2016届高考数学一轮复习 7.2空间几何体的表面积和体积课.
圆台
1 V＝ ( S上 S下 S上 S下 )h 3 1 ＝ (r 21 r 2 2 r1r2 )h 3
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面 积 直棱柱 正棱柱 正棱台
Ch ' S侧＝_____
体 积
Sh V ＝_____
1 Ch ' 2 S侧＝_____ 1 (C C ')h ' 2 S侧＝_______
【变式训练】2.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球 面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 较大者的高的比值为
3 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积 16
【解析】如图，设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r.由题意得 r ∴r ＝
2
2
3 4R 2 ， 16
3 2 R .根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心 O，且两圆锥的顶点以及圆 4 1 2 2 锥与球的交点是球的大圆上的点，且 AB ⊥ O1 C. ∴O O1 ＝ R r ＝ R ， 2 1 R R 因此体积较小的圆锥的高 A O1 ＝R － R ＝ ，体积较大的圆锥的高 B O1 ＝R＋ ＝ 2 2 2 3 1 R.所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为 . 2 3 1 【答案】 3
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【解析】(1)证明：方法一 1 ∵CE= DF，∴EG=CD. 2 又∵AB=CD，∴EG=AB. ∴BE∥AG.
取 DF 的中点 G，连接 AG，EG，
∴四边形 ABEG 为平行四边形. 又∵BE 平面 ADF，AG 平面 ADF， ∴BE∥平面 ADF. 方法二 由题图(1)可知 BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变. ∵BC∥AD，BC ADF，AD ADF， ∴BC∥平面 ADF.同理 CE∥平面 ADF. ∵BC∩CE＝C，BC、CE BCE， ∴平面 BCE∥平面 ADF. ∵BE 平面 BCE，BE 平面 ADF，∴BE∥平面 ADF.
cm3 .
(2)如图 2 所示， 半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴， 旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积及其体积。(其中∠BAC＝
8/3/201830°)
【解析】(1)该几何体的直观图是上为圆台、下为半球的组合体，其体积
1 1 4 84 128 212 V＝ π ×3×( 4 2 ＋4×2＋ 2 2 )＋ × π × 43 ＝ . 3 3 3 3 2 3 (2)如图所示，过 C 作 CO1⊥AB 于 O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠
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(2)方法一∵VF-BCE＝VB-CEF， 由题图(1)，可知 BC⊥CD， 又∵平面 DCEF⊥平面 ABCD，平面 DCEF∩平面 ABCD＝CD，BC 平 面 ABCD， ∴BC⊥平面 DCEF.
1 1 由题图(1)可知，DC＝CE＝1，S△CEF＝ CE×DC＝ ， 2 2 1 1 ∴VF-BCE＝VB-CEF＝ ×BC×S△CEF＝ . 3 6 方法二 由题图(1)，可知 CD⊥BC，CD⊥CE，∵BC∩CE＝C，
【解析】 根据三视图可以画出直观图(如图所示)，其中 SA⊥AB，SA⊥ AC， SA＝2，设 AB＝AC＝x， 外接球的半径为 r， 由题意可知， 22 2 x 2 1 1 ＝2r＝4，∴x＝ 6 ，所以三棱锥的体积为 × × 6 × 6 ×2＝2 3 2 【答案】2
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棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
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2.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切， 已知这个球的体积是 323 ，那么这个三棱柱的体积是( A. 96 3 B.16 3 C.24 3 ) D.48 3
1 3 4 32 a ＝2， 【解析】由 R3 ＝ ，∴R＝2，∴正三棱柱的高 h＝4，设其底面边长为 a，则 3 2 3 3
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【变式训练】 1. (2013·苏州调研)如图(1)所示，在直角梯形 ABEF 中(图 中数字表示线段的长度)，将直角梯形 DCEF 沿 CD 折起，使平面 DCEF ⊥平面 ABCD，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示.
(1)求证：BE∥平面 ADF； (2)求三棱锥 FBCE 的体积.
11 3 π R2 . 2 11 3 π R2 . 2
3 11 π R2 ＋ π R2 2 2
∴旋转所得几何体的表面积为
4 1 1 2 又 V 球＝ π R 3 ，V 圆锥 AO1 ＝ · AO1 ·π CO1 ＝ π R 2 · AO1 ， 3 4 3 1 1 2 V 圆锥 BO1 ＝ BO1 ·π CO1 ＝ π R 2 · BO1 ， 4 3 4 1 5 ∴V 几何体＝V 球－(V 圆锥 AO1 ＋V 圆锥 BO1 )＝ π R 3 － π R 3 ＝ π 3 2 6 R3 .
1.求棱柱、棱锥、棱台的表面积就是根据条件求它们的侧面积
和底面积的和； 2.求棱柱、棱锥、棱台的体积时，根据体积公式，需要具备已 知底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半 径求出.
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一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：
(1)试画出它的直观图； (2)求它的表面积和体积．
几何体的展开与折叠
弄清折叠与展开前后位置关系与数量关系的变化情况，画出准确图 形，借助于空间几何与平面几何知识求解. (2013·南京调研)如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底 面边长为 2 cm，高为 5 cm，则一质点自点 A 出发，沿着三棱 柱的侧面绕行两周到达点 A1 的最短路线的长为_____cm.
(1)求四棱锥 D-ABCE 的体积； (2)求证：AD⊥平面 BDE.
【解析】(1)取 AE 的中点 O，由题意知，AB＝2AD＝2a，ED＝EC， ∴AD＝DE，∴DO⊥AE， 又∵平面 ADE⊥平面 ABCE， ∴DO⊥平面 ABCE. 在等腰 Rt△ADE 中，AD＝DE＝a，DO＝
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∴a＝4 3 ，∴V＝ 【答案】D
3 4 32 4 ＝48 3 . 4
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3． 过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面， 则 此截面面积是球表面积的( )
1 A.16 3 B.16 1 C. 12 1 D. 8
【解析】
3 由题意可得截面圆半径为 2 R(R 为球的半径)，
1 5 S△BCE＝ BC×CF＝ ， 2 2
在△CEF 中，由等面积法可得 EH＝
1 ， 5
1 1 ∴VF-BCE＝VE-BCF＝ ×BC×S△CEF＝ . 3 6
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圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. (1)(2014· 辽宁省五校联考)若某几何体的三视图 (单位： cm)如图 1 所示，则此几何体的体积等于
π
所以截面面积为 3 2 4πR 3 则4πR2＝16. 【答案】 B
3 2 3 2 ＝ πR ，又球的表面积为 4πR2， R 2 4
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2 4. 母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的面积是 π ，则该圆锥的体积为（） 3
A.
2 2 π 81
B.
8 π 81
C.
4 5 π 81
D.
10 π 81
【解析】
2 设圆锥的底面半径为 r，依题意得π r·1＝ π ， 3
2 ∴r＝ . 3
2 5 ∴圆锥的高 h＝ 1 ( ) 2 . 3 3
4 5 1 ∴圆锥的体积 V＝ π r 2 h＝ π 81 3
【答案】
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C
5. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形， 该三棱锥的外接球的半径为 2，则该三棱锥的体积为____.
4 R S侧＝_______
2
1 Sh V ＝_____ 3
V ＝ (S上 S下 S上 S下 )h
1 3
球
V
4 3 R ＝_____ 3
【思考探究】
对于不规则的几何体应如何求其体积？
提示： 对于求一些不规则几何体的体积，常用割补的方法， 转化为已知体积公式的几何体进行解决．
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1.
1.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是（）
A.( 13 ＋2)π ( cm 2 ) C.6＋( 13 ＋2)π ( cm 2 )
B.4＋( 13 ＋2)π ( cm 2 ) D.8＋( 13 ＋2)π ( cm 2 )
1 【解析】由三视图可知原几何体是一个半圆锥，其表面积 S＝ ×π × 2 2 2 1 1 ＋ ×π ×2× 13 ＋ ×4×3＝6＋( 13 ＋2)π ( cm 2 ).选 C. 2 2 【答案】C
7.2 空间几何体的表面积和体积
柱、锥、台和球的侧面积和体积
面 积
圆柱 圆锥 2πrh S侧＝_____ πrl S侧＝_____
(r1 r2 )l S侧＝_______
体 积
Sh ＝_____ πr2h V ＝____ V
1 1 2 Sh r h ＝____ 3 ＝_____= 3
1 2 2 2 r l r 3
2 a， 2
1 3 又 S 梯形 ABCE＝ (a＋2a)a＝ a 2 ， 2 2
1 1 3 2 2 3 ∴VD-ABCE＝ S 梯形 ABCE· DO＝ · a 2 · a＝ a a3. 3 3 2 2 2
(2)证明：连接 BE， 则 BE＝ a 2 a 2 2a ， 又 AE＝ 2a ，AB＝ 2a ， ∴AB2＝AE2＋EB2，∴AE⊥EB， 由(1)知，DO⊥平面 ABCE，∴DO⊥BE， 又∵DO∩AE＝O, ∴BE⊥平面 ADE，∴BE⊥AD， 又∵AD⊥DE， ∴AD⊥平面 BDE.
高三 一轮复习 空间几何体的表面积及体积 教案
空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．易混侧面积与表面积的概念． [试一试]1.(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.2．(2013·苏州暑假调查)设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝1，PC ＝2，则球O 的表面积是________．1．求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R＝3a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．旋转体侧面积问题中的转化思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．[练一练]1．(2014·南通一调)已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，则这个正四棱锥的侧面积是________．2．在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′＝2，BC＝23，∠BAC＝π2，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．考点一几何体的表面积1．(2013·南通三模)底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为________ m2.2．(2013·苏州暑期调查)若正四面体的棱长为a，则其外接球的表面积为________．[类题通法]几何体的表面积问题的求法(1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理．考点二几何体的体积[典例](1)如图所示，已知三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 -ABC1的体积为________．(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥A-B1D1D的体积为________ cm3.[类题通法]求解几何体体积的策略及注意问题(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．[针对训练](2013·苏北四市二模)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1-BCO的体积为________．与球有关的切、接问题考点三与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点.命题角度多变，归纳起来常见的命题角度有： (1)直三棱柱的外接球； (2)正(长)方体的外接球； (3)正四面体的内切球； (4)四面体的外接球； (5)正三棱柱的内切球.角度一 直三棱柱的外接球1．(2013·辽宁高考改编)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．角度二 正(长)方体的外接球2．一个正方体的棱长为2，则该几何体外接球的体积为________．角度三 正四面体的内切球3．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.角度四 四面体的外接球4．(2014·南通期末)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为23，则四面体A -B 1CD 1的外接球的体积为________．角度五 正三棱柱的内切球5．点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM ·PN 的取值范围是________．[类题通法]解决与球有关的切、接问题的方法(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P，A，B，C中P A，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[课堂练通考点]1．(2013·南京三模)已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．2．(2014·苏北三市统考)若一个长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则它的外接球的表面积是________．3．(2014·苏北四市质检)已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，B1C1上的点，若BPPD1＝12，则三棱锥M-PBC的体积为________．4．已知三棱锥O-ABC中，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝AC＝7，BC＝11，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为________．5．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为________．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________．2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．3．(2013·南京、淮安二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm ，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为________ cm.4．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．5．设M 、N 是球O 半径OP 上的两点，且NP ＝MN ＝OM ，分别过N ，M ，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为________．6．(2013·苏北四市三调)在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，BC ＝3，以边BC 所在的直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________．7．(2014·苏北四市摸底)已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为________．8.(创新题)如图，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，则三棱锥D -ABC 的体积的最大值是________．9.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形， 其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°，△ADP ∽△BAD .(1)求线段PD的长；(2)若PC＝11R，求三棱锥P-ABC的体积．10．(2014·徐州质检)如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E -BCD的体积．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·苏中三市、宿迁调研(一))若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为________ cm.2．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为。
高考一轮复习第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积
法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的
方法，应熟练掌握．
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3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥
的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计
算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”.
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[精析考题] [例3] (2011· 陕西高考)如图，在△ABC中，∠ABC＝
45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD 折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D－ABC的表面积． 返回
[自主解答]
(1)∵折起前AD是BC边上的高，
∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB. 又DB∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC.
又AD⊂平面ABD， ∴平面ABD⊥平面BDC.
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(2)由(1)知，DA⊥DB，DC⊥DA， ∵DB＝DA＝DC＝1，DB⊥DC， ∴AB＝BC＝CA＝ 2. 1 1 从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝2×1×1＝2， 1 3 S△ABC＝2× 2× 2×sin60° 2 ， ＝ 1 3 3＋ 3 ∴三棱锥的表面积S＝2×3＋ 2 ＝ 2 .
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012· 大连模拟)矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形 ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A－BCD的外接球 的体积为 125 A. 12 π 125 C. 6 π 125 B. 9 π 125 D. 3 π ( )
第 七 章
立 体 几 何
第 二 节 空 间 几 何 体 的 表 面 积和 体积
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
高考数学一轮复习 第七章 第2讲 空间几何体的表面积与体积 文
第2讲 空间几何体的表面积与体积
精选课件
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开 图
侧面 积公 式
S圆柱侧＝
S圆锥侧＝Байду номын сангаас
___2_π_rl_____ ___π_r_l_____
S圆台侧＝ __π_(_r＋__r_′)_l__
精选课件
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体
表面积
体积
柱体 (棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体 (棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S
下
球
S＝_4_π_R__2 _____
V＝__S_h__ V＝__13_S_h__ V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝___43_π_R__3 ___
A．90 cm2 C．132 cm2
B．129 cm2 D．138 cm2
精选课件
(2)(2015·长春市调研)某几何体的三视图如图所示，则它的 表面积为( A )
A．2＋1＋2 5π C．2＋(1＋ 5)π
精选课件
B．2＋1＋22 5π D．2＋2＋2 5π
[解析] (1)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别 为 6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边 长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积 S＝[2×(4×6＋
A．6
B．3 3
C．2 3
D．3
解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面
为侧视图，该侧视图是底边为 2，高为 3的三角形，正视
高考数学一轮复习空间几何体的表面积与体积精品课件理新人教A版
在直角梯形O1ODD1中,
O1O= DD12 - (OD - O1D1 )2 = 4 3
∴棱台的高为 4 3cm.
【评析】求解有关多面体表面积的问题，关键是找 到其特征几何图形，如圆柱中的矩形，棱台中的直角 梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、 边长等几何元素的桥梁，从而架起求侧面积公式中的 未知量与条件中已知几何元素间的联系.
点，则CP+PA1的最小值
为
.
【分析】将所求最值问题转化为熟悉的平面上的最
值问题，易解决.
【解析】由直三棱柱的性质得A1B=2 ,又 ∠A1C1B=90°,A1C1=6,BC1=2,
将△A1C1B与△BC1C沿BC1折放在同一平面内，则 A1C为所求.
A1C = 62 + ( 2)2 - 2× 6× 2·cos135 = 5 2.
AP=DP= ，1 在Rt△AGE中， E G = 2，1 A E = 1 ，
2
∴AG=
3 2
,在Rt△APG中，GP=
2.
2
∴S△AGD = 42,VAGD—BHC=
1
= 3 S△AGD ·EG=
2，
24
∴V=VAGD—BHC+2VE—AGD=
2，VE—AGD=VF—BHC
4
2 .故应选A.）
3
考点四 旋转体的体积
V圆柱下=Sh=π×42×1=16π(cm3).
所以此组合体体积V=V圆锥+V圆柱中+V圆柱下
= 8π +40π+16π= 17π6 (cm3).
3
3
考点五 曲面最值
（湛江市11年高三调研）如图，
在直三棱柱ABC—
高三理科数学第一轮复习§7.2：空间几何体的表面积与体积
解析
第七章：立体几何初步 §7.2：空间几何体的表面积与体积
解析
第七章：立体几何初步 §7.2：空间几何体的表面积与体积
解析
第七章：立体几何初步 §7.2：空间几何体的表面积与体积
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第七章：立体几何初步 §7.2：空间几何体的表面积与体积
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第七章：立体几何初步 §7.2：空间几何体的表面积与体积
第七章：立体几何初步 §7.2：空间几何体的表面积与体积
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点拨
第七章：立体几何初步 §7.2：空间几何体的表面积与体积
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第七章：立体几何初步 §7.2：空间几何体的表面积与体积
第七章：立体几何初步 §7.2：空间几何体的表面积与体积
高考一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积
第二讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝_S 底·h__＝πr 2h圆锥 S 侧＝_πrl __ V ＝13S 底·h＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝_ch__ V ＝_S 底h__ 正棱锥 S 侧＝12ch′V ＝13S 底h 正棱台 S 侧＝12(c ＋c′)h′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h 球S 球面＝_4πR 2V ＝43πR 3 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各面面积之和__.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_矩形__、_扇形__、_扇环形__；它们的表面积等于_侧面积__与底面面积之和．重要结论1．长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：r ＝_a 2＋b 2＋c22__(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： (1)外接球：球心是正方体中心；半径r ＝_32a__(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体中心；半径r ＝_a2__(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝_22a__(a 为正方体的棱长)． 3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_64a__(a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_612a__(a 为正四面体的棱长)． 双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则R ＝32a.( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( B ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．32cm [解析] 由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧πrl＋πr 2＝12π2πrl ＝π，∴3r 2＝12，∴r ＝2.题组三 走向高考3．(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C ) A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π[解析] 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线长的一半， 即R ＝232＋232＋2322＝3，所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.故选：C ．4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π[解析] 设圆柱底面半径为r ，则4r 2＝8，即r 2＝2.∴S 圆柱表面积＝2πr 2＋4πr 2＝12π.5．(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．73 B ．143C ．3D ．6[解析] 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面．棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝13＋2＝73.故选：A ．考点突破·互动探究考点一 几何体的表面积——自主练透例1 (1)(2021·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( C )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5(2)(2021·安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( B )A ．78－9π2B ．78－9π4C ．78－πD ．45－9π2(3)(多选题)(2021·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( AB )A ．2πB ．(1＋2)πC ．22πD ．(2＋2)π[解析] (1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C ．(2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示．∴S ＝3×3×2＋3×5×4－27π4＋9π2＝78－94π.故选B ．(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋2π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为2π，故选A 、B ．名师点拨空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．〔变式训练1〕(2020·河南开封二模)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是( C )A ．6B ．8＋4 6C ．4＋2 6D ．4＋ 6[解析] 由三视图得几何体如图所示，该几何体是一个三棱锥，底面是一个底和高均为2的等腰三角形，一个侧面是一个底和高均为2的等腰三角形，另外两个侧面是腰长为AC ＝AB ＝22＋12＝5， 底边AD 长为22的等腰三角形， 其高为52－22＝3，故其表面积为S ＝2×12×22＋2×12×22×3＝4＋2 6.故选C ．考点二 几何体的体积——师生共研例2 (1)(2021·浙江金色联盟百校联考)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为( )cm 3.( A )A ．π6＋13B ．π3＋16C ．π6＋16D ．π3＋13(2)(2021·云南师大附中月考)如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是( D )A ．56 B ．83 C ．1D ．163(3)(2021·湖北武汉部分学校质检)某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_83π3__.(4)(2020·江苏省南通市通州区)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，且C 1P ＝2PC ．设三棱锥P － D 1DB 的体积为V 1，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V ，则V 1V 的值为_16__.[解析] (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm ，高为1 cm 的半个圆锥和三棱锥S －ABC 组成的，如图，三棱锥的高为SO ＝1 cm ，底面△ABC 中，AB ＝2 cm ，AC ＝1 cm ，AB ⊥AC ．故其体积V ＝13×12×π×12×1＋13×12×2×1×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋13cm 3.故选A ．(2)由题意三视图对应的几何体如图所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即V ＝23－2×13×12×2×2×2＝163，故选D ．(3)该圆锥母线为4，底面半径为2，高为23， V ＝13×π×22×23＝83π3. (4)设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长AB ＝BC ＝a ，高AA 1＝b ， 则VABCD －A 1B 1C 1D 1＝S 四边形ABCD ×AA 1＝a 2b ，VP －D 1DB ＝VB －D 1DP ＝13S △D 1DP·BC＝13×12ab·a＝16a 2b ，∴VP －D 1DB VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16，即V 1V ＝16.[引申]若将本例(2)中的俯视图改为，则该几何体的体积为_83__，表面积为_83__.[解析] 几何体为如图所示的正三棱锥(棱长都为22)． ∴V ＝8－4×43＝83，S ＝4×34×(22)2＝8 3.名师点拨求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体 积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换注：若以三视图的形式给出的几何体问题，应先得到直观图，再求解． 〔变式训练2〕(1)(2020·海南)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A －NMD 1的体积为_13__.(2)(2021·开封模拟)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( C )A ．3B ．32 C ．1D ．32(3)(2017·浙江)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．1(4)(2021·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( B )A ．8B ．8πC ．16D ．16π[解析] (1)如图，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，∴S △ANM ＝12×1×1＝12，∴VA －NMD 1＝VD 1－AMN ＝13×12×2＝13，故答案为：13.(2)如题图，在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3，又因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高，所以V 三棱锥A －B 1DC 1＝13·S△B 1DC 1·AD＝13×12×2×3×3＝1，故选C ．(3)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB ，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积V ＝13×12×1×1×1＝16.故选A ．(4)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：12×22π×4＝8π.故选B ．考点三 球与几何体的切、接问题——多维探究角度1 几何体的外接球例3 (1)(2021·河南中原名校质量测评)已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，若外接球的表面积为16π，则PA ＝_23或2__.(2)(2020·新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( A )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π(3)(2019·全国)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E 、F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( D )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π[解析] (1)由外接球的表面积为16π，可得其半径为2，设△ABC 的中心为O 1，则外接球的球心一定在PO 1上，由正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，得AO 1＝3，在Rt △AOO 1中，由勾股定理可得(PO 1－2)2＋(3)2＝22，解得PO 1＝3或PO 1＝1，又PA 2＝PO 21＋AO 21，故PA ＝9＋3＝23或PA ＝1＋3＝2，故答案为：23或2.(2)由题意可知图形如图：⊙O 1的面积为4π， 可得O 1A ＝2， 则ABsin60°＝2O 1A ＝4，∴AB ＝4sin60°＝23，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝23，外接球的半径为：R＝AO21＋OO21＝4，球O的表面积为：4×π×42＝64π，故选A．(3)∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，∴P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，又E，F分别为PA、AB中点，∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝2，∴P－ABC为正方体一部分，2R＝2＋2＋2＝6，即R＝62，∴V＝43πR3＝43π×668＝6π.名师点拨几何体外接球问题的处理(1)解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．注意：不共面的四点确定一个球面．角度2 几何体的内切球例4 (1)(2020·新课标Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_23π__. (2)(2021·安徽蚌埠质检)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把△AEF ，△CBE ，△CFD 折起构成一个三棱锥P －CEF(A ，B ，D 重合于P 点)，则三棱锥P －CEF 的外接球与内切球的半径之比是_26__.[解析] (1)因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线BS ＝3，底面半径BC ＝1， 则其高SC ＝BS 2－BC 2＝22， 不妨设该内切球与母线BS 切于点D ， 令OD ＝OC ＝r ，由△SOD ∽△SBC ，则OD OS ＝BCBS ，即r22－r ＝13，解得r ＝22，V ＝43πr 3＝23π，故答案为：23π.(2)不妨设正方形的边长为2a ，由题意知三棱锥P －CEF 中PC 、PF 、PE 两两垂直，∴其外接球半径R ＝PC 2＋PF 2＋PE 22＝62a ，下面求内切球的半径r ，解法一(直接法)：由几何体的对称性知，内切球的球心在平面PCH(H 为EF 的中点)内，M 、N 、R 、S 为球与各面的切点，又22＝tan ∠CHP ＝tan2∠OHN ， ∴tan ∠OHN ＝22＝rNH，∴NH ＝2r ， 又PN ＝2r ，∴22r ＝PH ＝22a ，∴r ＝a 4. 解法二(体积法)：V C －PEF ＝13r·(S △PEF ＋S △PCE ＋S △PCF ＋S △CEF )，∴a 3＝r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＋a 2＋2a 2×32a 2，∴r ＝a 4，故R r ＝6a 2·4a＝2 6.名师点拨几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径． 〔变式训练3〕(1)(角度1)(2020·南宁摸底)三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝ PB ＝ PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( B )A ．27π2B ．273π2C ．273πD ．27π(2)(角度1)(2021·山西运城调研)在四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝23，BC ＝6，AD ⊥平面ABC ，四面体ABCD 的体积为 3.若四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( B )A ．49π4B ．49πC ．49π2D ．4π(3)(角度2)棱长为a 的正四面体的体积与其内切球体积之比为_63π__.[解析] (1)因为三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，所以△PAB ≌△PBC ≌△PAC ．因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PC ⊥PB ．以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3323＝273π2.故选B ．(2)如图，H 为BC 的中点，由题意易知AH ＝3，设△ABC 外接圆圆心为O 1，则|O 1C|2＝32＋(3－|O 1C|)2，∴|O 1C|＝23，又12×6×3×|AD|3＝3，∴|AD|＝1，则|OA|2＝|O 1C|2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝494，∴S 球O ＝4πR 2＝49π，故选B ．(3)如图，将正四面体纳入正方体中，显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD 的中心O 1都在正方体的对角线上，设正四面体的棱长为a ，则|AO|＝64a ，又|O 1A|＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，∴内切球半径|OO 1|＝612a ，∴V 正四面体V 内切球＝13×34a 2×63a4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫612a 3＝63π.名师讲坛·素养提升 最值问题、开放性问题例5 (1)(最值问题)(2018·课标全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3(2)(2021·四川凉山州模拟)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝12，AB ＝2，若四面体A －B 1CD 1的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为( C )A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π[解析] (1)设等边△ABC 的边长为a ，则有S △ABC ＝12a·a·sin 60°＝93，解得a ＝6.设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，则球心到平面ABC 的距离为42－232＝2，所以点D 到平面ABC 的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝183，故选B ．(2)设BC ＝x ，BB 1＝y ，由于V ＝12，所以xy ＝6.根据长方体的对称性可知四面体A －B 1CD 1的外接球即为长方体的外接球， 所以r ＝4＋x 2＋y22，所以S ＝4πr 2＝π(4＋x 2＋y 2)≥π(4＋2xy)＝16π， (当且仅当x ＝y ＝6，等号成立)． 故选C ．名师点拨立体几何中最值问题的解法(1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．(2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值．例6 (开放性问题)若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值为_116⎝ ⎛⎭⎪⎫或1412等__(只需写一个可能值)． [解析] 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝AD ＝2，BC ＝1，取AD 的中点H ，则CH ＝BH ＝3，且AH ⊥平面BCH ，又S △BCH ＝114，∴V A －BCD ＝13S △BCH ×2＝116. 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝1，同理可求得V A －BCD ＝1412.〔变式训练4〕(2021·河南阶段测试)四面体ABCD 中，AC ⊥AD ，AB ＝2AC ＝4，BC ＝25，AD ＝22，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是_28π__.[解析] 由已知可得BC 2＝AC 2＋AB 2，所以AC ⊥AB ，又因为AC ⊥AD ，所以AC ⊥平面ABD ，四面体ABCD 的体积V ＝13AC·12AB·ADsin∠BAD ，当∠BAD ＝90°时V 最大，把四面体ABCD 补全为长方体，则它的外接球的直径2R 即长方体的体对角线，(2R)2＝AD 2＋AC 2＋AB 2＝28，所以外接球的表面积为4πR 2＝28π.。
高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积
(2)(2016· 浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：
2 32 cm3. 72 cm)， 则该几何体的表面积是______cm ， 体积是______
解析
由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图
所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中 AB ＝ BC ＝ 2 cm ， BD ＝ 4 cm ，所以该几何体的体积 V ＝ 2×2×4×2＝32 cm3，表面积 S＝(2×2×3＋2×4×3)×2 ＝36×2＝72 cm2.
圆柱侧
＝π×2×4＝8π.又 S
＝2π×2×4＝16π，S
圆柱底
＝
4π，∴该几何体的表面积为 8π＋16π＋4π＝28π.故选 C.
方法技巧 几何体表面积的求法 1．简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分 的删或补． 2．若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图， 想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关 系． 提醒： 求组合体的表面积时， 组合体的衔接部分的面积 要减去．
题型 2 角度 1 典例
空间几何体的体积 根据几何体的三视图计算体积 (2017· 浙江高考) 某几何体的三视图如图所示 )
(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(
π A. ＋1 2 3π C. ＋1 2
π B. ＋3 2 3π D. ＋3 2 还原几何体，分清组合体构成部分．
解析
由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面
半径为 1， 高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体， ∴该几何体的体积 1 π 2 1 1 π V＝ × ×1 ×3＋ × × 2× 2×3＝ ＋1. 3 2 3 2 2 故选 A.
高考数学一轮复习第六章第二讲空间几何体的表面积与体积课件
图 6-2-7
解析：设上部圆柱的体积为 V1，则
V1＝π×322×2
3＝9
3π 2.
设中、下部圆台的体积分别为 V2，V3，则
V2＝31×49π＋841π＋247π×3 3
＝1174 3π，
V3＝31×49π＋841π＋247π× 3
＝39
4
3π .
所以该青铜器的体积为 V＝V1＋V2＋V3＝87 2 3π(cm3).故选 A.
因为R2＋R1＝2l ， R2－R1＝4l ，
所以RR12＝＝8l2－＋88lll82，．
因为 R1>0 且 R2>0，所以 l∈(0，2 2).
设圆台的体积为 V， V＝13(πR21 ＋πR22 ＋ πR21 ·πR22 )·h ＝13(πR21 ＋πR22 ＋πR1R2)·h ＝ 135π(R21 ＋R22 ＋R1R2)·(R2－R1). ＝ 135π34(R2＋R1)2＋14(R2－R1)2(R2－R1)
三棱台 ABC-A1B1C1 的体积记为 V1，三棱锥 B-A1B1C 的体积记为
V2，则VV12＝(
)
图 6-2-4
A.74
B.73
C.72
D.7
解析：∵AB∶A1B1＝1∶2， ∴BC∶B1C1＝1∶2. ∴SBCB1∶SB1C1C ＝1∶2，S△ABC∶SA1B1C1＝1∶4. ∴V A1BCB1∶V A1B1C1C＝1∶2. 设三棱台的上、下底面面积分别为 S 和 4S，高为 h，
【题后反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积 之和. (3)求组合体的表面积时应注意对衔接部分的处理.
【变式训练】 1.(2023 年宜宾市期末) 在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝2 ，将 △ABC 绕直线 AB 旋转一周，得到的旋转体的表面积为( )
高考数学一轮总复习 第七章 第2节 空间几何体的表面积与体积课件
A．7
B．6
C．5
D．3
[解析] 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.
由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
[答案] A
3．(2014·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在直线
为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π
B．3π
C．2π
D．π
[解析] 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面
半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
[答案] C
4．(2013·新课标高考全国卷Ⅱ)已知正四棱锥 O-ABCD 的
体积为322，底面边长为 3，则以 O 为球心，OA 为半径的球 的表面积是________.
[ห้องสมุดไป่ตู้析] 设 O 到底面的距离为 h，则13×3×h＝322，解得 h
(2)(2015·潍坊市考前适应性训练)如图为某个几何体的三视 图，则该几何体的侧面积为( )
A．16＋4π C．16＋8π
B．12＋4π D．12＋8π
[解析] (1)由三视图知该几何体为一个四棱柱、一个半圆 柱和一个半球的组合体，其中四棱柱上表面与半球重合部分之 外的面积为 1×2－12×π×12＝2－π2，四棱柱中不重合的表面积 为 2－π2＋1×2×2＋2×2＋2＝12－π2，半圆柱中不重合的表面 积为12×2π×2＋12π＝52π，半球的表面积为12×4π＝2π，所以该几 何体的表面积为 4π＋12.
A．3
B．2 5
C．6
D．8
思路点拨 根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观
图的图形特征求其表面积或侧面积．
[解析] (1) 如图，由三视图可知该几何体是棱长为 2 的正
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 空间几何体的表面积与体积
分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一 个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程，求 解所需的几何元素.
解 如图所示,正三棱台ABC- A1B中1C1,O、 分O1别为两底面中心,D、 分D别1 为 BC和 中B点1C1,则 为棱D台D的1 斜高.
设A1B=1 20,AB=30,则OD=53
第二节 空间几何体的表面积与体积
基础梳理
1. 柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面 的面积之和,即侧面积与底面积之和.
2. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的 表面积就是展开图的面积.
3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积
S圆柱侧 =2 rl, S柱 =2 r r l ; S圆锥侧 = rl, S锥 = r r l ;
400 c，m2试
即9 x2 72 x2 202,解得x=15 cm,
∴R=25 cm.故 S球 4 R2 2 500 cm2 .
（2）当球心在两个截面之间时，如图2所示， 设OD=x cm，则OC=(9-x)cm. 由题意得 CA2 49 ,CA 7 cm， ∴CA=7 cm， 同理可得BD=20 cm. 设球半径为R,
举一反三
4. 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放
一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取
出,求这时容器中水的深度.
解析：如图,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球 在容器内时,水的深度为3r,水面半径为 3r,则
容器内水的体积为V
V圆锥
V球
=
r 2 h,V圆锥
=
1
3
r 2 h,V圆台