函数的单调性的应用

例3.若x R,且f(-x)=f(x),f(x)在[0,+)上是减函数, 且满足f( )<f(a) , 求a的取值范围.
解析：巧用对称轴：x=0 f ( x)在[0，+）上是减函数 f ( x)在（-，0）上是增函数 f ( ) f (a ) a 0或 a 0 综上所诉：a (- , )
a 当x1 , x2 (0, a )时， 1 0 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 f ( x)在(0, a )上是减函数； a 当x1 , x2 [ a , )时， 1 0 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 f ( x)在[ a , )上是增函数； 同理f ( x)在(, a )上是增函数； 在[ a , 0)上是减函数
a 例 1 ：讨论函数f(x)=x+ (a>0)的单调性 x
解： 定义域 : (, 0) (0, )
先讨论(0, )上的单调性 x1 , x2 (0, ) x1 x2 a a f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 ) ( x2 ) x1 x2 a ( x1 x2 )(1 ) x1 x2
Y=2x
如图可得：在（-，-3]上为减函数， 在[3，+）上为增函数，
-3 3
x
在[-3，3]上为常函数，不具有单调性
例3：已知f(x)=8+2x-x , 若g ( x) f (2 x )，
2 2
试确定g ( x)的单调区间，及单调性
（重点班、实验班）
解：设u=2-x ,则 y g ( x) f (u ) 8 2u u (u 1) 7
y f (u ) u 2x x2 u在（-，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数 而y=f(u)在R上是减函数 y f (2 x x 2 )在（-，1）上是减函数 在（1，+）上是增函数
例2：判断函数y
1 的单调性 2 x 2x 3
解：定义域：x 2 2 x 3 0 x (, 1) (3, ) 1 y u , u , v x2 2x 3 v 在（-，-1）上v是减函数且u,v恒为正 在（3，+）上是增函数且u,v恒为正 1 u= 2 在（-，-1）上是增函数 x 2x 3 在（3，+）上是减函数 1 y= 2 在（-，-1）上是增函数， x 2x 3 在（3，+）上是减函数
证：设x1 , x2 (0,+)且x1 <x2 f ( xy ) f ( x) f ( y ) 点拨：抽象函数的证明，注意x、y的任意性． x1 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) x2 x1 f ( ) 0 x1 x2 1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在(0,+)上是减函数
总结：此函数以下单调规律： 两边为增，中间为减．

－a
０
－a
点拨:含参函数,不能化为基本函数类型，常采用定义 法解题.
例3.已知定义在(0,+)上的函数f(x)满足 : 对x,y (0,+)都有f(xy)=f(x)+f(y), 当x>1时,f(x)>0. 试证明:f(x)在(0,+)上是增函数
例4：作出函数f(x)= x2 6 x 9 + x2 6 x 9 的图象，并指出函数f(x)的单调区间
分析：作出函数图象，直观地判断函数的单调区间 解： 原函数可化为： -2x f(x)=|x-3|+|x+3|= 6 2x x -3 -3<x<3 x3
Y=-2x 6 y
函数的单调性
１．函数单调性的判定． ２．函数单调性的证明． ３．函数单调性的应用．

一．函数单调性的判定方法：
１.利用已知函数的单调性 ２.利用函数图象 ３.复合函数的判定方法 ４.利用定义

例1.若函数f(x)在实数集上是减函数,求f(2x-x2)
的单调区间以及单调性.

解：先求定义域：
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意思拒绝她的一片好心。”慕容凌娢不耐烦的回答，“所以，现在我可以走了吗？”“去吧。”茉莉让开了路，慕容凌娢飞速跑了出 去。……“情况怎么样？我的丹药效果不错吧。”百蝶坐在桌旁妩媚的撩起自己银色的长发，用随时都在放电的美眸看着茉莉。“恩，不会 死。”茉莉依旧是充满警惕，“你干嘛要帮我？”“怎么，你还怀疑我呀？”百蝶莞尔一笑，万种风情尽显眉梢，“我要是想杀她，需要这么 麻烦吗。”“我检查过了，那只玉箫表面被涂上了毒，如果长时间与皮肤接触，毒素就会进入血液循环至心脏……”“那东西我可没碰过。” 百蝶一副很吃惊的样子，扭头看向窗外，“韩哲轩，你怎么看？”“你怎么知道我在这儿。”韩哲轩的头慢慢从窗户上飘了出来，依旧是笑嘻 嘻的。“谁不知道你没事就爱像晴天娃娃一样吊在窗外。”百蝶并没有直接回答韩哲轩，“话说你这样一直站在外面，不会被人看到 吗？”“我已经设下结界了，一般人看不到。”不然你顶着这一头白毛，早就被当成稀有动物抓起来了……“你会设结界了？”百蝶语气中带 着惊讶，“什么时候学的，我居然都不知道。”“早就会了。”“是吗……”百蝶向前走了两步，伸出食指在空中轻划了几下，一股强烈的冲 击从她指尖 产生，向两端散开。“简直比玻璃还易碎，你管这叫结界？”“……”韩哲轩的笑容定格在了脸上。一阵寂静后后，茉莉幽幽开口 道：“百蝶……你这个样子欺负小孩纸……不太好吧……”“我没有啊！”百蝶安慰的摸了摸韩哲轩的头，“骚年啊～莫装13，装13遭雷劈。 别装了，好好做人吧。”“好吧。”韩哲轩无奈的摇摇头，“下辈子我要做只妖。”“切，要是妖那么好，我们干嘛要千辛万苦修炼出人形 呢。”百蝶突然发起了牢骚。“我也奇怪，明明妖那么强，可以活那么久，你们为什么不直接占领地球，还要修炼人形？”“你这个建议很有 诱 惑力哦～”百蝶向韩哲轩抛了个媚 眼，“要是妖真的能占领地球，我就叫你当我的宠物，你就等着天天吃狗粮吧。”“既然我现在没有整 天吃狗粮，证明你做不到。”韩哲轩对于百蝶的话一笑而过。“当然做不到了。”百蝶絮絮叨叨的抱怨，“别看大多数妖都是群居动物，但这 种群居意识也只存在于生存繁衍方面。而且我们的沟通渠道只有肢体语言和音调频率，不适合细节方面的交流。所以只能不断修炼，学习人类 的交流方式。”“也就是说你们普遍合作意识不强，没办法群战，只能单干，所以经常被秒。”韩哲轩果断下结论，“话说……狐狸是怎么叫 的？吱吱～还是嗷呜～”“骚年，你说的是西北部狐狸的叫声。”百蝶说道，“你们这边土生土长的狐狸叫声应该是‘大楚兴，陈胜 王’。”“话说……你们有必要这么跑题吗？”茉莉幽
例2.函数g(x)在区间A上是增函数,函数f(x)在区间B上是 减函数,g(x) B,则f[g(x)]在区间A上是_________
证明: 设x1 ,x2 A, x1 x2 g ( x) B g(x)在A上是增函数 f ( x)在B上是减函数 f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] f [ g ( x)]在A上是减函数 g ( x1 ) g ( x2 )
点拨：复合函数的证明，注意内层函数的值域是外层 函数的定义域．
三.函数单调性的应用

１．注意用已知函数的单调性
例1.已知函数f(x)=(m-1)x2 +2mx+3,且f(-x)=f(x) 3 对任意x都成立,比较f(- )与f(a2 -a+1)(a R)的大小. 4
解析:利用二次函数的单调性,和二次函数的对称性, 关键问题是求对称轴x=0,从而m=0,f(x)=-x2 3, 1 因此，f (a a 1) f ( ) 4
2 2
2
f (u )的对称轴u 1 2 x x 1
2
u 2 x 的对称轴x 0
2
Y随x的变化如下表所示:
x
1 1 0
u
1 2
y
1 2 1 7
Y=g(x） 的单调性
6 7
7 6 7
0 1 1
1
ax+1 1 例5：讨论函数f(x)= (a )在(-2,+)上的单调性 x+x2 2 x 2 例3.已知0<x , 求函数y= 的值域. 4 x
2 解析： y=x+ 2在(0, 2)上为减函数 x 1 在(0, ]上是减函数, 4 1 25 y f( ) 4 4 25 值域为[ ， ） 4
3.巧用函数图象的对称性．
a(x+2)-2a+1 2a 1 解： f(x)= a x2 x2 当-a+1>0时 a<1 f(x)在(-2,+)上是减函数 当-a+1<0时 a>1 f(x)在(-,-2)上是增函数
点拨:含参函数,能够化归为常见函数的单调性时,直接 讨论参数．
二．证明：根据函数单调性定义解题．