题 相似三角形中的最值问题(典型题型)附答案
专题相似三角形中的最值问题 【典型例题】 1．（2020·宁夏永宁·初三月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）． （1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由． 【专题训练】 一、选择题 1．（2020·广东初三三模）如图，在平面直角坐标系中，已知A(-3,-2),B(0,-2),C(-3,0),M是线段AB =+上，则b的最上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M,N在直线y kx b 大值是（）
A ．78 - B ．34 - C ．1- D ．0 2．（2020·江苏宿迁·初三二模）在平面直角坐标系中，已知A （2，4），P （1，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC ，使点C 在x 轴上，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，则PM 的最小值为（ ） A ． 17 2 B ． 17 C ． 455 D ． 5 3．（2020·河南初二期末）如图，Rt ABC ∆中90BAC ︒∠=，BA =9，AC =12，点D 是斜边BC 上一动 点，过点D 分别作DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，点G 为四边形DEAF 对角线交点，则线段GF 的最小值为（ ）． A ． 9 4 B ． 185 C ． 92 D ． 132 4．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90°，BC =2，E 为AB 上任意一动点，以CE 为斜边作等腰Rt △CDE ，连接AD ，下列说法：①∠BCE =∠ACD ；②AC ⊥ED ；③△AED ∽△ECB ；④AD ∥BC ；⑤四边形ABCD 的面积有最大值，且最大值为 32 ．其中，正确的结论是（ ）
二次函数_因动点产生的相似三角形问题典型例题
二次函数-因动点产生的相似三角形问题 【例1】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2 ＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小； （3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 图1 思路点拨 1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小． 2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似． 满分解答 （1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ． 在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°， 所以AH ＝1，OH A (1-． 因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点， 设y ＝ax (x －2)，代入点A (1-，可得 a = 图2 所以抛物线的表达式为2(2)y x x x x = -=． （2）由221)y x x = =-
得抛物线的顶点M 的坐标为(1,3- ．所以tan 3 BOM ∠= ． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°． （3）由A (1-、B (2,0)、M (1,， 得tan ABO ∠，AB =OM = 所以∠ABO ＝30°， OA OM = 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况： ①如图3，当 BA OA BC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当 BC OA BA OM ==时，6BC ===．此时C (8,0)． 图3 图4 考点伸展 在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标． 如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)． 图5
最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)含答案
2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题（相似三 角形问题） 1．如图，抛物线2 y x bx c =-++与x轴的两个交点分别为A（3，0），D（﹣1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标； （3）如图2，过点C作CF∠x轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知，抛物线23 y ax bx =++（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点 C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=1 2 ．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）求证：直线DE是∠ACD外接圆的切线； （3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使 1 2 PAC ACD S S ∆∆ =，求点P的坐标； （4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与∠ACD相似，直接写出点M的坐标．
3．如图∠，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣1 3 x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B， C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P 从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ． （1）填空：b=，c=； （2）在点P，Q运动过程中，∠APQ可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使∠PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由； （4）如图∠，点N的坐标为（﹣3 2 ，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于 直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．
2021年中考数学压轴题专项训练14：相似三角形(含答案)
相似三角形 1．已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1，AD +AC =8． （1）找出图中的一对相似三角形并证明； （2）求AC 长． 【解析】解：（1）△BAD△△BCA ，理由如下： AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1， ∴121 ,=242BD AB AB BC ==， ∴ 1 =2 BD AB AB BC =， 又 △B=△B ， ∴△BAD△△BCA ； （2）由（1）得： 1 =2 AD AC ，即2AC AD =， AD +AC =8， ∴28AD AD +=，解得：83 AD = ， ∴163 AC = ． 2．如图，在ABC ∆中，6AB AC ==，5BC =，D 是AB 上一点，2BD =，E 是BC 上一动点，连接DE ，作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F .
（1）求证：DBE ECF ∆∆； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； 【解析】（1）证明：△AB AC =， △B C ∠=∠； △DEF B ∠=∠，∠+∠=∠+∠CEF DEF B BDE ， △BDE CEF ∠=∠. △DBE ECF ∆∆. （2）△DBE ECF ∆∆（已证）. △::BD CE BE CF =； △F 为AC 的中点，6AC =， △3CF =. 设BE x =，则5CE x =-；又2BD =， △()2:5:3x x -=，解得2x =或3. 故BE 长为2或3. 3．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？ （2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？ 【解析】解：根据物体成像原理知：△LMN△△LBA，△MN LC AB LD =． （1）△像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m， △3550 4.9LD =，解得：LD=7． △拍摄点距离景物7 m． （2）拍摄高度AB是2m的景物，拍摄点离景物LC=4m，像高MN不变，是35mm， △35LC 24 =，解得：LC=70． △相机的焦距应调整为70mm． 4．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若△AFG＝△ACD．
中考数学： 因动点产生的等腰三角形问题(精选大题6例,含13中考,含精细思路点拨, 17页)
1.2因动点产生的等腰三角形问题 例1 2019年上海市虹口区中考模拟第25题 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长； （2）若BP＝2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． 图1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况． 请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况． 思路点拨 1．第（2）题BP＝2分两种情况． 2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系． 3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ． 满分解答 （1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以 315 tan5 44 ED CD C =⋅∠=⨯=， 25 4 EC=． （2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN． 所以 4 3 PM DM QN DN ==．所以 3 4 QN PM =， 4 3 PM QN =．
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--三角形的动点问题(含解析)
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--三角形的动点问题 1．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，BP=cm，BQ=cm； （2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ （3）经过几秒△BPQ的面积等于10 cm2？ 2．如图1，A、B两点的坐标分别为(a,0)，(b,0)，且a、b满足(a+2)2+ |b−8|=0，C的坐标为(3,c) （1）判断△ABC的形状. （2）动点P从点A出发，以1个单位/ s的速度在线段AC上运动，另一动点Q从点C出发，以3个单位/ s的速度在射线CB上运动，运动时间为t. ①如图2，若AC=13，直线PQ交x轴于H，当PH=QH时，求t的值. ②如图3，若c=5，当Q运动到BC中点时，M(3,m)为AQ上一点，连CM，作CN⊥AQ交AB于N.试探究AM和CN的数量关系，并给出证明. 3．如图，OC、AB互相垂直，已知OA=8，OC=6，且AB=AC.
（1）求OB的长； （2）如图②，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t(秒)； ①若△OME的面积为1，求t的值； ②如图③，在点M运动的过程中，△OME能否成为直角三角形?若能，求出此时t的值，并写出相应的OM的长；若不能，请说明理由. 4．已知，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(a，0)， B(b，4)，C(2，c)，BC//x轴，且a、b满足√a+b−1+|2a−b+10|= 0. （1）则a=；b=；c=； （2）如图1，在y轴上是否存在点D，使三角形ABD的面积等于三角形ABC 的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接OC交AB于点M，点N(n，0)在x轴上，若三角形BCM的面积小于三角形BMN的面积，直接写出n的取值范围 是. 5．如图1，△ABC中，CD△AB于D，且AD：BD：CD＝2：3：4，
专题22 因动点产生的直角三角形问题(提优)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(解析版)
专题22 因动点产生的直角三角形问题（提优） 1．如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是抛物线上的一个动点． （1）求直线BD 的解析式； （2）当点P 在第一象限时，求四边形BOCP 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标； （3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使△BDP 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）对于y ＝﹣x 2+2x +3①，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝﹣x 2+2x +3＝0，解得x ＝﹣1或3，进而求解； （2）由四边形BOCP 面积＝S △OBC +S △PHC +S △PHB =1 2×OB •OC +1 2×PH ×OB =1 2×3×3+1 2×3×（﹣x 2+2x +3+x ﹣3）=−3 2 x 2+92 x +92 ，即可求解； （3）分∠PBD 为直角、∠PDB 为直角两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可． 【解答】解：（1）对于y ＝﹣x 2+2x +3①，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝﹣x 2+2x +3＝0，解得x ＝﹣1或3， 故点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）， ∵点D 与点C 关于x 轴对称，故点D （0，﹣3）， 设直线BD 的表达式为y ＝kx +b ，则{b =−30=3k +b ，解得{k =1b =−3， 故直线BD 的表达式为y ＝x ﹣3； （2）连接BC ，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ， 由点B 、C 的坐标，同理可得，直线BC 的表达式为y ＝﹣x +3， 设点P （x ，﹣x 2+2x +3），则点H （x ，﹣x +3）， 则四边形BOCP 面积＝S △OBC +S △PHC +S △PHB =1 2×OB •OC +1 2×PH ×OB =1 2×3×3+1 2×3×（﹣x 2+2x +3+x ﹣3）=−3 2x 2+9 2x +9 2， ∵−3 2＜0，故四边形BOCP 面积存在最大值，
2022年春北师大版九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴解答题》专题训练(附答案)
2022年春北师大版九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴解答题》专题训练（附答案）1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，过点C作CD的垂线交AB的延长线于点E，BF⊥CE于点F． （1）求证：BC平分∠ABF； （2）求证：BC2＝2BF•BD； （3）过点A作AG∥CE交FB的延长线于点G，连结CG，当BG＝，sin∠E＝时，求CG的长． 2．在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，连接BD，AC，直线BD交AC于点E，交OA于点F． （1）特例发现：如图1，若OA＝OB，OC＝OD．推断： ①＝； ②∠BEC的度数为． （2）探究证明：如图2，若＝k，判断的值及∠BEC的度数，并说明理由．（3）拓展延伸：在（2）的条件下：若OA＝6，OB＝8． ①将△OCD绕点O顺时针旋转，使点D与点E第一次重合，如图3，此时sin∠OAC＝， 求OC的长； ②在点D与点E第一次重合后，若将①中得到的△OCD继续顺时针旋转，当点D在△ AOB内部时，如图4，线段BE的长度是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F． （1）如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P． ①求证：AE•AB＝AD•AC； ②求BF的长； （2）如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长． 4．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数； （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线； （3）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
2023年春九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》专题提升训练(附答案)
2023年春九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》专题提升训练（附答案）1．如图在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为点E且点E在AD上，BE交PC于点F．（1）求证：△ABE∽△DEC； （2）当AD＝25时，且AE＜DE时，求tan∠PCB的值； （3）当BP＝9时，求BE•EF的值． 2．如图，在△ABC中，BA＝BC，AB＝kAC．点F在AC上，点E在BF上，BE＝2EF．点D在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE＝180°． （1）求证：∠CAD＝∠EAB； （2）求的值（用含k的式子表示）； （3）如图2，若DH＝AH，求的值（用含k的式子表示）． 3．已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D． （1）在图1中，写出其中两对相似三角形． （2）已知BD＝1，DC＝2，将△CBD绕着点D按顺时针方向进行旋转得到△C'BD，连接AC'，BC． ①如图2，判断AC'与BC之间的位置及数量关系，并证明； ②在旋转过程中，当点A，B，C'在同一直线时，求BC的长．
4．如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（不与点C，D重合），点F在边CB 的延长线上，且AE＝AF，连接EF交AB于点M，交AC于点N． （1）求证：AE⊥AF； （2）若∠BAC＝2∠BAF，求证：AF2＝AM•AB； （3）若CE＝nDE，求的值（用含n的式子表示）． 5．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD 上． （1）求证：△ABF∽△DFE； （2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值； （3）在△ABF中，AF＝5cm，BF＝10cm，动点M从点B出发，在BF边上以每秒2cm 的速度向点F匀速运动，同时动点N从点A出发，在AB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为ts（0≤t≤5），连接MN，若△ABF与以点B，N，M为顶点的三角形相似，求t的值． 6．【基础探究】 如图1，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC． （1）求证：AC平分∠DAB． （2）若AC＝8，AB＝12，则AD＝． 【应用拓展】如图2，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC为对角线，AD•CB ＝DC•AC，E为AB的中点，连结CE、DE，DE与AC交于点F．若CB＝6，CE＝5，请
通用版2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题精选：三角形的动点问题(Word版含答案)
通用版2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题精选：三角形的动点问题 1.如图，在Rt △ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．点P从点C出发沿CA以每秒2个单位的速度向点A运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；在点P出发的同时，点Q从点A出发沿AB 以每秒2个单位的速度向终点B运动．当点Q到达终点时，点P也停止运动．以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM ，使点M与点C在PQ的同侧．设P、Q两点的运动时间为t秒（t>0）． （1）用含t的代数式表示线段BQ的长． （2）当四边形APMQ为轴对称图形时，求t的值． （3）当∠AQM为锐角时，求t的取值范围． （4）当点M与△ABC一个顶点的连线垂直平分PQ时，直接写出t的值． 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且BC，AC，AB是三个连续的偶数，在边AB上取点M，N（点M 在BN之间），使BM＝3AN．点D，E分别是边AC，BC的中点，当点P从点D出发沿DE方向匀速运动到点E时，点Q恰好从点M出发沿BA方向匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，当Q为AB中点时，y=2． （1）求BC，AC，AB的长． （2）求y关于x的函数表达式． （3）①连结PQ，当PQ所在直线与△ABC的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x的值.②过点P作PH⊥AB于点H，当△PQH为等腰三角形时，求x的值.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的 速度沿AC−CB−BA方向绕行△ABC一周，动直线l从AC开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交AB、BC于D、E两点．当点P运动到点A时，直线l也停止运动． （1）求点P到AB的最大距离； （2）当点P在AC上运动时， ①求tan∠PDE的值； ②把△PDE绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点P′落在ED上时，ED的对应线段ED′恰好 与AB垂直，求此时t的值． （3）当点P关于直线DE的对称点为F时，四边形PEFD能否成为菱形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由． ，AB＝10，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上4.如图，已知∠BAC ，且cos∠BAC＝3 5 的动点，且AQ＝BP＝x ，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED ，以线段BP为边在AB 上方作正三角形PBM ． （1）如图2，当点E在射线AC上时，求x的值； （2）如果⊙P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长； （3）如果点E在∠MPB的边上，求AQ的长． 5.如图，△ABC中，AB=AC=8cm，∠BAC′=120° .动点P从点A出发，在AB边上以每秒1cm的速度向终点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，沿BC以每秒√3cm的速度向终点C匀速运动，连接PQ，设运动时间为t（秒）.