2019高考数学解专项练3应用题
2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版) 不等式选讲
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见解析． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．专题不等式选讲由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】（1）见解析；（2）最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．【名师点睛】本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题． 【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】（1）{}1x x ≥；（2）54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，【解析】（1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤； 当2x >时，由()1f x ≥解得2x >． 所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥．（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而2223551212244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤++--+=-+≤ ⎪⎝⎭-，且当32x =时，25124x x x x +---+=． 故m 的取值范围为54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明；了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．主要考查考生的数学运算能力，以及对分类讨论思想和数形结合思想的应用．【命题规律】主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式呈现，难度中等，分值10分． 【知识总结】 1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立．定理2：（基本不等式）如果a ，b>0，那么2a b+，当且仅当a=b 时，等号成立． 即两个正数的算术平均不小于（大于或等于）它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R +，那么3a b c ++a=b=c 时，等号成立． 即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．推广：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即12…n a a a n+++a 1=a 2=…=a n 时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集：不等式a>0 a=0 a<0 |x|<a{–a<x<a} ⌀⌀|x|>a{x|x>a或x<–a} {x|x≠0且x∈R}R（2）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法：①若c>0，则|ax+b|≤c等价于–c≤ax+b≤c，|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤–c，然后根据a，b的值解出即可；②若c<0，则|ax+b|≤c的解集为⌀，|ax+b|≥c的解集为R．（3）|x–a|+|x–b|≥c（或≤c）（c>0），|x–a|–|x–b|≤c（或≥c）（c>0）型不等式的解法：零点分区间法零点分区间法的一般步骤为：①令每个绝对值符号内的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序，并把实数集分成若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集．几何法（利用|x–a|的几何意义）由于|x–a|+|x–b|与|x–a|–|x–b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x–a|+|x–b|≤c （c>0）或|x–a|–|x–b|≥c（c>0）的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象是解题的关键．注意：分区间讨论时，一是不要把分成的区间的端点遗漏；二是原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集．（4）|f（x）|>g（x），|f（x）|<g（x）（g（x）>0）型不等式的解法：①|f（x）|>g（x）⇔f（x）>g（x）或f（x）<–g（x）；②|f（x）|<g（x）⇔–g（x）<f（x）<g（x）．3．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a–c|≤|a–b|+|b–c|，当且仅当（a–b）（b–c）≥0时，等号成立．上述定理还可以推广到以下两个不等式：（1）|a1+a2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a n|；（2）||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|．4．证明不等式的基本方法（1）比较法①作差法：要证明a>b，只需证a–b>0．②作商法：要证明a>b，b>0，只要证ab>1．（2）综合法从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．（3）分析法从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立．（4）反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．（5）放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．5．柯西不等式（1）二维形式的柯西不等式定理1：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad=bc 时，等号成立．（2）柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立．（3）二维形式的三角不等式定理3：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ． （4）一般形式的柯西不等式定理：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则（21a +22a +…+2n a ）·（21b +22b +…+2n b ）≥（a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ）2，当且仅当b i =0（i=1，2，…，n ）或存在一个数k ，使得a i =kb i （i=1，2，…，n ）时，等号成立． 【方法总结】1．解绝对值不等式的常用方法（1）基本性质法：对a ∈R +，|x|<a ⇔–a<x<a ，|x|>a ⇔x<–a 或x>a ． （2）平方法：两边平方去掉绝对值符号．（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解．（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．（5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．2．含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法（1）分离参数法：运用“f （x ）≤a ⇔f （x ）max ≤a ，f （x ）≥a ⇔f （x ）min ≥a ”可解决恒成立问题中的参数范围问题．求最值的思路：①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；②将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；③利用性质“||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值． （2）更换主元法：求解含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．（3）数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可更直观解决问题．注意：不等式的解集为R 是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为⌀的对立面也是不等式恒成立问题，如f （x ）>m 的解集为⌀，则f （x ）≤m 恒成立． 3．不等式能成立问题（1）在区间D 上存在实数x 使不等式f （x ）>A 成立，等价于在区间D 上f （x ）max >A ； （2）在区间D 上存在实数x 使不等式f （x ）<B 成立，等价于在区间D 上f （x ）min <B ． 4．不等式恰成立问题（1）不等式f （x ）>A 在区间D 上恰成立，等价于不等式f （x ）>A 的解集为D ； （2）不等式f （x ）<B 在区间D 上恰成立，等价于不等式f （x ）<B 的解集为D ． 5．证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明，用换元法证明不等式时，要注意新元的取值范围．证明不等式常用的思路：利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义将问题转化为函数问题求解．6．利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法（1）在运用基本不等式求函数的最大（小）值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件．（2）在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知函数()2f x x a x =-+，其中0a >．（1）当1a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()()222f x a f x +-≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【解析】（1）当1a =时，()31,11,1x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩．当1x ≥时，由()23121f x x x ≥⇒-≥⇒≥， 当1x <时，由()2121f x x x ≥⇒+≥⇒≥不成立．综上所述，当1a =时，不等式()2f x ≥的解集为[)1,+∞． （2）记()()()22=h x f x a f x =+-2x x a a --+，则()0,04,04,x h x x x a ax a ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，∴()()max |22|4f x a f x a +-=． 依题意得42a ≤，∴12a ≤． 所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知函数()|3|2f x x =+-．（1）解不等式()||<1f x x -；（2）若x ∃∈R ，使得()|21|f x x b ≥-+成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）{}|0x x <；（2）32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．【解析】（1）由()1f x x <-，可得321x x +-<-， 当1x ≥时，321x x +-<-不成立，当31x -<<时，321x x +-<-，∴30x -<<， 当3x ≤-时，321x x ---<-，51-<成立， ∴不等式()1f x x <-的解集为{}|0x x <． （2）依题意，3212x x b +---≥，令()6,3132123,3212,2x x g x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+---=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，易知()max 1322g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，则有32b ≥，即实数b 的取值范围是32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． 【名师点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的思想即可求解，属于常考题型．3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值；（2）设g （x ）＝f （x 12+）+f （x ﹣1），g （x ）的最大值为t ，若正数m ，n 满足m +n ＝t ，证明：49256m n +≥．【答案】（1）2a =；（2）见解析．【解析】（1）由()01f =-，得11a -=-，即2a =±． 由()13f -=，得123a a +--=，所以2a =． （2）由（1）知()2122f x x x =--+，所以()()1123232g x f x f x x x ⎛⎫=++-=--+ ⎪⎝⎭36,2334,2236,2x x x x ⎧≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()g x 的最大值为6，即6t =． 因为6(0,0)m n m n +=>>，所以()491491491366n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为4912n m m n +≥=（当且仅当125m =，185n =时取等号）， 所以()49125131266m n +≥⨯+=． 【名师点睛】本题主要考查了绝对值函数性质的研究，基本不等式的应用，属于中档题． 4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围；（2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->．【答案】（1）(),6-∞；（2）见解析．【解析】（1）令15y x x =++-=24,16,1524,5x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，则当1x ≤-时，6y ≥；当15x -<<时，6y =；当5x ≥时，6y ≥，综上可得6y ≥，即156x x ++-≥． 故要使不等式15x x m ++-≤的解集是空集，则有6m <，所以实数m 的取值范围为(),6-∞．（2）由,a b 为不相等的正数，得要证0a b b a a b a b ->，即证a b b a a b a b >，只需证1a b b a a b -->，整理得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，①当a b >时，0,1a a b b ->>，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，②当a b <时，0,01a a b b -<<<，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，综上可得当,a b 均为正数时1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而0a b b a a b a b ->成立．【名师点睛】（1）解得第一问的关键在于转化，即转化为函数15y x x =++-的图象与直线y m =无公共点，结合函数的最小值及图象易得答案．（2）证明不等式时，要根据不等式的特点选择合适的方法进行证明，常用的方法有综合法、分析法、放缩法等．5．【四川省巴中市2019届高三零诊考试数学】已知函数f （x ）=|x –a |+|x |．（1）当a =2时，解不等式f （x ）≥3的解集；（2）若存在x ∈R ，使得f （x ）＜3成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{x |x ≤–12或x ≥52}；（2）（–3，3）． 【解析】（1）由()f x x a x =-+，2a =时，不等式()3f x ≥为23x x -+≥， 等价于0223x x <⎧⎨-+≥⎩，解得12x ≤-； 或0223x ≤≤⎧⎨≥⎩，解得x ∈∅； 或2223x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得52x ≥； 所以不等式()3f x ≥的解集是{12x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭． （2）若存在x ∈R ，使得()3f x <成立，则()min 3f x <，①当0a >时，()2,0,02,a x x f x a x a x a x a -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，()min f x a ∴=，即3a <，a ∴的取值范围是0<<3a ；②当0a =时，()2f x x =，()()min 003f x f ∴==<，0a ∴=符合题意；③当0a <时，()2,,02,0a x x a f x a a x x a x -<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，()min 3f x a ∴=-<，即3a >-，a ∴的取值范围是33a -<<；综上，实数a 的取值范围是()3,3-．【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法，含参数绝对值函数的分类讨论，属于中档题．6．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】已知函数()29f x x x =+-．（1）解不等式()15f x <；（2）若关于x 的不等式()f x a <有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}311x x <<；（2）9a >． 【解析】（1）由题意，()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩，∵()15f x <，∴931815x x ≥⎧⎨-<⎩或091815x x ≤<⎧⎨-<⎩或018315x x <⎧⎨-<⎩， 解不等式得所求解集为{}311x x <<．（2）依题意，求()f x 的最小值即可， ()318,918,09183,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=-≤<⎨⎪-<⎩的最小值为9，∴9a >．【名师点睛】求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f （x ）<a 恒成立⇔a >f （x ）max ，f （x ）>a 恒成立⇔a <f （x ）min ． 第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法． 7．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟（二）数学】已知函数()3()f x x a x x =-++∈R ．（1）当2a =时，求()5f x x ≥-的解集；（2）若()7f x ≥对任意[3,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）R ；（2）(,2][4,)-∞+∞U ．【解析】（1）当2a =时，不等式()5f x x ≥-为235x x x -++≥-．当3x <-时，4235,3x x x x ---≥-≤，解得3x <-； 当32x -≤≤时，235,10x x x x -++≥-≤，解得32x -≤≤；当2x >时，235,6x x x x -++≥-≥-，解得2x >．综上，所求不等式的解集为R ．（2）据题意，得37x a x -++≥对任意[)3,x ∈+∞成立， 40x a x ∴-+-≥对任意[)3,x ∈+∞成立．当4x ≥时，a ∈R ；当34x ≤<时，4x a x -≥-，∴2222168x ax a x x -+≥-+，∴()()()4424a a a x +-≥-若4a =，分析知，满足题设；若4a >，则42a x +≥，∴48,4a a +≥≥，4a ∴>满足题设；若4a <，则42a x +≤，∴46,2a a +≤≤综上，所求实数a 的取值范围是][(),24,-∞+∞U ．【名师点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的恒成立问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值，转化为等价不等式求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．8．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+．（1）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（2）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）[)1,+∞． 【解析】（1）当1a =时，不等式()()3f x g x -≤，等价于111x x --+≤； 当1x ≤-时，不等式化为()()111x x --++≤，即21≤，解集为∅；当11x -<<时，不等式化为()()111x x ---+≤，解得112x -≤<； 当1x ≥时，不等式化为()()111x x --+≤，即21-≤，解得1x ≥； 综上，不等式的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）当x ∈R 时，()()2112f x g x x a a x x a x a +=-+++≥---+12a a =++，()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，若1a <-，则()124a a -++≥，∴a ∈∅；若1a ≥-，则124a a ++≥，∴1a ≥．综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞．【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想．9．【云南省玉溪市第一中学2019届高三上学期第二次调研考试数学】已知函数()=413f x x x -+--．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若函数1-=ax y 的图象与()f x 的图像有公共点，求a 的取值范围．【答案】（1）{|16}x x -≤≤；（2）1(,2)[,)4-∞-+∞U ．【解析】（1）由题意()4f x ≤即是417x x -+-≤，由绝对值的几何意义可得解集为{|16}x x -≤≤．（2）()22,10,1428,4x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，所以a 的取值范围是1(,2)[,)4-∞-+∞U ．【名师点睛】本题考查含绝对值的函数，求参数范围要先去函数绝对值，是常考题型． 10．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】设函数()()2241,f x x x g x x m x m=+-+=++-，其中0m ≠． （1）解不等式()4f x ≤； （2）设()(),f x g x 的值域分别为,A B ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）][2,11,2⎡⎤--⎣⎦U ． 【解析】（1）()33,25,2x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩， 由4f x ≤（）得，2334x x ≥-≤⎧⎨⎩或254x x <-+≤⎧⎨⎩，解得713x ≤≤， ∴4f x ≤（）的解集为713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． （2）()33,25,2x x f x x x -≥⎧=⎨-+<⎩，根据函数的单调性得[3A =+∞，）， ()()222g x x m x x m x m m m m ⎛⎫=++-≥+--=+ ⎪⎝⎭，当x =–m 时取等号， ∴B =2m m ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭，时，A ⊆B ， ∴23m m+≤，即23m m +≤， ∴2||320m m -+≤，化简得12m ≤≤，∴m 的取值范围[–2，–1]∪[1，2]．【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，根据集合的关系求参数的取值范围，属中档题．11．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷文科数学】设函数()31,f x x x x =++-∈R ，不等式()6f x ≤的解集为M ．（1）求M ；（2）当x M ∈时，()1f x a x ≥-恒成立，求正数a 的取值范围．【答案】（1）{}|4 2 M x x =-≤≤；（2）(]0,1 【解析】（1）()()()()223,31431,221,x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩ 当3x <-时，226x --≤，解得43x -≤<-；当31x -≤≤时，46≤，可得31x -≤≤；当1x >时，226x +≤，解得12x <≤．综上，不等式()6f x ≤的解集{}|4 2 M x x =-≤≤．（2）当43x -≤≤-时，()1f x a x ≥-等价于()22a x a -≥+，得01a <≤， 当31x -≤≤时，()1f x a x ≥-等价于40ax a -+≥，得01a <≤，当12x <≤时，()1f x a x ≥-等价于()220a x a ---≤得06a <≤，综上，实数a 的取值范围为(]0,1．【名师点睛】本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想与集合的应用问题，是中档题．12．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知函数()13f x x x =-+-的最小值为m ．（1）求m 的值并指出此时x 的取值集合：（2）求不等式()4f x ≤的解集．【答案】（1）2m =，{}|1 3 x x ≤≤；（2）{}|0 4 x x ≤≤．【解析】（1）设()(),01,0,(3,0)P x A B ，13x x -+-的几何意义是P 点到,A B 两点距离之和，由平面几何知识可知：当P 点在线段AB 上时，13x x -+-有最小值，且最小值为2，即2m =，此时[]1,3x ∈，所以x 的取值集合为{}|1 3 x x ≤≤；（2）当3x ≥时，()13244434f x x x x x x =-+-=-≤⇒≤∴≤≤； 当13x <<时，()132413f x x x x =-+-=≤⇒<<；当1x ≤时，()13244001f x x x x x x =-+-=-+≤⇒≥⇒≤≤，综上所述 不等式()4f x ≤的解集为{}|0 4 x x ≤≤，【名师点睛】本题考查了利用绝对值的几何意义求函数的最小值问题，以及用零点法求绝对值不等式问题，考查了分类讨论思想、数形结合思想．13．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()(0,0)f x x a x b a b =-++>>．（1）当1a =，2b =时，解不等式()5f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)2,+∞，证明：1111311a ab b +++≥++． 【答案】（1）{|24}x x -<<；（2）见证明．【解析】（1）当1a =，2b =时，()125f x x x x =-++<+，①当2x <-时，不等式可化为215x x --<+，即2x >-，无解，②当21x -≤≤时，不等式可化为35x <+，即2x >-，得21x -<≤，③当1x >时，不等式可化为215x x +<+，即4x <，得14x <<，综上，不等式的解集为{|24}x x -<<．（2）()f x x a x b a b =-++≥+，∵()f x 的值域为[)2,+∞，0a >，0b >，∴2a b +=，故114a b +++=， ∴1112a b a b a b a b ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()11222222b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭，111111111411a b a b a b a b ++++++⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭1112411b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭()12214≥+=． ∴1111311a ab b +++≥++． 【名师点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．14．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学】设函数()|1|3||f x x x a =++-．（1）当1a =时，解不等式()22f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()4|22|f x x a ≥+-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）(,5][3,)-∞-+∞U ． 【解析】（1）()|1|3||22f x x x a x =++-≤+， 可转化为14222x x x ≥⎧⎨-≤+⎩或114222x x x -<<⎧⎨-≤+⎩或12422x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩， 解得12x ≤≤或112x ≤<或无解， 所以不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）依题意，问题等价于关于x 的不等式|1|||4x x a ++-≥恒成立，即min (|1|||)4x x a ++-≥，又|1||||1||1|x x a x x a a ++-≥+-+=+，当(1)()0x x a +-≤时取等号． 所以|1|4a +≥，解得3a ≥或5a ≤-，所以实数a 的取值范围是(,5][3,)-∞-+∞U ．【名师点睛】解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图像法（或几何法）、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法（或几何法）求解时注意图像的正确刻画． 15．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()22f x x x a =-++，a ∈R ．（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围．【答案】（1）4(,][2,)3-∞-+∞U ；（2）(7,1)--．【解析】（1）当1a =时，2215x x -++≥，由()5f x ≥得4(,][2,)3-∞-+∞U ．当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥； 当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以此时不等式无解； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-． 所以原不等式的解集为()2222f x x x x a +-=-++．（2）()2422244x x a x a x a =-++≥+--=+43a +<．因为原命题等价于()221f x x x =-++， 所以43a +<，所以71a -<<-，即实数a 的取值范围为(7,1)--．【名师点睛】本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键，属于中档题．。
2019年高考文科数学题型秘籍【34】一元二次不等式及其解法(解析版)
高考数学精品复习资料2019.5专题三十四 一元二次不等式及其解法【高频考点解读】1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 【热点题型】题型一 一元二次不等式的解集 例1、不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2.－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)【提分秘籍】1．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先需将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．2．由二次函数图象与一元二次不等式的关系，可以得到两个常用的结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0c >0或⎩⎨⎧ a >0Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0或⎩⎨⎧a <0Δ<0.【举一反三】已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【热点题型】题型二 一元二次不等式的解法 例2、 (1)不等式x －12x ＋1≥0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)(高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}【提分秘籍】 解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．【热点题型】题型三含参数的一元二次不等式的解法例3、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．【提分秘籍】解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．提示：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向．【举一反三】解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.【热点题型】题型四一元二次不等式的应用例4、某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？【提分秘籍】解不等式应用题，一般可按如下四步进行(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题． 【举一反三】行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系，s ＝nv 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6<s 1<8，14<s 2<17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【高考风向标】1．（20xx·全国卷） 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）＞0，|x |＜1的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜0}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |x ＞1}2．（20xx·安徽卷） 设函数f(x)＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a>0，区间I ＝{x|f(x)>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋k 时，求I 长度的最小值．3．（20xx·安徽卷） 函数y ＝ln1＋1x＋1－x 2的定义域为________．4．（20xx·重庆卷） 设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．5．（20xx·重庆卷） 关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a>0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152【随堂巩固】1．不等式x －2x 2－1＜0的解集为( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |x ＜2且x ≠1}C ．{x |－1＜x ＜2且x ≠1}D ．{x |x ＜－1或1＜x ＜2}2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)3．不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x <－12D ．x ≤－12或x ≥34．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－35或a >1 B ．－35<a <1C ．－35<a ≤1或a ＝－1D ．－35<a ≤15．已知命题p ：存在x ∈R ，使得mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，均有x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≤－2B ．m ≥2C ．m ≥2或m ≤－2D ．－2≤m ≤26．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x－b)>0的解集是[2,3]，则a＋b ＝()A．1 B．2C．4 D．87．已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，则不等式f(x－1)<|x|的解集为________．9．已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1,2]，且y∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．10．若关于x的不等式x2＋12x－⎝⎛⎭⎫12n≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]恒成立，求实常数λ的取值范围．11．一个服装厂生产风衣，日销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x元．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？12．已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|.(1)若不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，求实数a的取值范围；(2)解不等式f(x)>3x.。
2019年全国三卷理科数学压轴题解答
【2019年全国三卷理科数学第20题】20.已知函数32()2f x x ax b .(1)讨论()f x 的单调性;(2)是否存在a ,b 使得()f x 在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a ,b 的所有值;若不在,说明理由. 解:(1)2()626()3a f x x ax x x ; ①当0a 时,2()60f x x ≥在R 上恒成立,所以此时,()f x 在R 上单调递增; ②当0a 时,令()0f x 0x 或3a x ,令()003a f x x , 所以此时,()f x 在(,0) 和(,)3a 上单调递增,在(0,)3a 上单调递减; ③当0a 时,令()0f x 3a x 或0x ,令()003a f x x , 所以此时,()f x 在(,)3a 和(0,) 上单调递增,在(,0)3a 上单调递减. (2)由(1)知当0a ≤时,()f x 在[0,1]上单调递增, 所以此时,min max ()(0)1,0()(1)21,1f x f b a f x f a b b ;当03a 时,013a ,所以此时()f x 在(0,)3a 上单调递减,在(,1)3a 上单调递增, 所以此时,333min ()()21327927a a a a f x f b b ,max 2,02()max{(0),(1)}max{,2},23a b a f x f f b a b b a≤, 当02a联立31,02721,a b a a a b 或02a 矛盾,故舍去; 当23a ≤联立31,271,a b a b ,这与23a ≤矛盾,故舍去; 当3a ≥时,13a ≥,所以此时()f x 在[0,1]上单调递减, 所以此时,min max ()(1)21,4()(0)1,1f x f a b a f x f b b ; 所以综上所述:01a b 和41a b.【2019 年全国三卷理科数学第 21 题】 21.已知曲线C :22x y ,D 为直线12y 上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B . (1)证明:直线AB 过定点; (2)若以5(0,)2E 为圆心与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积. 解:(1)显然直线AB 的斜率一定存在,设AB l :y kx m ,11(,)A x y ,22(,)B x y .联立22,2202,x y x kx m y kx m ;由韦达定理知:122x x k ,122x x m . 对22x y 求导得y x ,所以1AD k x ,AD l :111()y y x x x ;2BD k x ,BD l :222()y y x x x . 联立111222(),(),y y x x x y y x x x 消去x 得:122112y y y y x x x x ; 因为直线AD 与BD 相交于点D ,所以1221121122y y x x x x , 即22122112112222x x x x x x ,化简得:121x x ;而122x x m ,所以12m . 所以AB l :12y kx ;所以直线AB 过定点1(0,)2. (2)设直线AB 的中点为00(,)F x y ,则EF ⊥AB . 而1202x x x k ,22222121212120()244124442y y x x x x x x k m y k , 所以21(,2F k k ,所以22152122EF k k k k k k ,所以1k . 当1k 时,2210x x解得:11x,132y,所以3(12A ; 此时:AD l:3((112y x ,令12y 得:1x .所以1(1,2D ,所以此时:12|||4AB x x ; 设E 到直线AB 的距离为1d ,D 2d ;则1dd所以12111||4222ADBE ABD ABE S S AB d △△而当1k 时,根据对称性可知此时四边形ADBE的面积也是所以综上所述; 四边形ADBE的面积为。
2019年高考数学专题分段函数与应用(第三季)压轴题必刷题理
专题02分段函数及其应用第三季1．已知函数若方程有且仅有一个实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11m -<<B ． 或1m =C ．D ．或1m =【答案】D【解析】原问题等价于在区间(]1,1-内只有一个实数根， 即函数()f x 与函数的图象在区间(]1,1-内只有一个交点，据此绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知：或()01g =，由可得，由()01g =可得1m =，综上可得：实数m 的取值范围是或1m =.本题选择D 选项.2．已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，则下列判断中一定成立的是（ ）A ．1212x x += B ．1214x x << C ．3449x x << D ．【答案】C 【解析】方程的四个实根从小到大依次为函数与函数xy eb -=+的图象有四个不同的交点，且交点的横坐标从左到右为1234,,,x x x x ，作函数与函数xy eb -=+的图象如下，由图可知，，故344x x ⋅>， 3412x x ⋅<，易知，即，即，即，即，又，，故，故选C.3．设函数，若恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】当时，在上单调递增，，当时，令得或．（1）若，即时，在上无零点，此时，∴在[1,+∞)上有两个零点，符合题意；（2）若，即时，在(−∞,1)上有1个零点，∴在上只有1个零点，4．定义在R 上的函数若关于x 的方程(其中2m >)有n 个不同的实根1x ,2x ,…, n x ,则（ ）A ．5eB ．4eC ．14eD ．13e【答案】C【解析】画出函数的图象，如图，由图可知函数()f x 的图象关于,x e =对称，解方程方程，得()1f x =或, ()1f x =时有三个根，，时有两个根452x x e += ，所以关于x 的方程共有五个根，455x x e+=，,故选C.5．为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（ ）A ．或或B ．或C ．或D ．或【答案】A【解析】作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切．分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点．故选.6．已知定义在R 上的函数且,若方程有三个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是 A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,34⎛⎫--⎪⎝⎭C ．D ．【答案】C 【解析】因为，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，作出函数()f x 的图象（如图所示），方程有三个不相等的实数根，即直线2y kx =+与()y f x =的图象有3个不同的交点，当0k > 时，由图象得113k <<，同理得，即或113k <<.故选C.7．已知函数，若函数的图象与轴的交点个数不少于2个，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】由题可知函数的图象与轴的交点个数不少于2个，即为函数y=f(x)的图像与函数y=mx+m 的图像的交点个数不少于2个，由于函数y=mx+m 的图像过定点P （-1,0），且斜率为m,作出函数y=f(x)的图像如图所示，数形结合可知，当动直线过点A时有2个交点，当动直线为的切线时，即过点B时有两个交点，在这两种极限位置之间有3个交点，易知设直线y=mx+m与函数的图像相切，联立方程组由题可知又x>1.所以过点（-1,0）作的切线，设切点坐标为，则此时，切线的斜率为故实数m的取值范围为.综上实数m的取值范围为.故选A.8．已知函数，若且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D9．已知函数，则关于的方程（）的实根个数不可能为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，在上是减函数，当时，在上是减函数，在）上是增函数，做出的大致函数图象如图所示：设，则当时，方程有一解，当时，方程有两解，当时，方程有三解．由得若方程有两解则∴方程不可能有两个负实数根，∴方程不可能有2个解．故选A．10．已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则的最小值是（）A． B． C．3 D．2【答案】A【解析】, ,时，；时，，时，最大值为；，时，最大值为；时最大值为，时，最大值为，，对任意均成立，最小值为，故选A.11．已知函数，若存在，使得关于的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】, ,当时, ,其对称轴,则函数在上为增函数,此时的值域为;当时, ,其对称轴,则函数在上为增函数,此时函数的值域为,函数在上为减函数,值域为.由于关于的函数有三个不同的零点,所以.而为增函数,故.所以.故选B.12．定义在上的函数满足，当时，，函数.若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得函数在[0,1]上的值域为，函数在[1,上是减函数，在上是增函数，所以函数在上的值域为.所以函数在的值域为∪.因为定义在上的函数满足，所以函数在的值域为∪.所以函数在的值域为∪.所以函数f(x)在的最小值为-12.∵函数g（x）=x3+3x2+m，∴=3x2+6x，令3x2+6x＞0，所以x＞0或x＜﹣2，令3x2+6x＜0，所以﹣2＜x＜0，∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）单调递增．在（﹣2，0）单调递减，∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，∴﹣12≥m﹣16，故实数满足m≤4，故答案为：A13．已知函数，.设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，∵，∴，∴．当时，单调递增，∴．综上可得．若存在实数，使得成立，则，即，整理得，解得．∴实数的取值范围为．故选B．14．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】,由二次函数的对称性可得由可得，函数有四个不同的零点，等价于的图象与的图象有四个不同的交点，画出的图象与的图象，由图可得，∴∴=令，∴，故选B.15．设函数，若存在互不相等的4个实数，使得，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C则，令，解得，可知函数在区间单调递减，在区间上单调递增，若使函数有两个零点，必有，解得，故选C.16．已知函数，若恰有5个不同的根，则这5个根的和的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨设的个根从小到大为，即为与交点横坐标从小到大为，由正弦定理函数的对称性可得，，于是由，得，由，得，，，即个根的和的取值范围为，故选A.17．已知为定义在上的函数，其图象关于轴对称，当时，有，且当时，，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】f（x）为定义在R上的偶函数，且当x≥0时，有f（x+1）=-f（x），且当x∈[0，1）时，f（x）=log2（x+1），故函数f（x）的图象如下图所示：所以恰有个不同的零点，则只需y=kx与y轴右边x轴上方的图像交两个点和与y轴左边x轴下方的交两个点即可，而在，故，又y轴左边x轴下方的交两个点只需，故综合得答案为：，故选D.18．已知函数（是自然对数底数），方程有四个实数根，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，一个根在（，+∞）内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即（）2+t+1＜0，解得：t＜．所以，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，）．选B.19．已知函数，若关于的方程有两个不等实数根，，且，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为f(x)=x3+sinx是奇函数且f′(x)=3x2+cosx≥0，所以f(x)=x3+sinx单调递增，若关于x的方程f(g(x))+m=0恰有两个不等实根，等价于f(t)+m=0有且只有一个根，t=g(x)有且只有两个根，且，所以，设函数t(x)=x-2ln(x+l)+2,则，所以当0<x<1时，t′(x)<0，t(x)单调递减，当x>1时，t′(x)>0，t(x)单调递增，所以，f(x)的极小值即最小值是t(1)=3-21n2，即的最小值为3-2ln2.本题选择D选项.20．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当x＞0时，f（x）=，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）=e (x+1)2，x≤0，x＜-1时，f（x）递减；-1＜x＜0时，f（x）递增，可得x=-1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y=a，可得e (x1+1)2=e (x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．故选B.。
贵州省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析
贵州省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前贵州省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（5分）已知集合A={-1,1,2}，B={x|x²≤1}，则A∩B=（）A。
{-1,1} B。
{0,1} C。
{-1,1} D。
{0,1,2}2.（5分）若z(1+i)=2i，则z=（）A。
-1-i B。
-1+i C。
1-i D。
1+i3.（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著。
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A。
0.5 B。
0.6 C。
0.7 D。
0.84.（5分）(1+2x²)(1+x)⁴的展开式中x³的系数为（）A。
12 B。
16 C。
20 D。
245.（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a₅=3a₃+4a₁，则a₃=（）A。
16 B。
8 C。
4 D。
26.（5分）已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，则（）A。
a=e，b=-1 B。
a=e，b=1 C。
a=e¹，b=1- D。
a=e¹，b=-1-7.（5分）函数y=在[-6,6]的图象大致为（）A。
2019年高考数学真题分类汇编专题19：导数在函数中的应用(综合题含解析)
2019年高考数学真题分类汇编专题19：导数在函数中的应用（综合题）一、解答题1.（2019•江苏）设函数、为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．2.（2019•浙江）已知实数a≠0，设函数f（x）=alnx+ .x>0（1）当a=- 时，求函数f（x）的单调区间（2）对任意x∈[ ，+∞）均有f（x）≤ ，求a的取值范围3.（2019•天津）设函数，其中.（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若，（i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.4.（2019•天津）设函数为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.5.（2019•全国Ⅲ）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当0<a<3时，记在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.6.（2019•全国Ⅲ）已知函数f（x）=2x3-ax2+b.（1）讨论f（x）的单调性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。
7.（2019•全国Ⅲ）已知曲线C: ，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.8.（2019•卷Ⅱ）已知函数，证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.9.（2019•卷Ⅱ）已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.10.（2019•北京）已知函数f（x）= x3-x2+x.（I）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程；（II）当x∈[-2，4]时，求证：x-6≤f（x）≤x；（IlI）设F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[-2，4]上的最大值为M（a）. 当M（a）最小时，求a的值.11.（2019•卷Ⅰ）已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f‘(x)为f(x)的导数。
2019年高考全国Ⅲ卷理科数学(解析版)
2019年高考全国Ⅲ卷理科数学（解析版）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A．{－1，0，1}B．{0，1}C．{－1，1} D．{0，1，2}A【考查目标】本题主要考查集合的交运算与一元二次不等式的求解，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】集合B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1，0，1}．2．若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋iD【考查目标】本题主要考查复数的四则运算，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】z＝2i1＋i＝2i（1－i）（1＋i）（1－i）＝2＋2i2＝1＋i.3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8C【考查目标】本题主要考查韦恩图的应用与概率问题，考查考生的阅读理解能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数据分析．【解析】根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7. 4．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16C ．20D ．24A 【考查目标】 本题主要考查二项展开式通项公式的应用，考查的核心素养是数学运算． 【解析】 展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．2C 【考查目标】 本题主要考查等比数列通项公式的应用，考查方程思想与运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.6．已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1D 【考查目标】 本题主要考查导数的几何意义，考查的核心素养是数学运算． 【解析】 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.7．函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6，6]的图象大致为( )B 【考查目标】 本题主要考查函数图象与性质的应用，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 因为f (x )＝2x 32x ＋2－x ，所以f (－x )＝－2x 32－x＋2x ＝－f (x )，且x ∈[－6，6]，所以函数y ＝2x 32x ＋2－x 为奇函数，排除C ；当x ＞0时，f (x )＝2x 32x ＋2－x ＞0恒成立，排除D ；因为f (4)＝2×6424＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97，排除A.故选B.8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( ) A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线B 【考查目标】 本题主要考查空间线线位置关系，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．【解析】 取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，垂足为P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE ，因为四边形ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，即EN ，MB 均在平面BDE 内，所以直线BM ，EN 是相交直线，选B.9.执行右边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于( ) A ．2－124B ．2－125C ．2－126D ．2－127C 【考查目标】 本题主要考查程序框图，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．【解析】 执行程序框图，x ＝1，s ＝0，s ＝0＋1＝1，x ＝12，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＝2－121，x ＝14，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＝2－122，x ＝18，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＝2－123，x ＝116，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＋116＝2－124，x ＝132，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＝2－125，x ＝164，不满足x ＜ε＝1100，所以s ＝1＋12＋14＋18＋…＋164＝2－126，x ＝1128，满足x ＜ε＝1100，输出s ＝2－126，选C.10．双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.324B ．322C ．2 2D ．32A 【考查目标】 本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质、三角形的面积，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 11．设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫log 314＞f (2－32)＞f (2－23) B ．f ⎝⎛⎭⎫log 314＞f (2－23)＞f (2－32) C ．f (2－32)＞f (2－23)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314 D ．f (2－23)＞f (2－32)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314 C 【考查目标】 本题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象．【解析】 根据函数f (x )为偶函数可知，f ⎝⎛⎭⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0＜2－32＜2－23＜20＜log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，所以f (2－32)＞f (2－23)＞f ⎝⎛⎭⎫log 314. 12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω＞0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论： ①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增 ④ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910 其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④D 【考查目标】 本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象、逻辑推理．【解析】 如图，根据题意知，x A ≤2π＜x B ，根据图象可知函数f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π＜x B ，有24π5ω≤2π＜29π5ω，得125≤ω＜2910，所以④正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π10时，π5＜ωx ＋π5＜ωπ10＋π5，因为125≤ω＜2910，所以ωπ10＋π5＜49π100＜π2，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增，所以③正确．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________． 23【考查目标】 本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则c ＝(2，－5)，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a |·|c |＝21×4＋5＝23. 14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________．4 【考查目标】 本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4. 15．设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．(3，15) 【考查目标】 本题主要考查椭圆的标准方程及定义，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x ＞0，y ＞0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.118．8 【考查目标】 本题主要考查空间几何体体积的计算，考查考生的空间想象能力与运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解析】 由题易得长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V 四棱锥O EFGH ＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．【解题关键】 求解本题的关键是运用平面几何知识求得四边形EFGH 的面积．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17．(12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)． 【考查目标】 本题主要考查频率分布直方图，考查考生的识图能力、阅读理解能力，考查的核心素养是数据分析、数学运算．【解题思路】 (1)根据P (C )的估计值为0.70及频率之和为1可求得a ，b 的值；(2)根据各组区间的中点值及频率即可计算平均值． 解：(1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15，故 a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．【考查目标】 本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°＜A ＜90°，0°＜C ＜90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C ＜90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 【误区警示】 确定a 的范围时，要注意该三角形为锐角三角形，每个角均为锐角． 19．(12分)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2. (1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B CG A 的大小．【考查目标】 本题主要考查四点共面、面面垂直的证明、二面角的求解，考查考生的推理论证能力与空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．【解题思路】 (1)根据AD ∥CG 可证明四点共面，通过证明AB ⊥平面BCGE 即可证明面面垂直；(2)过E 作BC 的垂线，以垂足为原点，BC 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角．解：(1)由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ， 故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE . 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE .(2)作EH ⊥BC ，垂足为H .因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC .由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝ 3.以H 为坐标原点，HC →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz ，则A (－1，1，0)，C (1，0，0)，G (2，0，3)，CG →＝(1，0，3)，AC →＝(2，－1，0)． 设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，2x －y ＝0. 所以可取n ＝(3，6，－3)．又平面BCGE 的法向量可取为m ＝(0，1，0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝32.因此二面角B CG A 的大小为30°.【解后反思】 (1)证明空间线面位置关系时思路要清晰，证明过程中的条件要写全，步骤要规范；(2)本题没有直接建立空间直角坐标系的条件，需要证明垂直关系，才能建立坐标系． 20．(12分)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【考查目标】 本题主要考查导数在研究三次函数单调性、最值中的应用，考查考生的运算求解能力，考查分类讨论思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．【解题思路】 (1)求出导函数，分a ＞0，a ＝0，a ＜0讨论即可；(2)根据(1)中函数的单调性，结合已知区间分a ≤0，a ≥3，0＜a ＜3求解满足题意的a ，b . 解：(1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3.若a ＞0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3单调递减；若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增； 若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0单调递减． (2)满足题设条件的a ，b 存在．(ⅰ)当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递增，所以f (x )在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.(ⅱ)当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递减，所以f (x )在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.(ⅲ)当0＜a ＜3时，由(1)知，f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0＜a ＜3矛盾．若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0＜a ＜3矛盾．综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]的最小值为－1，最大值为1. 21．(12分)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【考查目标】 本题主要考查抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想和化归与转化思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算． 解：(1)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 由y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12.由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2. 【真题互鉴】 本题第(1)问考查的是抛物线的阿基米德三角形，与2018年全国Ⅲ卷理科第16题背景一样，弦AB 必过焦点． (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．【考查目标】 本题主要考查极坐标方程的求解，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．【解题思路】 (1)分别求出三段弧所在圆的极坐标方程，再确定极角的取值范围；(2)根据(1)中得到的三段曲线，求出每段曲线上到原点的距离为3的所有点对应的极角即可．解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为 ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6或(3，π3)或(3，2π3)或(3，5π6)． 【解题关键】 解决本题的关键是求极角的取值范围，需要考生准确理解极角的含义．23．[选修4－5：不等式选讲](10分)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1. 【考查目标】 本题主要考查基本不等式在求最值、不等式恒成立求参数问题中的应用，考查考生的化归与转化能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．【解题思路】 (1)利用完全平方式、基本不等式求解最值即可；(2)仿照(1)的转化求解出式子的最小值，再解不等式即可证明．解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立． 所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43. (2)由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)]≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。
2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科附答案解析
f
x
1 ，且
f
1
2018
．则不等式
f
x
1
2017 x
的解集是（
A． 1,1
B． ,1
C． 1,0U0,1
）
D． , 1U 1,
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．
若
1 2x
2015
=
a0
a1x
用如下办法构造 ABC ，
连接 AF 并延长至 D ，使 FD 1 AF ， 2
D． 3
8．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序
框图，若输入����则输出������和 i 的值分别为（ ）
1
A． 2，4 B． 2，5 C． 0，4 D． 0，5
9.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
a2 1
3
5．【答案】B
【解析】∵双曲线 C : x2 y2 1(a 0, b 0) 的渐近线方程为 y b x ，
a2 b2
a
又直线 3x
y5
0 斜率为
3，∴
b a
1 c2 a2
故
3
a2
1
，
9
∴ 双曲线的离心率 e c
10
，故选 B.
a3
6．【答案】．D
a x2015 2015
（
x
R
），则
a1 2
a2 22
a2015 22015
的值为
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即 a＋b＝ 3.
因为 a， b∈(0,2) ，
所以 b＝ 3－ a∈(0,2) ，
从而 a， b∈(1,2).
由于 AB＝ 2
b2 1－ ， BC＝ 2
4
a2 1－ 4 ，
S ＝ 4 矩形 ABCD
b2 1－ 4
a2 1－ 4 ＝
4－ b2
4－ a2，
因为
4－ b2
4－ a2≤ 8－
a2 ＋ b2
S
3h＋
(m). h
2. 某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为
1 m 的圆形，并用四根木条将
圆分成如图所示的 9 个区域，其中四边形 ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形 ABCD区
域设计为可推拉的窗口 .
(1) 若窗口 ABCD为正方形，且面积大于
1 4
m
2(
木条宽度忽略不计
) ，求四根木条总长的取值范
3x－y＋ 40＝ 0 的距离为 | － 8
3× 3－ 8＋ 40|
2
＝4<8，
故直线与圆相交，
说明海警执法舰不一定能在我国领海内截获走私船
.
设巡逻艇的速率为走私船速度的 t ( t >2) 倍，
此时有 x2＋ y2＝t x＋ 6 3 2＋ y－ 6 2，
化简得 ( t 2－ 1) x2＋( t 2－ 1) y2＋ 12 3t 2x－ 12t 2y＋ 144t 2＝0，
2 3＋π6 a 元 .
4.(2018 ·连云港质检 ) 如图 (1) 是一直角墙角，∠ AOB＝90°，墙角的两堵墙面和地面两两互 相垂直 . ABCD是一块长 AB为 6 米，宽 BC为 2 米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱
空间堆放谷物 .
(1) 若按如图 (1) 放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？
从而 x2＋ y2＝ 2 x＋ 6 3 2＋ y－ 6 2， 化简整理得 ( x＋8 3) 2＋( y－ 8) 2＝ 64， 所以所求路径是以点 ( － 8 3，8) 为圆心， 8 为半径的圆， 其方程为 ( x＋8 3) 2＋ ( y－ 8) 2＝ 64.
(2) 由 (1) 得，点 ( － 8 3， 8) 到直线
π 一个半径为 2 百米，圆心角为 3 的扇形展示区的平面示意图
. 点 C是半径 OB上一点 ( 异于 O，
B 两点 ) ，点 D是圆弧 AB上一点，且 CD∥ OA. 为了实现“以展养展”，现在决定：在线段
OC、
线段 CD及圆弧 DB三段所示位置设立广告位， 经测算广告位出租收入是： 线段 OC处每百米为
＝ a4－ 6a3＋ a2＋ 24a－ 20， 设 f ( a) ＝ a4－ 6a3＋ a2＋ 24a－20， 则 f ′（a) ＝ 4a3－18a2＋ 2a＋24＝ 2( a＋1)(2 a－3)( a－ 4) ，
3 令 f ′（a) ＝ 0，得 a＝ 2或 a＝－ 1( 舍去 ) 或 a＝ 4( 舍去 ).
围；
(2) 若四根木条总长为 6 m，求窗口 ABCD面积的最大值 .
解 (1) 设一根木条长为 x m，
则正方形的边长为 2
1－
x 2
2＝
4－ x2 m.
1 因为 S四边形 ＞ ABCD 4，所以
4－
x2
＞
1 ，即
x＜
4
15 2.
又因为四根木条将圆分成 9 个区域，所以 x＞ 2，
所以 4 2＜ 4x＜ 2 15.
即板材放置时，沿中间折叠，使得 PA＝ PB.
5. 在我国某海域 O处有一海警执法舰发现位于北偏西 60°的 A处有一艘走私船， 并测得 O，A
两点相距 12 海里，且走私船行驶速度是海警执法舰行驶速度的一半
. 现以点 O为坐标原点，
东西方向为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 .
(1) 若两者均沿直线匀速行驶，求走私船能被海警执法舰截获的路径的曲线方程；
8－ ≤
a＋ b 2 27 ＝，
2
2
4
3 当且仅当 a＝ b＝ 2∈(1,2) 时，
7
S
矩形
＝ ABCD
为最大值 4
.
答 窗口 ABCD面积的最大值为 7 m2. 4
3.(2018 ·江苏省启东中学模拟 ) 为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中
学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是
(2) 由于墙面使用受限， OA面只能使用 2 米，OB面只能使用 4 米 . 此矩形板材可以折叠围成一
个直四棱柱空间，如图 (2) ，如何折叠板材才能使这个空间最大？ 解 (1) 设 OA＝x， OB＝ y， x， y∈(0,6) ，且 x2＋ y2＝ 36，
因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大
设 PA＝ x， x∈(0,6) ， AH＝ y， y∈(0,2 5) ，则
PB＝ 6－ x， HB＝2 5－y， PH2＝ x2－y2＝ (6 － x) 2－ (2 5－y) 2，
∴３x－ 5y＝ 4，
PH＝ x2－ y2＝
－ 4y2＋ 8 5y＋ 16 ，
9
当 y＝ 5时， PH最大，此时 x＝3，
(1) 请将 l 表示成关于 α 的函数 l ＝f ( α ) ；
(2) 问：当 α 为何值时 l 最小，并求最小值 .
解 (1) 过 D作 DH⊥ BC于点 H，则∠ DCB＝ α 0＜ α ＜π2 ， DH＝h，设 AD＝ x.
h
h
2h
则 DC＝ sin α， CH＝ tan α ， BC＝ x＋ tan α.
HM 1－x 得 DH＝ 2 ＝ 2 ， ∴ HG＝3－ 2DH＝2＋ x， ∴ S( x) ＝ HM· HG＝ (1 － x)(2 ＋ x) ＝－ x2－ x＋2.
5 当 1<x<2时，过 E 作 ET⊥MN于 T，连结 EN( 如图 ) ，
MN 则 ET＝ x－ 1, TN＝ 2 ＝
3 2
2－ ( x－ 1) 2＝
当 a 变化时， f ′（a) ， f ( a) 的变化情况如下表：
3
3
3
a
1， 2
2
2， 2
f ′（a)
＋
0
－
f ( a)
↗
极大值
↘
3 所以当 a＝ 时， f ( a) ＝ max f
2
3 49
7
2
＝ 16，即
Smax＝ . 4
答 窗口 ABCD面积的最大值为 7 m2. 4
方法二 设 AB所在的木条长为 a m， BC所在的木条长为 b m. 由条件知， 2a＋ 2b＝ 6，
米，梯形的高为 1 米， CD为 3 米，上部 CmD 是个半圆，固定点 E 为 CD的中点 . MN是由电
脑控制可以上下滑动的伸缩横杆 ( 横杆面积可忽略不计 ) ，且滑动过程中始终保持和 CD平行 . 当 MN位于 CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形 MNG(H阴影部分均不通风 ).
5 (1) 设 MN与 AB之间的距离为 x 0≤ x<2且 x≠１ 米，试将通风窗的通风面积 S( 平方米 ) 表示成
令
f
′（x)
＝ 0，得
x＝
π .
6
当 x 变化时， f ′（x) ， f ( x) 的变化如下表：
x
0，
π 6
f ′（x)
＋
f ( x)
↗
π 6
0
极大值
π6 ，
π 3
－
↘
π 所以 f ( x) 在 x＝ 6 处取得极大值，这个极大值就是最大值，即
f
π 6 ＝2
3＋
π 6
a.
所以当
x＝
π 6
时广告位出租的总收入最大，最大值为
(2) 若满足 3x－ y＋ 40<0 的点 ( x， y) 组成的区域是公海，试问海警执法舰是否一定能在我国 领海内截获走私船？若能，请说明理由；若不能，则需要使用巡逻艇进行快速追击，请问巡 逻艇的速度至少应为走私船速度的几倍才能在我国领海内截获走私船？
解 (1) 由条件可得，点 A 的坐标为 ( － 6 3， 6) ， 设走私船在点 P( x， y) 处被海警执法舰截获，则 PO＝2PA，
答 四根木条总长的取值范围为 (4 2， 2 15).
(2) 方法一 设 AB所在的木条长为 a m，则 BC所在的木条长为 (3 － a)m.
因为 a∈(0,2) ， 3－ a∈(0,2) ，所以 a∈(1,2).
窗口 ABCD的面积 S＝ 4
a2 1－ 4 ·
1－
3－ a 4
2
＝ 4－ a2· 4－ 3－ a 2
因为
1 S＝ 2
2h x＋ x＋tan α
· h，
Sh 则 x＝h－ tan α，
则 l ＝f ( α ) ＝ 2DC＋ AD
S
2
1
π
＝ h＋ h sin α － tan α 0＜ α ＜ 2 .
－ 2cos α －1
1－ 2cos α
(2) f ′（α ) ＝ h·
sin 2α － sin 2 α ＝ h·
3. 应用题
1. 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门
BADC( 如图 ). 设计要求
彩门的面积为 S( 单位： m2) ，高为 h( 单位： m)( S， h 为常数 ). 彩门的下底 BC固定在广场底面
上，上底和两腰由不锈钢支架组成， 设腰和下底的夹底为 α，不锈钢支架的长度之和记为 l .
1 x＋2
2＋
9 在
[
0，1)
上单调递减，