611数学分析
福州大学
2015年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲?考试科目名称: 《数学分析》
说明：1、考试基本内容：一般包括基础理论、实际知识、综合分析和论证等几个方面的内容。有些课程还应有基本运算和实验方法等方面的内容。
2、难易程度：根据大学本科的教学大纲和本学科、专业的基本要求，一般应使大学本科毕业生中优秀学生在规定的三个小时内答完全部考题，略有一些时间进行检查和思考。
复旦考研数学分析试题
09复旦数学分析考研试题 一、 数学分析(90) 1. 计算(每个6分) （1） 设∑为：222 4(3)6(2)(1)36x y z -+-++≤曲面的外侧，求232x dydz ydxdz +∑ ??=_______。 （2） 13 20 (1)(1)x dx x x ++?=_______。 （3） ln x -(0,)+∞上有唯一的零点，A =_______。 （4） ()f x 在原点存在二阶导数，''(0)0f ≠， '()(0)()x f x f f x θ-=，则0lim x x θ→=_______。 （填某个值或不一定存在或无法确定） （5） 1sin 2009k xk k α π∞=∑在(0,)+∞上一致收敛，则α的取值范围为_______。 2. 证明（每个15分） （1）(,)f x y 定义在[,][,]a b c d ?上，且(,)f x y 关于x 连续，且对于某一固定的0[,]y c d ∈， 00[,]lim sup |(,)(,)|0y y x a b f x y f x y →∈-= 证明：(,)f x y 在[,][,]a b c d ?上连续。 （2）21sin()n n n a a a n -=- 求证：lim 0n n a →∞= （3）()f x 在(,)-∞+∞上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,a b c d ()()b d d b a c c a dx f x t dt dt f x t dx +=+???? （4）()f x 定义在区间(,)a b 上，对任一(,)x a b ∈
0()()lim 0y f x y f y y →+-> （注：左式可以为+∞），求证：()f x 在(,)a b 上严格单调。 二、 常微分方程（30） 已知2 (,)3...x y x Φ=+（这个式子都记不清楚了） 和系统[*] 3dx y dt λ=+ ...dy dt = [*] （1）(,)x y C Φ=是[*]的首次积分，确定[*]中λ的值。（或者是0δ的值，具体不是很清楚） （只要明白首次积分的概念就能做的题目） （2）证明解对参数的连续性 （3）求系统[*]在0λ>，0δδ<时在李亚普诺夫意义下的稳定性。 三、 实变函数（30） 1. 叙述积分的法杜（Fatou ）引理。（10分） 2. （20分）{()}n f x 为定义在可测集上的可测函数列，{()}n f x 在勒贝格测度意义下收敛 于()f x 求证： （1）存在子列{()}k n f x 1()k k n n +<，满足 12k k mE <，1{:|()()|}2k k n k E x E f x f x =∈-≥ （2）证明上述子列几乎处处收敛于()f x 。 （这个整个是一个定理，分成两步证明了。Rieze 引理）
数学分析公式
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
欧阳光中数学分析答案
欧阳光中数学分析答案 【篇一：数学分析目录】 合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限 2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数 3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］ 9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的
数学分析教材和参考书-推荐下载
教材和参考书 教材： 《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月 参考书： （1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月 （2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著 科学出版社（1964） （3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954） （4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译 高等教育出版社（1958） （5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译 高等教育出版社（1979） （6）《数学分析》，陈传璋等编 高等教育出版社（1978） （7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编， 上海科学技术出版社（1983）
（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编， 高等教育出版社（1991） （9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编， 北京大学出版社（1990） （10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编 高等教育出版社（1999） （11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系， 高等教育出版社（2002） （12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编， 江苏教育出版社（1998） （13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编， 北京大学出版社（2003） （14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编， 高等教育出版社（1993） 复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程 教师简介: 陈纪修-基本信息 博士生导师教授 姓名：陈纪修
数学分析公式定理111章
第一章 变量与函数 §1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函 数()y f x =”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的 象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。
数学分析复习资料及公式大全.docx
导数公式: = scc 2 x / 2 (cfgx)'= -cscr (secx)r = secx ?tgx (esc x\ = - esc x ? etgx (a x \ = a x \na (arccosx)'=——/ yjl-x 2 — 2 I n = Jsin" xdx = jcos M xdx 0 (log. x\ = 1 x\na (arcctgx)f = 1 l + x 2 基本积分表： ygxdx = - ln|cos x +C ^ctgxdx = ln|sin x +C jscc xdx = ln|scc 兀 + fgx + C Jese xdx = ln|csc x - etgx + C 1 x =—arctg — +C a a = ±lnl dx cos 2 x dx sin 2 x |sec 2 xdx = tgx + C jese 2 xdx = -etgx + C dx ~2 2 a +x dx 2 7 x -er dx a 2 -x 2 dx \la 2 -x 2 x-a 2ci \x + a\ 1 , ci + x 厂 =——In ---- + C 2a a-x = = arcsin —+ C a jsec x ? tgxdx = sec x + C |cscx-c/gxJx = -esex + C ia x dx = ———C J Inez jshxdx = chx + C ^chxdx = shx + C J 岛 T 777 " ^x 2 +a 2 dx = — y/x 2 + a 2 + — ln(x + y/x 2 +a 2 ) + C 2 _________ ____________________ 2 JVx 2 -a 2d x = ~ J 兀2 _ — In 兀 + — cz 厶 + C JJ/ x = *罷 三角函数的有理式积分： 2 一 + — arcsin — + C 2 a sinx = 2u l + u 2 cosx = 1 -M 2 1 + w 2 U=tg 2 dx = 2du l + w 2 (arctgx)f = 1 l + x 2 /r 2 (arcsin x)f
夏之舟致数学分析、高等代数、解析几何的新人们(数学分析篇)
作者 : 数学贝壳 致数学分析、高等代数、解析几何的新人们 各位2012级的新同学们： 从9月10号起你们就正式进入大学数学的学习了。一开始你们就遇到了数学专业的三座大山：数学分析、高等代数、解析几何。数学分析不仅是分析学的基础，也是后续许多课程包括常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数等等的基石。而高等代数，则是代数学的引路，之后的抽象代数，矩阵论，群论，数值代数都是它的衍生品，你看似简单的解析几何，高等几何是之后微分几何，微分流形，代数几何的先修课，著名的华裔数学家丘成桐先生也因为在微分流形的杰出贡献被授予数学界的诺贝尔奖——沃尔夫数学终身成就奖。 不知道大家在上了各门课的第一堂课后有什么样的感受？是一下子懵了，还是兴致勃勃？作为一个过来人，希望给大家一些经验，如何学好这些课，选择一些什么样的素材来补充自己。文章写的比较长，希望大家有耐心看完。我想会对你非常有帮助。 数学分析篇 一、一些还不错的教材 直接进入主题——好的教材是相当重要的。所以让我们从教材开始。 先说说国。应当来说国公认的比较好的数学分析教材一共有三套，这里只介绍两套。1.《数学分析》，华东师大学数学系，高等教育 这套教材也是北科大数学系一直使用的课本（不过听说自2011级开始理科实验班换成了《数学分析》，忠，高等教育，个人对这套教材保留意见）。这本教材堪称数学分析的经典，如果我没有记错第一版发行于1978年，已经有四十多年的历史，现在最新的是第四版。这么长时间，经久不衰是其品质最好的检验。就难度而言，这本教材应该算中上。第三版第四版就知识结构来说没有什么大的变动，小的变动可以看书的第四版的前言。但是，在课后题，例题上有了较大的更新，丰富了题目的数量与质量（一些题都是吉米多维奇《数学分析习题集》里的题目，另一些题是一些高校的考研试题）。所以要学好数学分析，先必须搞懂课本知识，把每个题目做会了，做出感觉来，这样算进入成功入门的第一步了。 2.《数学分析》，复旦大学纪修，高等教育 这本教材被总体上与华师大介绍的容一样，但是在顺序上有所不同。除此之外比较明显的一点，加强了向量函数的概念，介绍了梯度散度这些在华师大的书里选学的容。难度上来说两本书差不多。据说复旦大学数学系的同学就是用的这本书。
复旦版数学分析答案全解ex14-4
习 题 14.4 微分形式的外微分 1. 计算下列微分形式的外微分： （1）1-形式； dy x xydx 22+=ω（2）1-形式xdy ydx sin cos ?=ω； （3）2-形式dz xydx dy zdx ∧?∧=6ω。 解（1）0222=∧+∧+∧=dy xdx dx xdy dx ydx d ω。 （2）dy dx x y dy xdx dx ydy d ∧?=∧?∧?=)cos (sin cos sin ω。 （3）=∧∧?∧∧=dz dx xdy dy dx dz d 6ωdz dy dx x ∧∧+)6(。 2．设ω=+++a x dx a x dx a x dx n n n 111222()()()"是n R 上的1-形式，求d ω。 解 d ω0)(1=∧′=∑=n i i i i i dx dx x a 3．设ω=∧+∧+∧a x x dx dx a x x dx dx a x x dx dx 12323213313121(,)(,)(,)2是3R 上的 2-形式，求d ω。 解 设 323211),(dx dx x x a ∧=ω，由于 0,0323322=∧∧=∧∧dx dx dx dx dx dx ， 则有 =1ωd 03233 132221=∧∧??+∧∧??dx dx dx x a dx dx dx x a 。 类似地，设 133122),(dx dx x x a ∧=ω，212133),(dx dx x x a ∧=ω，则 032==ωωd d ， 从而 0321=++=ωωωωd d d d 。 4. 在3R 上在一个开区域?=××(,)(,)(,)a b c d e f 上定义了具有连续导数 的函数，，，试求形如 )(1z a )(2x a )(3y a dz x b dy z b dx y b )()()(321++=ω 的1-形式ω，使得 dy dx y a dx dz x a dz dy z a d ∧+∧+∧=)()()(321ω 。 解 由题意，可得 )()(),()(),()(2312 31x a x b z a z b y a y b ?=′?=′?=′， 所以 dx dy y a ))((3∫?=ωdy dz z a ))((1∫?dz dx x a ))((2∫?。 5. 设（∑=∧=n j i j i ij dx dx a 1,ωji ij a a ?=，n j i ,,2,1,"=）是n R 上的2-形式，证 明
数学分析公式
数学分析公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π
高数积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝ 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -
14 ． 2x ? ＝2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++
数学分析复旦大学第四版大一期末考试
数学分析复旦大学第四版大一期末考试 一、填空题（每空1分，共9分） 1. 函数()f x = 的定义域为________________ 2.已知函数sin ,1 ()0,1 x x f x x ??=?-?? ==??-
数学分析不定积分
第八5章不定积分 教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。 教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式； 教学时数：18学时
§ 1 不定积分概念与基本公式（ 4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 教学重点：深刻理解不定积分的概念。 一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算. 二、讲授新课： （一）不定积分的定义: 1.原函数： 例1填空: ; ( ; ; ; ; . 定义. 注意是的一个原函数. 原函数问题的基本容：存在性，个数，求法. 原函数的个数: Th 若是在区间上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有. ( 证 ) 可见，若有原函数，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ). 可见, 初等函数在其定义域有原函数; 若在区间上有原函数, 则在区间上有介值性. 例2. 已知为的一个原函数, =5 . 求. 2.不定积分——原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.
复旦大学第三版数学分析答案
一﹑细心填一填，你一定能行（每空2分，共20分） 1．当 = 时，分式的值为零. 2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为． 3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数． 4．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差 的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验 田是(填“甲”或“乙”)． 5．如图，□ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的角平分线，请添加一个条件使四边形AECF为菱形． 6．计算． 7．若点（）、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是． 8．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD=2 ，AE为梯形的高，且BE=1， ?则AD=______． 9．如图，中，，，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）．10．如图，矩形ABCD的对角线BD过O点，BC∥x轴， 且A（2，-1），则经过C点的反比例函数的解析式为． 二﹑精心选一选，你一定很棒（每题3分，共30分） 11．下列运算中，正确的是 A． B． C． D． 12．下列说法中，不正确的是 A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法 B．众数在一组数据中若存在，可以不唯一 C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度 D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差 13．能判定四边形是平行四边形的条件是 A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组邻角相等 C．一组对边平行，一组邻角相等 D．一组对边平行，一组对角相等 14．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是 A．1 B．2 C．3 D．4
数学分析答案第四版
数学分析答案第四版 【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】 >第一部分实数理论 1 实数的完备性公理 一、实数的定义 在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。 （1）域公理： （2）全序公理： 则或a中有最大元而a?中无最小元，或a中无最大元而a?中有最小元。 评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。 二、实数的连续性（完备性）公理 实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理：确界原理： 单调有界定理： 区间套定理： 有限覆盖定理：（heine-borel） 聚点定理：(weierstrass) 致密性定理：(bolzano-weierstrass) 柯西收敛准则：(cauchy) 习题1 证明dedekind分割原理与确界原理的等价性。 习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。 习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。 评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？ n 2 闭区间上连续函数的性质 有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4 最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8 介值定理与零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10
一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理 3 数列的上(下)极限 三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）??n定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；??n定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。 （p173） 习题7 证明上面三种定义的等价性。 第二部分级数理论 1 数项级数 前言级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。上（下）极限是研究级数的一个有力工具。对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。级数的收敛性与无 穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。 一、cauchy收敛准则 ?u n?1?n?u1?u2?? 几个概念部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？ 收敛的必要条件 ?u n?1?n收敛?un?0 评注此结论由un?sn?sn?1两边取极限即得证，也可由下面的cauchy收敛准则得到。要注意此性质与无穷积分有较大差别。对于收敛的无穷积分 能推出f(x)?0(x???)（参见反常积分） ???af(x)dx即使f(x)?0也不 cauchy收敛准则 ?u n?1?n收敛????0,?n,?n?n,?p,有 sn?p?sn?un?1?un?2???un?p?? 思考正面叙述级数发散的cauchy准则。 加括号对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。也就是说收敛的级数满足结合律。
(完整版)数学分析复习资料及公式大全
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
数学分析习题集1复旦大学
习 题 1.1 ⒈ 证明由n 个元素组成的集合T a a a n ={}12，，， 有2个子集。 n ⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设与A B 都是可列集，证明也是可列集。 A B ∪⒊ 指出下列表述中的错误： (1) {}； 0=? (2)； a ?{,,}a b c (3) {,； }a b ∈{,,}a b c (4) {,。 ,{,}}a b a b ={,}a b ⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足x x ?+≤32 0的实数全体； (2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于0并且小于1的有理数全体； (4) 方程的实数解全体。 0cot sin =x x ⒌ 证明下列集合等式： (1) A B D A B A D ∩∪∩∪∩()()()=； (2) ()。 A B A B C C ∪∩=C ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律： (1) ≠> A B A C ∪∪=B C = ； (2) ≠> A B A C ∩∩=B C =。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。 ⒎ 下述命题是否正确?不正确的话，请改正。 (1) B A x ∩∈ ? A x ∈ 并且 B x ∈； (2) B A x ∪∈ ? A x ∈ 或者 B x ∈。 习 题 1.2 1. 设},,{γβα=S ,，问有多少种可能的映射?其中哪些是双射? T a b c ={,,}f ：S T →2. (1) 建立区间[,与[,之间的一一对应； ]a b ]01
(2) 建立区间(,与之间的一一对应。 )01(,?∞+∞)3. 将下列函数和构成复合函数，并指出定义域与值域： f g (1) , y f u ==()log a u u g x ==()x 2 3?; (2) , y f u ==()arcsin u u g x ==()x 3； (3) y f u ==()u 21?,u g x ==()sec x ； (4) y f u ==()u ,u g x ==()x x ?+1 1。 4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的： (1) y x =+arcsin 112; (2) 32 1 log (1)3a y x =?。 5. 求下列函数的自然定义域与值域： (1) （）； x y a sin log =1>a (2) y x =cos ； (3) y x =??432x ； (4) y x x =+241 。 6. 问下列函数和是否等同？ f g (1) f x ()=2log ()a x ，g x ()=2log a x ； (2) f x ()=22sec tan x x ?, g x ()=1； (3) f x ()=sin cos 22x x +,g x ()=1。 7. (1) 设,求； f x x x x ()+=?+?3235321f x () (2) 设131 31+?=???????x x x x f ,求。 f x ()8. 设f x ()=+1 1x ,求，,的函数表达式。 f f f f f f f f f 9. 证明：定义于(,上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。 )?∞+∞10. 写出折线ABCD 所表示的函数关系y f x =()的分段表示，其中A =(,)03， B =?(,)11，C =(,)32，。 D =(,)40
复旦大学97980001年数学分析考研试题
复旦大学数学分析1997 一、计算 1. ) 2 sin (2 1 lim x x x → 2. .,sin 501.122y x x y 求= 3. ?+x dx tan 1 4. ,)],cos(),cos([?+c ds y n y x n x 其中从为椭圆 12 2 22=+b y a x ,n 为它的外法线. 5. ??D dxdy y x 2ln ,D 是由y=x,y=1,x=2围成的三角形. 6. 计算由曲面a y x a y x a y x ±=-±=+=+,,2 2 2 围成的体积(0.70) (本题共40分,其中第1,2,3小题每小题5分,第4,5小题每小题8分,第6小题9分) 二、讨论下列级数的收敛性。 dx x x n n ∑?∞ =+1 01sin π dx n n n ∑ ∞ =8 ln 12sin π (本题共15分,其中第1小题7分, 第2小题8分,) 三、在平面直角坐标系oxy 中有一以y 轴为对称轴的抛物线，他与oxoy 两正半轴的交点分别为AB 。 当OB OA +为定值时，为使这段抛物线与两坐标轴围成的图形绕x 轴旋转得到的立体体积最大，OB OA :应取何值。 （本题共15分） 四、设f 在[0，1]连续， f （1）=0，,...3,2,1,)()(==n x x f x g n n 证明{ n g }在[0，1]上一致收敛 （本题15分） 五、设f 在（0，∞）连续， ?=∞→x x dt t f x 0.0)(1lim 证明： 0)(lim =∞ →x f x （本题15分） 复旦大学数学分析1998 1．（每小题8分，共48分） （1） 求极限x x x x 1 )1ln(lim 1 0-+→。 （2） 通过代换?? ? ??-==)(212 2v u y uv x ，变换方程2 2 221)()( y x y z x z +=??+?? （3） 设,2 0π < ≤x 证明不等式.3tan sin 2x x x ≥+ （4） 求不定积分 ? +x e dx 1 （5） 求定积分 )(,)1 (ln 自然数n dx x n ? （6） 求积分 dx y x dy y y ? ? -++2 42 2 2 11 2.在椭圆4422=+y x 上求一点,使到直线1243=+y x 的距离为最短.(10分) 3.对级数 ∑∞ =-1 n nx ne 指出他的收敛范围,讨论它的一致收敛 性,并求和.(10分) 4.设L 是单位圆周: 122=+y x ,方向为逆时针.求积分: ?+++-L y x dy y x dx y x 224)4()( .(10分) 5. {{} ,2,1|),,(2 2 1V S z y x z y x V =<<+= 求积分 ,)(22zdxdy y x yzdzdx S ?? ++ 积分延外法线方向.(10分) 6.计算).,0(,)cos ln(sin )(20 222∞∈+= ? ααπ dx x d x I 要求说明计算方法的合理性.(12分) 复旦大学数学分析2000 1. 求极限: ?? ? ? ?+-+∞ →x x x x x 1ln lim 2 . 2. 计算积分: ? 1 2a r c t a n x d x x .
数学分析视频教程-全套220讲-史济怀-中国科技大学
数学分析视频教程全套220讲史济怀中国科技大学 国家精品课程-中国科技大学数学分析视频222讲中科大数学分析史济怀8DVD赠pdf格式课件和部分期末考试试卷 一、所用教材 《数学分析教程》(上、下册),常庚哲,史济怀编，高等教育(2003年) 二、章节容 数学分析一77讲 数学分析二88讲 数学分析三55讲 目前,本课程使用的教材是由我校数学系常庚哲和史济怀两位教授编著的《数学分析教程》上下册（高等教育，2003年5月，第一版）。该教材是普通高等教育“十五”国家级规划教材，是在1998年教育出版的《数学分析教程》的基础上写成的，原书融合了20多年来数学系讲授数学分析课程的教师的教学经验，同时也参考了国外同类书籍中的许多名著，在全国同类教材中有非常积极的影响。该教材已经在本校数学系使用了5年，教学效果很好。该教材的第二版正在
修订中。 参考书：1．《数学分析》，何琛，史济怀，徐森林编，高等教育(1985年)。 2．《数学分析新讲》，筑生编，大学(1991年)。 第一学期： 主要讲授单变量函数的微积分学。主要容有：实数理论，极限理论，单变量函数的微分学和积分学。 教学重点：极限理论，导数的概念和运算，Taylor公式，可积性理论和积分的计算。 教学难点：实数理论，极限理论，上、下极限，Taylor公式，可积性理论。 教材：《数学分析教程》(上册)，常庚哲，史济怀编，高等教育(2003年)。 参考书：《数学分析新讲》，筑生编，大学(1991年)。第一章实数15学时 §1 无尽小数1学时
§2 收敛数列及其性质5学时 §3 收敛原理和上下确界5学时 §4 上、下极限和Stolz定理4学时第二章函数的连续性19学时 §1 集合的映射和势2学时 §2 函数的极限6学时 §3 连续函数7学时 §4 混沌现象4学时 第三章函数的导数15学时 §1 导数的定义和计算5学时 §2 微分学中值定理及其应用5学时