参数估计习题解答
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参数估计
习题与习题解答6.1
1．从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试,得到如下数据(单位:h):
1 050, 1 100, 1 130, 1 040, 1 250, 1 300, 1 200, 1 080
试对这批元件的平均寿命以及分布的标准差给出矩估计.
解：样本均值 75.11438
1080
11301101050=++++=
x
样本标准差 ∑=-=8
1
2)(71i i x x s []
22)75.11431080()75.11431050(7
1
-++-=
0562.96= 因此,元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0562
2． 设总体),0(~θU X ,现从该总体中抽取容量为10的样本,样本值为
0.5,1.3,0.6,1.7,2.2,1.2,0.8,1.5,2.0,1.6
试对参数θ给出矩估计.
解：由于E(X )=2θ,即θ=2E(X ),而样本均值10
6
.13.15.0+++=
x =1.34,故θ的矩
估计为68.22ˆ==x θ
3． 设总体分布列如下,n x x ,1是样本,试求未知参数的矩估计
.10,,3,2,)1()1()()2(,1,,2,1,0,1
)()1(22<<=--==-==
=-θθθ k k k X P N N k N
k X P k ；
（正整数）是未知参数 解：(1) 总体均值E(X )=
2
1
110-=-+++N N N ,解之可得N =2E(X )+1
故N 的矩估计量12ˆ+=x N
,其中x 为样本均值,若x 2不是整数,可取大于x 2的最小整数代替.2x
(2) 总体均值E(X )=
=---+∞
=∑2
2
2
)
1()1(k k k k θθ
∑+∞
=---2
2
2
)
1)(1(k k k k θθ
,由于
3
2
22
)1)(1(θ
θ=
--∑+∞
=-k k k k ,
故有E(X )θ
θθ2
2
3
2
=
⨯
=,即θ)(2X E =
,从而参数的 矩估计为.2ˆx
=θ 4．设总体密度函数如下,n x x ,,1 是样本,试求未知参数的矩估计
.
0,,1
),;()4(;0,10,);()3(;
0,10,)1();()2(;
0,0),(2
);()1(1
2
>>=
><<=><<+=><<-=
--
-θμθ
μθθθθθθθθθθθ
θθ
μ
θθx e
x p x x x p x x x p x x x p x
解：(1) 总体均值E(X )=
=-⎰
dx x x )(2
2
θθ
θ
θθθθ
3
1
)(2
22
=-⎰
dx x x ,即即)(3X E =θ,
故参数θ的矩估计为.3ˆx =θ
(2)总体均值E(X )=
dx x x ⎰
+1
)1(θθ=
2
1
++θθ,所以1E(X)E(X)21--=θ,从而参数θ的矩估计
.1
21ˆ--=
x x
θ (3)由E(X )=dx x x 1
1
-⎰θθ=1+θθ
可得2
)(1)(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=X E X E θ,由此,参数θ的矩估计.1ˆ2
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x x θ
(4)先计算总体均值与方差
E(X )=
dx e
x x θ
μ
μ
θ
--
∞
+⎰1
=dt e t t
θθ
-∞
+⎰0
1
+dt e t
θμθ
-
∞
+⎰
1
=μθ+
)(2
X E =dx e
x
x θ
μ
μθ
--
∞
+⎰
1
2
=dt e t t
θθ
μ-∞
+⎰+1
)
(02
=
dt e t t
θθ
-
∞
+⎰
1
2
+dt e t t
θθ
μ-
∞
+⎰0
1
2+dt e t
θθ
μ-
∞+⎰1
2
=.2222μμθθ++
V a r(X )=2
2
))(()(X E X E -=2
θ
由此可以推出)()(,)(X Var X E X Var -==μθ,从而参数μθ,的矩估计为
.ˆ,ˆs x s -==μ
θ 5．设总体为)1,(μN ,先对该总体观测n 次,发现有k 次观测为正,使用频率替换方法求