勾股定理常见题型总结
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳 １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， ② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形； ③ 若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：cba HG F EDCBA bacba c ca bcab a bc c baE D CBA221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例 4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积ABC30°DCB A ADBCCB DA21EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =勾股定理练习一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =________。
(完整版)八年级勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。
2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。
②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。
常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。
二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。
勾股定理在数学竞赛中的常见题型
勾股定理在数学竞赛中的常见题型勾股定理作为数学中的一条重要定理，经常在数学竞赛中出现。
它被广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题。
在这篇文章中，我们将介绍勾股定理在数学竞赛中的常见题型，并给出一些解题思路。
一、勾股定理的基本定义勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是描述直角三角形三边关系的定理。
它的基本定义如下：在一个直角三角形中，直角的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
若直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。
二、题型一：已知两边求第三边这是勾股定理中最基本的应用题型之一。
题目给出两条边的长度，要求求解第三条边的长度。
解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。
2. 然后，将已知的两条边的长度代入方程，解出未知的边的长度。
3. 最后，根据题目要求确定解的范围并进行答案验证。
例如，题目给出一个直角三角形的直角边长度分别为3和4，要求求解斜边的长度。
根据勾股定理，可得方程3² + 4² = c²，解得c = 5。
所以答案是5。
三、题型二：已知斜边和一直角边，求另一直角边这个题型要求根据给定的斜边和一直角边的长度，求解另一直角边的长度。
解题思路如下：1. 首先，根据勾股定理可以列出方程：a² + b² = c²。
2. 其次，将已知的直角边和斜边的长度代入方程，并整理得到关于未知边的方程。
3. 最后，解方程得到未知边的长度。
例如，题目给出一个直角三角形的斜边长度为5，一直角边长度为3，要求求解另一直角边的长度。
根据勾股定理，可以得到方程3² + b²= 5²，整理得b² = 25 - 9，解得b = √16 = 4。
所以答案是4。
四、题型三：求直角三角形的面积这个题型要求根据给定的直角三角形两个直角边的长度，求解其面积。
最新人教第17章勾股定理经典题型总结复习课件
⑵求它的面积.
B
A
C
D
6
6
6
3
3
30°
例 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
A
C
D
B
E
第8题图
Ｄ
x
6
x
8-x
4
6
第三组练习: 解决较综合的问题---折叠三角形
如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
1.5米
1.5米
2.2米
1.5米
1.5米
x
x
2.2米
A
B
C
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
AB≈3米
专题六、辅助线思想（构造直角三角形） 例1、如图，已知△ABC中，∠B=450，∠C=300，AB= ，求BC的长？ D
例2、如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。
练习：
x
1m
(x+1)
D
C
在一棵树的10米高处B有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树20米的 池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接 跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过 距离相等，试问这棵树有多高？
B
A
3小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水平线刚好相齐，求河水深度。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型
勾股定理专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (3)1.勾股定理： (3)2.勾股定理的逆定理： (3)3.勾股定理的证明 (3)4.含特殊角的直角三角形三边的关系 (3)5.逆命题与逆定理 (4)三、常考题型 (5)1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长 (5)2. 勾股定理在几何计算中的应用-坐标平面内两点的距离 (6)3. 勾股定理在几何计算中的应用-面积问题 (8)4.构造直角三角形 (9)5.勾股定理的逆定理的应用 (11)四、重难点题型 (14)1.利用勾股定理解计算问题 (14)2勾股数组 (15)3.与线段平方关系有关的证明题 (16)4.矩形和直角三角形中的折叠问题 (18)二、基础知识点1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2注：1）仅在直角三角形中存在勾股定理2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边两直角边的平方和，避免出现这样的错误2.勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是以c为斜边的直角三角形。
注：在同一个三角形中，大边对大角，小角对小边3.勾股定理的证明方法一：方法二：4.含特殊角的直角三角形三边的关系勾股数：1）a=3，b=4，c=52）a=5，b=12，c=13特殊直角三角形①a=x，c=2x，b=√3x②a=x，b=x，c=√2x③AC=x，DC=x，AD=√2x，BD=√2x④AC=x，AF=2x，DC=√3x，BD=2x5.逆命题与逆定理命题与定理命题：判断一件事的语句定理：经过我们一定推理，得到的真命题互逆命题：两个命题的题设、结论正好相反的命题。
若将其中一个叫做原命题，则另一个就是它的逆命题逆定理：若一个定理的逆命题成立，则这个定理与原定理互为逆定理三、常考题型1.勾股定理在几何计算中的应用-求线段的长解析：应用勾股定理，在直角三角形中，“知二求一”。
勾股定理常见题型总结
典型题型题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中,90C ∠=︒．⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=解：⑴10AB =⑵8BC =题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴4AC , 2.4AC BC CD AB⋅== DB A C⑵设两直角边的长分别为3k ,4k ∴222(3)(4)15k k +=,3k ∴=,54S =⑶设两直角边分别为a ,b ,则17a b +=,22289a b +=,可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E,12∠=∠,90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中90,2BED BE ∠=︒=Rt ACD Rt AED ∆≅∆AC AE ∴=在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+,222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案：6题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 mAB C D E分析：根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m在Rt ADE ∆中,由勾股定理得10AD答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =解：①22221.52 6.25a b +=+=,222.5 6.25c ==∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=,22516a =,222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状解：此三角形是直角三角形理由：222()264a b a b ab +=+-=,且264c = 222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证：AB AC =证明：D CB AAD 为中线,5BD DC ∴==cm在ABD ∆中,22169AD BD +=,2169AB =222AD BD AB ∴+=, 90ADB ∴∠=︒,222169AC AD DC ∴=+=,13AC =cm ,AB AC ∴=。
勾股定理必考题型
勾股定理必考题型勾股定理是数学中一项基本且重要的定理，广泛应用于几何与代数问题的解决中。
对于学习数学的人来说，熟练掌握勾股定理及相关题型是必不可少的。
本文将介绍一些与勾股定理相关的必考题型，帮助读者更好地准备数学考试。
一、直角三角形边长求解在考试中，常见的问题是给出一个直角三角形的斜边长以及一条直角边的长度，要求求解另一条直角边的长度。
例如，已知一个直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，要求求解另一条直角边的长度。
解题思路：根据勾股定理可以得到斜边长的平方等于两直角边长的平方和，即a²=b²+c²。
将已知数据代入公式，得到5²=3²+c²，即25=9+c²。
解方程可得c=4，即另一直角边的长度为4。
二、直角三角形判定另一种常见的题型是给出三条边的长度，要求判定其是否能构成一个直角三角形。
例如，给出三条边的长度为3、4、5，要求判定其是否能构成一个直角三角形。
解题思路：将三个边长按照从小到大的顺序排列，即3、4、5。
然后，将最小边的平方与其他两边的平方的和相比较。
如果相等，则构成一个直角三角形。
在本示例中，3²+4²=9+16=25=5²，因此可以判定这三条边能构成一个直角三角形。
三、勾股数求解勾股数是指满足勾股定理的整数解，即满足a²+b²=c²，其中a、b、c 均为整数。
在数学考试中，常常会要求学生求解勾股数。
例如，题目给出一个直角三角形的斜边长为13，要求求解两条直角边的长度。
解题思路：根据题目给出的条件，可得到三个十字数（a、b、c）满足a²+b²=c²。
为了求解满足13²=a²+b²的整数解，我们可以通过穷举法得到。
在这个例子中，我们可以先从1开始尝试，试验直到a或b的平方值超过169。
我们很快就可以发现，3²+4²=9+16=25=5²，符合勾股定理。
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典型题型
题型一：直接考查勾股定理
例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．
⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长
⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长
分析：直接应用勾股定理222a b c +=
解：⑴10AB =
⑵8BC =
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解
解：
⑴4AC ， 2.4AC BC CD AB
⋅=
= D
B A C
⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =
⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得
60ab =1302S ab ∴==2cm
例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长
2
1
E D
C
B
A
分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来
解：作DE AB ⊥于E ，
Q 12∠=∠，90C ∠=︒
∴ 1.5DE CD ==
在BDE ∆中
90,2BED BE ∠=︒=Q
Rt ACD Rt AED ∆≅∆Q
AC AE ∴=
在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒
222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=
例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
答案：6
题型三：实际问题中应用勾股定理
例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m
A
B C D E
分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m
在Rt ADE ∆
中，由勾股定理得10AD ==
答案：10m
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23
c =
解：①22221.52 6.25a b +=+=Q ，222.5 6.25c ==
∴ABC ∆是直角三角形且90C ∠=︒ ②22139b c +=Q ，22516a =，222b c a +≠ABC ∴∆不是直角三角形 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状 解：此三角形是直角三角形
理由：222()264a b a b ab +=+-=Q ，且264c =
222a b c ∴+= 所以此三角形是直角三角形
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =
证明：
D C
B A
AD Q 为中线，5BD DC ∴==cm
在ABD ∆中，22169AD BD +=Q ，2169AB =222AD BD AB ∴+=， 90ADB ∴∠=︒，222169AC AD DC ∴=+=，13AC =cm ，AB AC ∴=。