新2021年高考数学专题讲义第19讲 利用导数研究函数的极值和最值(解析版)
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•导数的概念与运算•利用导数求函数的极值•利用导数求函数的最值•利用导数研究函数的单调性与凸凹性•利用导数求函数的极值与最值的步骤与示例•导数在实际问题中的应用01导数的概念与运算函数在某一点的导数函数在这一点变化率的极限值，记为f'(x)或df/dx(x)。
导数的几何意义函数在某一点处的导数，是该点处曲线切线的斜率。
函数u=g(t)在t=t0处的导数，等于函数y=f(u)在u=g(t0)处的导数乘以g'(t0)。
复合函数的导数复合函数y=f(u)，u=g(x)在x=x0处的导数，等于y=f(u)在u=g(x0)处的导数乘以g'(x0)。
函数y=f(x)在x=x0处的导数，等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。
曲线切线的斜率导数的正负表示曲线在相应点的上升或下降趋势，导数值的大小表示曲线在相应点的变化剧烈程度。
导数与曲线形状导数的几何意义02利用导数求函数的极值极值的定义及计算方法极值点函数在某点处取得极值，则该点称为极值点极值在极值点处取得的函数值称为极值计算方法先求导数，然后求出导数为0的点，再判断这些点是否为极值点常见函数的极值点与极值一次函数：无极值点三角函数：如正弦函数和余弦函数有多个极值点，但不是所有的点都是极值点二次函数：有两个极值点，且在极值点处取得极值幂函数：当指数大于0时，有一个极小值点；当指数小于0时，有一个极大值点最大值和最小值的实际应用利用极值点进行函数的优化利用极值进行函数的插值和拟合极值的应用03利用导数求函数的最值函数在某区间上的最大值和最小值是该区间上函数值的最大和最小值，也是该区间上局部极值。
求导数，找到函数的极值点和区间端点，比较极值点和区间端点的函数值，得到最大和最小值。
最值定义最值计算方法最值的定义及计算方法1函数最值的应用23函数最值的应用广泛，例如在物理、工程、经济等领域中都可以应用。
高中数学讲义：利用导数解函数的最值
函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x £，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D $Î，使得对x D "Î，均满足()()0f x f x ³，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =Î，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z pp =+Î，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ³=，即不等式ln 1x x £-二、典型例题：例1：求函数()x f x xe -=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x \的单调区间为：x (),1-¥()1,+¥'()f x +-()f x Z ]()()max 11f x f e\==，无最小值小炼有话说：函数()xf x xe-=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
高考数学复习知识点讲解课件39---函数的极值、最值
例2 (1)函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为
－29(a>0)，则a，b的值为
A.a＝2，b＝－29
B.a＝3，b＝2
√C.a＝2，b＝3
D.以上都不对
解析 函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减， 由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增， 即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减， 即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值， 则f(0)＝b＝3， 则f(x)＝ax3－6ax2＋3， f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3， 则f(－1)>f(2)， 即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29， 计算得出a＝2，b＝3.
e－2b＋12(a－1)2＝e－a＋12(2b－1)2 化为12(a－1)2－e－a＝12(2b－1)2－e－2b， 即f(a)＝f(2b)⇒a＝2b.
方法三 当a>0时，根据题意画出函数f(x)
的大致图象，如图3所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致
图象，如图4所示，观察可知a>b.
综上，可知必有ab>a2成立.
图3
图2 图4
(2)(2021·湘潭模拟)已知函数 f(x)＝ex－ax2＋2ax 有两个极值点，则 a 的
画出该函数的图象如图1所示，可知x＝1为函数f(x)
的极大值点，满足题意.
从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误；
图1
当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)， 画出该函数的图象如图2所示，可知x＝－1为函数 f(x)的极大值点，满足题意. 从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误.
高考第19课利用导数研究函数的最(极)值.docx
第19课利用导数研究函数的最(极)值【自主学习】第19课利用导数研究函数的最(极)值(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-2P31例2改编)函数f(x)=13x3-4x+13的极大值是，极小值是.【答案】173-5【解析】f'(x)=x2-4，令f'(x)=0，解得x1=-2，x2=2.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：x (-∞，-2)-2(-2，2)2(2，+∞)f'(x) + 0 - 0 +f(x) ↗极大值f(-2) ↘极小值f(2) ↗因此，当x=-2时，f(x)有极大值f(-2)=3；当x=2时，f(x)有极小值f(2)=-5.2.(选修1-1P76练习2改编)已知函数f(x)=x3-x2-x+a，且f(x)的极小值为1，则f(x)的极大值为.【答案】59 27【解析】f'(x)=3x2-2x-1，令f'(x)=0，则x=-13或x=1.当x<-13或x>1时，f'(x)>0；当-13<x<1时，f'(x)<0，所以当x=1时，f(x)取得极小值，当x=-13时，f(x)取得极大值.因为极小值是f(1)=a-1=1，所以a=2，所以f(x)的极大值为f1-3⎛⎫⎪⎝⎭=527+a=5927.3.(选修2-2P33例2改编)函数f(x)=12x+sin x在区间[0，2π]上的最大值为. 【答案】π【解析】f'(x)=12+cos x，x∈[0，2π].令f'(x)=0，解得x1=2π3，x2=4π3.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：由上表可知，函数f(x)=2x+sin x在区间[0，2π]上的最大值为π.4.(选修2-2P34习题8改编)函数y=x+sin x，x∈[0，2π]的值域为. 【答案】[0，2π]【解析】因为y'=1+cos x≥0，所以函数y=x+sin x在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π].5.(选修2-2P34习题7改编)若函数y=3x3-9x+a有两个零点，则实数a= . 【答案】±6【解析】由y'=9x2-9>0，得x>1或x<-1，所以当x=1时，y极小值=a-6；当x=-1时，y极大值=a+6，所以a-6=0或a+6=0，所以a=±6.1.函数的极值若在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有f(x)<f(x0)，则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极大值，记作y极大值=f(x0)；若在x0附近的所有点x，都有f(x)>f(x0)，则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极小值，记作y极小值=f(x0).2.求函数极值的步骤(1)求导数f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的所有实数根；(3)观察在每个根x n附近，从左到右，导函数f'(x)的符号如何变化，若f'(x)的符号由正变负，则f(x n)是极大值；若由负变正，则f(x n)是极小值；若f'(x)的符号在x的两侧附近相同，则x n不是函数f(x)的极值点.n3.函数的最值若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)为函数的最大值，记作y max=f(x0)；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对0于任意的x∈I，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的最小值，记作y min=f(x0).4.求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间[a，b]上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.【要点导学】要点导学各个击破利用导数研究函数的极值例1判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；如果没有极值，请说明理由.(1)y=8x3-12x2+6x+1；(2)y=1-(x-223 ).【思维引导】本题主要应用函数极值的概念和求函数极值的方法求极值.解决本题的关键是先求出导数为零的点，再判断函数在该点的左右邻域的单调性是否相反.【解答】(1)因为y'=24x2-24x+6，令y'=0，即24x2-24x+6=0，解得x=12，当x>12时，y'>0；当x<12时，y'>0，所以此函数无极值.(2)当x≠2时，有y'=-23(x-21-3).当x=2时，y'不存在，因此y'在x=2处不可导.但在x=2处的左右邻域y'均存在，且函数y=f(x)在x=2处连续，故可依据y'在x=2的左右邻域的符号来判断函数在x=2处是否有极值.当x<2时，y'>0；当x>2时，y'<0.故y=f(x)在点x=2处取极大值，且极大值为f(2)=1.无极小值.【精要点评】判断一个函数是否有极值，不能只求解y'=0，根据函数极值的定义，函数在某点处存在极值，则在该点的左右邻域应是单调的，并且单调性应相反.运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导数f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的根；(3)检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.变式已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)e x(x∈R)，其中a∈R.(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠23时，求函数f(x)的单调区间与极值.【思维引导】(1)求出x=1的导数值即可；(2)利用导数的符号判断单调性，同时考虑极值点.【解答】(1)当a=0时，f(x)=x2e x，f'(x)=(x2+2x)e x，故f'(1)=3e，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.(2)f'(x)=[x2+(2+a)x-2a2+4a]e x，令f'(x)=0，解得x=-2a或x=a-2.由a≠23知-2a≠a-2.以下分两种情况讨论.①若a>23时，则-2a<a-2，当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：所以. 函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a)，且f(-2a)=3a e-2a；函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)e a-2.②若a<23时，则-2a>a-2，当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：. 函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)，且f(-2a)=3a e-2a；函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)e a-2.【精要点评】第(2)问中导数符号的判断，关键是看前面二次函数的符号，通过讨论两根大小后，列表判断f'(x)符号及f(x)的单调性，进而判断出极值点，求极值.利用导数研究函数的最值微课4● 问题提出导数在研究函数的极值和最值方面的应用问题是高考的一个热点问题，它涉及内容广泛，可以多角度、多层次地考查分析问题和解决问题的能力.应用类问题中求最值的问题比较多，这与函数的极值联系紧密.利用导数求函数的最大(小)值，其解题流程是怎样的呢?● 典型示例例2已知函数f(x)=x3-ax2-3x.(1)若函数f(x)在区间[2，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x=3是函数f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值和最小值.【思维导图】【规范解答】(1)由题意知f'(x )=3x 2-2ax-3，令f'(x )≥0(x ≥2)，得a ≤31-2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.记t (x )=31-2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当x ≥2时，t (x )是增函数，所以t (x )min =32×12-2⎛⎫ ⎪⎝⎭=94，所以实数a 的取值范围是9-4∞⎛⎤⎥⎝⎦，. (2)由题意得f'(3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4，所以f (x )=x 3-4x 2-3x ，f'(x )=3x 2-8x-3.令f'(x )=0，得x 1=-13(舍去)，x 2=3.当x ∈(1，3)时，f'(x )<0，所以f (x )在(1，3]上为减函数；当x ∈(3，4)时，f'(x )>0，所以f (x )在(3，4]上为增函数.所以当x=3时，f (x )有极小值.于是，当x ∈[1，4]时，f (x )min =f (3)=-18，而f (1)=-6，f (4)=-12，所以f (x )max =f (1)=-6.【精要点评】(1)若函数y=f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f'(x )≥0，其逆命题不成立，因为f'(x )≥0包括f'(x )>0与f'(x )=0，当f'(x )>0时，函数y=f (x )在区间(a ，b )上单调递增，当f'(x )=0时，f (x )在这个区间内为常函数；同理，若函数y=f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f'(x )≤0，其逆命题也不成立.(2)使f'(x )=0的离散的点不影响函数的单调性.● 总结归纳求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：①求f (x )在区间(a ，b )上的极值；②将第一步中所求的极值与f (a )，f (b )比较，得到函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值.● 题组强化1.(2015·江苏模拟)函数f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1，1]上的最大值是 . 【答案】2【解析】f'(x )=3x 2-6x=3x (x-2)，令f'(x )=0，得x=0或x=2(舍去). 当-1<x<0时，f'(x )>0；当0<x<1时，f'(x )<0，所以当x=0时，函数取得的极大值即为最大值，所以f (x )的最大值为2.2.已知a ≤1-x x +ln x 对任意的x ∈122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，恒成立，那么实数a 的最大值为 . 【答案】0【解析】设f (x )=1-x x +ln x ，则f'(x )=2--1x x x ++1x =2-1x x .当x ∈112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，时，f'(x )<0，所以函数f (x )在112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减；当x ∈(1，2]时，f'(x )>0，所以函数f (x )在(1，2]上单调递增，所以f (x )min =f (1)=0，所以a ≤0，即a 的最大值为0.3.(2014·南通期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+b 是曲线y=a ln x 的切线，则当a>0时，实数b 的最小值为 . 【答案】-1【解析】设直线y=x+b 与曲线y=a ln x 相切于点(x 0，x 0+b )，所以y'0|x x ==0a x =1，x 0=a ，a+b=a ln a ，b=a ln a-a.令函数g (a )=a ln a-a (a>0)，当g'(a )=ln a+1-1=ln a=0时，a=1，当0<a<1时，g'(a )<0；当a>1时，g'(a )>0，所以函数g (a )在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，g (a )的最小值为g (1)=-1，所以b 的最小值为-1.4.(2015·广州调研)已知函数f (x )=ax 2-b ln x 在点(1，f (1))处的切线为y=1. (1)求实数a ，b 的值.(2)问：是否存在实数m ，使得当x ∈(0，1]时，函数g (x )=f (x )-x 2+m (x-1)的最小值为0?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解答】(1)因为f (x )=ax 2-b ln x ，其定义域为(0，+∞)，所以f'(x )=2ax-bx .依题意可得(1)1'(1)2-0f a f a b ==⎧⎨==⎩，，解得a=1，b=2.(2)g(x)=f(x)-x2+m(x-1)=m(x-1)-2ln x，x∈(0，1]，所以g'(x)=m-2x=-2mxx.①当m ≤0时，g'(x)<0，则g(x)在(0，1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=0.②当0<m≤2时，g'(x)=2-m xmx⎛⎫⎪⎝⎭≤0，则g(x)在(0，1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=0.③当m>2时，则x∈2m⎛⎫⎪⎝⎭，时，g'(x)<0；x∈21m⎛⎤⎥⎝⎦，时，g'(x)>0，所以g(x)在2m⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在21m⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增，故当x=2m时，g(x)取最小值为g2m⎛⎫⎪⎝⎭.因为g2m⎛⎫⎪⎝⎭<g(1)=0，所以g(x)min≠0.综上所述，存在m满足题意，其取值范围为(-∞，2].最(极)值的综合应用例3设函数f(x)=ax+2，g(x)=a2x2-ln x+2，其中a∈R，x>0.(1)若a=2，求曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程.(2)是否存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立?若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.【思维引导】(1)求出切点坐标和在切点处的导数值即可；(2)移项后构造新函数，利用导数求出其最大值，只要最大值小于等于0即可.【解答】(1)由题意可知，当a=2时，g(x)=4x2-ln x+2，则g'(x)=8x-1 x，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线的斜率k=g'(1)=7，又g(1)=6，所以曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线的方程为y-6=7(x-1)，即y=7x-1.(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)=ax+ln x-a2x2(x>0)，假设存在负数a，使得f(x)≤g(x)对一切正数x都成立，即当x>0时，h(x)的最大值小于等于零.h'(x)=a+1x-2a2x=22-21a x axx++(x>0)，令h'(x)=0，可得x1=-12a，x2=1a(舍去)，当0<x<-12a时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x>-12a时，h'(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)在x=-12a处有极大值，也是最大值.所以h(x)max=h1-2a⎛⎫⎪⎝⎭≤0，解得a≤-3-41e2.所以存在负数a满足题意，它的取值范围为3-41,e2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦.【精要点评】含参不等式恒成立问题常用分离参数法和函数法来处理，此题分离参数比较困难，所以利用函数的方法处理.利用函数处理时有时可以用数形结合的方法来解决，如二次函数等.变式已知函数y=f(x)=x ln x.(1)求函数y=f(x)的图象在x=e处的切线方程；(2)设实数a>0，求函数F(x)=()f xa在区间[a，2a]上的最大值；(3)求证：对一切x∈(0，+∞)，都有ln x>1e x-2e x成立.【思维引导】(1)求出切点及切点处的导数值即可；(2)先判断f(x)的单调性，结合区间[a，2a]，讨论求解；(3)两边乘以x后，左侧构造成f(x)形式，只要证明左侧的最小值大于右侧的最大值，利用导数解决两侧的相关最值.【解答】(1)由题意知f (x )定义域为(0，+∞)，f'(x )=ln x+1，因为f (e)=e ，又因为k=f'(e)=2，所以函数y=f (x )在x=e 处的切线方程为y=2(x-e)+e ，即y=2x-e .(2)F'(x )=1a (ln x+1)，令F'(x )=0，得x=1e ， 当x ∈10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，F'(x )<0，F (x )单调递减；当x ∈1e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，时，F'(x )>0，F (x )单调递增， 故F (x )在[a ，2a ]上的最大值为F (x )max =max{F (a )，F (2a )}.因为F (a )-F (2a )=ln a-2ln 2a=ln 14a ， 所以当0<a ≤14时，F (a )-F (2a )≥0，F (x )max =F (a )=ln a ；当a>14时，F (a )-F (2a )<0，F (x )max =F (2a )=2ln 2a.(3)问题等价于证明x ln x>e xx -2e (x ∈(0，+∞))，由(2)可知f (x )=x ln x (x ∈(0，+∞))的最小值为-1e ，当且仅当x=1e 时取得.设m (x )=e x x -2e (x ∈(0，+∞))，则m'(x )=1-e xx ，易得m (x )max =m (1)=-1e ，当且仅当x=1时取到.所以f (x )>m (x )，从而对一切x ∈(0，+∞)，都有ln x>1e x-2e x 成立. 【精要点评】对第(2)问，因为函数不是二次函数，在x=1e 的两侧不对称，所以如果讨论区间的位置则比较复杂；对第(3)问构造f (x )是解决问题的关键，如果直接移项构造一个新函数来证明，则相对比较复杂.1.(2015·哈尔滨三中)已知x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为.【答案】18【解析】因为x=2是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点，即x=2是f'(x)=3x2-3a=0的根，代入x=2，得a=4，所以函数解析式为f(x)=x3-12x+2，则3x2-12=0，即x=±2，故函数在(-2，2)上是减函数，在(-∞，-2)，(2，+∞)上是增函数，由此可知当x=-2时，函数f(x)取得极大值f(-2)=18.2.(2014·常州模拟)若函数f(x)=21x ax++在x=1处取得极值，则实数a= .【答案】3【解析】f'(x)=222(1)-()(1)x x x ax+++=222-(1)x x ax++，由题意得f'(1)=0，即3-4a=0，解得a=3.3.(2015·全国卷)设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是.【答案】31 2e⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】设g(x)=e x(2x-1)，y=ax-a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g'(x)=e x(2x+1)，所以当x<-12时，g'(x)<0；当x>-12时，g'(x)>0，所以当x=-12时，g(x)min=-21-2e.(第3题)如图，当x=0时，g (0)=-1，当x=1时，g (1)=e >0，直线y=ax-a 恒过点(1，0)且斜率为a ，故-a>g (0)=-1，且g (-1)=-3e -1≥-a-a ，解得32e ≤a<1.4.(2014·陕西卷)设函数f (x )=ln x+mx ，m ∈R . (1)当m=e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )=f'(x )-3x的零点个数. 【解答】(1)当m=e 时，f (x )=ln x+ex ，f'(x )=2-e x x .x ∈(0，+∞).当x ∈(0，e)时，f'(x )<0， 所以f (x )在(0，e)上单调递减； 当x ∈(e ，+∞)时，f'(x )>0， 所以f (x )在(e ，+∞)上单调递增. 所以当x=e 时，f (x )取得极小值f (e)=2.(2)g (x )=f'(x )-3x =1x -2m x -3x(x>0)， 令g (x )=0，得m=-13x 3+x (x>0). 设φ(x )=-13x 3+x (x ≥0)，则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)，当x∈(0，1)时，φ'(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，+∞)时，φ'(x)<0，φ(x)在(1，+∞)上单调递减，所以x=1是φ(x)唯一的极大值点，因此x=1也是φ(x)的最大值点.所以φ(x)的最大值为φ(1)=2 3.又φ(0)=0，结合y=φ(x)的大致图象如图所示，由图可知：(第4题)①当m>23时，函数g(x)无零点；②当m=23时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0<m<23时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点.综上所述，当m>23时，函数g(x)无零点；当m=23或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0<m<23时，函数g(x)有两个零点.5.(2016·苏北四市期中)已知函数f(x)=cos x+ax2-1，a∈R.(1)求证：函数f(x)是偶函数；(2)当a=1，求函数f(x)在[-π，π]上的最大值和最小值. 【解答】(1)函数f(x)的定义域为R，因为f(-x)=cos(-x)+a(-x)2-1=cos x+ax2-1=f(x)，所以函数f(x)是偶函数.(2)当a=1时，f(x)=cos x+x2-1，则f'(x)=-sin x+2x，令g(x)=f'(x)=-sin x+2x，则g'(x)=-cos x+2>0，所以f'(x)是增函数.又f'(0)=0，所以f'(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数.又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[-π，π]上的最大值为π2-2，最小值为0.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第37~38页.【检测与评估】第19课利用导数研究函数的最(极)值一、填空题1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10，那么ab= .2.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9，且f(x)在x=-3处取得极值，那么实数a= .3.(2015·陕西卷)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为.4.若函数f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在(0，2)内的极大值为最大值，则实数m的取值范围是.5.已知函数f(x)=x3-ax2+3ax+1在区间(-∞，+∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是.6.已知函数f(x)=13x3+a2x2+ax+b，且当x=-1时，函数f(x)的极值为-712，那么f(2)= .7.(2015·中华中学)函数y =21sin x +24cos 1x +(x ∈(0，π))的最小值为 .8.(2014·厦门模拟)已知函数f (x )=22e 1x x +，g (x )=2e e xx，对任意的x 1，x 2∈(0，+∞)，不等式1()g x k ≤2()1f x k +恒成立，则正数k 的取值范围是 . 二、 解答题9.已知f (x )=a ln x +12x +32x +1，其中a ∈R ，曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值.10.(2015·如东中学)设f (x )=-13x 3+12x 2+2ax .(1)若f (x )在23∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上存在单调增区间，求实数a 的取值范围； (2)当0<a <2时，若f (x )在[1，4]上的最小值为-163，求f (x )在该区间上的最大值. 11.(2014·北京卷)已知函数f (x )=2x 3-3x . (1)求f (x )在区间[-2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t )存在3条直线与曲线y =f (x )相切，求实数t 的取值范围. 三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义在实数集上的函数f (x )=x 2+x ，g (x )=13x 3-2x +m . (1)求函数f (x )的图象在x =1处的切线方程；(2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈[-4，4]恒成立，求实数m 的取值范围.【检测与评估答案】第19课 利用导数研究函数的最(极)值1.-23 【解析】因为f'(x )=3x 2+2ax+b ，由题意知'(1)0(1)10f f =⎧⎨=⎩，，即23201--710a b a b a a ++=⎧⎨++=⎩，，解得-21a b =⎧⎨=⎩，或-69.a b =⎧⎨=⎩，经检验，只有-69a b =⎧⎨=⎩，满足题意，故a b =-23. 2. 5 【解析】f'(x )=3x 2+2ax+3，当x=-3时，f'(x )=0，所以a=5.3.y=-1e 【解析】f'(x )=(1+x )e x ，令f '(x )=0，得x=-1，此时f (-1)=-1e ，所以函数y=x e x 在其极值点处的切线方程为y=-1e .4. (0，3) 【解析】f'(x )=-3x 2+2mx=x (-3x+2m ).令f'(x )=0，得x=0或x=23m.因为x ∈(0，2)，所以0<23m<2，所以0<m<3.5.(-∞，0)∪(9，+∞) 【解析】因为f'(x )=3x 2-2ax+3a ，所以Δ=4a 2-36a>0，即a<0或a>9.6.53 【解析】f'(x )=x 2+2a 2x+a ，由题意得'(-1)07(-1)-12f f =⎧⎪⎨=⎪⎩，，即222--101-04a a a a b ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，，解得11-4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或1-2-1.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，经验证，当11-4a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，时，f (x )在x=-1处没有极值，舍去，故f (x )=13x 3+14x 2-12x-1，所以f (2)=53.7.92 【解析】令sin 2x=t ，由x ∈(0，π)知t ∈(0，1]，则函数y=1t +42-t =1t -4-2t ，y'=-21t +24(-2)t =22(2)(3-2)(-2)t t t t +，当0<t<23时，y'<0；当23<t ≤1时，y'>0.故当t=23时，y min =92.8.[1，+∞) 【解析】因为k 为正数，所以对任意的x 1，x 2∈(0，+∞)，不等式1()g x k ≤2()1f x k +恒成立⇒max ()g x k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤min ()1f x k ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦.令g'(x )=0，即2e (1-)e x x =0，得x=1，当x ∈(0，1)时，g'(x )>0；当x ∈(1，+∞)时，g'(x )<0，所以max ()g x k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=(1)g k =e k .同理，令f'(x )=0，即222e -1x x =0，得x=1e ，当x ∈10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，f'(x )<0；当x ∈1e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，时，f'(x )>0，所以min ()1f x k ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=1e 1f k ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=2e 1k +，所以e k ≤2e 1k +，又k>0，所以k ≥1.9.(1)f'(x )=a x -212x +32.由于曲线y=f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线的斜率为0，即f'(1)=0，从而a-12+32=0，解得a=-1.(2)由(1)知f (x )=-ln x+12x +32x+1(x>0)，f'(x )=-1x -212x +32=223-2-12x x x =2(31)(-1)2x x x +. 令f'(x )=0，解得x=1.当x ∈(0，1)时，f'(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，+∞)时，f'(x )>0，f (x )单调递增. 故f (x )在x=1处取得极小值f (1)=3.10.(1) 因为f (x )=-13x 3+12x 2+2ax ， 所以f'(x )=-x 2+x+2a.又f (x )在23∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上存在增区间.所以f'(x)>0在23∞⎛⎫+⎪⎝⎭，上有解.又f'(x)=-x2+x+2a的对称轴方程为x=12，所以f'(x)在12∞⎛⎫+⎪⎝⎭，上单调递减，所以在23∞⎛⎫+⎪⎝⎭，上，f'(x)<f'23⎛⎫⎪⎝⎭=29+2a，由题意知29+2a>0，即a∈1-9∞⎛⎫+⎪⎝⎭，.(2) f'(x)=-x2+x+2a，当0<a<2时，Δ=1+8a>0，所以f'(x)=-x2+x+2a=0有两个不相等的实数根x1，x2，则x1=-2，x 2=(舍去).由题知x1=-2∈[1，4]，所以当x∈(1，x1)时，f'(x)>0；当x∈(x1，4)时，f'(x)<0，所以当x=1或4时，f(x)取最小值.又f(1)=2a+16，f(4)=8a-403.因为a∈(0，2)，所以f(4)<f(1)，所以f(x)min=f(4)=8a-403=-163，解得a=1.所以x1==2，f(x)max =f(2)=103.11.(1)因为f(x)=2x3-3x，所以f'(x)=6x2-3.令f'(x )=0，得x=-2或x=2.因为f (-2)=-10，f -2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭f2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，f (1)=-1， 所以f (x )在区间[-2，1]上的最大值为f-2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y=f (x )相切于点(x 0，y 0)， 则y 0=23x -3x 0，且切线斜率k=620x -3，所以切线方程为y-y 0=(620x -3)(x-x 0)，因此t-y 0=(620x -3)(1-x 0)， 整理得430x -620x +t+3=0.设g (x )=4x 3-6x 2+t+3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同的零点”.g'(x )=12x 2-12x=12x (x-1).当x 变化时，g'(x )与g (x )的变化情况如下表：作出g (x )(0)30(1)10g t g t =+>⎧⎨=+<⎩，，解得-3<t<-1. 故实数t 的取值范围是(-3，-1).& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷(第11题)12.(1) 因为f (x )=x 2+x ，所以当x=1时，f (1)=2.因为f'(x )=2x+1，则f'(1)=3.所以所求切线方程为y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0.(2) 令h (x )=g (x )-f (x )=13x 3-x 2-3x+m ，则h'(x )=(x-3)(x+1)， 因此，当-4<x<-1时，h'(x )>0；当-1<x<3时，h'(x )<0；当3<x<4时，h'(x )>0，要使f (x )≥g (x )恒成立，即h (x )max ≤0.由以上分析知h (x )的最大值在x=-1或x=4处取得.又h (-1)=m+53，h (4)=m-203，所以h (x )max =m+53.令m+53≤0，得m ≤-53，所以实数m 的取值范围是5--3∞⎛⎤ ⎥⎝⎦，.。
2021版江苏高考数学复习讲义：利用导数解决函数的极值、最值含答案
－1e［因为y＝x e x、所以y′＝e x＋x e x＝(1＋x)e x.当x＞－1时、y′＞0；当x＜－1时、y′＜0、所以当x＝－1时函数取得最小值、且y min＝－1e .］4.函数f(x)＝x－a ln x(a＞0)的极小值为.a－a ln a［因为f(x)＝x－a ln x(a＞0)、所以f(x)的定义域为(0、＋∞)、f′(x)＝1－ax(a＞0)、由f′(x)＝0、解得x＝a.当x∈(0、a)时、f′(x)＜0；当x∈(a、＋∞)时、f′(x)＞0、所以函数f(x)在x＝a处取得极小值、且极小值为f(a)＝a－a ln a.］考点1利用导数解决函数的极值问题A ［因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1、所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝［x 2＋(a ＋2)x ＋a －1］e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点、所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根、所以a ＝－1、f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x－1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )＞0、解得x ＜－2或x ＞1、令f ′(x )＜0、解得－2＜x ＜1、所以f (x )在(－∞、－2)上单调递增、在(－2,1)上单调递减、在(1、＋∞)上单调递增、所以当x ＝1时、f (x )取得极小值、且f (x )极小值＝f (1)＝－1.］2.已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值、则实数c 的值为( ) A.6 B.2 C.2或6D.0B ［由f ′(2)＝0可得c ＝2或6.当c ＝2时、结合图象(图略)可知函数先增后减再增、在x ＝2处取得极小值；当c ＝6时、结合图象(图略)可知、函数在x ＝2处取得极大值.故选B.］3.(20xx·××市质量监测)若函数f (x )＝(x 2＋ax ＋3)e x 在(0、＋∞)内有且仅有一个极值点、则实数a 的取值范围是( )A.(－∞、－22］B.(－∞、－22)C.(－∞、－3］D.(－∞、－3)C ［f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋3)e x ＝［x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3］e x 、令g (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3.由题意知、g (x )在(0、＋∞)内先减后增或先增后减、结合函数g (x )的图象特征知、⎩⎨⎧－a ＋22＞0，a ＋3≤0，或⎩⎨⎧－a ＋22≤0，a ＋3＜0，解得a ≤－3.故选C.］考点2 用导数求函数的最值单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.(2)①当0＜1a≤1、即a ≥1时、函数f (x )在区间［1,2］上是减函数、 所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2、即0＜a ≤12时、函数f (x )在区间［1,2］上是增函数、所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1＜1a ＜2、即12＜a ＜1时、 函数f (x )在上是增函数、在上是减函数.又f (2)－f (1)＝ln 2－a 、所以当12＜a ＜ln 2时、最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a ＜1时、最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知、当0＜a ＜ln 2时、函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ； 当a ≥ln 2时、函数f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .(20xx·郑州模拟)已知函数f(x)＝1－xx＋k ln x、k＜1e、求函数f(x)在上的最大值和最小值.［解］f′(x)＝－x－（1－x）x2＋kx＝kx－1x2.①若k＝0、则f′(x)＝－1x2在上恒有f′(x)＜0、所以f(x)在上单调递减.②若k≠0、则f′(x)＝kx－1x2＝k⎝⎛⎭⎪⎫x－1kx2.(ⅰ)若k＜0、则在上恒有k⎝⎛⎭⎪⎫x－1kx2＜0.所以f(x)在上单调递减、(ⅱ)若k＞0、由k＜1 e 、得1k＞e、则x－1k＜0在上恒成立、所以k⎝⎛⎭⎪⎫x－1kx2＜0、所以f(x)在上单调递减.综上、当k＜1e时、f(x)在上单调递减、所以f(x)min＝f(e)＝1e＋k－1、f(x)max＝f⎝⎛⎭⎪⎫1e＝e－k－1.考点3利用导数研究生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系、列出实际问题的数学模型、写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x).(2)求函数的导数f′(x)、解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小、最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题、结合实际问题作答.某商场销售某种商品的经验表明、该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2、其中3＜x＜6、a为常数.已知销售价格为5元/千克时、每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克、试确定销售价格x的值、使商场每日销售该商品所获得的利润最大.［解］(1)因为当x＝5时、y＝11、所以a2＋10＝11、解得a＝2.(2)由(1)可知、该商品每日的销售量为y＝2x－3＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.则f′(x)＝10［(x－6)2＋2(x－3)(x－6)］＝30(x－4)(x－6).。
利用导数研究函数的极值和最值(PPT课件)
3 2 f ( x ) x ax 3x . 例题：已知函数
(1)若函数f(x)在区间[2，+∞)上是增函 数，求实数a的取值范围； (2)若x=3是函数f(x)的极值点，求f(x)在 [1，a]上的最大值和最小值.
思维导图：
易错分析： 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的 不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区 间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2， ＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响 函数的单调性．
总结归纳: 1.求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤： ①求f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将第一步中所求的极值与f(a)，f(b)比较，得到函 数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值. 2.当f(x)为连续函数且在[a，b]上单调，其最大值与最 小值在端点处取得. 3.当连续函数f(x)在区间(a，b)内只有一个可疑点时， 若在这一点处有极大值（极小值），则可断定f(x)在 该点处取得最大值（最小值），这里(a，b)也可以是 无穷区间.
规范解答：
(1)由题意知f'(x)= 3x 2 3 ， 3 1 2 ax 3 1 x x .记t(x)= 令f'(x)≥0(x≥2)，得a≤ 2 2 9 x ， x 当x≥2时，t(x)是增函数，所以t(x)min= 4 ， 9 - ， . 所以实数a的取值范围是 4 (2)由题意得f'(3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4， x f'(x)= 3x 2 8x 3 . 所以f(x)= x3 4 x 2 3， 1 令f'(x)=0，得 x1 3 (舍去)， x2 . 3 当x∈(1，3)时，f'(x)<0，所以f(x)在(1，3]上为减函数； 当x∈(3，4)时，f'(x)>0，所以f(x)在(3，4]上为增函数. 所以当x=3时，f(x)有极小值. 于是，当x∈[1，4]时，f(x)min=f(3)=-18， 而f(1)=-6，f(4)=-12，所以f(x)max=f(1)=-6.
第3节利用导数研究函数的极值、最值--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
高考总复习2025第3节 利用导数研究函数的极值、最值课标解读1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3.体会导数与极值、最大(小)值的关系.1 强基础 固本增分知识梳理1.函数的极值与导数函数极值反映的是函数局部的性质 前提取得极值的条件y =f (x )的图象极值极值点设函数y =f (x )在区间(a ,b )内有定义,x 0是区间(a ,b )内的一个点,点x 0附近的函数值都 或______ f (x 0)(即f (x )≥f (x 0)) f '(x 0)=0f '(x )在x 0两侧的符号为f (x 0)为函数y =f (x )的一个 x 0为函数y =f (x )的一个 大于 等于左负右正极小值极小值点前提取得极值的条件y =f (x )的图象极值极值点设函数y =f (x )在区间(a ,b )内有定义,x 0是区间(a ,b )内的一个点,点x 0附近的函数值都_____ 或 f (x 0)(即f (x )≤f (x 0))f '(x 0)=0f '(x )在x 0两侧的符号为 f (x 0)为函数y =f (x )的一个 x 0为函数y =f (x )的一个 小于等于左正右负极大值极大值点微点拨对函数极值的理解(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的极值点.(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有极大值又有极小值.微思考若函数f(x)可导,则当f'(x0)=0时,f(x)一定在x=x0处取得极值吗?提示不一定.f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取得极值的必要而不充分条件,例如f(x)=x3,满足f'(0)=0,但f(x)=x3在x=0处不取得极值.2.函数的最值与导数 反映的是函数整体的性质(1)一般地,如果在区间[a ,b ]上函数y =f (x )的图象是一条 的曲线,那么该函数在[a ,b ]上必有最大值和最小值.(2)一般地,求函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y =f (x )在区间(a ,b )内的 ; ②将函数y =f (x )的各极值与端点处的函数值 比较,其中最大者是 ,最小者是 .连续不断 极值最大值f (a ),f (b ) 最小值微点拨对函数最值的理解(1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一性,即只能有一个最大(小)值;(2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在区间端点处取得;(3)函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值;(4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大值;若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最大值、最小值.常用结论1.有极值的函数一定不是单调函数.2.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+c x+d(a≠0),其导数f'(x)=3ax2+2bx+c,方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12a c,有以下结论:Δ>0函数f(x)在R上存在极值(既有极大值又有极小值)函数f(x)在R上不是单调函数Δ≤0函数f(x)在R上不存在极值函数f(x)在R上是单调函数(单调递增或单调递减)自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.一个函数的极大值一定比极小值大.( )2.函数在闭区间上的最值一定在端点处取得.( )3.函数在开区间上的最值一定是相应的极值.( )× × √题组二回源教材4.(湘教版选择性必修第二册1.3.2节练习第2题改编)已知函数11 f(x)=x3+3m x2+n x+m2在x=-1处有极值0,则m+n= .当m=1,n=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立,函数f(x)在R上单调递增,无极值,与题意不符,舍去.当m=2,n=9时,符合题意.所以m+n=2+9=11.5.(湘教版选择性必修第二册1.3.3节练习第2题改编)函数 在4区间[0,3]上的最大值是 ,最小值是 .解析f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x=2或x=-2(舍去).当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,3)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.题组三连线高考B7.(2021·全国乙,文12)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )D A.a<b B.a>bC.ab<a2D.ab>a218.(2021·新高考Ⅰ,15)函数f(x)=|2x-1|-2l n x的最小值为 .2 研考点 精准突破考点一 利用导数研究函数的极值(多考向探究预测)考向1求函数的极值(极值点)B例1(1)设函数f(x)=2l n x-x2,则( )A.x=e为极大值点B.x =1为极大值点C.x=1为极小值点D.无极值点时,f'(x)<0,当0<x<1时,f'(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故x=1是极大值点,故选B.A0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,且极小值f(1)=e-3,故选A.考向2已知极值(极值点)求参数值(范围)例2(1)(2024·安徽合肥模拟)函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极小值0,则a+b=( )DA.7B.6C.5D.11解析因为f(x)=x3+3ax2+bx+a2,所以f'(x)=3x2+6ax+b,由题意可知当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,函数f(x)为R上的增函数,此时f(x)无极值,不合题意;当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),令f'(x)>0,得x<-3或x>-1,令f'(x)<0,得-3<x<-1,所以f(x)在(-∞,-3)和(-1,+∞)上单调递增,在(-3,-1)内单调递减,所以f(x)在x=-1处取得极小值,符合题意.综上所(2)(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)的导函数g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是D函数f(x)的极值点,则实数a的值为( )A.-1B.0C.1D.2解析由题意f'(x)=g(x)=(x-1)(x2-3x+a),若1不是函数f(x)的极值点,设h(x)=x2-3x+a,则h(1)=0,即1-3+a=0⇒a=2,当a=2时,f'(x)=(x-1)(x2-3x+2)=(x-1)2(x-2),故当x>2时,f'(x)>0;当x<2且x≠1时,f'(x)<0,因此x=2是f(x)的极值点,1不是极值点,所以a=2满足题意,故选D.(3)(多选题)(2023·新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=a l n x+ (a≠0)既有极大值BCD也有极小值,则( )A.b c>0B.ab>0C.b2+8a c>0D.a c<0变式探究1(变条件)本例(2)中,其他条件不变,将“若1不是函数f(x)的极值点”改为“若-1-4 是函数f(x)的极值点”,则实数a的值为 .解析由于-1是函数f(x)的极值点,所以f'(-1)=g(-1)=0,即(-1-1)(1+3+a)=0,解得a=-4,此时f'(x)=(x-1)(x2-3x-4)=(x-1)(x+1)(x-4),经验证符合题意,故实数a 的值为-4.变式探究2(变条件变结论)本例(2)中,其他条件不变,将“若1不是函数f(x)的极值点”改(-∞,2) 为“若1是函数f(x)的极大值点”,则实数a的取值范围为 .解析由题意f'(x)=(x-1)(x2-3x+a),令h(x)=x2-3x+a,当h(x)≥0恒成立时,有Δ=9-4a≤0,则a ,此时,若x∈(-∞,1),则f'(x)<0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以1是f(x)的极小值点,不合题意;设h(x)=x2-3x+a=0的两个实数根分别为x1,x2,且x1<x2,由题意知x1<1<x2.即 解得a<2,此时f'(x)=(x-x1)(x-1)(x-x2),当x∈(x1,1)时, f'(x)>0,当x∈(1,x2)时,f'(x)<0,所以x=1是f(x)的极大值点,符合题意.所以实数a的取值范围为(-∞,2).考点二利用导数研究函数的最值(多考向探究预测)考向1求函数的最值例3(1)已知x=1是函数f(x)=ax3-3x的一个极值点,其中a为实数,则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为( )CA.0B.1C.2D.3解析f'(x)=3ax2-3,因为x=1是y=f(x)的一个极值点,所以f'(1)=3a-3=0,解得a=1,则f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-2,2].当x∈(-2,-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,符合题意,所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=-1+3=2,又f(2)=23-3×2=2,所以函数f(x)在[-2,2]上的最大值为2,故选C.(2)(2024·河北邢台模拟)函数f(x)= +x-l n x 的最小值为( )BA.eB.e+1C.1D.e-1x>0,所以e x+x>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)内单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值且极小值为最小值,故f(x)的最小值为f(x)min=f(1)=e+1,故选B.考向2根据函数的最值求参数值(范围)BD[对点训练1]若函数f(x)= x3+x2-2在区间(a-4,a)上存在最小值,则整数a的{1,2,3} 取值集合是 .因为函数f(x)在区间(a-4,a)上存在最小值,解得1≤a<4,所以整数a的取值集合为{1,2,3}.考点三 利用导数解决实际问题例5从商业化书店到公益性城市书房,再到“会呼吸的文化森林”——图书馆,建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直是大众的共同心声.现有一块不规则的地,其平面图形如图1所示,A C=8,建立如图2所示的平面直角坐标系,将曲线AB 看成函数f (x )= 图象的一部分,B C 为一次函数图象的一部分,若在此块地上建立一座图书馆,平面图为直角梯形CDE F (如图2),则图书馆占地面积的最大值为( )图1D设线段BC对应的函数解析式为y=mx+n(4≤x≤8),因为直线BC经过点B(4,4),C(8,0),所以m=-1,n=8,所以y=-x+8(4≤x≤8).[对点训练2](2024·福建厦门模拟)某城市举办花市,如图,有一块半径为20米,圆心角∠A O B= 的扇形展示台,展示台分成了四个区域:三角形OCD摆放菊花“泥金香”,弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”,扇形A OC和扇形B OD(其中∠A OC=∠B OD)摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:泥金香50元/平方米,紫龙卧雪30元/平方米,朱砂红霜40元/平方米,则当∠COD= 时,日效益总量达到最大值.。
新高考数学复习考点知识讲义课件19---导数与函数的极值、最值
其图象如图所示，故
1 a<8.
题型二 利用导数求函数的最值
例4 已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R). (1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；
解 ∵a＝1，∴g(x)＝ln x＋x2－3x， ∴g′(x)＝1x＋2x－3＝2x－1xx－1， ∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0， ∴g(x)在[1，e]上单调递增， ∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1.
函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域. ②求导数f′(x). ③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根. ④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定 系数法求解. ②验证：求解后验证根的合理性.
在a2，e上单调递增，h(a)＝ga2＝aln a2－14a2－a； ③当a2≥e，即 a≥2e 时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋
e2－2e.
－a－1，a≤2，
综上，h(a)＝aln
a2－14a2－a，2<a<2e，
1－ea＋e2－2e，a≥2e.
思维升华
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值， 一个为最小值. (2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值， 再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成. (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或 最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. (4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还 要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然 后借助图象观察得到函数的最值.
高考数学 导数与函数的单调性、极值与最值 教案 含解析题
第二节 导数在研究函数中的应用第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值知识点一 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上单调递增． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上单调递减． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间上是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间．[提醒] (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． (3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．[重温经典]1.(多选·教材改编题)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( ) A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数 B ．在区间(2,3)上f (x )是减函数 C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数 D ．当x ＝2时，f (x )取到极大值 答案：BCD2．(教材改编题)函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1] D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)答案：A3．(易错题)若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，13C.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.4．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.5．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)6．设函数f (x )在(a ，b )上的导函数为f ′(x )，f ′(x )在(a ，b )上的导函数为f ″(x )，若在(a ，b )上，f ″(x )<0恒成立，则称函数f (x )在(a ，b )上为“凸函数”．已知f (x )＝x 44－t 3x 3＋32x 2在(1,4)上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 44－t 3x 3＋32x 2可得f ′(x )＝x 3－tx 2＋3x ，f ″(x )＝3x 2－2tx ＋3，∵f (x )在(1,4)上为“凸函数”，∴x ∈(1,4)时，3x 2－2tx ＋3<0恒成立，∴t >32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 恒成立． 令g (x )＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，∵g (x )在(1,4)上单调递增， ∴t ≥g (4)＝518.∴实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫518，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫518，＋∞知识点二 利用导数研究函数的极值 1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值． 2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．[提醒] (1)极值点不是点，若函数f (x )在x 1处取得极大值，则x 1为极大值点，极大值为f (x 1)；在x 2处取得极小值，则x 2为极小值点，极小值为f (x 2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．(3)f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的必要而非充分条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[重温经典]1．(多选)(2021·福州模拟)下列函数中，存在极值点的是( ) A ．y ＝x －1xB ．y ＝2|x |C ．y ＝－2x 3－xD ．y ＝x ln x解析：选BD 由题意函数y ＝x －1x ，则y ′＝1＋1x2＞0，所以函数y ＝x －1x 在(－∞，0)，(0，＋∞)内单调递增，没有极值点；函数y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，2－x ，x ＜0，根据指数函数的图象与性质可得，当x ＜0时，函数y ＝2|x |单调递减，当x ＞0时，函数y ＝2|x |单调递增，所以函数y ＝2|x |在x ＝0处取得极小值；函数y ＝－2x 3－x ，则y ′＝－6x 2－1＜0，所以函数y ＝－2x 3－x 在R 上单调递减，没有极值点；函数y ＝x ln x ，则y ′＝ln x ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，y ′＜0，函数单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，y ′＞0，函数单调递增，当x ＝1e 时，函数取得极小值，故选B 、D.2．(教材改编题)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点．3．(教材改编题)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.4．(多选)材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f(x)＝x x(x＞0)，我们可以作变形：f(x)＝x x＝eln x x＝e x ln x＝e t(t＝x ln x)，所以f(x)可看作是由函数f(t)＝e t和g(x)＝x ln x复合而成的，即f(x)＝x x(x＞0)为初等函数．根据以上材料，对于初等函数h(x)＝x 1x(x＞0)的说法正确的是()A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值e 1 e解析：选AD根据材料知：h(x)＝x 1x＝e1ln xx＝e1ln xx，所以h′(x)＝e 1ln xx·⎝⎛⎭⎫1x ln x′＝e1ln xx·⎝⎛⎭⎫－1x2ln x＋1x2＝1x2e1ln xx(1－ln x)，令h′(x)＝0得x＝e，当0＜x＜e时，h′(x)＞0，此时函数h(x)单调递增；当x＞e时，h′(x)＜0，此时函数h(x)单调递减．所以h(x)有极大值且为h(e)＝e 1e，无极小值．5．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________．解析：由函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x可得f′(x)＝(2x＋a)e x＋(x2＋ax－1)e x，因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)e x.令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.当x<－2或x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当－2<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)为减函数，所以当x＝1时函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝(12－1－1)×e1＝－e.答案：0－e6．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2<x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2<0，解得2<a<6.答案：(2,6)知识点三 函数的最值1．在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．2．若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[提醒] 求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论，这种做法是错误的．[重温经典]1．(教材改编题)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－eD ．0解析：选B 因为f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝ln 1－1＝－1.2．(教材改编题)函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值解析：选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D. 3．(教材改编题)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________． 答案：3＋π64．(易错题)已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________． 答案：(－4，－2)5．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最小值为________． 解析：f ′(x )＝e －x －x e －x ＝e －x (1－x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1(e －x >0)， 又f (1)＝1e >0，f (0)＝0，f (4)＝4e 4>0，所以f (x )的最小值为0. 答案：06．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫1＋12＝－332.答案：－332。
第19讲 利用导数研究函数的极值和最值(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第19讲：利用导数研究函数的极值和最值一、课程标准1、结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，3、会用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．二、基础知识回顾1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．3、常用结论1．若函数f (x )的图象连续不断，则f (x )在[a ，b ]上一定有最值．2．若函数f (x )在[a ，b ]上是单调函数，则f (x )一定在区间端点处取得最值．3．若函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．三、自主热身、归纳总结1、函数f (x )＝x 2－ln x 的最小值为( )A ．1＋ln 2B ．1－ln 2 C.1＋ln 22 D.1－ln 222、. 已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是(B )A. (－1，2)B. (－∞，－3)∪(6，＋∞)C. (－3，6)D. (－∞，－1)∪(2，＋∞)3、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A．11或18B．11C．18 D．17或184、函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是()A．0 B．1C．2 D．无数5、(多项选择)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述错误．．的是( )第1题图A. f(b)＞f(a)＞f(c)；B. 函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值；C. 函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值；D. 函数f(x)的最小值为f(d).6、(多选)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是()A．f(a)＞f(e)＞f(d)B．函数f(x)在[a，b]上递增，在[b，d]上递减C．函数f(x)的极值点为c，eD ．函数f (x )的极大值为f (b )7．(多选)对于函数f (x )＝x e x ，下列说法正确的有( ) A ．f (x )在x ＝1处取得极大值1eB ．f (x )有两个不同的零点C ．f (4)＜f (π)＜f (3)D ．πe 2＞2e π8、 函数f(x)＝13x 3－4x ＋13的极大值是____，极小值是____．9、f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________． 10、(一题两空)(2019·甘肃兰州一中期末改编)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 的极值点，则f ′(－2)＝________，f (x )的极小值为________．四、例题选讲考点一 利用导数研究函数的极值例1 已知函数f(x)＝1x＋ln x ，求函数f(x)的极值．方法总结：运用导数求导函数f (x )极值的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号；(5)求出极值.变式、已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ).(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.考点二利用导数研究函数的最值例2、已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．方法总结：. 求函数f(x)在区间上的最大值与最小值的步骤：①求f(x)在区间(a，b)上的极值；②将第一步中所求的极值与f(a)，f(b)比较，得到函数f(x)在区间上的最大值与最小值．2. 含参函数的极值(最值)问题需要分类讨论：(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论．分类时可以先讨论在给定区间上恒为增函数(F′(x)≥0)，和恒为减函数(F′(x)≤0)的情况，最后讨论在给定区间上有极值的情况．变式1、已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；－3，3上的最小值.(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[]变式2、已知函数f(x)＝x ln x.(1)求函数y ＝f(x)在[]e －2，e 上的最值； (2)若函数F(x)＝f （x ）－a x 在[]1，e 上的最小值为32，求实数a 的值．变式3、 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数.(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值.变式4、已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax ＋a (a ∈R )． (1)若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2处取得极值，且x 2≥ e x 1(e 为自然对数的底数)，求f (x 2)－f (x 1)的最大值．考点三 极值（最值）的综合性问题例3 已知函数f(x)＝x －a x－ln x ，a>0. (1)求函数f(x)的单调区间和极值点；(2)若f(x)>x －x 2在(1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么．变式1、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x(a >0)的导函数f ′(x )的两个零点为－3和0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．五、优化提升与真题演练1、（2017年高考全国Ⅱ卷理数）若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为 A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1 2、（2018年高考全国Ⅰ卷理数）已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．3、（2018年高考江苏）若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为________．4、(2018江苏卷)设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 ▲5、(2019·江苏卷)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，a ，b ，c ∈R ，f ′(x )为f (x )的导函数.①若a ＝b ＝c ，f (4)＝8，求a 的值；②若a ≠b ，b ＝c ，且f (x )和f ′(x )的零点均在集合{－3，1，3}中，求f (x )的极小值.6、(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.7、(2019·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围.。