13.4最短路径问题(用)

B A l
（1）两点一线：同侧
B A B
A l
C
C
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A C
l
作法： B′ （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．
B
l B′
(中考)如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作 一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关
于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则
点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知 识或方法是( D ) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
.P
N P2 b
（3）两线两点
牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马， 再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。
草地
.A
.B
河
解决“两线两点”型最短路径问题:
1.先作出第一个点A关于直线l1的对称点A1 ;
2.再作出第二个点B关于直线l2的对称点B1 ;
3.连接A1B1，分别交直线l1 , l2于点P , Q ; 4.依次连接AP ,PQ ,QB ,从而构造出最短路径 。
如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的 同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个 抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建 在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试 在图中确定该点。
B. A.
C
a
B1
知2－练
如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)， 在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，
A1
P
l1
A
.
Q
. B
B1Βιβλιοθήκη l2（4）造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在 河上造一座桥MN.乔造在何处才能使从A到 B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平 行的直线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A Ｍ
Ｎ
B
如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和 ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN， 那么怎样确定什么情况下最短呢？
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？
C A
①D ② ③
E B
两点之间,线段最短
F
（1）两点一线：异侧
如图，点A、B分别是直线 l 异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？
B
C
l
B′
归纳
B A l
解决实 际问题 抽象为数学问题 B A C 轴对称 l
A C
用旧知解决新知
B A C l B′
l
B′
解决“两点一线”型最短路径问题的方法：
异侧: 连接两点，与直线的交点即为所求的点；
同侧:
作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另
一点的连线与直线的交点即为所求的点．
A C
·
问题解决
如图，平移A到A1，使Ａ A1等于河宽，连接A1Ｂ 交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此 时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ 最短.
A
A1
M N
Ｍ１ Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ ≥ AM+MN+BN
则点P的坐标是( C )
A．(－2，0) B．(4，0) C．(2，0) D．(0，0)
B′
（2）两线一点
如图13.4­-5，牧马营地在点P处，每天牧马人要 赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最
后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其所走
的总路程最短． a
.p
b
图13.4-5
解决“两线一点”型最短路径问题:
问题2 归纳
A
抽象为数学问题
N
M B
a b
解决实 际问题
A A' N B M
联想旧知
A
a b
用旧知解决新知
C
l B
小结归纳
B
A A' N B M
A
C
l B′
a b
轴对称 变换
A
C
l B
平移 变换
两点之间，线段最短.
1．如图所示，正方形ABCD的面积为16， △ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内 ，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最 小，求这个最小值。 A P
要作两次轴对称，从而构造出最短路径． P1 M a
.P
N b P2
解决“两线一点”型最短路径问题:
a P1 M
.P
N P2 b
解决“两线一点”型最短路径问题:
要作两次轴对称，从而构造出最短路径． P1 作法： 1.作点P关于直线a的对称 点P1; 2.作点P关于直线b的对称 点P2; 3.连接P1P2，分别交直线 a ，b于点M ,N ; 4.依次连接PM ,MN ,NP , 即所求最短路径。 M a
A C
l
作法： 连接两点与直 线的交点即为 所求的点
两点之间，线段最短.
B
分析：
B
A A C
l
C
l
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？
同侧
轴对称
异侧
引例：牧马人从山脚下的A点出发，走到 河边饮马后，再回到B点宿营。请问怎样走才 能使走的路程最短？
在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此， 线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.
证明：如图. 在直线 l 上任取另一点C′ ， 连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ． A ∵直线 l 是点B、B′的对称轴， C′ 点C、C′在对称轴上， ∴BC=B′C，BC′=B′C′． ∴AC+BC=AC+B′C=AB′． 在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′， ∴AC+BC < AC′+B′C′， 即AC+BC最小．
D
E
C
B