空间向量与空间角(用)

当<a,n>∈ [0， ] 时,θ=
2
3.二面角范围的辨别 若二面角为θ,两平面的法向量夹角为α,则|cosθ|=|cosα|, 需分辨角θ是锐角还是钝角,可由图形观察得出,也可由法向量 特征得出.
【微思考】 (1)若二面角α-l-β的两个半平面的法向量分别为n1,n2,则二 面角的平面角与两法向量夹角<n1,n2>的关系. 提示:相等或互补 (2)利用向量法求空间角时,关键需找到哪些量? 提示:关键要找到直线的方向向量与平面的法向量.
向量求法 设二面角α-l -β为θ,平面α,β
范围
二面角
的法向量分别为n1,n2,则|cosθ|=
n1 n 2 |cos<n1,n2>| |n ||n | . ____________= 1 2
[0,π] _______
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相 等.( )
21 42
|u1 u 2| 21 . |u1||u 2| 42
【要点探究】 知识点 向量法求空间角
1.两条异面直线所成的角的两个关注点 (1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值, 而对应的方向向量的夹角可能为钝角.
,故两直线的方向向量 (2)范围:异面直线所成的角θ∈ (0， ] 2
【解析】AB＝(－1，2，0)， AC ＝(－1，0，3)．设平面ABC
的法向量为n＝(x，y，z)．
x 2y 0， 由n· AB ＝0，n·AC ＝0知 x 3z 0. 令x＝2，则y＝1，z＝ 2 . 3 2 所以平面ABC的一个法向量为n＝(2，1， )．平面xOy的一个 3
(2)若向量n1,n2分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角
n1 n 2 . ( 的平面角的余弦值为cos<n1,n2>= |n1||n 2| ( (3)直线与平面所成角的范围为 (0， ) ). 2
)
【解析】(1)错误.两异面直线所成的角的范围为 (0， ] ,两直线
2
的方向向量所成角的范围为[0,π].
mn 1 2 ＝ ＝ ， 【解析】(1)cos<m,n>= mn 2 2
所以<m,n>=45°.所以二面角为45°或135°. 答案:45°或135° (2)因为u1=(1,1,1)与u2=(2,2,2)共线易得直线与平面垂直, 则直线与平面所成的角的正弦值为1. 答案:1
(3)因为u1·u2=(1,3,2)·(2,-1,1)=1, |u1||u2|= 1 9 4 4 1 1 84 2 21 ， 则两直线所成的角的余弦值为|cos<u1,u2>|= 答案:
第3课时 空间向量与空间角
问题 引航
1.异面直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平
面所成角的范围分别是多少? 2.如何应用向量法求空间三种角?
空间三种角的向量求法 角的分类 向量求法 设两异面直线所成的角为θ,它们 范围
(0， ] 2 ______
异面直线
所成的角
的方向向量为a,b,则cosθ=
法向量为 OC ＝(0，0，3)．由此易求出所求二面角的余弦值 为 2． 答案：2
7
7
【题型示范】 类型一 异面直线所成的角
【典例1】 (1)(2014·天津高二检测)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB,E是AA1的中点,则异面直线D1C与BE所成角的余弦值 为(
A. 1 5
夹角α的余弦值为负时,应取其绝对值.
2.对直线与平面所成角的两点说明 (1)互余关系:若直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量和 平面的法向量夹角为φ,则其关系为sinθ=|cosφ|. (2)对应关系:若直线l(方向向量为a)与平面α(法向量为n)所 成的角为θ,
-<a,n>; 2 当<a,n>∈ ( ，] 时,θ=<a,n>- . 2 2
)
B. 3 10 10 C. 10 10 D. 3 5
(2)在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶 点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC ＝2，∠VDC＝θ.当θ＝ 时，求异面直线AC与VD所成角的余
|a b | |cos<a,b>| a b ___________=_____.
直线与平 面所成的 角
设直线l与平面α所成的角为θ,l的 方向向量为a,平面α的法向量为n,
|a n | a n 则sinθ=___________=_______. |cos<a,源自文库>|
______
[0， ] 2
角的分类
【微思考】
利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量 AB.
(3)求平面的法向量n.
(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝ | n | AB .
| n AB |
4.“一作,二证,三求”计算空间角
一作:即作辅助线找到对应角如异面直线夹角关键是通过平移
法求解,线面角的关键是作出斜线在平面上的射影,二面角的关
(2)错误.二面角的范围为[0,π],两向量所成角的范围为
[0,π],虽然范围一致,但两向量所成的角与二面角不一定一致 ,
因平面的法向量的指向有两个,两向量所成的角与二面角所成
的角同为直角、锐角、钝角时才相等.
(3)错误.当直线与平面垂直时所成角为 .
2
答案:(1)×
(2)×
(3)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
键是利用三垂线定理找二面角;
二证:找到对应角后利用异面直线所成角,线面所成角,面面所
成角的定义证明对应角就是所求角;
三求:一般来说是通过解三角形求解.要注意异面直线所成角, 直线与平面所成角,二面角的范围.
【即时练】 已知点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),则平面ABC与平面xOy所 成锐二面角的余弦值为 .
(1)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平
面所成的二面角的大小为
.
(2)若直线的方向向量为u1=(1,1,1),平面的法向量为 u2=(2,2,2),则直线与平面所成角的正弦值为 .
(3)若直线l1的方向向量为u1=(1,3,2),直线l2的方向向量为 u2=(2,-1,1),则两直线所成的角的余弦值为 .