高三数学-理科数列-专题练习(含答案与解析)

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高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和(理)含答案解析

高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和（理）1．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}n a 的前10项和为（）A ．1041-B ．102(21)-C ．101(41)3-D ．101(21)3-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，则{}n a 的通项公式为n a =（） A ．21n -B ．12n -C ．21n-D ．21n +3．数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项和为（）A ．100-B ．100C ．110-D ．1104．已知数列{}n a 的通项公式为100n a n n=+，则122399100||||||a a a a a a -+-++-=L （） A ．150B ．162C ．180D ．2105．数列{}n a 中，10a =，1n n a a +-=，若9n a =，则n =（）A ．97B ．98C ．99D ．1006．在数列{}n a 中，12a =-，111n na a +=-，则2019a 的值为（） A ．2-B ．13 C ．12D ．327．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13n n n S S a +=++，4523a a +=，则8S =（） A ．72B ．88C ．92D ．988．在数列{}n a 中，12a =，已知112(2)2n n n a a n a --=≥+，则n a 等于（）A ．21n + B ．2n C ．31n + D ．3n9．已知数列21()n a n n =-∈*N ，n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，求使不等式20194039n T ≥成立的最小正整数（）一、选择题A ．2017B ．2018C ．2019D ．202010．已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m ，等差数列{}n a 的公差为d ，7835a a ⋅=，4100a a +<，令123||||||||n n S a a a a =++++L ，则m S 的值为（）A ．60B ．52C ．44D ．3611．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =，则1232020()()()()f a f a f a f a ++++=L （） A ．2-B ．3-C ．2D ．312．已知数列满足12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ，设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），n ∈*N ，则λ的最小值为（）A ．32B ．94C ．3112D ．311813．已知数列{}n a 的通项公式为12n n a n -=⋅，其前n 项和为n S ，则n S = ．14．设数列{}n a 满足1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ，112a =，n a = ． 15．已知数列{}n a 满足1(1)(2)nn n a a n n ---=≥，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则40S = ．16．等差数列{}n a 中，3412a a +=，749S =，若[]x 表示不超过x 的最大整数，（如[0.9]0=，[2.6]2=，）．令[lg ]()n n b a n =∈*N ，则数列{}n b 的前2000项和为．1．【答案】C答案与解析二、填空题一、选择题【解析】∵21n n S =-，∴1121n n S ++=-，∴111(21)(21)2n n nn n n a S S +++=-=---=，又11211a S ==-=，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，∴2121(2)4n n n a --==，∴所求值为1010141(41)143-=--． 2．【答案】B【解析】当1n =时，11121S a a =-=，∴11a =；当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴12n n a a -=，因此12n n a -=．3．【答案】A【解析】121a a +=-，343a a +=-，565a a +=-，787a a +=-，…，由上述可知，1219201191(13519)1101002a a a a +++++=-⨯++++=-⨯⨯=-L L ． 4．【答案】B【解析】由对勾函数的性质知：当10n ≤时，数列{}n a 为递减；当10n ≥时，数列{}n a 为递增，故12239910012239101110||||||()()()()a a a a a a a a a a a a a a -+-++-=-+-++-+-L L12111009911010010()()1100(1010)(1001)a a a a a a a a +-++-=-+-=+-+++-L (1010)162+=．5．【答案】D【解析】由1n n a a +-==，利用累加法可得，∴11)n a a -=+++L 1=，∵10a =，∴19n a ==10=，100n =． 6．【答案】B【解析】由题意得，12a =-，111n n a a +=-，∴213122a =+=，321133a =-=，4132a =-=-，…， ∴{}n a 的周期为3，∴20193673313a a a ⨯===． 7．【答案】C【解析】∵13n n n S S a +=++，∴113n n n n S S a a ++-=+=， ∴13n n a a +-=，∴{}n a 是公差为3d =的等差数列，又4523a a +=，可得12723a d +=，解得11a =，∴81878922S a d ⨯=+=． 8．【答案】B 【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数，得到11112n n a a -=+，11112n n a a --=， 1{}n a 是公差为12的等差数列，1112a =，根据等差数列的通项公式的求法得到111(1)222n n n a =+-⨯=，故2n a n=． 9．【答案】C【解析】已知数列21()n a n n =-∈*N ，∵111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)()()(1)2335212122121n n T n n n n ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦L ，不等式20194039n T ≥，即2019214039n n ≥+，解得2019n ≥， ∴使得不等式成立的最小正整数n 的值为2019． 10．【答案】B【解析】由两直线平行得2d =-，由两直线平行间距离公式得10m ==，∵77(2)35a a ⋅-=，得75a =-或77a =， ∵410720a a a +=<，∴75a =-，29n a n =-+，∴12310|||||||||7||5||5||7||9||11|52m S a a a a =++++=+++-+-+-+-=L L ． 11．【答案】B【解析】由函数()f x 是奇函数且3()()2f x f x -=，得(3)()f x f x +=，由数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =，可得到21n a n =-，可得123456()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++=++=，则其周期为3，12320201()()()()()3f a f a f a f a f a ++++==-L ．12．【答案】C【解析】∵12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ①，当2n ≥时，类比写出12323a a a ++++L 11(1)(23)3n n n a n ---=-⋅②，由①-②得143n n na n -=⋅，即143n n a -=⋅．当1n =时，134a =≠，∴13,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，14,13,23n n n b n n -⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， 214233333n n n S -=++++=L 021*********n n-+++++L ③， 2311112313933333n n n n nS --=++++++L ④， ③-④得，0231112211111231393333339313n n n n n n n S --=++++++-=+--L ，∴316931124312n n n S +=-<⋅，∵n S λ<（常数），n ∈*N ，∴λ的最小值是3112．13．【答案】(1)21nn -+【解析】由题意得01221122232(1)22n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ①，∴1221222n S =⨯+⨯3132(1)22n n n n -+⨯++-⋅+⋅L ②，①-②得231121222222(1)2112nn nn n n S n n n ---=+++++-⋅=-⋅=-⋅--L ，∴(1)21nn S n =-+．14．【答案】21n n +【解析】∵1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ，∴11111(2)(1)12n n a a n n n n n n +-==-+++++，∴11111n n a a n n n n --=--+，…，21112123a a -=-，累加可得11121n a a n n -=-+，二、填空题∵112a =，∴1111n a nn n n =-=++，∴21n n a n =+． 15．【答案】440【解析】由1(1)(2)nn n a a n n ---=≥可得：当2n k =时，2212k k a a k --=①；当21n k =-时，212221k k a a k --+=-②；当21n k =+时，21221k k a a k ++=+③；①+②有：22241k k a a k -+=-，③-①得有：21211k k a a +-+=，则40135739()S a a a a a =+++++L24640109()110(71523)1071084402a a a a ⨯+++++=⨯++++=+⨯+⨯=L L ． 16．【答案】5445【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵3412a a +=，749S =，∴12512a d +=，1767492a d ⨯+=，解得11a =，2d =， ∴12(1)21n a n n =+-=-，[lg ][lg(21)]n n b a n ==-，1,2,3,4,5n =时，0n b =；650n ≤≤时，1n b =； 51500n ≤≤时，2n b =； 5012000n ≤≤时，3n b =，∴数列{}n b 的前2000项和454502150035445=+⨯+⨯=．。

2022届高三数学(理)一轮总复习课时规范训练：第五章数列 5-4 Word版含答案

课时规范训练[A 级基础演练]1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：选A.记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.故选A.2．(2021·河北承德模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2，3，…)，当首项a 1和公差d 变化时，若a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数中为定值的是( )A ．S 17B ．S 18C ．S 15D ．S 16解析：选C.由等差数列的性质得a 5＋a 11＝2a 8，所以a 5＋a 8＋a 11为定值，即a 8为定值．又由于S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15×2a 82＝15a 8，所以S 15为定值．故选C.3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016＝( )A.2 015×2 0162B ．2 016×2 0172C.2 015×2 0152D ．2 016×2 0162解析：选B.a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2n2（n 为奇数），（n 为偶数），∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016＝－12＋22－32＋42－…－2 0152＋2 0162＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(2 0162－2 0152)＝1＋2＋3＋4＋…＋2 016＝2 016×2 0172.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2D ．2解析：选A.由等差数列性质及前n 项和公式，得 S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 3＋a 6)＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以公差d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.5．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830解析：选D.当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1，当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3， ∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3， ∴a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30×（3＋119）2＝30×61＝1 830.6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 017＝．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝1，所以S 2 017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＝504×(－2)＋1＝－1 007.答案：－1 0077．(2021·江西八所中学联考)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)na n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝．解析：∵a n ＋1＋(－1)na n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k ∈N *，∴S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.答案：－1 0078．等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{}a n 的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{}b n 的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{}a n 的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{}a n 的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n10（10－3n ）.9．(2021·辽宁五校联考)已知等差数列{}a n ，公差d >0，前n 项和为S n ，S 3＝6且满足a 3－a 1，2a 2，a 8成等比数列．(1)求{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋2，求数列{}b n 的前n 项和T n .解：(1)由S 3＝6，得a 2＝2. ∵a 3－a 1，2a 2，a 8成等比数列，∴2d ·(2＋6d )＝42，解得，d ＝1或d ＝－43.∵d >0，∴d ＝1，∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝n . (2)∵b n ＝1a n ·a n ＋2＝1n （n ＋2），∴T n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n （n ＋2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 4（n ＋1）（n ＋2）. [B 级力量突破]1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公认真算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问其次天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里解析：选B.由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即其次天走了96里．故选B.2．已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从其次项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16解析：选C.依据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发觉从第7项起，数字重复消灭，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又由于16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C. 3．数列{a n }的通项为a n ＝(－1)n(2n ＋1)sin n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 100＝．解析：由a n ＝(－1)n(2n ＋1)sinn π2＋1可得全部的偶数项为1，奇数项有以下规律：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，a 5＝－10，a 9＝－18，…⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 7＝16，a 11＝24，…所以a 1＋a 5＋…＋a 97＝25×(－2)＋25×242×(－8)＝－2 450，a 3＋a 7＋…＋a 99＝25×8＋25×242×8＝2 600，a 2＋a 4＋…＋a 100＝50×1＝50 所以S 100＝－2 450＋2 600＋50＝200. 答案：2004．(2021·昆明调研)已知等差数列{}a n 中，a 2＝4，a 4是a 2与a 8的等比中项． (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)若a n ＋1≠a n ，求数列{}2n －1·a n 的前n 项和．解：(1)由a 2＝4，且a 4是a 2，a 8的等比中项可得a 1＋d ＝4，a 24＝a 2a 8，即(4＋2d )2＝4(4＋6d )，化简得d 2－2d ＝0，则d ＝0或d ＝2，由于a 2＝4，当d ＝0时，a n ＝4；当d ＝2时，a 1＝2，则a n ＝2n . (2)∵a n ＋1≠a n ，∴a n ＝2n ，则2n －1a n ＝2n －1·2n ＝2n ·n ，∵S n ＝21＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n，(*1)(*1)×2得，2S n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)·2n＋n ·2n ＋1，(*2)(*1)－(*2)得，－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.5．在等比数列{}a n 中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N*恒成立？若存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由．解：(1)设数列{}a n 的公比为q ，由题意可得a 3＝16，∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n （n ＋3）4.∵1S n＝4n （n ＋3）＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3，∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝229， ∴存在正整数k ，其最小值为3.。

高考数学---数列的概念与简单表示法课后作业练习(含答案解析)

高考数学---数列的概念与简单表示法课后作业练习（含答案解析）建议用时：45分钟一、选择题1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n等于()A.（－1）n＋12B．cosnπ2C．cos n＋12πD．cosn＋22πD[令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．]2．若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝nn＋1，则1a5等于()A.56 B.65C.130D．30D[当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝nn＋1－n－1n＝1n（n＋1），所以1a5＝5×6＝30.]3．记S n为数列{a n}的前n项和．“任意正整数n，均有a n>0”是“{S n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵“a n>0”⇒“数列{S n}是递增数列”，∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分条件．如数列{a n}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n}是递增数列，但是a n 不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n>0”，∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的不必要条件．∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．] 4．(2019·武汉5月模拟)数列{a n}中，a n＋1＝2a n＋1，a1＝1，则a6＝() A．32 B．62C．63 D．64C[数列{a n}中，a n＋1＝2a n＋1，故a n＋1＋1＝2(a n＋1)，因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故a n＋1≠0，所以a n＋1＋1a n＋1＝2，所以{a n＋1}为等比数列，首项为2，公比为2.所以a n＋1＝2n即a n＝2n－1，故a6＝63，故选C.]5．若数列{a n}的前n项和S n＝n2－10n(n∈N*)，则数列{na n}中数值最小的项是()A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项B[∵S n＝n2－10n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴a n＝2n－11(n∈N＋)．记f(n)＝na n＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图像的对称轴为直线n＝114，但n∈N＋，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{na n}中数值最小的项是第3项．]二、填空题6．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第________项．21[数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n＝5＋6（n－1）＝6n－1，令6n－1＝55，得n＝21.]7．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，a n＋1＝(2n－λ)a n(n＝1，2，…)，则a3等于________．15[令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由a n＋1＝(2n＋1)a n，得a3＝5a2＝5×3＝15.]8．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．28[∵a1a2a3＝8，且a1＝1，a2＝2.∴a3＝4，同理可求a4＝1，a5＝2.a6＝4，∴{a n}是以3为周期的数列，∴a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(1＋2＋4)×4＝28.]三、解答题9．(2019·洛阳模拟)已知数列{a n}满足a1＝50，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)，(1)求{a n}的通项公式；(2)已知数列{b n}的前n项和为a n，若b m＝50，求正整数m的值．[解](1)当n≥2时，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50＝2×（n－1）n2＋50＝n 2－n ＋50.又a 1＝50＝12－1＋50，∴{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋50，n ∈N *. (2)b 1＝a 1＝50，当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝n 2－n ＋50－[(n －1)2－(n －1)＋50]＝2n －2，即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧50，n ＝12n －2，n ≥2.当m ≥2时，令b m ＝50，得2m －2＝50，解得m ＝26. 又b 1＝50，∴正整数m 的值为1或26.10．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n ，(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． [解] (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n－1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a 2＝a 1＋3＞a 1(a ≠3)．综上，a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3)C [由a n ＋1＝a n a n ＋2，知1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为1a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以1a n ＋1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －λ)·2n ，因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n －(n －1－λ)2n －1＝(n ＋1－λ)2n－1＞0对一切正整数n 恒成立，所以λ＜n ＋1，因为n ∈N *，所以λ＜2，故选C.]2．(2019·临沂三模)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 019项的和为( )A ．672B ．673C ．1 346D ．2 019C [由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，可得{a n }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以{a n }是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1＋1＋0＝2，因为2 019＝673×3，所以数列{a n }的前2 019项的和为673×2＝1 346，故选C.]3．(2019·晋城三模)记数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3a n ＋2n －3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________．a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n[当n ＝1时，S 1＝a 1＝3a 1－1，解得a 1＝12；当n ≥2时，S n ＝3a n ＋2n －3，S n －1＝3a n －1＋2n －5，两式相减可得，a n ＝3a n －3a n －1＋2，故a n ＝32a n －1－1，设a n ＋λ＝32(a n －1＋λ)，故λ＝－2，即a n －2＝32(a n －1－2)，故a n －2a n －1－2＝32.故数列{a n －2}是以－32为首项，32为公比的等比数列，故a n －2＝－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n .] 4．已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． [解] (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ， ∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2) ＝2·3n －λ(2n ＋1)． ∵数列{b n }为递增数列， ∴2·3n －λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，即c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1. ∴{c n }为递增数列， ∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．1．(2019·烟台、菏泽高考适应性练习一)已知数列：1k ，2k －1，…，k 1(k ∈N *)，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{a n }：1，12，21，13，22，31，…，则89首次出现时为数列{a n }的( )A ．第44项B ．第76项C ．第128项D ．第144项C [观察分子分母的和出现的规律：2，3，4，5，…，把数列重新分组：⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，2k －1，…，k 1，可看出89第一次出现在第16组，因为1＋2＋3＋…＋15＝120，所以前15组一共有120项；第16组的项为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，215，…，710，89…，所以89是这一组中的第8项，故89第一次出现在数列的第128项，故选C.]2．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．[解] (1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5. 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0，所以数列{c n}的变号数为3.。

(天津版)高考数学分项版解析专题06 数列理-天津版高三全册数学试题

第六章数列一．基础题组1.【2005某某，理13】在数列{}n a 中，11a =，22a =且()()*211nn n a a n N +-=+-∈则100S =__________。

【答案】2600【解析】当n 为奇数时，20n n a a +-=；当n 为偶数时，22n n a a +-= 因此，数列{}n a 的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列()()()210010011505021005050260022a a S a a ++=+=+=本题答案填写：26002.【2006某某，理7】已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（）A ．55B ．70C ．85D ．100 【答案】C3.【2006某某，理16】设函数()11+=x x f ，点0A 表示坐标原点，点()()()*,N n n f n A n ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++，n θ是n a 与i 的夹角，（其中()0,1=i），设n n S θθθtan tan tan 21+++= ，则n n S ∞→lim =．【答案】1【解析】设函数()11+=x x f ，点0A 表示坐标原点，点()()()*,N n n f n A n ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++=0n A A ，n θ是n a 与i 的夹角，111tan (1)n n n n n θ+==+（其中()0,1=i ），设n n S θθθtan tan tan 21+++= 111111223(1)1n n n +++=-⋅⋅++，则nn S ∞→lim =1．4.【2007某某，理8】设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ( )A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】k a 是1a 与2k a 的等比中项可得12k k a a a =⨯(*)，由{}n a 为等差数列可得121(1),(21)k k a a k d a a k d =+-=+-及19a d =代入(*)式可得4k =.故选B5.【2007某某，理13】设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为,n S 则22lim n n na n S →∞-=__________. 【答案】3 【解析】根据题意知11(1)222n a a n n a =+-⨯=+-21,(1)n S n n a =+-代入极限式得22112134(2)(2)lim 3(1)n n a n a n n a →∞+-+-=+- 6.【2008某某，理15】已知数列{}n a 中，()*31,1111N n a a a n n n ∈=-=++，则=∞→nn a lim .【答案】767.【2009某某，理6】设a ＞0,b ＞0.若3是3a与3b的等比中项,则ba 11+的最小值为（） A.8 B.4 C.1 D.41【答案】B【解析】3是3a 与3b 的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a+b ＝3⇒a+b ＝1,∵a＞0,b ＞0,∴41212≤⇒=+≤ab b a ab .∴4411111=≥=+=+ab ab b a b a . 8.【2010某某，理6】已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158【答案】C法二：∵S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋S3·q3， ∴9S3＝S3＋S3·q3得q3＝8，解得q ＝2. ∴{1n a }是首项为1，公比为12的等比数列． ∴其前5项和为511[1()]31211612-=-9.【2011某某，理4】已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．110 【答案】D.【解析】∵2,9327-=•=d a a a ，∴)16)(4()12(1121--=-a a a ，解之得201=a ，∴110)2(2910201010=-⨯+⨯=s . 10.【2014某某，理11】设n a 是首项为1a ，公差为1的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．【答案】12-．【解析】试题分析：依题意得2214S S S ，∴21112146a a a ，解得112a ．考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式．二．能力题组1.【2005某某，理18】已知：()1221*,0,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++++∈>>。

《南方新课堂_高考总复习》数学(理科)一轮复习练习：第五章数列(含答案解析)

第五章数列、推理与证明第 1 讲数列的观点与简单表示法1．数列2，3，4，5，的一个通项公式是 () 1，3 5 79A． a n＝nB． a n＝n 2n＋ 12n－ 1C． a n＝nD． a n＝n 2n－ 32n＋ 32．设数列 {a n} 的前 n 项和 S n＝n2，则 a8的值为 () A． 15B． 16C． 49D． 643．在数列 {a n} 中，已知＝ 1，且当 n≥2时， a＝ n2，则 a ＋ a ＝ () a11·a2· ·a n35761A.3B.163111C.15D. 44．(2013 年福建 )阅读如图 X5- 1-1 所示的程序框图，运转相应的程序，假如输入某个正整数 n 后，输出的S∈ (10,20)，那么 n＝ ()图 X5- 1-1A． 3 B．4 C．5 D． 65． (2014 年新课标Ⅱ )数列 {a n} 知足 a n＋1＝1， a8＝ 2，则 a1＝ ________.1－ a n6．已知数列 {a n} 知足： a4n－3＝ 1， a4n－1＝0， a2n＝ a n， n∈ N*，则 a2009＝ ________， a2014＝ ________.7． (2013 年浙江乐清一模 )已知递加数列 {a n} 的通项公式为a n＝ n2＋ kn＋2，则实数 k 的取值范围为 ________．21，则 {a n} 的通项公式是a n＝8． (2013 年新课标Ⅰ )若数列 {a n} 的前 n 项和 S n＝ a n＋33________.9．已知数列 {a n} 的通项公式为a n＝(n ＋1)10 n(n∈ N *)，则当 n 为多大时， a n最大？1110． (2012 年纲领 )已知数列 {a n} 中， a1＝ 1，前 n 项和 S n＝n＋ 2a n. 3(1)求 a2， a3；(2)求 {a n} 的通项公式．第 2讲等差数列1． (2014 年福建 )设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若 a1＝ 2， S3＝12，则 a6＝() A． 8 B．10C． 12 D． 142． (2013 年安徽 )设 S n为等差数列 {a n } 的前 n 项和， S8＝ 4a3， a7＝－ 2，则 a9＝ () A．－ 6B．－ 4C．－ 2D． 23．(2014 年天津 )设 {a n} 是首项为 a1，公差为－ 1 的等差数列， S n为其前 n 项和，若 S1，S2， S4成等比数列，则 a1＝ ()11A． 2 B．－ 2 C.2D．－24．已知 S n为等差数列 {a n} 的前 n 项和，若 a1＋ a7＋ a13的值是一个确立的常数，则以下各式：①a21；② a7；③ S13；④ S14；⑤ S8－ S5.其结果为确立常数的是()A．②③⑤ B ．①②⑤C．②③④ D ．③④⑤n2a1a n5． (2014 年辽宁 )设等差数列 {a } 的公差为 d，若数列 {} 为递减数列，则 () A． d<0 B ． d>0C． a1d<0D． a1d>06． (2015 年北京 )设 {a n} 是等差数列 . 以下结论中正确的选项是()A．若 a1＋ a2>0，则 a2＋ a3>0B．若 a1＋ a3<0，则 a1＋a2<0C．若 0<a1<a2，则 a2>a1a3D．若 a1<0，则 (a2－ a1)(a2－ a3) ＞ 017． (2015 年安徽 )已知数列 {a n} 中， a1＝ 1， a n＝ a n－1＋2(n ≥ 2)，则数列 {a n} 的前 9 项和等于 ________．8． (2015 年陕西 )中位数为1010 的一组数组成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ________．9． (2014 年湖北 )已知等差数列 {a n} 知足： a1＝ 2，且 a1， a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n} 的通项公式；(2)记S n为数列{a n} 的前n 项和，能否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明原因．10． (2014年新课标Ⅰ)已知数列{a } 的前n 项和为S ， a ＝ 1， a ≠0， a a ＋＝λS－1，n1nnn1nn其中λ为常数．(1)证明： a n＋2－ a n＝λ；(2)能否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明原因．第 3讲等比数列1． (2013 年江西 )等比数列x,3x＋ 3,6x ＋6，的第四项为() A．－ 24 B．0C． 12D． 242．设在公差 d≠0的等差数列 {a n} 中， a1， a3， a9成等比数列，则a1＋ a3＋ a5＝ () a2＋ a4＋ a675A. 5B.734C.4D.33． (2014 年重庆 )对随意的等比数列{a n } ，以下说法必定正确的选项是 ()A． a1， a3， a9成等比数列B． a2， a3， a6成等比数列C． a2， a4， a8成等比数列D． a3， a6， a9成等比数列4．设各项都是正数的等比数列{a n} ，S n为前 n 项和，且S10＝10， S30＝ 70，那么 S40等于 ()A． 150 B ．－ 200C． 150 或－ 200D． 400 或－ 505． (2013 年新课标Ⅰ )设首项为 1，公比为2的等比数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，则 () 3A． S n＝ 2a n－ 1 B ． S n＝ 3a n－ 2C． S n＝ 4－ 3a n D ． S n＝ 3－ 2a n6． (2015 年浙江 )已知 {a n} 是等差数列，公差 d 不为零，前n 项和是 S n，若 a3， a4， a8成等比数列，则 ()A． a1d＞ 0， dS4＞ 0B． a1d＜ 0， dS4＜ 0C． a1d＞ 0， dS4＜ 0D． a1d＜ 0， dS4＞ 07． (2015 年浙江 )已知 {a n} 是等差数列，公差 d 不为零．若a2， a3， a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则 a1＝ ____________， d＝__________.8． (2013 年江西 )某住所小区计划植树许多于100 棵，若第一天植 2 棵，此后每日植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数n(n∈N * )等于 __________ ．9．(2015 年四川 )设数列 {a n }(n ＝ 1,2,3， )的前 n 项和 S n 知足 S n ＝ 2a n － a 3，且 a 1 ，a 2 ＋1， a 3 成等差数列．(1)求数列的通项公式；1(2)设数列 a n 的前 n 项和为 T n ，求 T n .10． (2015 年重庆 )已知等差数列 {a n } 知足 a 3＝ 2，前 3 项和 S 3 ＝92.(1)求 {a n } 的通项公式；(2)设等比数列 {b n } 知足 b 1＝ a 1， b 4＝a 15，求 {b n } 前 n 项和 T n .第 4 讲数列的乞降1 12 1 2 312 3 911．已知数列 {a n } ： 2，3＋ 3， 4＋ 4＋4，，10＋10＋10＋＋10，，若 b n＝ a n an ＋1 ，那么数列 {b n } 的前 n 项和 S n 为 ()n 4n 3n 5nA.B.C.D.n ＋ 1n ＋ 1n ＋ 1n ＋ 112．已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，a 5＝ 5，S 5＝ 15，则数列 a n a n ＋ 1 的前 100 项和为()10099 99101 A.101B.101C.100D.1003．若数列 {a n } 的通项公式是 a n ＝ (－ 1)n·(3n － 2)，则 a 1＋ a 2＋＋ a 10＝()A ． 15B ． 12C ．－ 12D ．－ 154． (2012 年新课标 )数列 {a n } 知足 a n ＋ 1＋ (－ 1)n a n ＝2n － 1，则 {a n } 的前 60 项和为 () A ． 3690 B ． 3660 C ． 1845 D ．18305． (2013 年广东揭阳一模 )已知等差数列 {a n } 知足 a 1>0， 5a 8＝ 8a 13，则目前 n 项和 S n 取最大值时， n ＝ ()A ． 20B ． 21C ． 22D ． 236．已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2－ 6n ，则数列 {|a n |} 的前 n 项和 T n 等于 ( )A ． 6n － n 2B ． n 2－ 6n ＋ 186n － n 2(1≤ n ≤3)， D.6n － n 2(1≤ n ≤3)，C.n 2－ 6n(n ＞ 3)n 2－ 6n ＋18(n ＞ 3)7． (2014 年湖北武汉模拟 )等比数列 {a n } 的前 n项和 S n ＝ 2n － 1，则 a 12＋ a 22＋＋ a n 2＝________.8．如图 X5- 4-1，它知足：①第 n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系近似杨辉三角，则第 n(n ≥2)行的第 2 个数是 ______________．12 23 4 3477 45 11 14115图 X5- 4-19． (2013 年纲领 )在等差数列 {a n} 中， a7＝4， a19＝2a9 .(1)求 {a n} 的通项公式；1(2)设 b n＝，求数列{b n}的前n项和S n.10． (2015 年山东 )已知数列 {a n} 是首项为正数的等差数列，数列n2n＋ 1.(1)求数列 {a n} 的通项公式；(2)设 b n＝ (a n＋ 1) ·2a n，求数列 {b n} 的前 n 项和 T n.1的前 n 项和为a n·a n＋1第 5 讲合情推理和演绎推理1． (2015 年广东 )若空间中 n 个不一样的点两两距离都相等，则正整数n 的取值 ( )A ．大于 5B ．等于 5C ．至多等于 4D ．至多等于 32．(2014 年广东茂名一模 )已知 21×1＝ 2,22×1×3＝ 3×4，23×1×3×5＝ 4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，，依此类推，第 n 个等式为 ______________________________________________________________________________________________.3． (2013 年陕西 )察看以下等式：12 ＝11 2－ 22＝－ 312－ 22＋ 32＝612 －22＋ 32－ 42＝－ 10照此规律，第 n 个等式为 ______________________________________________ ． 4．如图 X5- 5-1，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下的一个直角三角形按如图 X5- 5-1(1) 所标边长，由勾股定理，得c 2＝ a 2＋ b 2.假想把正方形换成正方体，把截线换成如图 X5- 5-1(2)所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-ABC ，若用 s 1 ， s 2 ， s 3 表示三个侧面面积， s 4 表示截面面积，则能够类比得到的结论是 __________________ ．(1)(2)图 X5- 5-1π 1 π 2π 1π 2π 3π 1，，依据以上等式，可猜想出5．已知 cos ＝，cos ·cos 5 ＝，cos ·cos 7·cos 7 ＝ 3 2 5 4 7 8的一般结论是 __________________________________________ ．6．关于中国足球参加的某次大型赛事，有三名观众对结果作以下猜想：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．比赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________ 名．7．(2014 年福建龙岩模拟 )代数式1＋1( “ ”表示无穷重复 )是一个固定值，能够11＋1＋令原式＝ t ，由1＋1＝ t ，解得其值为t ＝5＋1，用近似方法可得2＋ 2＋ 2＋＝t2______________.8． (2015 年陕西 )对二次函数f(x) ＝ ax2＋bx＋ c(a 为非零常数 )，四位同学分别给出以下结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是()A．－ 1 是 f(x) 的零点B． 1 是 f(x) 的极值点C． 3 是 f(x) 的极值D．点 (2,8)在曲线 y＝ f(x) 上9．某同学在一次研究性学习中发现，以下 5 个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋ cos217°－ sin13 cos17° °；②sin215°＋cos215°－sin15 cos15° °；③ sin218°＋ cos212°－ sin18 cos12° °；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48 ；°⑤ sin2(－ 25°)＋cos255°－sin(－ 25°)cos55 .°(1)试从上述 5 个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据 (1) 的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．10．(2014 年广东广州一模 )在等差数列 {a n} 中， a1＋ a2＝ 5，a3＝ 7，记数列1的前 n a n a n＋1项和为 S n.(1)求数列 {a n} 的通项公式；(2)能否存在正整数m， n，且 1<m<n ，使得S1， S m， S n成等比数列？若存在，求出所有切合条件的m， n 的值；若不存在，请说明原因．第 6 讲直接证明与间接证明1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋ bx ＋c ＝ 0(a ≠0)存在有理数根，那么 a ， b ， c 中起码有一个是偶数．以下假定正确的选项是 ________．①假定 a ， b ， c 都是偶数；②假定 a ， b ， c 都不是偶数；③假定 a ， b ， c 至多有一个偶数；④假定 a ， b ， c 至多有两个偶数．2．以下条件：① ab>0；② ab<0；③ a>0， b>0 ；④ a<0， b<0.其中能使 b aa ＋ ≥2建立的条b 件的序号是 ________．3. 6＋ 7与2 2＋5的大小关系为 ________．4． (2014 年山东 )用反证法证明命题 “设 a ，b 为实数，则方程x 2＋ ax ＋ b ＝0 起码有一个实根 ”时，要做的假定是 ()A ．方程 x 2＋ax ＋ b ＝ 0 没有实根B ．方程 x 2＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有一个实根C ．方程 x 2＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有两个实根D ．方程 x 2＋ax ＋ b ＝ 0 恰巧有两个实根5．凸函数的性质定理：假如函数 f(x) 在区间 D 上是凸函数，则关于区间 D 内的随意 x 1，x 2，，x n ，有 f(x 1)＋ f(x 2 )＋＋ f(x n ) x 1＋ x 2＋＋x n.已知函数 y ＝ sinx 在区间 (0，π)上是 n ≤fn凸函数，则在△ ABC 中， sinA ＋ sinB ＋ sinC 的最大值为 ________．6． α， β是两个不一样的平面， m ， n 是平面 α及 β以外的两条不一样的直线，给出四个论断：① m ⊥ n ；② α⊥ β；③ n ⊥ β；④ m ⊥ α以.其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你以为正确的一个命题：____________________.7．下表中的对数值有且仅有一个是错误的： x358915lgx2a － ba ＋ c3－ 3a － 3c4a － 2b3a － b ＋ c ＋1请将错误的一个更正为________________．8．(2014年福建)已知会合{a ，b ，c} ＝ {0,1,2} ，且以下三个关系： ① a ≠2；② b ＝ 2；③ c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋ 10b ＋ c ＝__________.9． (2014 年浙江 )已知等差数列 {a n} 的公差 d>0 ，设 {a n} 的前 n 项和为 S n， a1＝ 1， S2·S3＝36.(1)求 d 及 S n；(2)求 m， k(m ， k∈ N* )的值，使得a m＋ a m＋1＋a m＋2＋＋a m＋k＝65建立．1* 10． (2015 年广东肇庆一模)已知数列 {a n} 知足： a1＝， 3a n＋1－ 2a n(n∈ N )；数列 {b n} 满足： b n＝ a n＋1－ a n(n∈ N * )．(1)求数列 {a n} 的通项公式及其前n 项和 S n；(2)证明：数列 {b n} 中的随意三项不行能成等差数列．第 7 讲数学概括法1．用数学概括法证明： (n ＋ 1)(n ＋ n × 1× 3× ×＋(2n1)(n *2) · ·＋(nn)＝ 2 ∈ N )，从 “n＝ k ”到 “n＝ k ＋ 1”左端需乘的代数式是 ()A ． 2k ＋ 1B ． 2(2k ＋ 1)2k ＋ 12k ＋3C.k ＋ 1D.k ＋ 1222222n(2n ＋ 1)2．用数学概括法证明： 1 ＋ 2 ＋＋n ＋＋ 2 ＋ 1 ＝，第二步证明由 “k 到 k＋ 1”时，左侧应加 ()A ． k 2B ． (k ＋ 1)2C ． k 2＋ (k ＋ 1)2＋ k 2D ． (k ＋ 1)2＋ k 23．对全部正整数 n ， n 2 与 2n的大小关系为 ()A ．对全部 n ∈ N * ，恒有 n 2<2nB ．对全部 n ∈ N *2 n，恒有 n ≤22 n2nC ．当 n ＝ 1 或 n ≥5时，当 n <2 ，n ＝ 2,3,4 时， n ≥2D ．以上都不对4． f(n) 和 g(n) 都是定义在正整数集上的函数，知足：①f(1) ＝ g(1)；②对 n ∈N * ， f(n) －f(n － 1)＝ g(n)－g(n － 1)．那么猜想对 n ∈N *时，有 ()A ． f(n)>g(n)B ． f(n)<g(n)C ． f(n) ＝ g(n)D ． f(n) 与 g(n) 大小关系不可以确立5．用数学概括法证明 1＋2＋ 22＋＋25n － 1是 31 的整数倍时，当 n ＝ 1 时，上式等于 ()A ． 1＋2B ．1＋ 2＋222＋2 3D ．1＋234C ． 1＋ 2＋22＋ 2 ＋2 ＋26．已知 S k ＝ 1 ＋ 1 ＋k ＋1 k ＋ 2 A ． S k ＋12k ＋1C ． S k ＋ 1 － 1＋ 2k ＋ 22k 1 1＋＋1(k ＝ 1,2,3， )，则 S k ＋1＝ ()k ＋ 3 2kB ． S k ＋ 1 － 12k ＋2 k ＋1 D ． S k ＋ 1 ＋ 12k ＋1 ＋ 2 2k7．若不等式 1 ＋1 ＋1 ＋＋ 1 m关于全部 n ∈ N * 建立，则正整数m 的最n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ 32n >2015大值为 __________ ．1＋1 ＋1＋＋12，则以下说法正确的选项是 ________．8．已知 f(n) ＝n n ＋ 1 n ＋ 2n ① f(n)中共有 n 项，当 n ＝ 2 时， f(2)＝ 1＋1； 2 3② f(n)中共有 n ＋ 1 项，当 n ＝ 2 时， f(2) ＝1＋ 1＋ 1；2 3 4③ f(n)中共有 n 2－n 项，当 n ＝ 2 时， f(2)＝ 1＋1；2 32－n ＋ 11 1 1 ④ f(n)中共有 n 项，当 n ＝2 时， f(2) ＝＋＋ .2349． (2014 年广东 )设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，知足 S n ＝ 2na n ＋ 1－ 3n 2－ 4n ， n ∈N * 且 S 3＝ 15.(1)求 a 1， a 2， a 3 的值；(2)求数列 {a n } 的通项公式．ax10． (2014 年纲领 )函数 f(x) ＝ ln(x ＋ 1)－x ＋ a (a>1) ．(1)议论 f(x) 的单一性；(2)设 a 1＝ 1， a n ＋ 1＝ ln(a n ＋1) ，证明：2<a n ≤3.n ＋2n ＋ 2第五章数列、推理与证明第 1 讲数列的观点与简单表示法1． B2．A分析： a 8＝ S 8－ S 7＝82－72＝ 64－ 49＝ 15.3． B4． B 分析：依据题意，该算法的功能为第一步： k ＝ 1，S ＝ 2×0＋ 1＝ 1， k ＝ 2；第二步： S ＝ 2×1＋ 1＝ 3， k ＝ 3；第三步： S ＝ 2×3＋ 1＝ 7， k ＝ 4；第四步： S ＝ 2×7＋ 1＝ 15， k ＝ 5.此时 S ＝ 15∈(10,20) ，应当退出程序．那么此时判断框中的条件是5>4，故 n 的值为 4.1 分析：由已知，得a n ＝1－ 1， a 8＝ 2，5.a n ＋ 1 2∴ a 7＝ 1－ 1 ＝ 1， a 6＝ 1－ 1 ＝－ 1， a 5＝ 1－ 1＝ 2.a 8 2a 7a 611同理， a 4＝ 2， a 3＝－ 1，a 2＝ 2， a 1＝ 2.6．1 0分析： a 2009＝ a 4×503－3＝ 1， a 2014＝a 2×1007＝ a 1007＝ a 4×252 －1＝ 0.7． (－ 3，＋ ∞) 分析：由 {a n } 为递加数列，得a n ＋ 1－ a n ＝ (n ＋ 1)2＋ k(n ＋ 1)＋ 2－n 2－ kn－ 2＝ 2n ＋1＋ k>0 恒建立，即 k> － (2n ＋1) 恒建立，即 k>[ － (2n ＋ 1)]max ＝－ 3.n 122 a－分析：当 n ＝ 1 时， a 1＝ 1；当 n ≥2时， a n ＝ S n － S n － 1＝ 3a n － 3a n － 1，故 n＝8．(－ 2)a n －1 － 2，故 a n ＝ (－ 2) n －1 a n ＝ (－ 2)n － 1 n － 1.当 n ＝ 1 时，也切合 .综上， a n ＝ (－ 2).9．解：∵ a n ＋1 －a n ＝ (n ＋ 2)10 n＋1－ (n ＋ 1)10n1111＝10n ·9－n，而10n>0，111111∴当 n<9 时， a n ＋ 1－ a n >0 ，即 a n ＋ 1>a n ；当 n ＝9 时， a n ＋1－ a n ＝ 0，即 a 10＝ a 9；当 n>9 时， a n ＋ 1－ a n <0 ，即 a n ＋ 1<a n .所以 a 1<a 2<<a 9＝a 10>a 11>a 12> .∴当 n ＝ 9 或 n ＝ 10 时，数列 {a n } 有最大项，最大项为a 9 或 a 10.10．解： (1)由 a1＝ 1 与 S n＝n＋2a n可得3S2＝2＋2a2＝ a1＋ a2? a2＝ 3a1＝ 3，33＋ 22S3＝3a3＝ a1＋ a2＋ a3? 3a3＝ a1＋ a2＝ 4? a3＝ 6故所求 a2， a3的值分别为3,6.n＋ 2(2)当 n≥2时， S n＝3a n，①n＋ 1S n－1＝3a n－1，②①－②可得 S n－S n－1＝n＋2n＋ 13 a n－3a n－1即a n＝n＋ 2n＋ 1n－ 1n＋ 1n n＋ 1a n－a n－1?a n＝3a n－1? a ＝n－ 1 333a n－1故有 a n＝a n a n－1a2n＋ 1n3n2＋ n，×× × ×a1＝×× ××1＝2a n－1 a n－2a1n－ 1 n－2112＋ 1n2＋ n而＝ 1＝ a1，所以 {a n} 的通项公式为a n＝.22第 2讲等差数列1．C分析：设等差数列{a n} 的公差为d，a1＝ 2，S3＝ (a1＋a3)＋ a2＝ 3a2＝ 12，a2＝ 4，d＝2，则 a6＝ a1＋ 5d＝ 12.8×72． A分析：S8＝8a1＋d＝ 4a3＝ 4(a1＋ 2d)， 4a1＝－ 20d， a1＝－ 5d.又∵ a7＝ a1＋ 6d ＝d＝－ 2，∴ a1＝ 10，a9＝ a1＋ 8d＝ 10＋8×(－ 2)＝－ 6.3．D分析：因为S1，S2，S4成等比数列，有S22＝S1S4，即 (2a1－ 1)2＝ a1(4a1－6)，解1得 a1＝－2.4．A分析：由a1＋ a7＋ a13是一个确立的常数，得3a7是确立的常数，故②正确；S13＝13(a1＋a13)＝ 13a7是确立的常数，故③正确； S8－ S5＝ a6＋ a7＋ a8＝ 3a7是确立的常数，故⑤2正确．5．C分析：由已知，得 2 a1a n< 2a1a n 1，即2a1a n<1, 2a1( a n a n 1) <1. 又 a n－ a n－1＝ d，故2a1d <1，2a1a n 1进而 a1d<0.6．C分析：先剖析四个答案， A. 若 a1＝ 2，a2＝－ 1，a3＝－ 4，a1＋ a2>0，而 a2＋ a3 <0，A 错误； B.若 a1＝ 2，a2＝－ 1，a3＝－ 4，a1＋ a3<0，而 a1＋ a2>0，B 错误； C.{a n} 是等差数列，若 0<a1<a2，则 a1>0，设公差为 d，则 d>0，数列各项均为正，因为22－a1(a1 a2－ a1a3＝(a1＋ d)22222a1a3，C 正确．D.若 a1<0，则 (a2－ a1) ·(a2＋ 2d)＝ a1＋ 2a1d＋ d － a1－2a1d＝d >0，则 a2>a1a3? a2>－ a3) ＝d·(－ d)＝－ d2≤0， D 错误．应选 C.7．27分析：∵ n≥2时， a n＝ a n－1＋1，且 a2＝ a1＋1，∴ {a n} 是以 a1为首项，1为公差的2229×8 1等差数列．∴S9＝ 9×1＋× ＝9＋18＝27.2 28．5分析：若这组数有 (2n＋ 1)个，则 a n＋1＝ 1010，a2n＋1＝ 2015 ，又 a1＋ a2n＋1＝ 2a n＋1，所以 a1＝5；若这组数有2n 个，则 a n＋ a n＋1＝1010×2＝ 2020，a2n＝ 2015.又 a1＋ a2n＝ a n＋ a n＋1，所以 a1＝5.故答案为 5.9．解： (1) 设数列 {a n} 的公差为d，依题意， 2,2＋ d,2＋4d 成等比数列，故有 (2＋ d)2＝ 2(2＋4d)．化简，得 d2－ 4d＝ 0.解得 d＝ 0 或 d＝ 4.当 d＝0 时， a n＝ 2；当 d＝4 时， a n＝ 2＋ (n－ 1) ·4＝ 4n－ 2，进而求得数列{a n} 的通项公式为a n＝ 2 或 a n＝ 4n－2.(2)当 a n＝ 2 时， S n＝ 2n. 明显 2n<60n ＋ 800，此时不存在正整数n，使得 S n>60n ＋800 建立．当 a n＝ 4n－ 2 时， S n＝n[2＋(4n－2)]＝ 2n2.2令 2n2 >60n＋ 800，即 n2－ 30n－400>0 ，解得 n>40 或 n<－ 10(舍去 )．此时存在正整数n，使得 S n>60n ＋ 800 建立， n 的最小值为 41.综上，当 a n＝ 2 时，不存在知足题意的n；当 a n＝ 4n－ 2 时，存在知足题意的n，其最小值为 41. 10．解： (1)由题设， a n a n 1＝λS－ 1， a1a n＝λS － 1.＋＋＋＋两式相减，得 a1(a n－ a)＝λa1.＋＋＋因为 a n＋1≠0，所以 a n＋2－a n＝λ.(2)由题设， a1＝ 1， a＝λS－ 1，可得 a ＝λ－ 1.1a212由 (1)知， a3＝λ＋ 1.令 2a2＝ a1＋ a3，解得λ＝4.故 a n＋2－ a n＝ 4，由此可得{a 2n－1} 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a2n－1＝ 4n－3；{a 2n} 是首项为3，公差为 4 的等差数列，a2n＝ 4n－ 1.所以 a n＝2n－ 1， a n－1－ a n＝ 2.所以存在 λ＝4，使得数列 {a n } 等差数列．第 3讲等比数列6x ＋ 6＝ 2＝ q ，有3x ＋ 3＝ 2,3x ＋ 3＝ 2x ，即 x ＝－ 3，则等比数列 1．A 分析：方法一， 3x ＋ 3x－ 3，－ 6，－ 12，的第四项为－ 24.方法二， (3x ＋3) 2＝ x(6x ＋ 6)， 9x 2＋ 18x ＋ 9＝ 6x 2＋ 6x ， 3x 2＋ 12x ＋ 9＝0， x ＝－ 3 或 x ＝－ 1(舍 )．则等比数列－ 3，－ 6，－ 12，的第四项为－ 24.2． C 3．D 分析：因为数列 {a n } 是等比数列， a 26＝ a 3a 9，所以 a 3， a 6， a 9 成等比数列．4．A分析：依题意，数列S 10，S 20－ S 10， S 30－ S 20，S 40－S 30 成等比数列，所以有 (S 20－ S 10)2＝ S 10(S 30－ S 20)，即 (S 20－ 10)2＝ 10(70－ S 20)．故 S 20＝－ 20 或 S 20＝ 30；又 S 20>0 ，所以 S 20＝30， S 20－ S 10＝ 20，S 30－S 20＝40.故 S 40－ S 30＝ 80.S 40＝150.应选 A.5．D 分析：方法一，在等比数列{a n } 中，21－ a n ·S n ＝ a 1－an q ＝3＝ 3－ 2a n .1－q 21－ 3方法二，在等比数列{a n } 中， a 1＝ 1，q ＝ 23，∴ a n ＝ 1×2 n －1＝ 2 n －1.3 32 nS n ＝ 1×1－ 3＝3 1－2 n231－ 3＝ 3 1－ 2 2 n －1 ＝ 3－ 2a n .3 36． B 分析： {a n } 是等差数列， a 3 ， a 4， a 8 成等比数列，有 (a 1 ＋ 3d)2＝ (a 1＋ 2d)(a 1＋ 7d)? a 1＝－ 5 (a 1＋a 4) ×422 2， a 1d ＝－ 52d ，S 4＝＝ 2(2a 1＋3d)＝－ d ， dS 4＝－ d <0 3 d <0.应选 B.3 2 3 3 2 － 1 分析：由题可得， (a 1＋ 2d) 2＝ (a 1＋ d)(a 1＋ 6d)，故有 3a 1＋ 2d ＝ 0，又因为 2a 1 7. 32＋ a 2＝ 1，即 3a 1＋d ＝ 1，所以 d ＝－ 1， a 1＝ 3.8． 6 分析：a 1＝ 2，S n ＝2(1－2n )＝ 2n ＋1－ 2， S 5＝ 62， S 6＝ 126.所以起码需要 6 天．q ＝ 2，1－29．解：由已知 S n ＝ 2a n － a 1，有 a n ＝ S n － S n － 1＝2a n － 2a n － 1(n ≥2)，即 a n ＝ 2a n －1(n ≥ 2)．进而 a 2＝2a 1 ，a 3＝ 2a 2＝ 4a 1.又因为 a 1， a 2＋ 1， a 3 成等差数列，即 a 1＋ a 3＝ 2(a 2＋ 1)．所以 a 1＋4a 1 ＝2(2a 1＋1)．解得 a 1＝ 2.所以，数列 {a n } 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 a n ＝ 2n .11 n111 1 12 1－ 21(2)由 (1)，得 a n＝ n＝＋ 2 n＝ 1 ＝ 1－ n2 ，所以 T n2 2＋＋ 2 2 .1－210．解： (1)设 {a n } 的公差为 d ，则由已知条件，得a 1＋ 2d ＝2,3a 1＋ 3×22d ＝92.3化简，得 a 1＋ 2d ＝2， a 1＋ d ＝ .解得 a ＝1， d ＝ 11.2故 {a n } 的通项公式 a n ＝ 1＋n － 1，即 a n ＝n ＋1.22(2)由 (1)，得 b 1＝ 1，b 4 ＝a 15＝ 15＋ 1＝ 8.2设 {b n } 的公比为 q ，则 q 3＝ b4＝ 8，进而 q ＝ 2. b 1故 {b n } 的前 n 项和 T n ＝b 1(1－q n )＝ 1×(1－2n )＝ 2n － 1. 1－q1－ 2第 4 讲数列的乞降1． B 分析： a n ＝ 1＋ 2＋3＋＋ n ＝ n ，n ＋ 1 2 ∴ b n ＝ 1＝ 4 ＝ 4 1 － 1，4a n a n ＋ 1 n(n ＋ 1) n ＋ 1∴ S n ＝411 1 1 11－ 2 ＋ 2－3 ＋＋ n － n ＋ 114n＝4 1－n＋1＝n＋1.2．A分析：由 a5＝ 5，S5＝ 15，得 a1＝ 1，d＝ 1.∴a n＝ 1＋ (n－ 1)＝ n.故1＝1n(n＋ 1)a n a n＋1 11111111111100＝n－n＋ 1.∴a1a2＋＋a100a101＝1－2＋2－3＋＋100－101＝1－101＝101.应选 A.3．A4．D分析：方法一，由题设知a2－ a1＝ 1①a3＋ a2＝ 3②a4－ a3＝ 5③a5＋ a4＝ 7，a6－ a5＝ 9，a7＋a6＝11，a8－a7＝13，a9＋ a8＝ 15，a10－ a9＝ 17，a11＋ a10＝19，a12－ a11＝ 21，∴②－①，得a1＋a3＝ 2，③＋②，得a4＋ a2＝ 8.同理可得 a5＋ a7＝ 2， a6＋ a8＝ 24， a9＋ a11＝ 2， a10＋ a12＝ 40， .∴ a1＋ a3， a5＋ a7， a9＋ a11，，是各项均为2 的常数列．a2＋ a4， a6＋ a8， a10＋ a12，是首项为8，公差为16 的等差数列．1∴ {a n} 的前 60 项和为 15×2＋ 15×8＋2×16×15×14＝ 1830.方法二，可证明：b n＋1＝ a4n＋1＋ a4n＋2＋ a4n＋3＋ a4n＋4＝ a4n－3＋ a4n－2＋ a4n－2＋ a4n＋ 16＝ b n＋16，15×14b1＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ 10? S15＝ 10×15＋×16＝1830.5． B分析：由5a8＝ 8a13，得 5(a1＋ 7d)＝ 8(a1＋ 12d)．3·－3641∴ d＝－61a1.由 a n＝ a1＋ (n－ 1)d＝a1＋ (n－1)61a1≥0?n≤3＝ 213.∴数列 {a n} 的前 21 项都是正数，此后各项都是负数．故 S n取最大值时，n 的值为 21.应选 B.26． C分析：∵由S n＝ n － 6n 得 {a n} 是等差数列，∴a n＝－ 5＋ (n－ 1) ×2＝ 2n－ 7.∴n≤3时， a n<0，n>3 时， a n>0.26n－ n (1≤ n≤3)，∴ T＝n2n － 6n＋18(n＞ 3).1n7.3(4 － 1)分析：当n＝1 时， a1＝ S1＝ 1，当 n≥2时， a n＝S n－ S n－1＝2n－ 1－ (2n－1－ 1)＝ 2n－1，又∵ a 1＝1 合适上式．n －12n － 1∴ a n ＝ 2 .∴ a n ＝ 4 .∴数列 {a n 2} 是以 a 21＝ 1 为首项，以4 为公比的等比数列．2 22 1·(1－ 4n)1 n－ 1)．∴ a 1 ＋ a 2＋＋ a n ＝＝ (41－ 43n 2－ n ＋2 分析：设第 n(n ≥2)行的第 2 个数组成数列 {a n } ，则有 a 3－ a 2＝ 2，a 4－a 3＝ 3，8. 22＋ n － 1， a n － a n － 1 ＝ n － 1，相加，得 a n － a 2＝ 2＋ 3＋＋ (n － 1)＝ ×(n － 2)＝ 2(n ＋ 1)(n －2)(n ＋ 1)(n － 2) n 2－ n ＋2. 2， a n ＝ 2＋＝229．解： (1)设等差数列 {a n } 的公差为 d ，则 a n ＝ a 1＋ (n － 1)d.∵a 7＝4， a 1＋ 6d ＝ 4，∴a 1＋ 18d ＝ 2(a 1＋ 8d).a 19＝ 2a 9，1解得 a 1＝1， d ＝ 2.n ＋ 1∴ {a n } 的通项公式为a n ＝2 .(2)b n ＝ 1 ＝ 2 ＝ 2 1－ 1 ，na n n(n ＋ 1) n n ＋ 1 ∴S ＝2 1－ 1＋1－1＋＋1－ 1n2 23 n n ＋ 1＝ 2n.n ＋ 110．解： (1)设数列 {a n } 的公差为 d ，11令 n ＝1，得 a 1 a 2＝ 3.所以 a 1 a 2＝3.令 n ＝2，得 1 ＋ 1 ＝ 2.所以 a 2a 3＝ 15.a 1 a 2 a 2a 3 5 解得 a 1＝1， d ＝ 2.所以 a n ＝ 2n －1.(2)由 (1)知， b n ＝ 2n ·22n －4＝ n ·4n .所以 T n ＝ 1·41＋ 2·42＋＋ n ·4n .所以 4T n ＝ 1·42＋ 2·43＋＋(n －1) ·4n ＋ n ·4n －1.两式相减，得－ 3T n ＝ 41＋ 42＋＋ 4n － n ·4n ＋14(1－ 4n ) n ＋1 ＝ 1－ 3n n ＋14＝－ n ·4 3×4－ .1－ 433n － 14n ＋1n ＋1＝ 4＋ (3n － 1) ·4. 所以 T n ＝9 ×4＋99第 5 讲合情推理和演绎推理1． C 分析：明显正三角形和正四周体的极点是两两距离相等的，即n ＝ 3 或 n ＝ 4 时命题建立，由此可清除A ，B ，D.应选 C.2． 2n × 1× 3× 5× ×－1)(2n ＝ (n ＋ 1) ×(n ＋ 2) ×(n ＋ 3) × ×＋(nn)2 22n －12 n ＋1n(n ＋ 1)3． 1 －2 ＋3 －＋ (－ 1)n ＝(－ 1)42＝ S 12＋ S 22＋ S 324． S5． cos π 2π n π 1*cos · · cos ＝ n ， n ∈N2n ＋ 1 2n ＋ 1 2n ＋ 1 26．一分析：由上可知：甲、乙、丙均为 “p 且 q ”形式，所以猜对一半者也说了错误 “命题 ”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因其中国足球队得了第一名．7． 2 分析：近似令原式＝ t ，有 2＋ t ＝t,2＋t ＝ t 2，解得 t ＝－ 1(舍去 )或 t ＝ 2.8．A分析：若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确， f ′ (x)＝2ax ＋ b ，因为 1 是 f(x) 的极值点， 3 是 f(x) 的极值，所以f (1)′ ＝0， 2a ＋ b ＝ 0， b ＝－ 2a ，因为点 (2,8) 在f(1) ＝ 3，即解得a ＋b ＋c ＝ 3.c ＝ 3＋ a.曲线 y ＝ f(x) 上，所以 4a ＋2b ＋ c ＝ 8，即 4a ＋ 2×(－2a)＋ a ＋ 3＝ 8，解得 a ＝ 5，所以 b ＝－ 10，c ＝ 8，所以 f(x) ＝ 5x 2－ 10x ＋ 18.因为 f( － 1)＝ 5×(－ 1)2－ 10×(－ 1) ＋8＝ 23≠0，所以－ 1 不是f(x) 的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确．应选 A.221339．解： (1) 选择②，由 sin 15 °＋ cos 15°－ sin15 cos15° °＝ 1－ 2sin30 ＝°4，故这个常数是 4.(2)推行，获得三角恒等式223sin α＋ cos (30 °－ α)－sin α cos(30－ α)°＝4.证明： sin 2α＋ cos 2(30 °－ α)－sin α cos(30－ α)°＝ sin 2 ° cos ＋αsin30 2－ sin α(cos30 °cos ＋αsin30 °sin α)α＋(cos30 ° sin α)2 3 2 3 1 2 3 1 23 2 3 23.＝ sin α＋ cos α＋sin α cos ＋αsin α－ sin α cos －αsinα＝ sinα＋ cos α＝42 42 244410．解： (1)设等差数列 {a n } 的公差为 d ，因为a 1＋ a 2＝ 5，2a 1＋ d ＝5，a 1＝ 1，a 3＝ 7，即解得a 1＋ 2d ＝7.d ＝ 3.所以 a n ＝a 1＋(n － 1)d ＝ 1＋ 3(n － 1)＝3n － 2. 所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ＝ 3n －2(n ∈ N * )．1 ＝1＝11－1，(2)因为a n a n ＋ 1(3n － 2)(3n ＋ 1) 3 3n － 2 3n ＋ 1所以数列 1的前 n 项和a n a n ＋1S n ＝1＋1＋1＋＋1 ＋1a 1a 2a 2a 3 a 3a 4aaa an －1 n n n ＋111 1 1 1 1 1 1 1 1 － 1 1 1 － 1 ＝3 1－ 3n －2 ＋3n ＋ 14 ＋ 3 4－ 7 ＋ 3 7－ 10 ＋＋3 3n － 5 3 3n － 2 1 1 n＝ 3 1－ 3n ＋ 1 ＝ 3n ＋ 1.假定存在正整数 m ， n ，且 1<m<n ，使 S 1， S m ， S n 成等比数列，则 S 2m ＝ S 1S n ，即m 2＝ 1× n .3m ＋ 1 4 3n ＋ 1－ 4m 2所以 n ＝ 3m 2－ 6m － 1. 因为 n>0 ，所以 3m 2 －6m － 1<0.23因为 m>1，所以 1<m<1＋ 3 <3. 因为 m ∈N * ，所以 m ＝ 2.－ 4m 2此时n ＝3m 2－ 6m － 1＝16.故存在知足题意的正整数 m ， n ，且只有一组值，即 m ＝ 2， n ＝ 16.第 6 讲直接证明与间接证明1．②2．①③④分析：要使 b a ≥2，只要 b a＋ >0 且 >0 建立，即 a ， b 不为 0 且同号即可，故a b a b①③④能使 b a＋ ≥2建立．a b3. 6＋ 7>2 2＋ 5 分析：要比较 6＋ 7与 22＋ 5的大小，只要比较 ( 6＋7)2 与 (2 2＋ 5)2 的大小，只要比较 6＋ 7＋ 2 42与 8＋ 5＋ 4 10的大小，只要比较42与 2 10的大小，只要比较 42 与 40 的大小，∵ 42>40，∴ 6＋ 7>2 2＋ 5.4． A 分析：反证法的步骤第一步是假定命题的反面建立，而“起码有一个实根”的否定是 “没有实根 ”．应选 A.3 3分析：∵ f(x) ＝ sinx 在区间 (0， π)上是凸函数，且 A ， B ， C ∈(0， π)．5. 2f(A) ＋ f(B) ＋ f(C)A＋B＋C＝ f ∴≤f33π 33即 sinA ＋ sinB ＋ sinC ≤3sin＝.32π3 ，所以 sinA ＋ sinB ＋ sinC 的最大值为332.6．若①③④，则②(或若②③④，则①)分析：依题意可得以下四个命题：(1)m⊥ n，α⊥ β， n⊥β? m⊥ α； (2)m ⊥ n，α⊥β， m⊥ α? n⊥ β；(3)m⊥ n， n⊥ β，m⊥ α? α⊥β； (4) α⊥β，n⊥ β， m⊥ α? m⊥ n.不难发现，命题(3) ，(4) 为真命题，而命题(1)， (2)为假命题．7． lg15 ＝3a－ b＋ c分析：假如lg3 ＝ 2a－b 是正确的，那么lg9＝ 2lg3 ＝ 2(2a－b) ＝ 4a－ 2b；假如 lg3 ＝ 2a－ b 是错误的，那么lg9 ＝ 4a－ 2b 也是错误的，这与题意矛盾．反过来，lg9 ＝4a－ 2b 也不是错误的，不然lg3 ＝ 2a－ b 是错误的．相同，假如lg5＝a＋c，那么 lg8 ＝3lg2 ＝ 3(1－ lg5) ＝ 3(1－ a－c)，假如 lg5＝ a＋ c 是错误的，那么lg8 ＝3－ 3a－ 3c，也错误，这与题意矛盾；明显lg8 ＝3－ 3a－ 3c 也不是错误的，不然lg5 ＝ a＋ c 也错误．∴ lg15 ＝ lg(3 ×5)＝ lg3＋ lg5 ＝ (2a－ b)＋ (a＋ c)＝ 3a－ b＋ c.∴应将最后一个更正为lg15 ＝3a－ b＋ c.8．201分析：由已知，若a≠2正确，则 a＝ 0 或 a＝ 1，即 a＝ 0，b＝ 1，c＝ 2 或 a＝ 0，b＝ 2， c＝1 或 a＝1， b＝ 0， c＝ 2 或 a＝ 1，b＝ 2， c＝ 0 均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若 b＝ 2 正确，则 a≠2正确，不切合题意；所以 c≠0正确， a＝ 2，b＝ 0，c＝ 1，故 100a＋10b＋ c＝201.9．解： (1)S2·S3＝ (2a1＋ d)(3a1＋ 3d)＝ 36，将 a1＝ 1 代入上式，解得d＝2 或 d＝－ 5.∵公差 d>0 ，∴ d＝ 2， a n＝1＋ 2(n－ 1)＝ 2n－1，S n＝ (1＋ 2n－ 1)n＝n2(n∈N*)．2(2)由 (1)知， a m＋ a m＋1＋ a m＋2＋＋a m＋k＝[2m － 1＋2(m ＋ k)－ 1](k ＋ 1)2＝(2m＋ k－1)(k ＋1) ＝ 65.∵m， k∈N *, 2m＋ k－ 1>1 ， k＋ 1>1 ，2m＋ k－ 1＝ 5，m＝－ 3，∴解得(舍去 )．k＋ 1＝ 13.k＝ 12，2m＋ k－ 1＝ 13，解得m＝ 5，或k＝ 4.k＋ 1＝ 5.综上所述， m ＝ 5，k ＝ 4.210．解： (1)由 3a n ＋ 1－ 2a n ＝ 1，得 a n ＋ 1－ 1＝ 3(a n － 1)．13因为 a 1＝4，所以 a 1－ 1＝－ 4.所以数列 {a n －1} 是以－ 3为首项， 2为公比的等比数列．43所以 a n －1＝－ 3 2 n －1 4×3 ，即 a n ＝ 1－ 34·23n－1(n ∈ N * )．所以 S n ＝ a 1＋ a 2＋＋ a n＝ n －3 1＋ 2 1＋＋ 2n －14332 n3 1－ 32 n － 29 *) ．＝ n －×＝3＋ n － (n ∈ N41－ 243(2)由 (1)，得 b n ＝ a n ＋ 1－ a n ＝－ 3 2 n3 2 n － 1 1 2 n － 1 4·3 － 1－ 4·3 ＝4·3 . 下边用反证法证明：数列{b n } 中的随意三项不行能成等差数列．假定数列 {b n } 中存在三项 b r ， b s ， b t (r ＜ s ＜ t)按某种次序成等差数列，因为数列 {b n } 是首项为 1，公比为2的等比数列，43于是有 b r ＞ b s ＞ b t ，则只好有 2b s ＝ b r ＋ b t 建立．1 2 s －11 2 r －11 2 t －1，所以 2××3＝ ×3＋ ×3444两边同乘3t －121－r ，化简，得 2·2s － r ·3t － s ＝ 3t － r ＋ 2t － r .因为 r ＜ s ＜ t ，所以上式左侧为偶数，右侧为奇数，故上式不行能建立，致使矛盾. 故数列 {b n } 中的随意三项不行能成等差数列．第 7 讲数学概括法1． B 2.D 3.C 4.C5．D分析：原等式共有5 －14，选 D.5n 项，当 n ＝ 1 时， 2 ＝ 26．C 分析：S k ＋ 1＝ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 ＝1 ＋ 1 ＋＋ 1 ＝ 1 ＋k ＋1＋ 1 k ＋ 1＋ 2 2(k ＋ 1) k ＋ 2 k ＋ 32k ＋ 2 k ＋ 1 1 ＋＋ 1 ＋ 1 ＋1 －1＝S ＋1 － 1 k ＋ 22k 2k ＋ 1 2k ＋ 2 k ＋ 1k2k ＋ 1 2k ＋ 2.1 ＋ 1 ＋1＋＋1，7． 1007 分析：记 f(n)＝ n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ 32n 则 f(n ＋ 1)－ f(n) ＝1 ＋1－1＝1 －12n ＋ 1 2n ＋ 2 n ＋ 1 2n ＋ 12n ＋ 2>0，数列 {f(n)} 是递加数列，则1f(n) min ＝ f(1) ＝，∴ m ≤1007.8．④9．解： (1)S 2＝4a 3－ 20， S 3＝S 2＋ a 3＝5a 3－ 20，又 S 3＝15，∴ a 3＝ 7，S 2＝ 4a 3－ 20＝8，又 S 2＝S 1＋ a 2＝ (2a 2－7)＋ a 2＝ 3a 2－ 7.∴ a 2＝ 5，a 1＝ S 1＝ 2a 2－ 7＝ 3，综上知 a 1＝ 3， a 2＝ 5， a 3＝7. (2)由 (1)猜想 a n ＝ 2n ＋1，①当 n ＝ 1 时，结论明显建立；②假定当 n ＝ k(k ≥1)时， a k ＝ 2k ＋1，则 S k ＝3＋ 5＋ 7＋＋ (2k ＋ 1)＝3＋ (2k ＋ 1)×k ＝k(k ＋2)， 2又 S k ＝2ka k ＋ 1－ 3k 2 － 4k.∴ k(k ＋2) ＝2ka k ＋ 1－ 3k 2－4k ，解得 2a k ＋1＝ 4k ＋ 6.∴ a k ＋1＝ 2(k ＋ 1)＋ 1，即当 n ＝ k ＋1 时，结论建立；由①②知， ? n ∈ N * ， a n ＝ 2n ＋ 1.2x[x － (a － 2a)]①当 1<a<2 时，若 x ∈ (－ 1， a 2－2a)，则 f ′(x)>0， f(x) 在 (－ 1， a 2－ 2a)上是增函数；若 x ∈(a 2－ 2a,0)， f ′(x)<0， f(x) 在 (a 2－2a,0)上是减函数；若 x ∈(0，＋ ∞)，则 f ′(x)>0， f(x) 在 (0，＋ ∞)上是增函数．②当 a ＝ 2 时， f ′(x) ，≥0f ′(x)＝ 0 建立当且仅当 x ＝ 0，f(x) 在 (－ 1，＋ ∞)上是增函数．③当 a>2 时，若 x ∈ (－ 1,0)，则 f ′(x)>0， f(x) 在 (－1,0)上是增函数；若 x ∈(0， a 2－ 2a)，则 f ′(x)<0， f(x) 在 (0， a 2－ 2a)上是减函数；若 x ∈(a 2－ 2a ，＋ ∞)，则 f ′(x)>0， f(x) 在 (a 2－ 2a ，＋ ∞)上是增函数．(2)由 (1)知，当 a ＝2 时， f(x) 在 (－ 1，＋ ∞)是增函数．当 x ∈(0，＋ ∞)时， f(x)>f(0) ＝ 0，2x即 ln(x ＋ 1)>x ＋ 2(x>0) ．又由 (1)知，当 a ＝ 3 时， f(x) 在 [0,3) 上是减函数；当 x ∈(0,3)时， f(x)<f(0) ＝ 0，3x即 ln(x ＋ 1)<x ＋ 3(0<x<3) ．下边用数学概括法证明2 <a n ≤3 .n ＋ 2 n ＋2①当 n ＝ 1 时，由已知2<a 1 ＝1，故结论建立；3②假定当 n ＝ k 时结论建立，即2 <a k ≤ 3.k ＋ 2 k ＋ 2222×2＋1＝ ln(a k ＋ 1)>ln＋ 1> 2 k ＋ 2 ＝，当 n ＝k ＋ 1 时， a kk ＋ 2k ＋ 3＋ 2k ＋ 23× 3a k ＋ 1＝ ln(a k ＋ 1) ≤ln3 ＋ 1k ＋23≤ 3＝，k ＋ 2＋ 3 k ＋ 3 k ＋ 2 即当 n ＝ k ＋ 1 时有 2 <a k ＋1≤ 3 ，结论建立．k ＋ 3 k ＋3依据①②知对任何n ∈N*结论都建立．。

高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行，令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n：， + ， + + ， + + + ，，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列满足，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时，，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ；即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前项和．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前项和为，且是与的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为，已知．（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为，且 b = 4n nn +1，若对任意都成立，求实数的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述的取值范围为．第 7 单元数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为，，（），则（）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则．．故选 B ．满足：，若数列是等比数列，则的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列的前项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足：，，成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为（）A ．115【答案】C【解析】由，，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ，（ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪琪琪琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前项和为，且，，数列满足，（1）求数列（2）令【答案】（1），的通项公式；，求数列的前项和．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时，，即，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为，首项为的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理是偶数时是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前项和为，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

专题04 数列与不等式- 2021年高考数学(理)试题分项版解析(原卷版)

1.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．82.【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏3.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1， 1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．1104.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.【2017天津，理2】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 7.【2017山东，理4】已知x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）68.【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a b a a b b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+< 9.【2017课标3，理9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．24-B ．3-C ．3D ．810.【2017北京，理4】若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3（C ）5 （D ）911.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是 A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+12.【2017天津，理8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C ）[23,2]-（D ）39[23,]16- 13.【2017课标3，理13】若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y =-的最小值为__________.14．【2017课标3，理14】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________.15.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk k S ==∑。

上海第期高三名校数学理试题分省分项汇编专题数列数学归纳法与极限解析含解析

一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】221lim 2n n n n→∞+=-___________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .【答案】1 【解析】试题分析：圆心为(0,1)，21nd n =+，22limlim1111n n n n→∞→∞==++．考点：点到直线距离公式，极限．7.【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】14【解析】试题分析：等差数列}{n a 的公差为d ，则21()22n d dS n a n =+-，21()22n d dS n a n =+-，数列}{n S 是等差数列，则n S 是关于n 的一次函数（或者是常函数），则102da -=，2n d S n =，从而数列}{n S 的公差是2d ，那么有2d d =，0d =（舍去）或12d =，114a =．考点：等差数列的通项公式．10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】计算：2211lim[()]12n n n n n →+∞--++=_________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：210lim323xnn→∞++=.【答案】23【解析】试题分析：这属于“∞∞”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以n（n的最高次幂），化为一般可求极限型，即210lim323xnn→∞++1022lim2333nnn→∞+==+．考点：“∞∞”型极限13.【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()1111112312nf nn n=++++++++L L(*n N∈)那么()()1f k f k+-共有项.14.【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：=+∞→133limnnn．15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.【答案】85 【解析】试题分析：数列{}n c 到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和10S 表示出来，1210b b S a a =++L10b a +11121[(1)][(1)][(1)]n a b a b a b =+-++-+++-L 1121010()10a b b b =++++-L =111091010102a b ⨯++-1110()451085a b =++-=. 考点：等差数列的通项公式与前n 和公式.二．能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}na 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________．可行，由此我们可得2016S =12344342414()()k k k k a a a a a a a a ---+++++++++L L 20132014(a a ++2015a + 2016)a +(222)(226)(22(42))(222014)k =+⨯++⨯+++⨯-+++⨯L L 25044(13=⨯+⨯++5+L 1007)+=1017072．考点：分组求和．2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ ．【答案】4032- 【解析】试题分析：考虑到sin2n π是呈周期性的数列，依次取值1,0,1,0,-L ，故在122014a a a +++L 时要分组求和，又由n a 的定义，知1352013a a a a ++++L (1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f =++++++L2222221357200920112013=-+-++-+L 1(53)(53)(97)(97)=+-++-++L (20132011)+-⋅(20132011)+12(357920112013)=+++++++L 110062016=+⨯，242014a a a +++L(2)(3)(4)f f f =+++(5)(2014)(2015)f f f +++L 22223520132015=-+++-L 22(352013)2015=+++-L 2100620062015=⨯-，从而122014a a a +++L 1210062016=+⨯⨯图（1）图（2）图（3）……22015-4032=-．考点：周期数列，分组求和．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a .6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2cos 1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 【答案】1006 【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子cos2n π，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和2014S 时，想象应该分组，依次4个为一组，12341(12)1(14)a a a a +++=+-+++6=，56781(16)1(18)6a a a a +++=+-+++=，43424141[1(42)]1(14)k k k k a a a a k k ---+++=+--+++6=，最后还剩下20131a =，2014120142013a =-=-，所以20146503120131006S =⨯+-=．考点：分组求和．9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S= .（用数字作答）10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =____时，n B 取得最大值.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数()(2318,3133,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为（用k 表示）三．拔高题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值；（3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1) 210n a n =-；（2）20-；（3）229,15,*,940,6,*,n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列{}a中，n13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.（2）假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1k a -，k a ，1k a +（2k ≥，*k N ∈），由题意得，112+-+=k k k a a a ，将1)1(2--+=k k k a ，211)1(2----+=k k k a ，kk k a )1(211-+=++代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分化简得，21)1(42---⋅=-k k ，即11)1(42---⋅=k k ，得4)2(1=--k ，解得3=k所以，存在满足条件的连续三项为2a ，3a ，4a 成等比数列。

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∵ 成等比数列,∴ ,
∴ ,∵ ,∴ ,
即是等差数列,由得 ,由得 ,
∴ ,∴ ,∴ ,
∴ .
(Ⅱ)依题 ,下面用数学归纳法证明
当时, ,不等式成立；
假设当时,不等式也成立,即；
则当时,若为奇数,则
而要证明 ,只需成立,
只需成立,这是显然的,故；
若为偶数,则
而要证明 ,
只需成立,
∵ 为等差数列, ,
∴ ,∴ ,
∴ ,∴ ,∴ ,
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
∵ 时,数列的前项和取得最小值, ,∴ ,∴ ,
故选 .
6.
【解析】由递推公式可得数列的前几项为:
由此可得数列是周期为的周期数列.
又因为 ,且
所以 .
7.
【解析】
当时, ,
当时,
∴ ,∴ ,
∴ .
二、解答题.
1.解：(Ⅰ)设数列公比为 ,数列公差为 ,依题有
A. B. C. D.
4.已知是数列的前项和, ,数列是公差为的等差数列,则 ()
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差 ,且 ,当时,数列的前项和取得最小值,则首项的取值范围是()
A. B. C. D.
6.已知数列满足 , ,其前项和为 ,则 .
7.设为数列的前项和, ,则数列的前项和为.
解法二：
∵ ,∴
∴
二、解答题.
1.已知是各项均为正数的等比数列, 是等差数列, .
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)设 ,求证： .
2.数列的前项和为 , 且成等差数列.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)设 ,求证： .
3.设正项数列的前项和为 , 成等差数列.
(Ⅰ)证明是等差数列,并求的通项公式；
(Ⅱ)证明 .
4.在单调递增数列中, ,且成等差数列, 成等比数列.
只需成立,这是显然的,故；
综上所述；
由数学归纳法原理知成立.
5.证明：(Ⅰ)以下用数学归纳法证明 .
当时, 成立；
假设当时,结论也成立,即 ,
则当时有 ,
故知结论成立.
(Ⅱ)解法一：∵ ,∴
∴
下面用数学归纳法结论
数学归纳法
当时, 成立；
假设当时,结论也成立,即 ,
则当时有 ,
由数学归纳法原理知结论成立.
,解得 ,∴ ；
(Ⅱ) ,记 ,则
∴
证毕.
2.解：(Ⅰ)∵ ∴
∴ 即
∵ 成等差数列,∴
∵ ∴ ∴
又∵ 也满足上式,故 .
(Ⅱ)证明∵
∴
∴ .
3.解法一：(Ⅰ)∵ ,当时,整理得 ∵ ,∴ ；
当时,∵ ,∴ ,整理得
∴ 是等差数列, ,∴当时,
∵ 也满足上式,∴
(Ⅱ)证明：
故不等式获证.
4.解：(Ⅰ)∵ 成等差数列,∴ ,
高三数学专题练习
理科数列
一、选择填空.
1.已知对任意都有恒成立,且数列是递增数列,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
2.已知数列和数列满足 ,且 ,则()
A. 是递增数列, 是递减数列
B. 是递减数列, 是递增数列
C. 是递增数列, 是递减数列
D. 是递减数列, 是递减数列
3.设数列的前项积为 ,则满足不等式的最小整数为()
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列的前项和为 ,证明： .
5.数列满足 ,当时,求证：
(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
高三数学专题练习
理科数列
答案是递增数列,∴ ,即 ∴ 对于恒成立,∴ ,故选B.
2.
【解析】∵ ,
∴ ,
又
∴ 与的单调性一样,故选 .
3.B
【解析】∵ ,整理得 ,
且 ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
∴ ,∴ .
4.B
【解析】由题前25项的和可以看作第1项加上以第2,3,4项为首项,三个公差为2的等差数列的前8项之和.
由题可得 ,∴ ,∴ ,
故选B.
5.D
【解析】利用三角函数的降幂公式将条件转化为再利用和差化积公式转化,求得 ,从而可求得等差数列的公差 ,根据即可求得首项的取值范围.