湘教版八年级数学下册第1章 直角三角形章末复习
例3
如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，
AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为
6.5cm .
分析：∵AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，由 勾股定理的逆定理得，△ABC是直角三角形， ∵BD是AC边上的中线，∴BD=1/2·AC=6.5cm.
• 例4、如图已知∠ACB=90° ∠A=60°AC=3cm，D为AB上的中点，求CD
一个菱形，且菱形的各个顶点必须落在矩形的边上，请问一 共有多少种做法？并分别求出相应的面积。
A
D
B
C
• 例题9、在平面直角坐标系中，已知A(1，0), B(3，
0)，求到A、B的距离相等，且到两条坐标轴的距 离也相等的点的坐标。
y
O
A
B
x
• 例题10、如图已知CO平分∠AOB，AC∥OB，
CB⊥OB，AC=2， ∠AOB=60°，求OB、CB的长。
D
在其他条件不变的情况下，如果把D为AB的 中点改成CD⊥AB，你能够求出CD的长吗？
• 例题5：一艘轮船从B点出发，以50海里/小时的 速度向正东方向航行，出发时看到小岛AC的顶 端A位于北偏东75°的方向，航行1小时后到达D 点，此时发现A位于北偏东60°的方向，求此时 轮船离小岛AC的距离。
直角三角形复习
知识结构
1性质：
1、直角三角形的两个锐角互余 2、直角三角形中如果有一个角为30°则它所对 的直角边为斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4、勾股定理
2判定
1、定义法 2、有两个角互余的三角形是直角三角形 3、如果一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形。 4、勾股定理的逆定理
例2 如图，一棵树在一次强台风中，从离地面 5m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示， 这棵树在折断前的高度是（ B A.10m B.15m C.5m D.20m
分析：根据题意可以得直角三角形中，较短的直角 边是5，再根据30°所对的直角边是斜边的一半，得斜 边是10，从而求出大树的高度为10+5=15（m）.故选B.
典例精析
例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是 AB边上的高，图中与∠A互余的角有（ C ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3
分析：由“直角三角形的两锐角互余”，可找出 与∠A互余的角.∵∠ACB=90°，CD是°，∴与∠A互余的 角2个，故选C.
A
75° B
60° D C
例题六、在平面直角坐标系中，A（3,0），
B(0，4)，C(4，6)，求三角形ABC的周长与面 积。
y C B
A
x
例题7、如图已知AC=CD，DE⊥AB，垂足为E，
AC⊥BD，垂足为C，交DE于点F，求证：AB=DF.
A
E
F
B
C
D
猜想：BF与AD有怎样的位置关系？
例题8、已知矩形ABCD的边AB=3，BC=4，现在在矩形中做
3 直角三角形全等的判定方法
4 角平分线的性质与判定
注意
1.“斜边、直角边定理”是判定两个直角三 角形全等所独有的，在运用该判定定理时，要注 意全等的前提条件是两个直角三角形.
2.本章的互逆定理：直角三角形的性质和判
定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质 定理及其逆定理等，注意它们之间的区别与联系. 3.数形结合的思想：勾股定理体现了由形到 数，而勾股定理的逆定理体现了由数到形.
A
C
O
B
湘教版八年级下册数学习题课件：期末总复习 一、直角三角形的应用
3．(长春中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90° ，AB＝10，AD 是△ABC 的一 条角平分线．若 CD＝3，则△ABD 的面积是 15 .
4．(哈尔滨中考)在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90° ，AC＝3，点 P 为 边 BC 的三等分点，连接 AP，则 AP 的长为 13或 10 . 5．如图，已知 AD 是△ABC 中 BC 边上的高，P 是 AD 上任意一点，当 P 从 A 向 D 移动时，线段 PB、PC 的长都在变化，试探索 PB2－PC2 的值如何 变化？
【考点强化训练】 1．下列说法中：①如果∠A＋∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形；②如 果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则此三角形是直角三角形；③如果三角形有 两个角的和为钝角， 那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的 三角形是直角三角形．正确的个数有( C ) A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个
数学 八年级 下册•X
期末总复习
一、直角三角形的应用
【重难点剖析】 命题高频点 1：直角三角形的性质 例 1.如图，已知△ABC 和△ABD 均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝ 90° ，E 为 AB 的中点，求证：CE＝DE.
【分析】在直角三角形中，有“斜边中点”这一条件时，往往要用到“直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质．
1 【证明】在 Rt△ABC 中，E 为斜边 AB 的中点，∴CE＝ AB.在 Rt△ABD 2 1 中，E 为斜边 AB 的中点，∴DE＝ AB.∴CE＝DE. 2
命题高频点 2：勾股定理 例 2.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ABC＝90° ，D 为 AC 边上中点，过 D 点作 DE⊥DF，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，若 AE＝4，FC＝3，求 EF 长．
八年级数学下册 第一章 直角三角形期末复习 新版湘教版
直角三角形 01各个击破命题点1 直角三角形的性质中点，试说明△DEF是等腰三角形．AB两边上的高，D为BCAC【例1】如图，在△ABC中，BF，CE分别是，【思路点拨】1＝DFBC.和△BFC是直角三角形，故可利用直角三角形斜边中线的性质得DE＝为∵DBC中点，又△BEC2【解答】【方法归纳】由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系．1．(北京中考)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5 kmB．0.6 kmC．0.9 kmD．1.2 km2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.如果DE＝1，求BC的长．命题点2 直角三角形的判定【例2】如图，已知AB∥CD，PA，PC分别平分∠BAC和∠ACD.试判断△APC的形状，并说明理由．【思路点拨】由AB∥CD可得∠BAC＋∠ACD＝180°.又由PA，PC两条平分线，可证明∠1＋∠2＝90°，从而得到△APC的形状．【解答】由角来判断一个三角形是直角三角形，只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可．【方法归纳】3∶3∶6，则这个三角形是________________．．一个三角形的三个角的角度之比是3 1＝∠B.求证：△ABC是直角三角形．．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠43 勾股定理及逆定理命题点°，求∠ADC的度数．1，∠A＝90AD＝2，BC＝3，CD＝ABCD【例3】如图，四边形，AB＝则∠ADB为等腰直角三角形，而由题意可知，BD的长，△ABD【思路点拨】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出是直角三角形，即可求出答案．＝45°，再根据勾股定理逆定理，证明△BCD 【解答】当不能直接求一个角的度数时，可通过作辅助线，求几个角的和或差．【方法归纳】；③1，3，2.，，4；②3，45分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角5．已知三组数据：①2，3三角形的有（）A．② B．①② C．①③ D．②③6．如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，AB＝5 cm.BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．命题点4 直角三角形全等的判定【例4】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝CB，求证：AD∥BC.【思路点拨】要证AD∥BC，可证∠ADB＝∠CBD，这由Rt△ADB≌Rt△CBD(HL)可以得到．【解答】【方法归纳】用HL证明三角形全等时，需指明直角三角形．7．如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（）A．145°B．130°C．110°D．70°8．如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF.求证：Rt△BCE≌Rt△DCF.命题点5 角平分线的性质与判定【例5】如图，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD.【思路点拨】过P作PF⊥BE于F，根据角平分线的性质可得PH＝PF，PF＝PD，有PD＝PH，再根据角平分线的判定可得结论．【解答】【方法归纳】此题主要考查角平分线定理及逆定理；准确作出辅助线是解答本题的关键，解决与角平分线有关的问题常常用到作垂线之类的辅助线．9．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若点Q是OC 上与点O，P不重合的另一点，则以下结论中，不一定成立的是（）A．PD＝PEB．OC⊥DE且OC平分DEC．QO平分∠DQED．△DEQ是等边三角形10．如图，∠ABC＝60°，点D在AC上，BD＝16，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE＝DF，求：的度数；(1)∠CBD．(2)DF的长度．02整合集训)分一、选择题(每小题3分，共30 ，1．如图，l∥ll⊥l，∠1＝42°，那么∠2的度数为（）4123°．48A °．42B °．38C 21°D． 5 cm，则最长边上的中线是（）°，一个锐角为△ABC 中，∠C＝9030°，最短边长为．在2Rt15 cm 5 cm B．A．2.5 cm． D．C10 cm是直角三角形；②如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么三角形．下列说法中：①如果∠A＋∠B ＝∠C，那么△ABC3，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三、6是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4 ）角形是直角三角形．正确的有（个1个 B．2A． D．4个．C3个下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）( 毕节中考4)．A.3，4，5 B．1，2，3C．6，7，8 D．2，3，45．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为（）A．25米 B．12米C．13米 D．43米6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝10，CP＝5，则∠B的度数是（）A．45° B．30°C．60° D．15°7．如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F，若BE＝CF，则图中全等三角形有（）对2．B 对1．A．C．3对 D．4对8．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为2，则点P到AB的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AE＝AC＝8，BF＝BC＝15，则EF长为（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正2方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么(a＋b)的值为（）A．256 B．169 C．29 D．48二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝6，点D是AB的中点，则∠ACD＝________.12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，一条线段PQ＝AB，点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，当AP＝________时，才能使△ABC≌△QPA.13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB上的中线CD的长2 cm，那么BC＝________cm. 14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，S＝4，BC＝8，则AD＝________. BDC△15．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为________，该定理的结论其数学表达式是____________．16．(南昌中考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为________________．三、解答题(共52分)17．(8分)已知：如图，Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．求证：∠EBD＝∠EDB.18．(8分)已知：如图，BC、AD分别垂直OA、OB，BC和AD相交于点E，且OE平分∠AOB，已知CE＝3 cm，∠A＝30°，试求EB的长．19．(10分)小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？20．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.(1)若点B，C在DE的同侧(如图1所示)，且AD＝CE.求证：AB⊥AC；图1仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明AC与AB，其他条件不变，)所示2如图(的两侧DE在C，B若点(2)．理由．2 图边上一点，求证：＝∠ECD＝90°，D为AB．21(14分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB(1)△ACE≌△BCD；＋DB＝DE222. (2)AD参考答案分别是AC，两边上的高，AB例1 ∵BF，CE 中点，D为BC∴∠BEC＝∠BFC＝90°.又11BC.＝＝BC，DF∴DE22DF.＝∴DE ∴△DEF是等腰三角形．例2 △APC是直角三角形．，PC分别平分∠BAC和∠ACD，∵PA ＝2∠1，∠ACD＝2∠2.∴∠BAC ∵AB∥CD，. ＋∠ACD＝180°∴∠BAC. 180°∠∴21＋2∠2＝. 90°∴∠1＋∠2＝.90°∴∠APC＝是直角三角形．∴△APC 中，在Rt△BAD连接例3 BD. AD＝2，∵AB＝2222222＋(22)1＝9CB，＝＝＋中，2.ABAD°，＝∴∠ADB45BD＝＋＝2在△BCDDBCD 是直角三角形．∴△BCD. 90°∴∠BDC＝.°135°＝90°＋45＝∠ADB＋∠BDC＝ADC∴∠．，⊥BD例4 ∵AB⊥BD，CD ，＝DBCBD中，AD＝CB，BDRt∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在△ADB和Rt △ CBD(HL)．∴Rt△ADB≌Rt△∴∠ADB＝∠CBD. ∴AD∥BC.F.PF⊥BE于例5 过P作，BEPH⊥BA，PF⊥∵BP平分∠ABC，又∴PH＝PF. ，⊥AC，PF⊥BE∵CP平分∠ACE，PDPD.＝∴PF ⊥又PH⊥BA，PDAC，∴PD＝PH. ∴AP平分∠HAD.题组训练 1．DAD.2.连接 DE垂直平分AB，∵. DEB°＝90∴AD＝BD，∠°，＝120∵AB＝AC，∠BAC 30°，在Rt△BDE中，∠B＝＝∠C＝∴∠B30°.1BD.＝∴DE2∴BD＝2.∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B.∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－30°＝90°.又∵∠C＝30°，1∴AD＝CD.2∴CD＝2AD＝2BD＝4.∴BC＝CD＋BD＝4＋2＝6.3.等腰直角三角形4.证明：∵AD⊥BC，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠1＝∠B，∴∠1＋∠BAD＝∠BAC＝90°.∴△ABC是直角三角形．5.D是直角三角形，∵△ABC6.222222.∴AC5＋BCAB＝3，即AC－＝11 CD，4 cm.∴AC＝又S＝BC·AC＝AB·ABC△223×4BC·AC ∴CD＝．＝＝2.4(cm)5AB 7.CBD，8.证明：连接，∵AB＝AD ＝∠ADB.∴∠ABD °，∵∠ABC＝∠ADC＝90 ＝∠CDB.∴∠CBDDC. BC＝∴，⊥∵BE⊥EF，EFDF，＝DCBC??中，△DCFE∴∠＝∠F＝90°.在Rt△BCE和Rt?DF.＝BE??．Rt△BCE≌△ DCF(HL)∴Rt9.D＝DF，∵DE⊥BC，DF⊥AB，且DE10.(1) 平分∠ABC.∴BD°，∵∠ABC＝60∴∠DBC＝30°.(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.∵BD＝16，11×16＝＝8.BD＝∴DF22整合集训1．A 2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 13.2 11.6014.1 12.CB °222 2 2715.勾股定理 ab＋或＝c或 16.23 是AC的中点，9017.证明：∵∠ABC＝°，且点E11AC.EB∴＝ED＝AC.同理：22ED.＝∴EB ∴∠EBD＝∠EDB. 分别垂直OE平分∠AOB，OA、OB，BC18.∵、AD∠AEC＝∠BED，???，＝DECE 中，在△ACE＝∴CEDE.和△BDE??°，∠ACE＝∠BDE＝90 ．≌△∴△ACEBDE(ASA)BE.AE＝∴°，30＝A，∠3 cm＝CE∵．∴AE＝2CE＝2×3＝6(cm)．∴EB＝6 cm.设竹竿长x米，则城门高(x－1)米，根据题意得x＝(x－1)＋3.解得x＝5.答：竹竿长5米．22219.20.(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.又∵AB＝AC，AD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC.∵∠DAB＋∠DBA＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°.∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC.理由如下：同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC.∵∠CAE＋∠ECA＝90°，∴∠CAE＋∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°.∴AB⊥AC.21.证明：(1)∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠ACE.∴∠BCD＝∠ACE.∵BC＝AC，DC＝EC，∴△BCD≌△ACE(SAS)．(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵△ACE≌△BCD，∴∠B＝∠CAE＝45°.∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.AD＋AE＝DE.由(1)知AE＝DB，222∴AD＋DB＝DE.222∴。
专题1-9 《直角三角形》全章复习与巩固(知识讲解)-八年级数学下册(湘教版)
1.9 《直角三角形》全章复习与巩固（知识讲解）【复习目标】1.了解直角三角形的概念，理解直角三角形的性质和判定；2.能用直角三角形的性质和判定解决简单问题；3.会运用直角三角形的知识解决有关问题．【知识梳理】要点一、直角三角形定义1.直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.要点二、直角三角形性质(1)直角三角形中两锐角互余.(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.要点三、直角三角形的判定(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.要点四、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点五、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形的性质1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求CD的长.【答案】CD=a【思路点拨】根据三角形的外角的性质得∠DAC=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DC=a.解：∵∠ABC=∠ACB=15°∴∠DAC=30°∵CD是腰AB上的高AB=AC=2a∴AC=2CD∴CD=a【点拨】此题主要考查含30°的直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形得出含30°角的直角三角形.2 已知，在，ABC中，，ACB，90°，CD，AB垂足为D，BC，6，AC，8，求AB与CD 的长．【答案】AB=10∠CD=4.8.解∠在△ABC中∠∠ACB=90°∠CD⊥AB垂足为D∠BC=6∠AC=8∠由勾股定理得∠AB=∵S△ABC=12AB•CD=12AC•BC∠∴CD=AC BCAB⋅=8610⨯=4.8∠【点拨】在直角三角形ABC中∠利用勾股定理求出AB的长∠再利用等面积法求出CD的长即可．3．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点. 求证：CD⊥AB．【思路点拨】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM12=AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB12=AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．解∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM12=AB=BM．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CB12=AB=BM，∴CM=CB．∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB．【点拨】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．类型二、直角三角形全等的判定——“HL”4、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E ＋∠EAF ＝90°，即∠AFE ＝90°即ED ⊥AC ．5、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：AD BC BD DB ⎧⎨=⎩＝ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL. 举一反三：【变式】下列说法正确的有（ ）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．A.2个B.3个C.4个D.5个 【答案】C ．解：（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS 或ASA 可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，根据SAS 或HL 可判定两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL 可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有4个．故选C ．6、 如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，若AC=DB ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠A=∠D B ．∠ABC=∠DCBC ．OB=OD D ．OA=OD O BC DA【思路点拨】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【答案与解析】解：∵AB⊥AC于A，BD⊥CD于D∴∠A=∠D=90°（A正确）又∵AC=DB，BC=BC∴△ABC≌△DCB(HL)∴∠ABC=∠DCB（B正确）∴AB=CD又∵∠AOB=∠C∴△AOB≌△DOC(AAS)∴OA=OD（D正确）C中OD、OB不是对应边，不相等．故选C．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、直角三角形的折叠问题7．将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点.已知，，则折痕的长为( )A. B. C. D.【思路点拨】直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半.【答案】C.【解析】由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2，所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C.【总结升华】折叠题型一定要注意对应的边相等，对应的角相等.【变式】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )．A. B. C. D.5【答案】B.解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=AB设BD为x，则CD=8-x∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=，故选B.类型四、直角三角形的性质和判定综合运用8．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．。
2017-2018学年湘教版八年级数学下册课件：第1章 直角三角形 小结与复习(共10张PPT)
5.角平分线有哪些性质？ 角的平分线上的点到角两边的距离相等.
注意事项
1.“斜边、直角边定理”是判定两个直角三角形全等独有的， 在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件是两个直角 三角形.
2.要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判定 定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及其逆 定理等，它们都是互为逆命题.
第一章 直角三角形
小结与复习
本章知识结构
知识回顾 1.直角三角形的两个锐角有什么关系？ 直角三角形的两个锐角互余.
2.直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形为直角三角形.
3.勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想.勾股定理 体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数的方法来 研究几何问题，体现了由数到形.
我思 我进步
通过本章学习，你有什么收获？ 你还存在哪些疑问，和同伴交流。
湘教版八年级下册数学第一章直角三角形复习课件
正弦、余弦函数值在0到1之间，正切函数 值可正可负，且随着角度的增大而增大或减 小。
特殊角度下三角函数值记忆方法
30°、45°、60°等特殊角度的三 角函数值可通过几何图形或三角
函数表进行记忆。
利用三角函数之间的互相关系， 如tanA=sinA/cosA，可以通过 已知函数值推导出其他函数值。
制作三角函数卡片或表格，方便 随时查阅和记忆。
分类
按边长可分为普通直角三角形和 等腰直角三角形，其中等腰直角 三角形两腰相等。
直角三角形边与角关系
边长关系
对于直角三角形，满足勾股定理，即两直角边的平方和等于 斜边的平方。
角度关系
直角三角形两锐角互余，且满足三角函数的定义和性质。
勾股定理及其应用
勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平方和 等于斜边的平方。
05 复习策略与备考建议
重点知识点回顾与总结
直角三角形的定义和性质
01
直角三角形是一个角为90度的三角形，它具有一些特殊的性质
和定理，如勾股定理等。
直角三角形的边角关系
02
在直角三角形中，角度和边长之间有一定的关系，如正弦、余
弦、正切等三角函数。
直角三角形的判定方法
03
通过给定的条件，如角度、边长等，可以判定一个三角形是否
湘教版八年级下册数学第一章直角 三角形复习课件
目 录
• 直角三角形基本概念与性质 • 直角三角形中的函数关系 • 解直角三角形方法技巧总结 • 直角三角形在几何证明题中应用 • 复习策略与备考建议
01 直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及分类
定义
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
构造直角三角形
八年级数学下册1直角三角形小结与复习一教案新版湘教版
课题：《直角三角形》教学目标1、掌握直角三角形的两个锐角互余关系；掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质；体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，并会运用勾股定理解决简单问题；会判定一个三角形是直角三角形；会用HL 及其它方法判定两个直角三角形全等；了解到角的两边的距离相等的点在角的平分线上的性质。
2、复习梳理本章的主要知识点，及应注意的问题。
通过典型例题讲解和对应练习，使学生对本章知识达标。
3、主动参与、积极探索、合作交流，发挥学习中主人翁意识，感受成功的乐趣，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
重点：体会勾股定理及其直角三角形的判定在解决实际问题中的作用。
难点：如何判定两个直角三角形全等。
教学过程：一、知识梳理（出示ppt 课件）1、阅读p27的三项内容。
3、直角三角形中30°角所对的边的大小性质及逆定理。
4.直角三角形勾股定理的内容： ∵△ABC 为直角三角形．∴a 2＋b 2＝c 2 . 三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？ ∵a 2＋b 2＝c 2 .∴△ABC 为直角三角形．勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。
5、直角三角形全等的判定方法：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL二、概念复习（出示ppt 课件）填一填1.在直角三角形中，两个锐角_____。
2、两条直角边相等的直角三角形叫做 。
它的两个底角相等，都等于 。
3.直角三角形斜边上的中线等于 _____ 。
4.直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 。
5. 直角三角形_________的平方和等于_______的平方。
如果用字母a ，b 和c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么_____+ _____=_____。
6.如果三角形中____的平方和等于 边的平方，那么这个三角形是直角三角形， 所对的角是直角。
7.有两条边对应相等的两个 三角形全等。
八年级数学下第一单元直角三角形小结与复习湘教版全面版ppt课件
A E
C
B
D
9、 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标 注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
A D
AB=AB,
B
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
10、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
二、直角三角形全等的判定： 斜边直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” 或“HL”）.
三、角平分线的性质： 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离
相等。 逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角
的平分线上。
随堂练习
1.如图，AB ⊥DB,CD ⊥DB,下列说法错误的是（ C ）
知识梳理
一、直角三角形的性质和判定：
性质定理： 直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的
平方.
a2 + b2 =c2
判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形。 如果三角形的三条边长，a,b,c满足关系：
a2 + b2 =c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就 是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是 伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何 必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己 经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的 鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来， 我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！ 为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友 情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离 开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白 云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可 取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起 的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每 刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里， 故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没 有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动， 日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青 蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生 路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，
湘教版八年级下册数学第一章直角三角形复习课件
5、在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为________
6、三角形ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=_______________
7、如图1,一块地,已知AD=4m,CD=3m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积
8、如图2，∠ABD=∠C=90°,AD=12，AC=BC,∠DAB=30°，求BC的长．
A.1:2:3
B.2:3:4
C.3:4:5
D.3:2:5
3 、 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， ∠ACB=90 度 ， CD 是 AB 边 上 中 线 ， 若 CD=5cm, 则 AB=________
4、在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________.
∠A-∠B=30°
，
那
么
∠A=__6_0_°____________
3、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：2： 1，则△ABC为__直__角____________三角形
知识点二：直角三角形斜边上的中线等于 ___斜__边__的__一__半_____
1 、 在 Rt△ABC 中 ,∠C=90°,D 是 AB 的 中 点 ， 连 接 CD, 若
角的平分线上 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E， 且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=___________cm
C
D
A
E
B
已知：∠B = ∠Ｃ = 90°，AB = AC 求证:∠ADB = ∠ADC
巩固提高
1 、 已 知 ， 如 图 1 ， AB ＝ AD ＝ 5 ， ∠B ＝ 150 ， CD⊥AB 于 C ， 则 CD ＝ ______________
湘教版八年级下册数学复习归纳
湘教版八年级下册数学复习归纳Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】c b aC B A DC BAE DC B A GFEDC B A八年级下册数学复习知识点梳理 一、直角三角形1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。
·如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。
求证：点O 在∠A 的平分线上。
2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 。
·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。
·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等，且P 到∠MON 两边的距离也相等． 3、勾股定理及其逆定理 ①勾股定理： 222c b a =+。
·如图是拉线电线杆的示意图。
已知CD ⊥AB ，，∠CAD=60°，则拉线AC 的长是________m 。
·直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。
②逆定理 如果三边a 、b 、c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是Rt ∆。
分别计算“22a b +”和“2c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。
·在Rt△ABC 中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。
A ．∠C=90°B ．∠B=90°C ．△ABC 是锐角三角形D ．△ABC 是钝角三角形·若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是三角形.·一块木板如图所示，已知AB =4，BC =3，DC =12，AD =13，90B ∠=︒，木板的面积为 .·某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，•已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低最低造价是多少4、直角三角形全等 方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。
湘教版八年级数学下册课件 《直角三角形》小结与复习(1)
5. 直角三角形_两__直__角__边__的平方和等于__斜__边___的平
方。如果用字母a，b和c分别表示直角三角形的两条
直角边和斜边，那么__a_2__+ ___b2__=___c2__。
6.如果三角形中_两__边_的平方和等于 第三边 边的 平方，那么这个三角形是直角三角形， 最大边 所 对的角是直角。
逆时针旋转90°而得，连结DE，可得：
E
∠DAE=90°，CE=BD
在Rt∆DEC中，CE2+CD2=DE2 B
D
C
∴ BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2
又∵∠DCE=90° AE=AD， ∴ 在Rt∆ADE中，AD2+AE2=DE2=2AD2
∴ BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2=2AD2
分析：要证OD=OC，就只要证∠1=∠2
只要证明Rt∆BDC≌Rt∆ACD， 条件满足吗？
A
B
O
证明: ∵ DA⊥AC DB⊥BC ∴∠A=∠B=900
D1
2
C
又∵ AC=BD ，CD=DC ∴ ∆ACD≌∆BDC （HL）
∴ ∠BDC= ∠ACD（全等三角形的对应角相等）
∴ OD=OC（等角对等边）
即：(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0 ∴ a=3，b=4，c=5 ∵ 32+42=52
∴ △ABC是直角三角形。 作业：p28 A 1、6、7
定
勾股定理逆定理
3、直角三角形中300角所对的边的大小性质及逆定理。
4.直角三角形勾股定理的内容： A
∵△ABC为直角三角形． ∴a2＋b2＝c2 .
bc C aB