课时13-4 最短路径问题 (解析版)-2021-2022学年八年级数学上册练(人教版)

课时13.4 最短路径问题

1．下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）

【答案】见解析

【详解】

试题分析：作出A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与燃气管道的交点即为所求的点P的位置．

试题解析：作点A关于燃气管道的对称点A′，连接A′B交燃气管道于点P，即点P即为所求．

2．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．【答案】见解析

典例及变式

【分析】

作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q，交河边于点P，连接AQ，BP，则AQ＋PQ＋BP是最短路线．

【详解】

如图所示AQ＋PQ＋BP为所求．

【点睛】

本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称−最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键．

3．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径．

【答案】见解析

【解析】

试题分析：根据“两点之间线段最短”，和轴对称最短路径问题解答．

解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ；

（2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP．

最短路线P﹣﹣Q﹣﹣M﹣﹣P．

考点：作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．

4．按要求作图

（1）已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称图形；

（2）如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.请画出最短路径.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【分析】

（1）分别作出点A、B关于直线l对称的点'A、'B，然后连接'A'B即可；

（2）根据将军饮马模型作对称点连线即可.

【详解】

解：（1）如图所示，分别作出点A、B关于直线l对称的点'A、'B，然后连接'A'B；

线段'A'B即为所求作图形.

（2）解: 作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q

++是最短路线．

，交河边于点P，连接AQ，BP，则AQ PQ BP

++为所求.

如图所示，AQ PQ BP

【点睛】

本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和掌握将军饮马模型并运用是解此题的关键．

5．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P 处．请画出旅游船的最短路径（实际行走路径画实线，其它辅助线画虚线）

【答案】详见解析

【分析】

根据“两点之间线段最短”和轴对称最短路径问题解答．

【详解】

（1）两点之间，线段最短，连接PQ；

（2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP，

最短路线P--Q--M--P．

如图所示：

【点睛】

本题考查了作图--应用与设计作图，熟悉轴对称最短路径问题是解题的关键．

6．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（﹣4，1）B（﹣3，3）C（﹣1，2）（1）作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；

（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；

（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P．

【详解】

（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；

（2）作点A 关于x 轴的对称点A″，再连接A″C 交x 轴于点P ，其坐标为（﹣3，0）． 【点睛】 本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题． 7．如图所示，已知点A 是锐角MON 内一点，试分别在,OM ON 上确定,B C 两点，使三角形ABC 的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．

【答案】见详解. 【分析】

要使三角形ABC 的周长最小，即A 、B 、C 三点可转换到一条直线上，即作点A 关于射线OM 、ON 的对称点P 、Q ，连结PQ ，分别交OM 、ON 于点B 、C ，即为所求点. 【详解】

作法：（1）分别作点A 关于射线OM 、ON 的对称点P 、Q ，

（2）连结PQ ，分别交OM 、ON 于点B 、C.

则B 、C 就是所要求的点. 【点睛】

本题的解题关键是将三角形周长最短问题，转换成轴对称问题.

OA OB），OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，8．某班举行文艺晚会，桌子摆成两条直线（,

坐在C处的小明先拿橘子再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计路线，使其行走的总路程最短．（保留作图痕迹）

【答案】见解析

【分析】

作点C关于直线AO的对称点C′，点C关于直线OB的对称点D′，连接C′D′交AO于M，交OB于N，则路线CM-MN-NC即为所求．

【详解】

CM MN NC，此时所走的总路程为C D''的长，总路程最短．

如图所示，小明的行走路线为→→

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，作图-应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．解题的关键是利用了轴对称的性质，两点之间线段最短的性质求解．

9．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．

【答案】见解析

【详解】

试题分析：作出点P关于BC的对称点P′，连接QP′交BC于R，那么△PQR的周长最小

试题解析：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′，