【2019-2020】数学一轮复习第四章几何初步第5节直角三角形与勾股定理试题

第5题
【答案】3
6．(20xx温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是cm．
图1 图2
第6题
【答案】(32 ＋16)
7．(20xx连云港)如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M．EM交AB于N．若AD＝2．
9．(20xx黄石)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝ 90°．
(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：DE2＝BD2＋CE2：
(2)如图2，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由．
图1 图2
第9题
【答案】解：(1)∵点D关于直线AE的对称点为F，
∵AD⊥AB．∴∠DAH＝30°．
∵点H是AC的中点，∴AH＝ AC＝ ．
∴在△ADH中．AD＝ ＝ ＝2．
∴在△ADB中，根据勾股定理，得
BD＝ ＝ ＝2 ．
(2)如答图1，连接AF，
易证：△DAE≌△ADH(AAS)，∴DH＝AE．
∵∠FDH＝∠FDA－∠HDA＝∠FDA－60°＝(90°－∠FBA)－60°＝30°－∠FBA，
图① 图②
11．(20xx资阳)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD＝CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论：
①△DOE是等腰直角三角形：②∠CDE＝∠COE;③若AC＝1，则四边形CEOD的面积为 ，其中所有正确结论的序号是．
【答案】①②③(提示：①如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°，∴△ADO≌△CEO，∴DO＝OE，∠AOD＝∠COE，∴∠AOC＝ ∠DOE＝90°，∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确．②∵∠DCE＋∠DOE＝180°，∴D、C、E、O四点共圆，∴∠CDE＝∠COE，故②正确．③∵AC＝BC＝1，∴S△ABC＝ ×1×1＝ ，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，
所以，DE2＝BD2＋CE2．
第9题答案图
B组 提高练习
10．(20xx东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝2 ，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于 ( )
A．10B．8C．6或10D．8或10
【答案】C(提示：在图①中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝8；CD＝ ＝ ＝2；∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10．在图②中，由勾股定理，得BD＝ ＝ ＝8；CD＝ ＝ ＝2；∴BC＝BD－CD＝8－2＝6．)
S四边形DCEO＝S△DOC＋S△CEO＝S△CDO＋S△ADO＝S△AOC＝ S△ABC＝ ，故③正确．)
12．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF．连接CF．
(1)观察猜想
如图1．当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：．
数学一轮复习第四章几何初步第5节直角三角形与勾股定理试题
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第五节 直角三角形与勾股定理
课标呈现 指引方向
1．了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
∴EF＝DE，AF＝AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠CAD，
∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
(1)如图1，若点H是AC的中点，AC＝2 ，求AB，BD的长：
(2)如图1，求证：HF＝EF；
(3)如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由，
图1 图2
第4题
【答案】
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2 ，
∴AB＝ ＝ ＝4 ．
【答案】斜边的一半
2．直角三角形的判定：
（1）勾股定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果三角形一边上的中线等于这边的，那么这个三角形是直角三角形．
【答案】一半
3．勾股数：可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）…以及（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（7n，24n，25n）、（8n，15n，17n）…（n为正整数）
A．8B．64C．54D．48
图1 图2
第1题
【答案】C
2．(20xx海南)如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC＝6，那么线段BE的长度为 ( )
A．6B．6 C．2 D．3
第2题
【答案】D
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是 ( )
考点精析 专项突破
考点一 勾股定理和勾股定理的逆定理
【例1】（1）（20xx临沂）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝4，BC＝8，则△ABF的面积为_____________．
【答案】6
解题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，根据勾股定理列出方程是解题的关键．①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B＝90°，AF＝FC；②然后利用勾股定理列方程求出BF的长；③再用三角形面积公式求出三角形的面积．
图1 图2
第4题答案图
中考达标
模拟自测
A组 基础训练
一、选择题
1．(20xx连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6．其中S1＝16，S2＝45 ，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝ ( )
考点二 性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用
【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E．连接AC交DE于点F，点G为AF的中点．∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1．求DE的长．
解题点拨：综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD＝DG＝3．
（2）（20xx武汉）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝ ，则BD的长为___________
【答案】
解题点拨：连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝5 ，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD．则CH＝6，DH＝8，从而在Rt△BHD中易求BD．
鼹：∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，∠CAD＝∠ACB
∵点G为AF的中点，
∴DG＝AG，∴∠GAD＝∠GDA，
∴∠CGD＝2∠CAD，
∵∠ACD＝2∠ACB，
∴∠ACD＝∠CGD，
∴CD＝DG＝3，
在Rt△CED中，DE＝ ＝2 ．
考点三 性质“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用
∴DA＝DC＝DB
∴∠A＝∠1
∵EF∥AB
∴∠2＝∠A
∴∠1＝∠2
∴CF＝EF．
(2)延长FG，交AB于点H
∵EF∥AB
∴∠FEG＝∠GBH
∵G为EB中点
∴EG＝GB
又∵∠FGE＝∠HGB
∴△EFG≌△BHG
∴FG＝GH，EF＝HB＝CF
∴DC－CF＝DB－HB
即DF＝DH
∴DG⊥FG．
第8题答案图
∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2＝CF2＋CE2，
所以，DE2＝BD2＋CE2；
(2)DE2＝BD2＋CE2还能成立．
理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，
由轴对称的性质得，EF＝DE，AF＝AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠CAD，
A．直线的一部分B．圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
第2题
【答案】B
3．(20xx黄冈)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝．
【答案】2 a
第3题
4．(20xx重庆A)如图1，在△ABC中，∠ACB＝ 90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
【例4】(20xx西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝．
【答案】2
解题点拨：作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD．根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．