2021年中考数学专题复习： 圆 解答题 专项练习题(含答案)
2021年中考数学专题复习：圆解答题专项练习题
1．如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）填空：
①当OA＝3，AE＝4时，则BC＝．
②连接OD，当∠ABC的度数为时，四边形AODE为正方形．
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，过点O作OF⊥BC，交AC于点E，连接AF，且AF是⊙O的切线．
（1）求证：AF＝EF．
（2）若⊙O的半径为5，AB＝，求AF的长．
3．如图，AC是四边形ABCD外接圆O的直径，AB＝BC，∠DAC＝30°，延长AC到E使得CE＝
CD，作射线ED交BO的延长线于F，BF交AD于G．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）求证：EF与⊙O相切；
（3）若AO＝2，求△FGD的周长．
4．如图1，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．（1）求证：∠CPB＝2∠ABC；
（2）延长BA、PC相交于点D（如图2），设⊙O的半径为2，sin∠PDB＝，求PC的长．
5．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且BD为⊙O的直径，延长BA、CD交于点E，BD＝DE，
过A作AF⊥CE于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AD＝5，sin∠ABC＝，求CD长．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，以AB，BC为邻边作▱ABCE，点E在⊙O 内，延长CE交AD于F，连接AC、BE交于点G，连接OG．
（1）直接写出OG与AC的位置关系及OG与DE的数量关系；
（2）猜想线段DE，AC和BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）求证：△CDF～△AEF；
（4）若BC＝4，CD＝3，求9AF2+16DF2的值．。
2021年中考数学复习专题-【圆】解答题专项测练02
2021中考数学复习【圆】解答题专项测练021．已知：如图，AB＝AC，以AB为弦作⊙O与AC切于点A，交BC于D，连接AD；①求证：DA＝DC；②若BD＝4，CD＝8，求⊙O半径．2．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA上的一点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若CD＝15，BE＝10，tan A＝，求⊙O的直径．3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝°；（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．5．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半径为5，求BC的长．6．如图，已知⊙O，A是的中点，过点A作AD∥BC．求证：AD与⊙O相切．7．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．8．如图，已知⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D，E分别是BC，AC上两点，且BD＝CE，连接AD，BE相交于点P，延长线段BE交⊙O于点F，连接CF．（1）求证：AD∥FC；（2）连接PC，当△PEC为直角三角形时，求tan∠ACF的值．9．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为上一动点，求证：PA＝PB+PC．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE∵△ABC是正三角形∴AB＝CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1＝∠2∴△ABE≌△CBP（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一动点，求证：PA＝PC+PB．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为上一动点，请探究PA、PB、PC 三者之间有何数量关系，直接写出结论．10．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）若BD＝6，AB＝10，求DE的长．参考答案1．证明：①连接AO并延长，交⊙O于点E，连接OD，DE，∵⊙O与AC相切于点A，∴AC⊥AE，∴∠DAC+∠OAD＝90°，∴AE为⊙O直径，∴∠ADE＝90°，∴∠OAD+∠E＝90°，∵∠DAC+∠OAD＝90°，∴∠DAC＝∠E＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠DAC＝∠C，∴DA＝DC；②解：设半径为R，作DM⊥AC于M，则AM＝CM，∵∠DAC＝∠C＝∠ABC，∠DCA＝∠ACB，∴△ACD∽△BCA，∴，∴AC2＝CD•CB＝8×12＝96，∴AC＝4，∴AM＝CM＝2，∴Rt△CBM中，BM＝2，∵∠C＝∠B＝∠E，∴sin∠C＝sin∠E，∴，∴，∴R＝．2．解：（1）BD是⊙O的切线．理由如下：连接OB，∵OB＝OA，DE＝DB，∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，∴∠OBA+∠ABD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线．（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，∵DE＝DB，∴EG＝BE＝5，∵∠ACE＝∠DGE＝90°，∠AEC＝∠GED，∴∠GDE＝∠A，∴△ACE∽△DGE，∴tan∠EDG＝tan A＝，即DG＝12，在Rt△EDG中，∵DG＝＝12，∴DE＝13，∵CD＝15，∴CE＝2，∵△ACE∽△DGE，∴，∴AC＝•DG＝，∴⊙O的直径为2OA＝4AC＝．3．（1）证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接DE，如图2所示：∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠DCE＝∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴＝，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，∴＝cos∠DCE＝cos30°＝，∴＝．4．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，故答案为：110；（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；（3）解：过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∴∠G＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴AG＝AH，CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴＝＝，∴＝，设BH＝k，AH＝2k，∴AB＝＝k＝10，∴k＝2，∴BC＝2k＝4．5．（1）证明：连接AC，如图1所示：∵C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中点，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF．（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝8，∵C是弧BD的中点，∴OC⊥BD，DG＝BG＝BD＝4，∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位线，∴OG＝AD＝3，∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝＝＝2．6．证明：过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于点E，如图所示：∴＝，∠OFB＝90°，∴E是的中点，∵A是的中点，∴点E与点A重合，∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OFB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A为半径OA的外端点，∴AD与⊙O相切．7．解：（1）连接BF，OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，∵CE⊥AD，∴BF∥CE，连接OC，∵点C为劣弧的中点，∴OC⊥BF，∵BF∥CE，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）连接OF，CF，∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵点C为劣弧的中点，∴，∴∠FOC＝∠BOC＝60°，∵OF＝OC，∴∠OCF＝∠COB，∴CF∥AB，∴S△ACF ＝S△COF，∴阴影部分的面积＝S，扇形COF∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2，∴S＝，扇形FOC即阴影部分的面积为：．8．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∴∠ABD＝∠∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BDA＝∠CEB，∵∠CEB＝∠F+∠FCE，∵∠F＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠CEB＝∠BCA+∠FCE＝∠BCF，∴∠BDA＝∠BCF，∴AD∥CF；（2）如图，连接PC，当△PEC为直角三角形时，∠PEC＝90°，∵∠PEC＝∠F+∠ACF，∵∠F＝60°，∴∠ACF＝30°，∴tan∠ACF＝．9．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，∴∠CPE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；又∵∠EBC＝∠PAC，∴△BEC≌△APC，∴PA＝BE＝PB+PC．（2分）（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴；又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE．∴．（4分）（3）答：；证明：在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP．又∵∠APB＝30°，∴∴（7分）10．（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝；（2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴AC：CE＝CB：AC，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为；（3）解：在Rt△DAB中，AD＝＝8，∵OC⊥AD，∴AF＝DF＝4，∵OF＝＝3，∴CF＝2，∵CF∥BD，∴△ECF∽△EBD，∴＝＝＝，∴＝∴DE＝×4＝3．。
2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：相交弦定理的运用(含答案)
2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：相交弦定理的运用一．选择题1．如图，⨀O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）A．PC•CA＝PB•BD B．CE•AE＝BE•EDC．CE•CD＝BE•BA D．PB•PD＝PC•PA2．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（）A．B．C．5 D．3．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16 B．24 C．12 D．不能确定4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝2，BC＝3，点E为BC上一点，且BE＝1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A．B．5 C．+1 D．6．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD长为（）A．6 B．12 C．8 D．不能确定7．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝6，BE＝2，CD＝2，则∠AED的度数是（）A．30°B．60°C．45°D．36°8．如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C，且⊙O的半径为3．若AP＝4，PB＝1，则OP的长是（）A．2 B．2C．D．9．在⊙O中，弦AB和CD相交于P，且AB⊥CD，如果AP＝4，PB＝4，CP＝2，那么⊙O的直径为（）A．4 B．5 C．8 D．1010．如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是的中点，连结AB，BC，CD，若BP＝，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为（）A．B．2 C．D．二．填空题11．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为．12．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，且E分AB所得线段比为1：3，若AB＝4，DE﹣CE＝2，则CD的长为．13．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若AE：DE＝3：5，则AC：BD＝．14．如图，在⊙O中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若＝，则DP的长为．15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝．三．解答题16．如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，PC＞PD．（1）试说明：△PAC∽△PDB；（2）设PA＝4，PB＝3，CD＝8，求PC、PD的长．17．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．18．九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB＝PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可已证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．19．如图，（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP＝（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与PA•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD＝，求PC、PD的长．20．请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD．请你根据以上材料，解决下列问题．已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP＝1，过点P任作﹣弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明．答案一．选择题1．解：∵∠P＝∠P，∠A＝∠D，∴△PAB∽△PDC，∴＝，∴PB•PD＝PC•PA，故选：D．2．解：EC＝AC﹣AE＝，由相交弦定理得，AE•EC＝DE•BE，则DE＝＝，∴BD＝DE+BE＝，故选：B．3．解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．4．解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，即，解得所以，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AE＝＝＝，∵BC＝3，BE＝1，∴CE＝2，由相交弦定理得：AE•EF＝BE•CE，∴EF＝＝，∴AF＝AE+EF＝；故选：A．6．解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，∴PD＝6，∴CD＝PC+PD＝2+6＝8．故选：C．7．解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．∴DH＝CH＝CD（垂径定理）；∵CD＝2，∴DH＝．又∵AE＝6，BE＝2，∴AB＝8，∴OA＝OD＝4（⊙O的半径）；∴OE＝2；∴在Rt△ODH中，OH＝＝＝（勾股定理）；在Rt△OEH中，sin∠OEH＝＝，∴∠OEH＝45°，即∠AED＝45°．故选：C．8．解：延长CP交圆于一点D，连接OC，∵PC⊥OP，∴PC＝PD，∴PC2＝PA•PB，∵AP＝4，PB＝1，∴PC2＝4×1，∴PC＝2，∴OP＝＝＝．故选：C．9．解：∵AB⊥CD，AP＝PB＝4，∴CD为⊙O的直径，由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，即2PD＝16，解得，PD＝8，∴CD＝10，故选：D．10．解：连接OD交AC于H，如图，∵点D是的中点，∴OD⊥AC，AH＝CH＝2，∴PH＝1，∵AP•PC＝BP•PD，∴PD＝＝，在Rt△PDH中，DH＝＝，在Rt△DCH中，CD＝＝．故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，∴5×4＝3×DP，解得，DP＝，故答案为：．12．解：∵E分AB所得线段比为1：3，AB＝4，∴AE＝1，EB＝3，由相交弦定理得，AE•EB＝CE•ED，∴1×3＝CE×（CE+2），解得，CE1＝1，CE2＝﹣3（舍去），则CE＝1，DE＝2，∴CD＝1+3＝4，故答案为：4．13．解：∵弦AB、CD相交于点E，∴∴∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△ACE∽△DBE，∴＝＝，故答案为：3：5．14．解：如图，作CH∥DE交AB于H．设DP＝2a．∵PD∥CH，∴＝＝＝，∴CH＝3a，∵BD：AD＝2：3，∴BD：AD＝BD：BH，∴AD＝BH，∴BD＝AH，∴AH：AD＝2：3，∴CH∥DE，∴＝＝，∴DE＝a，∴PE＝a﹣2a＝a，∵BC＝10，BP：PC＝2：1，∴PB＝，PC＝，∵PB•PC＝PD•PE，∴5a2＝，∴a＝（负根已经舍弃），∴PD＝2a＝．故答案为．15．解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE＝CE•DE，∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．三．解答题（共5小题）16．（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△PAC∽△PDB；（2）解：由相交弦定理得到，PA•PB＝PC•PD，即3×4＝PC×（8﹣PC），解得，PC＝2或6，则PD＝6或2，∵PC＞PD，∴PC＝6，PD＝2．17．（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝5．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．18．解：（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知，如图1，⊙O的两弦AB、CD相交于E，求证：AP•BP＝CP•DP．证明如下：连结AC，BD，如图1，∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△APC∽△DPB，∴AP：DP＝CP：BP，∴AP•BP＝CP•DP；所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．（2）过P作直径CD，如图2，∵AB＝10，PA＝4，OP＝5，∴PB＝10﹣4＝6，PC＝OC+OP＝R+5，PD＝OD﹣OP＝R﹣5，由（1）中结论得，PA•PB＝PC•PD，∴4×6＝（R+5）×（R﹣5），解得R＝7（R＝﹣7舍去）．所以⊙O的半径R＝7cm．19．解：（1）连接OP，过点P作CD⊥OP于点P，连接OD．根据题意，得CD＝8，OD＝5．根据垂径定理，得PD＝4，根据勾股定理，得OP＝3；（2）根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线．根据（1）的求解方法，得OQ＝4，则PQ＝1或7；（3）连接AM、BN．∵∠A＝∠N，∠M＝∠B，∴△APM∽△NPB，∴，即PM•PN＝PA•PB；（4）作直径AB，根据相交弦定理，得PC•PD＝PA•PB＝（5﹣3）（5+3）＝16，又CD＝，设PC＝x，则PD＝﹣x，则有x（﹣x）＝16，解得x＝3或x＝．即PC＝3或，PD＝或3．20．解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．∵PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R，∴Q与A重合，R与C重合．∵OP＝1，AC＝4，∴PQ＝1，PR＝3，∴+＝1+＝．（2）连接OA，∵OP⊥AC于点P，且OP＝1，OA＝2，∴∠OAP＝30°．∴AP＝．∵OA⊥直线m，PQ⊥直线m，∴OA∥PQ，∠PQA＝90°．∴∠APQ＝∠OAP＝30°．在Rt△AQP中，PQ＝，同理，PR＝，∴．（3）猜想．证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，∴∠ECA＝90°．∵AE⊥直线m，PQ⊥直线m，∴AE∥PQ且∠PQA＝90°．∴∠EAC＝∠APQ．∴△AEC∽△PAQ．∴①同理可得：②①+②，得：+＝+∴＝（）＝•＝．过P作直径交⊙O于M，N，根据阅读材料可知：AP•PC＝PM•PN＝3，∴＝．。
2021年中考数学专题关于圆的切线长定理和面积计算习题含答案
2021年数学中考复习专题之圆的考察：切线长定理的运用（一）一．选择题1．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O 的半径为1，△PCD的周长等于2，则线段AB的长是（）A．B．3 C．2D．32．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA＝4，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．103．如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA＝7，则△PCD的周长为（）A．7 B．14 C．10.5 D．104．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，若⊙O 的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则的值是（）A．B．C．D．5．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．8 B．18 C．16 D．146．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA＝5，则△PCD的周长和∠COD分别为（）A．5，（90°+∠P）B．7，90°+C．10，90°﹣∠P D．10，90°+∠P7．P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，则△PDE的周长是（）A．4 B．8 C．12 D．不能确定8．如图，AE、AD和BC分别切⊙O于点E、D、F，如果AD＝20，则△ABC的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．509．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（）A．35°B．45°C．60°D．70°10．如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF 的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB•DC．其中正确的是（）A．①②③④B．只有①②C．只有①②④D．只有③④二．填空题11．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是cm．12．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．13．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD 的周长为．14．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝cm．15．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC 分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．三．解答题17．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，若∠BOC＝90°，（1）求证：AB∥CD；（2）若OB＝3，OC＝4，求由BE、BC、CG、及弧EFG围成图形的面积（即图中阴影部分）．18．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA＝2时，求AB的长．19．如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB＝2，求PA的长（结果保留根号）．20．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，∵△PCD的周长等于2，∴PA+PB＝2，∴PA＝PB＝，链接PA和AO，∵⊙O的半径为1，∴tan∠APO＝＝＝，∴∠APO＝30°，∴∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝PB＝．故选：A．2．解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PB＝PA＝4，∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，∴CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝8，故选：C．3．解：∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，∴PB＝PA＝7，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长＝PC+CD+PB＝PC+CE+DE+PD＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝14，故选：B．4．解：∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，∴CA＝CF，DF＝DB，PA＝PB，∴PC+CF+DF+PD＝PA＝PB＝2PA＝3r，∴PA＝r，则的值是：＝．故选：D．5．解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴PB＝PA＝8，CA＝CE，DB＝DE，∴△PCD的周长＝PC+CE+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝16．故选：C．6．解：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC；∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA，即△PCD的周长＝2PA＝10，；如图，连接OA、OE、OB．由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，∵AO＝OE＝OB，易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB，∴∠AOB＝180°﹣∠P，∴∠COD＝90°﹣∠P．故选：C．7．解：根据题意画出图形，如图所示，由直线DA和直线DC为圆O的切线，得到AD＝DC，同理，由直线EC和直线EB为圆O的切线，得到EC＝EB，又直线PA和直线PB为圆O的切线，所以PA＝PB＝4，则△PDE的周长C＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝4+4＝8．故选：B．8．解：据切线长定理有AD＝AE，BE＝BF，CD＝CF；则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BF+CF+AC＝AB+BE+AC+CD＝AD+AE＝2AD＝40．故选：C．9．解：根据切线的性质定理得∠PAC＝90°，∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．根据切线长定理得PA＝PB，所以∠PBA＝∠PAB＝55°，所以∠P＝70°．故选：D．10．解：∵BA，BE是圆的切线．∴AB＝BE，BO是△ABE顶角的平分线．∴OB⊥AE∵AD是圆的直径．∴DE⊥AE∴DE∥OF故①正确；∵CD＝CE，AB＝BE∴AB+CD＝BC故②正确；∵OD＝OF∴∠ODF＝∠OFD＝∠BFP若PB＝PF，则有∠PBF＝∠BFP＝∠ODF而△ADP与△ABO不一定相似，故PB＝PF不一定成了．故③不正确；连接OC．可以证明△OAB∽△CDO∴即：OA•OD＝AB•CD∴AD2＝4AB•DC故④正确．故正确的是：①②④．故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，设AB与圆相切于点E，可得OE⊥AB，∵一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，∴AB＝5cm，设BO＝4x，则AO＝3x，故（4x）2+（3x）2＝25，解得：x＝1，则AO＝3，BO＝4，故EO•AB＝AO•BO，解得：EO＝．故答案为：．12．解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，PA⊥OA，∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；故答案为：76．13．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案为：44．14．解：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA＝PB；同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；∴PA＝PB＝5cm，故答案为：5．15．解：根据切线长定理，得AD＝AE，BC＝BE，所以梯形的周长是5×2+4＝14，故答案为：14．16．解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AF＝x，∵⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，∵r＝2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BE＝3，∴由勾股定理得，（x+2）2+52＝（x+3）2，解得，x＝10，∴△ABC的周长为12+5+13＝30，故答案为30．三．解答题（共4小题）17．解：（1）∵∠BOC＝90°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，又BE与BF为圆O的切线，∴BO为∠EBF的平分线，∴∠OBC＝∠OBF，同理可得∠OCB＝∠OCG，∴∠OBF+∠OCG＝90°，∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+∠OCG＝180°，即∠ABF+∠DCF＝180°，∴AB∥CD；（2）连接OE，OF，OG，如图所示：由BE和BF为圆的切线，可得OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB＝∠OFB＝90°，∴BE＝BF，又OB＝OB，∴Rt△OEB≌Rt△OFB（HL），∴∠BOE＝∠BOF，S△OEB＝S△OFB，∴S扇形OEM＝S扇形OFM，∴S△OEB﹣S扇形OEM＝S△OFB﹣S扇形OFM，即S阴影BEM＝S阴影BFM，同理S阴影NFC＝S阴影NCG，由∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝4，根据勾股定理得：BC＝5，∵BC为圆的切线，∴OF⊥BC，∴OB•OC＝BC•OF，即OF＝，∴S△BOC＝OB•OC＝6，S扇形OMN＝＝，则阴影部分面积S＝2（S阴影BFM+S阴影NFC）＝2（S△BOC﹣S扇形OMN）＝12﹣．18．解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP，∵∠P＝60°，∴∠PAB＝60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°．（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°，∴OP＝4，由勾股定理得：，∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴．19．解：（Ⅰ）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，∴∠BAP＝90°；∵∠BAC＝30°，∴∠CAP＝90°﹣∠BAC＝60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA＝PC，∴△PAC为等边三角形，∴∠P＝60°．（Ⅱ）如图，连接BC，则∠ACB＝90°．在Rt△ACB中，AB＝2，∠BAC＝30°，∵cos∠BAC＝，∴AC＝AB•cos∠BAC＝2cos30°＝．∵△PAC为等边三角形，∴PA＝AC，∴PA＝．20．解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC﹣AD＝6，∴DC2＝62+82＝100，即DC＝10．（1分）设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，∴x+（x+6）＝10．∴x＝2．∴AD＝2，BC＝2+6＝8．（4分）方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE，设AD＝x，则BC＝x+6，由射影定理可得：OE2＝DE•EC．（2分）即：x（x+6）＝16，解得x1＝2，x2＝﹣8，（舍去）∴AD＝2，BC＝2+6＝8．（4分）（2）存在符合条件的P点．设AP＝y，则BP＝8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，∴y＝；（6分）②△ADP∽△BPC时，∴y＝4．（7分）故存在符合条件的点P，此时AP＝或4．（8分）2021年数学中考复习专题之圆的考察：扇形面积的计算的运用（一）一．选择题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π2．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．D．3．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是（）A．B．﹣2C．D．﹣4．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8．则图中阴影部分的面积是（）A．πB．10πC．24+4πD．24+5π5．如图，在等边△ABC中，AB＝2，以点A为圆心，AB为半径画，使得∠BAD＝105°，过点C作CE⊥AD，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．π﹣1 C．2π﹣2 D．2π+16．如图，⊙O的直径AB＝2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（）A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣D．7．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．B．C．+D．8．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣49．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，分别以AC的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则余下阴影部分的面积为（）cm2．A．πB．24﹣πC．24﹣πD．24﹣π10．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，正方形ABCD中，AB＝2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是．12．如图，⊙O的半径是4，圆周角∠C＝60°，点E时直径AB延长线上一点，且∠DEB＝30°，则图中阴影部分的面积为．13．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△A′B′C，则边AB扫过的面积（图中阴影部分）是．14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是．15．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是．16．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，扇形AEF的半径为2，圆心角为60°，则阴影部分的面积是．三．解答题17．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB 的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：直线DE⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若CD＝4，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．20．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AE∥CD交⊙O于点E，连结BE交CD于点F．（1）求证：弧BD＝弧ED；（2）若⊙O的半径为6，AE＝6，求图中阴影部分的面积．参考答案一．选择题1．解：∵矩形ABCD，∴AD＝CB＝2，∴S阴影＝S矩形﹣S半圆＝2×4﹣π×22＝8﹣2π，故选：C．2．解：由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，∵P（，），∴OP＝2，∵OA＝OB＝4，∴PA＝PB＝2，∴tan∠AOP＝tan∠BOP＝，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，∴∠AOB＝120°，∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣•4•2＝，故选：D．3．解：连接OC，∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，∴∠ACB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝2，∴AB＝2AO＝4，BC＝2，∴OC＝OB＝2，∴阴影部分的面积＝S扇形﹣S△OBC＝﹣×2×1＝π﹣，4．解：作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．∵CG是圆的直径，∴∠CDG＝90°，则DG＝＝＝8，又∵EF＝8，∴DG＝EF，∴＝，∴S扇形ODG＝S扇形OEF，∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD＝S△ACD，S△OEF＝S△AEF，∴S阴影＝S扇形OCD+S扇形OEF＝S扇形OCD+S扇形ODG＝S半圆＝π×52＝π．故选：A．5．解：∵等边△ABC中，∠BAD＝105°，∴∠CAE＝105°﹣60°＝45°，∵CE⊥AD，AC＝AB＝2，∴AE＝CE＝2，∴S△ACE＝2，S扇形ACD＝＝π，∴阴影部分的面积为S扇形ACD﹣S△ACE＝π﹣2，6．解：∵⊙O的直径AB＝2，∴∠C＝90°，∵C是弧AB的中点，∴，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB＝∠EBA＝22.5°，∴∠AEB＝180°﹣（∠BAC+∠CBA）＝135°，连接EO，∵∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵OA＝OB，∴EO⊥AB，∴EO为Rt△ABC内切圆半径，∴S△ABC＝（AB+AC+BC）•EO＝AC•BC，∴EO＝﹣1，∴AE2＝AO2+EO2＝12+（﹣1）2＝4﹣2，∴扇形EAB的面积＝＝（2﹣），△ABE的面积＝AB•EO＝﹣1，∴弓形AB的面积＝扇形EAB的面积﹣△ABE的面积＝，∴阴影部分的面积＝⊙O的面积﹣弓形AB的面积＝﹣（﹣）＝﹣4，故选：A．7．解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝π，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．故选：C．8．解：连接OC，如图所示：∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，＝，∴∠COD＝45°，∴OD＝CD，∴OC＝＝4，∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△ODC的面积＝﹣×（2）2＝2π﹣4．故选：A．9．解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝＝10cm，△ABC的面积是：AB•BC＝×8×6＝24cm2．∴S阴影部分＝×6×8﹣cm2故阴影部分的面积是：24﹣πcm2．故选：D．10．解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴DC＝AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝．则扇形FDE的面积是：＝．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN，则在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH（ASA），∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝．则阴影部分的面积是：﹣．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：过F作FM⊥BE于M，则∠FME＝∠FMB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴∠DCB＝90°，DC＝BC＝AB＝2，∠DBC＝45°，由勾股定理得：BD＝2，∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，∴∠DCE＝90°，BF＝BD＝2，∠FBE＝90°﹣45°＝45°，∴BM＝FM＝2，ME＝2，∴阴影部分的面积S＝S△BCD+S△BFE+S扇形DCE﹣S扇形DBF＝++﹣＝6﹣π，12．解：连接OD，∵∠C＝60°，∴∠AOD＝2∠C＝120°，∴∠DOB＝60°，∵∠DEB＝30°，∴∠ODE＝90°，∵OD＝4，∴OE＝2OD＝8，DE＝OD＝4，∴阴影部分的面积是S＝S△ODE﹣S扇形DOB＝﹣＝8﹣，故答案为：8﹣．13．解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴边AB扫过的面积＝﹣＝9π，故答案为：9π．14．解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝，由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×5×2+×2×3+﹣＝8﹣π，15．解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AD＝AB＝6，∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，∴DF＝AD•sin60°＝6×＝3，∴图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积＝6×3﹣＝18﹣9π．故答案为：18﹣9π．16．解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，∴∠BCD＝∠DAB＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△ABC、△ADC都是等边三角形，∴AC＝AD＝2，∵AB＝2，∴△ADC的高为，AC＝2，∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G，在△ADH和△ACG中，，∴△ADH≌△ACG（ASA），∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形AEF﹣S△ACD＝﹣×2×＝﹣，故答案为：﹣．三．解答题（共4小题）17．解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，∴PD⊥AB，∵∠A＝30°，∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD，∵PF⊥AC，∴∠OPF＝30°，∴OF＝OP，∵OA＝OC，AD＝BD，∴BC＝2OD，∴OA＝BC＝2，∴⊙O的半径为2，∴劣弧PC的长＝＝＝π；（2）∵OF＝OP，∴OF＝1，∴PF＝＝，∴S阴影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．18．（1）证明：连接OD、CD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，又∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴△ACD是直角三角形，又∵点E是斜边AC的中点，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，∴直线DE是⊙O的切线；（2）解：由（1）已证：∠ODF＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOF＝60°，∴∠F＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，∴BC＝＝＝4，∴，在Rt△ODF中，，∴阴影部分的面积为：＝．19．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠A＝∠BCD；（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝CD＝2，在Rt△COE中，OC＝＝4，∴扇形OAC（阴影部分）的面积＝＝π．20．（1）证明：∵AB，CD是⊙O的两条直径，∴∠AOC＝∠BOD，∴＝，∵AE∥CD，∴＝，∴＝；（2）解：连接OE，作OH⊥AE于H，则AH＝HE＝AE＝3，cos∠OAH＝＝，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝3，∠AOH＝60°，∴∠AOE＝120°，∴图中阴影部分的面积＝﹣×6×3＝12π﹣9．。
2021中考数学压轴题 – 圆的专题含答案解析
2021中考数学压轴题满分训练–圆的专题1．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O 于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB＝30°，DB＝4cm．（1）求⊙O的半径长；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）2．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，⊙O的切线AP与CB的延长线交于点P．（1）求证：∠PAB＝∠ACB；（2）若AB＝12，cos∠ADB＝，求PB的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC ＝13，过点O作OD⊥AC于点D．（1）求证：∠B＝∠COD；（2）求AB的长．5．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA 的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．（1）求证：GC∥AE；（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．6．如图，AD与⊙O相切于点D，点A在直径CB的延长线上．（1）求证：∠DCB＝∠ADB；（2）若∠DCB＝30°，AC＝3，求AD的长．7．如图1，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足为点E，连接AD、BC、AO，AD＝AB．（1）求证：∠CAO＝2∠CDB；（2）如图2，过点O作OH⊥AD，垂足为点H，求证：2OH+CE＝DE；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB、AC交于点F，过点D作DM⊥AC，垂足为M交AB于N，若BC＝12，AF＝3BF，求MN的长．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、CF、EF．（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；（2）求证：∠BAC＝∠CEF；（3）是否存在点D，使得△CFE是以EF为腰的等腰三角形，若存在，求出此时CD 的长；若不存在，试说明理由．10．直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，A为圆上一点，AP的延长线交直线l于点C，且AB＝BC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长．11．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．12．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，连接AD．过点D作DF⊥AC，垂足为点F，（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，①当AE＝FE时，求的长（结果保留π）；②当时，求线段AF的长．14．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D分别在AB和⊙O上，且AC＝AD，DC的延长线交⊙O于点E，过E作AC的平行线交⊙O于点F，连接AF，DF．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当sin∠EDF＝，BC＝4时，求⊙O的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥AC，分别交AC、AB的延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，CE＝2，求CB的长．参考答案1．解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°．∵BD∥AC，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴DE＝EB＝BD＝＝2（cm）∵∠D＝30°，∴∠O＝2∠D＝60°，在Rt△BEO中，sin60°＝，＝．∴OB＝5，即⊙O的半径长为5cm．（2）由（1）可知，∠O＝60°，∠BEO＝90°，∴∠EBO＝∠D＝30°．在△CDE与△OBE中，．∴△CDE≌△OBE（AAS）．∴S阴影＝S扇OBC＝π•42＝（cm2），答：阴影部分的面积为cm2．2．（1）证明：连接OC，如图1，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠AEO，∵OA⊥OE，∴∠A+∠AEO＝90°，∴∠DCE+∠A＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCE+∠ACO＝90°，∴OC⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，∵AC＝2，BC＝，∴AB＝＝＝5，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AOE，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣＝，∵CD＝DE，∴CF＝CE＝，∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠AEO，∠AEO＝∠B，∴∠DCE＝∠B，又∵∠DFC＝∠ACB，∴△DFC∽△ACB，∴，∴，∴DC＝．3．解：（1）证明：如图，连接OA，∵AP为⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠OAB+∠PAB＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBA+∠PAB＝90°，∵BC为⊙O的直径，∴∠ACB+∠OBA＝90°，∴∠PAB＝∠ACB；（2）由（1）知∵∠PAB＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠PAB＝∠ACB＝∠ADB，∴，∵AB＝12，∴AC＝16，∴，∴OB＝10，过B作BF⊥AP于F，∵∠ADB＝∠FAB，，∴，∴，∴在Rt△ABF中，，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BF∥OA，∴△PBF∽△POA，∴，∴，∴．答：PB的长为．4．解：（1）作直径AE，连接CE，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE+∠E＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAE＝∠OCD，∴∠OCD+∠E＝90°，∵OD⊥AC，∴∠OCD+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠E，∵∠B＝∠E，∴∠B＝∠COD；（2）∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∴∠ACE＝∠AHB，∵∠B＝∠E，∴△ABH∽△AEC，∴＝，∴AB＝，∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，∴AB＝＝．5．（1）证明：连接OC，交AE于点H．∵C是弧AE的中点，∴OC⊥AE．∵GC是⊙O的切线，∴OC⊥GC，∴∠OHA＝∠OCG＝90°，∴GC∥AE；（2）解：∵OC⊥GC，GC∥AE，∴OC⊥AE，∵CD⊥AB，∴∠CHF＝∠FDA＝90°，∵∠CFH＝∠AFD，∴∠OCD＝∠EAB．∴．在Rt△CDO中，OD＝3，∴OC＝5，∴AB＝10，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．在Rt△AEB中，∵，∴BE＝6，∴AE＝8．6．（1）证明：如图，连接OD，∵AD与⊙O相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ODB+∠ADB＝90°，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∴∠ODB+∠ODC＝90°，∴∠ODC＝∠ADB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠C＝∠ADB；（2）解：∵∠DCB＝∠ADB，∠DAC＝∠CAD，∴△ADB∽△ACD，∴＝，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∠DCB＝30°，∴tan∠DCB＝＝，∴＝，∵AC＝3，∴AD＝3．7．解：（1）如图，连接AO、DO，∵AB＝AD，∴，∴∠AOB＝∠AOD，∴AO＝OB，AO＝OD，∴△AOB≌△AOD，∴∠BAO＝∠DAO，延长AO交BD于点H，∵AB＝AD，∴AH⊥BD，∴∠AHB＝∠AHD＝90°，∵，∴∠ACD＝∠ABD，∴∠CAB＝∠BAO＝∠OAD，∴∠CAO＝2∠CDB．（2）过点O作OT⊥CD，则CT＝DT，∵CD⊥AB，CD⊥OT，OQ⊥AB，∴∠OQB＝∠OTE＝∠AED＝90°，∴四边形OTEQ为矩形，∴OQ＝ET，∵TD＝CT＝ET+CE，∵AB＝AD，∴OQ＝OH，∴2OH+CE＝DE．（3）如图，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∠FCB+∠ACB＝180°，∴∠ADB＝∠FCB，∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FDA，∴，∵CB＝12，∴AB＝AD＝36，∵∠BCD＝∠BAD，∠AEB＝∠AED，∴△CEB∽△AED，∴，设BE＝x，则AE＝36﹣x，ED＝3x，∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°，则在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，（36﹣x）2+（3x）2＝362，解得：，∴BD＝∵CD⊥AB，∴∠BED＝90°，∠NMA＝90°，∠ANM＝∠END，∴∠NED＝∠MAN，∴∠BDE＝∠EDN，∵ED＝ED，∴△BED≌△NED，∴，∵∠CDB＝∠CAB，∠NMA＝∠BED，∴△AMN∽△DEB，∴，∴，∴MN＝．8．（1）证明：连接BD，DO，∵BC是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠CDB＝90°，又∵E为AB的中点，∴DE＝EB＝EA，∴∠EDB＝∠EBD．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠ABC＝90°，∴∠EDB+∠OBD＝90°．即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵，∴．9．解：（1）∵∠CFE＝90°，∠CFE＝∠CDE，∴∠CDE＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠ADC，∴AC＝CD＝6；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠DEF，∴∠BAC+∠DEF＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∴∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠BAC＝∠CEF；（3）①如图1，当EF＝CE时，则∠EFC＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CDE＝∠CFE，∴∠ADG＝∠CDE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∵FC∥AB，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG＝CD，在Rt△BDG中，设CD＝x，∵BG2+DG2＝BD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3；②如图2，当EF＝CF时，则∠CEF＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CEF＝∠CDF＝∠BDG，∴∠ADG＝∠BDG，∵FC∥AB，∠DFC＝90°，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵GD＝GD，∴△BGD≌△AGD（ASA），∴BD＝AD，在Rt△ACD中，设CD＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴x2+62＝（8﹣x）2，∴x＝，即CD＝；综合以上可得CD的长为3或．10．证明：（1）连接OA，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠OAP＝∠BPC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵OB⊥l，∴∠ACB+∠BPC＝90°，∴∠BAC+∠OAP＝90°，即OA⊥AB，∴AB与⊙O相切；（2）解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△CPB，∴，即，解得，AP＝．11．（1）证明：连接OB，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OA⊥l，∴∠ACB+∠APC＝90°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠OBP+∠ACB＝90°，∴∠OBP+∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，如图2，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠D，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠D＝∠ABC＝∠ACB，∵sin∠ACB＝，∴sin∠D＝＝，∵BP＝2，∴BD＝10，∴OB＝OP＝5，∵sin∠ACB＝，∴＝，∴＝，设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，AB＝2x，OB＝5，OA＝5+x，∴（2x）2+52＝（5+x）2，解得x＝，∴AB＝2x＝．12．（1）证明：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC．又AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC的中点，∴BD＝5．连接OD；由中位线定理，知DO∥AC，又DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切线；（2）连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8．13．证明：（1）连接OD，如图1，∵OB＝OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB②，由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线；（2）①∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EAF，设∠B＝∠C＝α，∴∠EAF＝∠EFA＝2α，∵∠E＝∠B＝α，∴α+2α+2α＝180°，∴α＝36°，∴∠B＝36°，∴∠AOD＝72°，∴的长＝＝；②连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵⊙O的半径为4，∴AB＝AC＝8，∵，∴＝，∴AD＝2，∵AD⊥BC，DH⊥AC，∴△ADH∽△ACD，∴＝，∴＝，∴AH＝3，∴CH＝5，∵∠B＝∠C，∠E＝∠B，∴∠E＝∠C，∴DE＝DC，∵DH⊥AC，∴EH＝CH＝5，∴AE＝2，∵OD∥AC，∴∠EAF＝∠FOD，∠E＝∠FDO，∴△AEF∽△ODF，∴＝，∴＝，∴AF＝．14．（1）证明：∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵AC∥EF，∴∠ACD＝∠E，∴∠ADC＝∠E，∴＝，∴＝，∴AD＝EF，∵AD＝AC，∴AC＝EF，∵AC∥EF，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：连接BD，∵四边形ACEF是平行四边形，∴AF∥CE，∴∠EDF＝∠AFD，∵所对圆周角∠B和∠AFD，∴∠AFD＝∠B，∴∠B＝∠EDF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵sin∠EDF＝，∴sin B＝sin∠EDF＝＝，∴设AD＝2x，AB＝3x，∵AC＝AD，BC＝4，∴3x﹣2x＝4，解得：x＝4，即AB＝3x＝3×4＝12，∵AB为⊙O的直径，∴⊙O的半径是6．15．（1）证明：连接OD交BC于H，如图所示：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠HCE＝90°，又∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，由（1）得：OD⊥EF，∴∠HDE＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴HD＝CE＝2，∴∠CHD＝90°，∴∠OHB＝90°，∴OD⊥BC，∴OH平分BC，∴OH是△ABC的中位线，∴OH＝AC＝3，∴OB＝OD＝OH+HD＝5，∴AB＝2OB＝10，∴CB＝＝＝8．。
2021年中考数学 一轮专题训练：圆的有关性质(含答案)
2021中考数学 一轮专题训练：圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠1＝45°，则∠2等于( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．40°2. 如图所示，AB是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，CD ⊥AB.若∠DAB ＝65°，则∠BOC 等于( )A ．25°B ．50°C ．130°D ．155°3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD︵上一点，且DF︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC ＝105°，∠BA C ＝25°，则∠E 的度数为( ) A . 45° B . 50° C . 55° D . 60°4. 2019·赤峰如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A．30°B．40°C．50°D．60°5. 如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB 相交于点P，下列结论错误的是()A．AP＝2OP B．CD＝2OPC．OB⊥AC D．AC平分OB6.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为2 3，则a的值是()A．2 B．2＋ 2C．2 3 D．2＋ 38. 2020·武汉模拟小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160 mm，直角顶点A到轮胎与地面接触点B的距离AB为320 mm，请帮小名同学计算轮胎的直径为()A．350 mm B．700 mmC．800 mm D．400 mm9. 如图，在半径为13的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是()A．2 6 B．2 10 C．2 11 D．4 310. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD的度数为()A．70°B．60°C．50°D．40°二、填空题（本大题共10道小题）11. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE，若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为.12. 2018·孝感已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是________cm.13. 2018·毕节如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，则∠ACE的度数为________．14. 当宽为3 cm的刻度尺的一边与⊙O相切于点A时，另一边与⊙O的两个交点B，C处的读数如图所示(单位：cm)，那么该圆的半径为________cm.15. 如图0，A，B是⊙O上的两点，AB＝10，P是⊙O上的动点(点P与A，B 两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．16. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点．若∠DAB＝40°，则∠ABC＝________°.17. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为________．18. 如图，在⊙O中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．19. 如图2，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm ，下雨前水面宽为60 cm ，一场大雨过后，水面宽为80 cm ，则水位上升________cm. 链接听P39例4归纳总结20. 如图，AB ，CD是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为________．三、解答题（本大题共6道小题）21. 2018·牡丹江 如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC 于点D .求证：AB ＝2AD .22.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠A ＝2∠BCD ，点E 在AB 的延长线上，∠AED ＝∠ABC. (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)若BF ＝2，DF ＝10，求⊙O 的半径．23. 2018·天津 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，∠BAC ＝38°.(1)如图①，若D 为AB ︵的中点，求∠ABC 和∠ABD 的大小；(2)如图②，过点D 作⊙O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，若DP ∥AC ，求∠OC D 的大小．24.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，过点A 作AD ∥BC ，与∠ABC 的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与⊙O 交于点F . (1)求∠DAF 的度数； (2)求证：AE 2＝EF ·ED ； (3)求证：AD 是⊙O 的切线．25. 如图，AB是☉O的直径，点C为的中点，CF为☉O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证:△BFG≌△CDG;(2)若AD=BE=2，求BF的长.26. 已知OA＝5，sin∠O＝35，点D为线段OA上的动点，以A为圆心、AD为半径作⊙A．（1）如图1，若⊙A交∠O于B、C两点，设OD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）将⊙A沿直线OB翻折后得到⊙A′．①若⊙A′与直线OA相切，求x的值；②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．2021中考数学一轮专题训练：圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】C3. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∵＝，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.4. 【答案】D5. 【答案】A[解析] ∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∵四边形OBCD是平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，∴∠CPO＝90°，即OB⊥AC，∴选项C正确；∴CP＝AP.又∵OA＝OD，∴OP是△ACD的中位线，∴CD＝2OP，∴选项B正确；∴CD＝OB＝2OP，即P是OB的中点，∴AC平分OB，∴选项D正确．6. 【答案】B 【解析】由垂径定理可得DH＝2，所以BH＝BD2－DH2＝1，又可得△DHB∽△ADB，所以有BD2＝BH·BA，(3)2＝1×BA，AB＝3.7. 【答案】B[解析] 如图，连接PB，过点P作PC⊥AB于点C，过点P作横轴的垂线，垂足为E，交AB于点D，则PB＝2，BC＝ 3.在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝1.∵直线y＝x平分第一象限的夹角，∴△PCD和△DEO都是等腰直角三角形，∴PD＝2，DE＝OE＝2，∴a＝PE＝2＋ 2.故选B.8. 【答案】C9. 【答案】C[解析] 过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于点G，连接OB，OD，OE，如图所示．则DF＝CF，AG＝BG＝12AB＝3，∴EG＝AG－AE＝2.在Rt△BOG中，OG＝OB2－BG2＝13－9＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝2OG＝2 2.∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝12OE＝ 2.在Rt△ODF中，DF＝OD2－OF2＝13－2＝11，∴CD＝2DF＝2 11.故选C.10. 【答案】D[解析] ∵∠BOC＝110°，∴∠AOC＝70°.∵AD∥OC，∴∠A＝∠AOC＝70°.∵OA＝OD，∴∠D＝∠A＝70°.在△OAD中，∠AOD＝180°－(∠A＋∠D)＝40°.二、填空题（本大题共10道小题） 11. 【答案】52° [解析]∵圆内接四边形对角互补， ∴∠B +∠D=180°，∵∠B=64°，∴∠D=116°.∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠D=∠AEC=116°.∵∠AEC=∠B +∠BAE ，∴∠BAE=52°.12. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴OF ＝6 cm ，OE ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.∴AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm.13. 【答案】30°[解析] 如图，连接OC .∵AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°. ∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°.∵CE ⊥OA ，∴∠AEC ＝90°，∴∠ACE ＝90°－60°＝30°.14. 【答案】25615. 【答案】5 [解析] ∵OE 过圆心且与PA 垂直，∴PE ＝EA.同理PF ＝FB ，∴EF 是△PAB 的中位线，∴EF ＝12AB ＝5.16. 【答案】70 [解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C 为弧BD 的中点，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝20°， ∴∠ABC ＝70°.17. 【答案】52° [解析] ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠D ＝180°. ∵∠B ＝64°，∴∠D ＝116°.又∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠AEC ＝∠D ＝116°.又∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ，∴∠BAE ＝52°.18. 【答案】12 [解析] 连接OD.因为CD ⊥OC ，所以CD ＝OD2－OC2，根据题意可知圆的半径一定，故当OC 最小时CD 最大，故当OC ⊥AB 时CD 最大，此时CD ＝12AB ＝12.19. 【答案】10或70 [解析] 对于半径为50 cm 的圆而言，圆心到长为60 cm 的弦的距离为40 cm ，到长为80 cm 的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10 cm 或70 cm.20. 【答案】7 2 [解析] 如图，连接OB ，OC ，BC ，则BC 的长即为P A ＋PC 的最小值．过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则四边形EFCH 为矩形，∴CH ＝EF ，EH ＝CF .根据垂径定理，得BE ＝12AB ＝4，CF ＝12CD ＝3，∴OE ＝OB 2－BE 2＝52－42＝3，OF ＝OC 2－CF 2＝52－32＝4， ∴CH ＝EF ＝OE ＋OF ＝3＋4＝7，BH ＝BE ＋EH ＝BE ＋CF ＝4＋3＝7. 在Rt △BCH 中，由勾股定理，得BC ＝7 2，则P A ＋PC 的最小值为72.三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E ，∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD .∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵，∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD .22. 【答案】(1)证明：如解图，连接DO ，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝∠A ，(2分)解图又∵∠DEA ＝∠CBA ，∴∠DEA ＋∠DOE ＝∠CAB ＋∠CBA ，又∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠ACB ＝90°，(5分)∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 与⊙O 相切．(7分)(2)解：如解图，连接BD ，可得△FBD ∽△DBO ，∴BD BO ＝DF OD ＝BF BD ，(8分)∴BD ＝DF ＝10，∴OB ＝5，(10分)即⊙O 的半径为5.23. 【答案】解：(1)如图①，连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°－∠BAC ＝90°－38°＝52°.∵D 为AB ︵的中点，∠AOB ＝180°，∴∠AOD ＝90°，∴∠ABD ＝12∠AOD ＝45°.(2)如图②，连接OD .∵DP 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥DP ，即∠ODP ＝90°.∵DP ∥AC ，∠BAC ＝38°，∴∠P ＝∠BAC ＝38°.∵∠AOD 是△ODP 的一个外角，∴∠AOD ＝∠P ＋∠ODP ＝128°，∴∠ACD ＝64°.∵OC ＝OA ，∠BAC ＝38°，∴∠OCA ＝∠BAC ＝38°，∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝64°－38°＝26°.24. 【答案】(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝36°，∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，∴△EAF∽△EDA，∴AEDE＝EF EA，∴AE2＝EF·ED；(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG过圆心O，∵AD∥BC，∴AD⊥AG，∴AD是⊙O的切线．解图25. 【答案】解:(1)证明:∵C是的中点，∴=.∵AB是☉O的直径，且CF⊥AB，∴=，∴=，∴CD=BF.在△BFG和△CDG中，∵∴△BFG≌△CDG(AAS).(2)如图，过C作CH⊥AD，交AD延长线于H，连接AC，BC，∵=，∴∠HAC=∠BAC.∵CE⊥AB，∴CH=CE.∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH.∵=，∴CD=BC.又∵CH=CE，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=AD+DH=2+2=4，∴AB=4+2=6.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴=，∴BC2=AB·BE=6×2=12，∴BF=BC=2.26. 【答案】（1）如图2，作AE ⊥BC ，垂足为E ，那么E 是BC 的中点．在Rt △OAE 中，OA ＝5，sin ∠O ＝35，所以AE ＝3． 在Rt △BAE 中，AB ＝AD ＝5－x ，AE ＝3，BE ＝1122BC y =， 由勾股定理，得2221(5)3()2x y -=+． 整理，得221016y x x =-+．定义域是0≤x ＜2．图2 图3（2）①如图3，将⊙A 沿直线OB 翻折后得到⊙A ′，AA ′＝2AE ＝6．作A ′H ⊥OA ，垂足为H ．在Rt △A ′AH 中，AA ′＝6，sin ∠A ′＝35，所以AH ＝185，A ′H ＝245． 若⊙A ′与直线OA 相切，那么半径等于A ′H ．解方程2455x -=，得15x =． ②如图4，在Rt △A ′DH 中，222241814'()(5)25555A D x x x =+--=-+． 对于⊙A ′，R ＝5－x ；对于⊙D ，r ＝DO ＝x ；圆心距d ＝A ′D ．如果两圆外切，由d ＝R ＋r ，得2142555x x x x -+=-+．解得145x =（如图4）． 如果两圆内切，由d ＝|R －r |，得21425|5|5x x x x -+=--． 解得86515x =>．所以两圆不可能内切．图4 图5考点伸展当D为OA的中点时，⊙A′与以D为圆心、DA为半径的⊙D是什么位置关系？⊙A′和⊙D等圆，R＝52，两圆不可能内切．当D为OA的中点时，DH＝AH－AD＝18511 5210-=．此时'5A D==<．因此两圆的半径和大于圆心距，此时两圆是相交的（如图5）．。
2021年春九年级数学中考复习《圆综合型解答题》专项提升训练(附答案)
2021年春九年级数学中考复习《圆综合型解答题》专项提升训练（附答案）1．如图，AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交⊙O 于点F，连接CF交AB于点G．（1）求证：CE2＝AE•AF；（2）求证：∠ACF＝3∠BAF；（3）若FG＝2，求AE的长．2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线上一点，连接CD，作CE⊥AB于点E，∠OCE＝∠D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）点F为CD上一点，连接OF交CE于点G，G为OF中点，求证：OC2＝CD•CF；（3）在（2）的条件下，CF＝DF，若OC＝2，求CG．3．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD．过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．（1）求证：AD⊥BC；（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．①求证：AG与⊙O相切；②当＝，CE＝3时，求AG的长．4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为；（2）连接AC，BC，点C在⊙O上运动的过程中，当△ABC的面积最大时，请直接写出△ABC面积的最大值是．（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．5．已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结P A、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交P A、PO于点D、E．（1）如图，当cos∠CBO＝时，求BC的长；（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．6．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝1.5，求EF的长．7．如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，连接，CO，AC，PC．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）求证：AB2＝4OE•OP；（3）若OE＝2，cos∠CAB＝，求BP的长．8．已知：AB，CF都是⊙O的直径，AH，CD都是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，AH＝CD．（1）如图1，求证：AH⊥CF；（2）如图2，延长AH，CD交于点P，求证：PH＝PD；（3）如图3，在（2）的条件下，延长AC，HE交于点Q，若∠Q＝45°，CQ＝2，求HE的长．9．如图，已知▱ABCD中，AB＝8，BC＝12，AC＝10，P为边BC上一动点，过点P，A，C作⊙O分别交边CD，AD于点E，F，连结EF．（1）求证：△DEF∽△BCA．（2）当点O落在AC边上，求DF的长．（3）在点P的整个运动过程中，若点O到EF的距离与它到▱ABCD某一边所在的直线的距离相等，求所有满足条件的BP的长．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E为AB边上一点，过E、B、C三点的圆交线段AC于点D，点A关于直线BD的对称点F落在⊙O上，连CF．（1）求证：∠BCA＝45°；（2）若AB＝6，点E在运动过程中，当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的边上时，求CD的长；（3）当tan∠CDF＝时，设△CDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，求的值．11．已知：如图BC是⊙的直径，点A是圆上一点，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若CD＝3，求⊙O的半径．（3）若AE⊥BC于F，P为上一点，连接AP，CP，EP，请找出AP，CP，EP之间的关系，并证明．12．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且AB＝AC，BC＝8，点D为优弧BDC上的动点，且cos∠ABC＝．（1）如图1，若∠BCD＝∠ACB，延长DC到F，使得CF＝CA，连接AF，求证：AF是⊙O的切线；（2）如图2，若∠BCD的角平分线与AD相交于E，求⊙O的半径与AE的长；（3）如图3，将△ABC的BC边所在的直线l1绕点A旋转得到l2，直线l2与⊙O相交于M，N，连接AM，AN．l2在运动的过程中，AM•AN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．13．如图，AB与⊙O相切于点C，且C为线段AB的中点，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．（1）求证：∠CDF＝∠CDE；（2）①若DE＝10，DF＝8，则CD＝；②连接CO，CF，当∠B的度数为时，四边形ODFC是菱形．14．已知△ABC内接于⊙O，点O在△ABC的内部，点D为弧AB上一点，连接OD交AB 于点H，连接OB，∠BOD＝∠ACB．（1）如图1，求证：OD⊥AB；（2）如图2，点P为线段BA延长线上一点，连接OP，∠POH＝∠ABC，求证：∠BAC+∠POB＝180°；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，延长CA至点E，使AE＝AB，射线ED交AB于点G，若∠ABC＝60°，P A＝6，OF＝，求线段DG的长．15．如图1，把△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCE，点A，D分别对应点B，E，且满足A，D，E三点在同一条直线上．连接DE交BC于点F，△CDE的外接圆⊙O与AB 交于G，H两点．（1）求证：BE是⊙O切线；（2）如图2，连接OB，OC，若sin∠CAE＝，判断四边形BECO的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若CF＝，求GH的长．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DAB＝90°，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接OD，OC．（1）求证：OD⊥OC；（2）若AB＝4，tan∠BCO＝，求sin∠BCD的值；（3）如图2，在（2）的条件下，连接OE，BD交于点F，求的值．17．如图，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为H，连接BC，过弧AD上一点E作EF ∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若sin F＝，BC＝5，①求⊙O的半径；②若CD的延长线与FE的延长线交于点M，求DM的长度．18．如图，点C是半圆O上一点（不与A、B重合），沿BC所在直线折叠半圆O，使点A 落在A'点处，A'B交半圆O于M，AB＝2．（1）M到AB的最大距离为．（2）已知点O的对应点为M，连接AM．①求AM的长；②求阴影部分的面积；（3）设A'B的中点为O'，若线段BO'与半圆O仅有一个公共点，求∠ABC的取值范围．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：AE＝CE；（2）若AC＝2BC，证明：DA是⊙O的切线；（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若⊙O的直径为，求EF的长．20．【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA ＝5，则点P到点A的最短距离为．【直接运用】（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由．【灵活运用】（4）如图3，⊙O的半径为4，弦AB＝4，点C为优弧AB上一动点，AM ⊥AC交直线CB于点M，则△ABM的面积最大值是．参考答案1．解：（1）∵AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠ACE＝∠AFC，∵∠CAE＝∠F AC，∴△ACE∽△AFC，∴，∴AC2＝AE•AF，∵AC＝CE，∴CE2＝AE•AF；（2）∵AB⊥CD，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC＝45°，∴∠AFC＝∠AOC＝45°，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣∠ACO）＝67.5°，∴∠BAF＝∠CAF﹣∠OAC＝22.5°，∵∠AEC＝∠AFC+∠DAF＝45°+∠DCF＝67.5°，∴∠DCF＝22.5°，∴∠ACF＝∠OCA+∠DAF＝67.5°＝3×22.5°＝3∠BAF；（3）如图，过点G作GH⊥CF交AF于H，∴∠FGH＝90°，∵∠AFC＝45°，∴∠FHG＝45°，∴HG＝FG＝2，∴FH＝2，∵∠BAF＝22.5°，∠FHG＝45°，∴∠AGH＝∠FHG﹣∠BAF＝22.5°＝∠BAF，∴AH＝HG＝2，∴AF＝AH+FH＝2+2，由（2）知，∠OAE＝∠OCG，∵∠AOE＝∠COG＝90°，OA＝OC，∴△AOE≌△COG（SAS），∴OE＝OG，∠AEO＝∠CGO，∴∠OEF＝∠OGF，连接EG，∵OE＝OG，∴∠OEG＝∠OGE＝45°，∴∠FEG＝∠FGE，∴EF＝FG＝2，∴AE＝AF﹣EF＝2+2﹣2＝2．2．证明：（1）∵CE⊥AB，∴∠D+∠DCE＝90°，∵∠OCE＝∠D，∴∠OCE+∠DCE＝90°，∴∠OCD＝90°，又∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠OCF＝90°，G为OF中点，∴CG＝GF＝OF，∴∠GCF＝∠GFC，∵∠D+∠COD＝90°＝∠D+∠DCE，∴∠DCE＝∠COE＝∠CFG，又∵∠OCF＝∠OCD＝90°，∴△OCF∽△DCO，∴，∴OC2＝CF•CD；（3）∵CF＝DF，∴CD＝2CF，∵OC2＝CF•CD，∴4＝CF×2CF，∴CF＝，∴OF＝＝＝，∴CG＝．3．证明：（1）∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∴∠AEF+∠EAF＝90°，∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，∴∠ABE+∠EAF＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AD⊥BC；（2）①连接OA，AC，∵AD⊥BC，∴AE＝ED，∴CA＝CD，∴∠D＝∠CAD，∵∠GAE＝2∠D，∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠CEA＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠CAG+∠OAC＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线；②过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，∴CH＝CE，∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），∴AE＝AH，∵EF⊥AB，BC是直径，∴∠BFE＝∠BAC，∴EF∥AC，∴＝＝，∵CE＝3，∴BE＝，∵BC⊥AD，∴，∴∠CAE＝∠ABC，∵∠AEC＝∠AEB＝90°，∴△AEB∽△CEA，∴，∴AE2＝3×＝，∵AE＞0，∴AE＝，∴AH＝AE＝，∵∠G＝∠G，∠CHG＝∠AEG＝90°，∴△GHC∽△GEA，∴，∴＝，解得x＝7，y＝2，∴AG＝2+＝．4．解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC＝90°+∠OBA＝135°；综上所述，∠BOC的度数为45°或135°，故答案为：45°或135°；（2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图1：此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，∴OE＝AB＝3，∴CE＝OC+OE＝3+3，∴△ABC的面积＝CE•AB＝×（3+3）×6＝9+18；即当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18；故答案是：9+18；（3）①过C点作CF⊥x轴于F，如图2：∵OC∥AD，∴∠COF＝∠DAO，又∵∠ADO＝∠CFO＝90°，∴△OCF∽Rt△AOD，∴＝，即＝，解得：CF＝，在Rt△OCF中，OF＝＝＝，∴C点坐标为（﹣，）；②直线BC是⊙O的切线．理由如下：由①得：（﹣，），在Rt△OCF中，OC＝3，CF＝，∴CF＝OC，∴∠COF＝30°，∴∠OAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠AOD＝60°，∵在△BOC和△AOD中，，∴△BOC≌△AOD（SAS），∴∠BCO＝∠ADO＝90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线．5．解：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，∴BG＝BC，∵AB＝4，∴OB＝2，∵cos∠CBO＝＝，∴BG＝，∴BC＝2BG＝；解法二：如图2，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝，∴，∴BC＝；（2）如图3，连接OC，∵∠P＝∠P，△EDP与△AOP相似，∴△DPE∽△OP A，∴∠DPE＝∠P AO，∵C是的中点，∴∠AOC＝∠COP，设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝α，∵C是的中点，∴OC⊥AP，∴∠P AO＝90°﹣2α，∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α，在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC，∴4α＝90°﹣2α+α，∴α＝18°，∴∠ABC＝18°；（3）分两种情况：①如图4，当∠EOB＝90°时，过D作DH⊥AB于H，∴DH∥PO，∴，∵AD＝2PD，∴AH＝2HO，∵AB＝4，∴AH＝，OH＝，BH＝，∵AO＝OP，∠AOP＝90°，∴∠A＝45°，∴AH＝DH＝，∵OE∥DH，∴，即＝，∴OE＝1，∴S四边形AOED＝S△ABD﹣S△OEB＝﹣＝﹣1＝；②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，∵∠C＝∠OEB＝90°，∴AC∥OE，CE＝BE，∵AD＝2DP，同理得AC＝2PE，∵AO＝BO，∴AC＝2OE，∴OE＝PE＝OP，∴AC＝AB，∴∠ABC＝30°，∵AB＝4，∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝，BC＝＝2，∴CE＝，∵AC∥PE，∴＝2，∵CD+DE＝，∴CD＝，∴S四边形AOED＝S△ABC﹣S△OEB﹣S△ACD＝﹣﹣＝．综上，四边形AOED的面积是或．6．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴＝，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝，∴，∴EF＝3．7．（1）证明：连接OD，∵PD是⊙O的切线，∴∠PDO＝90°，∵OD＝OC，CD⊥AB于点E，∴CE＝DE，∠POD＝∠POC，又∵PO＝PO，∴△PDO≌△PCO（SAS），∴∠PCO＝∠PDO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线；（2）证明：∵∠PCO＝∠PEC＝90°，∴∠OCE+∠COF＝90°，∠OPC+∠COP＝90°，∴∠OCE＝∠OPC，∴△OCE∽△OPC，∴，即CO2＝OE•OP，又∵AB＝2OC，（3）解：∵cos，∴，设CE＝x，则AE＝3x，∵OE＝2，∴OA＝OC＝3x﹣2，在Rt△COE中，由勾股定理，得（3x﹣2）2＝x2+22，解得，，x2＝0（不合题意，舍去），∴CE＝，OA＝OC＝3x﹣2＝，∵△OCE∽△OPC，∴，即OC2＝OP•OE，∵，∴OP＝，∴PB＝OP﹣OB＝＝．8．（1）证明：∵AH＝CD，∴，∵AB是直径，CD⊥AB，∴，∵∠AOF＝∠BOC，∴，∴AH⊥CF；（2）证明：连接AC，如图2所示：∵AH＝CD，∴，∴，∴，∴∠PCA＝∠P AC，∴PC＝P A，又∵AH＝CD，∴P A﹣AH＝PC﹣CD，即PH＝PD；（3）解：过点A作AK⊥QH于点K，连接DH，如图3所示：∵四边形ACDH内接于⊙O，∴∠P AC＝∠PDH，由（2）知，∠P AC＝∠PCA，∴∠PDH＝∠PCA，∴DH∥AC，∴∠CQE＝∠DHE，∵∠CEQ＝∠DHE，CE＝DE，∴△CQE≌△DHE（AAS），∴EQ＝EH，CQ＝DH＝2，∵∠Q＝45°，AK⊥QH，∴∠Q＝∠QAK＝45°，∴AK＝QK，∵∠CEQ+∠AEK＝180°﹣∠AEC＝90°，∠AEK+EAK＝90°，∴∠EAK＝CEQ＝∠PCA﹣∠Q＝∠P AC﹣∠QAK＝∠HAK，∵∠AKE＝∠AKH＝90°，AK＝AK，∠EAK＝∠HAK，∴△EAK≌△HAK（ASA），∴EK＝HK，AE＝AH＝CD，设EK＝x，则EH＝EQ＝2x，∴AK＝QK＝3x，AQ＝，AE＝＝＝x＝AH＝CD，∴CE＝＝，∴AC＝＝＝，∵AQ﹣AC＝CQ，∴，解得：x＝，∴EH＝．9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD∵∠DFE＝∠ACD，∴∠DFE＝∠BAC，∴△DEF∽△BCA；（2）解：连接CF，如图1所示：∵AC为直径，∴∠AFC＝90°，∵△DEF∽△BCA，∴DF：EF：DE＝AB：AC：BC＝8：10：12＝4：5：6，设DF＝4x，则DE＝6x，EF＝5x，AF＝12﹣4x，在Rt△AFC和Rt△CFD中，由勾股定理得：102﹣（12﹣4x）2＝82﹣（4x）2，解得：x＝，∴DF＝4×＝；（3）解：过点A，C分别作AR⊥BC于点R，CH⊥AD于点H，连接CF，如图2所示：则四边形ARCH为矩形，∴AR＝CH，∠ARP＝∠CHF＝90°，在△ARP和△CHF中，，∴△ARP≌△CHF（AAS），∴RP＝HF，由（2）得：DH＝BR＝，RP＝FH＝﹣4x，则BP＝9﹣4x，①连接PF，如图3所示：∵AD∥BC，∴∠AFP＝∠FPC，∵∠AFP＝∠ACB，∴∠ACB＝∠FPC，由已知可得∠B≠∠ACB，∴∠B≠∠FPC，∴PF与CD不平行，∴EF≠CP，∴不存在点O到EF的距离等于O到BC的距离的BP的值；②过点O作OQ⊥EF于Q，如图4所示：当O到AD的距离等于OQ时，则AF＝EF，∴12﹣4x＝5x，∴；③如图4，当O到CD的距离等于OQ时，则EF＝CE，即5x＝8﹣6x，∴x＝，∴BP＝9﹣4x＝；④当O到AB的距离等于OQ时，延长BA交⊙O于N，连接NF并延长交CD于S，连接AE，如图5所示：则AN＝EF＝5x，∴AE∥NS，∵AN∥CD，∴四边形ANSE是平行四边形，∴SE＝AN＝5x，∴DS＝DE﹣SE＝6x﹣5x＝x，∵AB∥CD，∴△ANF∽△DSF，∴＝，即＝，∴∴BP＝9﹣4x＝7；综上所述，BP的长为或或7．10．（1）证明：∵点A、点F关于直线BD对称，∴△ABD≌△FBD，∠A＝∠BFD，∵∠BFD＝∠BCA，∴∠A＝∠BCA，又∵∠ABC＝90°，∴∠BCA＝∠A＝45°；（2）解：由（1）得：∠ABD＝∠FBD＝∠DCF，∠BCA＝∠A＝45°，∴AB＝BC，∵∠BFC＝∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+∠ABD，∠BCD＝∠BCA+∠DCF＝45°+∠DCF，∴∠BFC＝∠BCD，∴BF＝BC＝AB＝6，分两种情况：①当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的BD边上G点时，连接GF，如图1所示：则∠FDC＝∠BDC，∵∠FDC＝∠FBC，∠BDC＝∠CFB，∴∠FBC＝∠CFB，∴FC＝BC，∴△BCF为等边三角形，∴∠BDC＝∠CFB＝60°，过B作BH⊥AC于H，在Rt△CBH中，∠BCH＝45°，∴CH＝BH＝BC＝3，在Rt△DBH中，∠BDC＝60°，∴∠DBH＝30°，∴DH＝BH＝，∴CD＝CH+DH＝3+；②当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的BF边上I点时，设BF与CD交于点M，连接DI，如图2所示：则DI＝DF，∵∠DFI＝∠BCA＝45°，∴△DFI是等腰直角三角形，∴△DMF、△BMC也是等腰直角三角形，∴DM＝FM，BM＝CM，∴CD＝BF＝AB＝6；综上所述，当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的边上时，CD的长为3+或6；（3）解：作BJ⊥CF交AC于J，连接FJ，作FL⊥DC于L，作DK⊥AB于K，如图3所示：∵BF＝BC，∴JF＝JC，∠BFC＝∠BCF，∴∠JFC＝∠JCF，∴∠BFJ＝∠BCJ＝45°，∴∠DFJ＝45°+45°＝90°，∵tan∠CDF＝＝，∴设FJ＝4a，则DF＝3a，由勾股定理得：DJ＝＝＝5a，∵JC＝JF＝4a，∴DC＝5a+4a＝9a，∵DF•FJ＝DJ•FL，∴FL＝＝＝a，∴S1＝×9a×a＝a2，∵点A、点F关于直线BD对称，∴AD＝DF，∠ABD＝∠FBD，∴DE＝DF，∴DE＝DF＝3a，∵∠KED＝∠EBD+∠EDB＝∠DCB＝45°，∴△DKE是等腰直角三角形，∴DK＝DE＝×3a＝a，∵DK⊥AB，∠ABC＝90°，∴DK∥BC，∴△ADK∽△ACB，∴＝＝＝，∴BC＝4KD＝4×a＝6a，∴AB＝BC＝6a，∵∠CDE+∠ABC＝180°，∠ABC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴∠ADE＝90°，∵∠A＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴BE＝DE＝×3a＝3a，∴BE＝AB﹣AE＝6a﹣3a＝3a，∴S2＝×3a×a＝a2，∴＝＝．11．（1）证明：如图1，连接AC，OA，∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝∠AEC＝30°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°，∴∠BAD＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°，∴∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝90°，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）解：如图1，连接AC，由（1）知，∠D＝30°，∠OAD＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠D＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC＝AC，∠OAC＝60°，∴∠CAD＝∠OAD﹣∠OAC＝30°＝∠D，∴AC＝CD＝3，∴OC＝3，即⊙O的半径为3；（3）EP+AP＝CP，理由：如图2，∵∠AEC＝30°，∴∠APC＝∠AEC＝30°，连接AC，延长PE至M，使EM＝AP，连接CM，∵AE⊥BC，BC为⊙O的直径，∴AC＝EC，∵四边形APEC是⊙O的内接四边形，∴∠CAP＝∠CEM，∴△ACP≌△ECM（SAS），∴CM＝CP，∠APC＝∠M＝30°，过点C作CN⊥PM于N，∴PM＝2MN，在Rt△CNM中，cos M＝，∴cos30°＝＝，∴MN＝CM，∴PM＝2MN＝CM＝CP，∵PM＝PE+EM＝PE+AP，∴PE+AP＝CP，即EP+AP＝CP．12．（1）证明：连接AO，如图1所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BCD＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ABC，∴AB∥DF，∵CF＝CA，∴CF＝AB，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC，∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∴OA⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：连接AO交BC于H，连接OB，如图2所示：∵OA⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝4，∵cos∠ABC＝＝，∴AB＝BH＝×4＝5，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AH＝＝＝3，设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，OH＝x﹣3，在Rt△BOH中，由勾股定理得：x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠ADC+∠DCE＝∠ABC+∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACE，∴AE＝AC＝AB＝5；（3）解：连接AO，并延长AO交⊙O于Q，连接NQ，过点A作AP⊥l2于P，如图3所示：则AQ是⊙O的直径，∴∠AMQ＝90°，∵AP⊥l2，∴∠APN＝90°，∴∠AMQ＝∠APN，∵∠AQM＝∠ANP，∴△AQM∽△ANP，∴＝，∴AM•AN＝AP•AQ，由（2）可知，点A到直线l1的距离为3，直线l1绕点A旋转得到l2，∴点A到直线l2的距离始终等于3，不会发生改变，∴AP＝3，∵AQ＝2OA＝2×＝，∴AM•AN＝AP•AQ＝3×＝25，∴l2在运动的过程中，AM•AN的值不发生变化，其值为25．13．（1）证明：连接OC．如图1所示：∵AB是⊙O的切线，∴∠OCA＝90°，∵C为线段AB的中点，∴OC垂直平分线段AB，∴OA＝OB，∴∠AOC＝∠BOC，∵∠CDF＝∠BOC，∠CDE＝∠AOC，∴∠CDF＝∠CDE；（2）解：①连接OC，过点O作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，如图2所示：∵ON⊥DF，OD＝OF，∴DN＝NF＝DF＝4，∵DE＝10，∴OD＝5，在Rt△OND中，由勾股定理得：ON＝＝＝3，∵OC＝OD，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠CDF＝∠CDE，∴∠CDF＝∠OCD，∴OC∥DF，∴∠OCM+∠CMN＝180°，∵∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°，∵∠ONM＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，∴DM＝DN+MN＝4+5＝9，在Rt△CMD中，由勾股定理得：CD＝＝＝3，故答案为：3；②如图3所示：∵四边形ODFC是菱形，∴OC＝CF，∵OC＝OF，∴△OCF是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵∠OCB＝90°，∴∠B＝30°，故答案为：30°．14．（1）证明：连接OA，∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝∠BOD，∴∠AOB＝2∠BOD，∵∠AOB＝∠AOD+∠BOD，∴2∠BOD＝∠AOD+∠BOD，∴∠BOD＝∠AOD，又∵OA＝OB，∴OD⊥AB；（2）证明：延长PO交BC于点K，连接OC，∵OH⊥AB，∴∠P+∠POH＝90°，∵∠POH＝∠ABC，∴∠P+∠ABC＝90°，∴∠PKB＝90°，∴PK⊥BC，∵OB＝OC，∴∠KOB＝∠COB，∵∠BAC＝∠COB，∴∠BAC＝∠KOB，∵∠KOB+∠POB＝180°，∴∠BAC+∠POB＝180°；（3）解：延长PO交BC于点K，连接OA，OC，AD，BD，∵∠ABC＝60°，∠PHO＝∠PKB＝90°，∴∠POH＝60°，∠P＝30°，∠HFB＝30°，∴BF＝2BH，∵OD⊥AB，∴AB＝2BH，∴BF＝AB，∵AE＝AB，∴BF＝AE，设AH＝BH＝a，则PB＝2a+6，KB＝PB＝a+3，∵OF＝，∴OK＝OF＝，∴FK＝OK＝2，∴FB＝a+5，∴a+5＝2a，∴a＝5，∴KB＝8，PH＝11，∵OH⊥AB，∴AD＝BD，∵∠EAD+∠CAD＝180°，∠DBC+∠CAD＝180°，∴∠DBC＝∠EAD，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠E＝∠DFB＝30°，∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，OA＝OC，∴∠CAO＝30°，∴∠CAO＝∠E，∴OA∥EG，∴∠OAH＝∠GDH，∵∠OKC＝90°，∴OC＝＝，∴OD＝，∴OH＝PH•tan P＝11×＝，∴HD＝OD﹣OH＝＝，∵sin∠OAH＝，∴sin∠GDH＝，∴DG＝．15．（1）证明：∵把△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∠ACB＝∠ECD＝90°，∵∠AFC＝∠BFE，∴∠BEF＝∠ACF＝90°，∴AE⊥BE，又∵∠ECD＝90°，∴ED为⊙O的直径，∴BE为⊙O的切线；（2）解：四边形BECO为平行四边形．理由如下：∵把△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCE，点A，D分别对应点B，E，∴DC＝EC，∠DCE＝90°，BE＝AD，∵OE＝OD，∴CO⊥ED，∴∠COE＝90°，∵∠BEO＝90°，∴∠COE＝∠BEO，∴BE∥OC，在Rt△AOC中，sin∠CAE＝，设OC＝x，则AC＝x，∴AO＝＝2x，∵OA＝OD+AD，OD＝OC，∴AD＝OC＝x，∴BE＝OC，∴四边形BECO是平行四边形；（3）解：过点O作OM⊥GH于点M，连接OG，则GH＝2MG，∵∠FCO+∠OCA＝∠OCA+∠CAE＝90°，∴∠FCO＝∠CAE，∴sin∠FCO＝sin∠CAE＝，∴sin∠FCO＝，∴FO＝，∴CO＝＝2，∵四边形BECO为平行四边形，∴OF＝BE＝，OB＝CE，∴OE＝2OF＝2，∴CE＝＝＝2，∴OB＝2，由（1）（2）知△ACB和△BEO都为等腰直角三角形，∴∠EBO＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝∠OBA，∵BE∥CO，∴∠EBF＝∠FCO，∴∠OBA＝∠FCO，∴sin∠OBM＝，∴，∴OM＝2，∵OG＝OC＝2，∴MG＝＝＝2，∴GH＝2MG＝4．16．解：（1）∵∠ABC＝∠DAB＝90°，∴AD∥BC，又∵⊙O与CD相切，∴OE＝OA，∠OED＝90°，在Rt△OAD和Rt△OED中，，∴Rt△OAD≌Rt△OED（HL），∴∠ADO＝∠EDO，∴∠ODC＝∠ADC，同理：∠OCD＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴∠ODC+∠OCD＝（∠ADC+∠BCD）＝90°，∴∠DOC＝90°，∴OD⊥OC；（2）∵AB＝4，∴OA＝OB＝2，在Rt△OBC中，tan∠BCO＝＝，∴BC＝2OB＝4，∵∠DOC＝∠DAB＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠ODA＝90°，∴∠BOC＝∠ODA，又∠ABC＝∠DAB，∴△OAD∽△CBO，∴，即，∴AD＝1，∵∠ABC＝∠DAB＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴AD，BC都与⊙O相切，又∵⊙O与CD相切，∴AD＝ED，BC＝EC，∴CD＝AD+BC＝5，如图1，过点D作DG⊥BC于点G，则四边形为ABGD为矩形，∴DG＝AB＝4，在Rt△CDG中，sin∠BCD＝＝；（3）如图2，连接BE，与OC交于点H，在Rt△OAD中，AD＝1，OA＝2，∴，在Rt△OBC中，OB＝2，BC＝4，∴，∵BC＝EC，∠OCB＝∠OCE，∴OC⊥BE，∵BE＝2BH，∴，∴，∴，∴，∵OC⊥BE，OD⊥OC，∴OD∥BE，∴△ODF∽△EBF，∴．17．（1）证明：连接OE，∵H是AB的中点，CD是直径，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝90°，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG，∵OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC，又∵∠CGH＝∠EGF，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝∠CGH+∠GCH＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：①∵EF∥BC，CD⊥AB，∴∠F＝∠CBH，∠BHC＝90°，在Rt△BCH中，BC＝5，sin B＝sin F＝，∴CH＝BC•sin B＝5＝3，由勾股定理得：HB＝＝＝4，连接OB，设半径为r，则在Rt△OHB中，由勾股定理得：OH2+BH2＝OB2，∴，解得：r＝，∴⊙O的半径为．②∵EF∥BC，∴∠M＝∠BCH，∴sin M＝sin∠BCH＝＝＝，在Rt△OEM中，OM＝＝，∴DM＝OM﹣OD＝＝．18．解：（1）如图1，过点M作MH⊥AB于H，则点M到AB的距离为MH，当点H在点O处时，MH最大，其最大值为OA＝AB＝1，故答案为：1；（2）①如图2，连接OM，∵点O的对应点为M，∴BC是OM的垂直平分线，∴BM＝OB，∵OM＝OB，∴OM＝OB＝BM，∴△BOM是等边三角形，∴∠OBM＝60°，∵AB为半圆O的直径，且AB＝2，∴BM＝2，∠AMB＝90°，在Rt△AMB中，根据勾股定理得，AM＝＝＝；②如图2，连接OC，CM，由①知，△OBM是等边三角形，∴OB＝BM，∠BOM＝60°，∴∠AOC+∠COM＝120°，由折叠知，，∴∠AOC＝∠COM＝60°，∴S扇形AOC＝S扇形COM，过点C作CG⊥AB于G，则∠OGC＝60°，∴∠OCG＝30°，∴OG＝OC＝，∴CG＝，∴S阴影部分＝S扇形AOC+S△BOC﹣S△BMC﹣S弓形＝S扇形AOC+S△BOC﹣S△COM﹣S弓形＝S扇形AOC+S△BOC﹣S扇形COM＝S△BOC＝OB•CG＝×1×＝；（3）如图3，∵线段BO'与半圆O仅有一个公共点，且点B在半圆O上，∴点O'在半圆O内或线段O'B都在半圆外，当点O'在半圆内时，∴BO'＜BM，当BO'＝BM时，即点O'与M重合，（满足（2）的条件）如图2，由（2）知，∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，当线段O'B在半圆O外部时，∠ABA'≥90°，∴∠ABC≥45°，∴45°≤∠ABC＜90°，即线段BO'与半圆O仅有一个公共点时，0°＜∠ABC＜30°或45°≤∠ABC＜90°．19．（1）证明：如图1，连接OC，∵AO＝CO，AD＝CD，OD＝OD，∴△ADO≌△CDO（SSS），∴∠AOD＝∠COD，∵OA＝OC，∴AE＝CE；（2）证明：由（1）得：∠ADO＝∠CDO，∵AD＝CD，∴OD⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，设BC＝a，则AC＝2a，AE＝AC＝a，∴AB＝＝＝a，∵AO＝OB，AE＝CE，∴OE∥BC，OE＝BC＝a，∴DE＝＝＝2a，∴OD＝OE+DE＝a+2a＝a，∴AD2＝（a）2＝5a2，OA2＝（a）2＝，OD2＝＝，∴OA2+AD2＝OD2，∴∠OAD＝90°，∴DA是⊙O的切线；（3）如图2，连接AF，过F作FM⊥EF交OD于M，∵AB＝AD，∠OAD＝90°，∴△ABD为等腰直角三角形，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，∠DAF＝45°，∵∠AED＝∠AFD＝90°，∴∠DAF＝∠DEF＝45°，∴AF＝DF，∴∠AFE＝∠DFM，∵∠EAF＝∠FDM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∵OA＝AB＝，由（2）知：OE＝a，AE＝a，∴AE＝DM＝1，DE＝2，∴EM＝DE﹣DM＝2﹣1＝1，∴EF＝．20．解：（1）连接AP、OP，如图4所示：∵⊙O的半径为2，∴OP＝2，∴OA﹣OP＝5﹣2＝3，∴P A≥OA﹣OP，∴P A≥3，∴当点P在OA上时，P A最短，最小值为3，故答案为：3；（2）连接OA，交半圆于P′，连接OP，如图1所示：∵AC＝BC＝2，BC为半圆的直径，∴OP＝OC＝BC＝1，∵∠ACB＝90°，∴OA＝＝＝，∵AP≥OA﹣OP，∴AP≥﹣1，∴当点P在OA上时，AP最短，最小值为﹣1，故答案为：﹣1；（3）点P到点C的最短距离为3﹣3，理由如下：取AB中点O，连接OP、OC、PC，如图2所示：∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，∴BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝6，∠ABM＝∠BCN＝90°，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠CBN+∠ABN＝90°，∴∠BAM+∠ABN＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上运动，∵OP＝OA＝OB＝AB＝3，OC＝＝＝3，又∵PC≥OC﹣OP，∴PC≥3﹣3，∴PC的最小值为3﹣3；（4）连接OA、OB，如图3所示：∵OA＝OB＝4＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝×60°＝30°，∵AM⊥AC，∴∠M＝60°，∴点M在以∠ADB＝120°的⊙D上，∵AB＝4，S△ABM最大，则点M到AB的距离最大，∴当AM＝BM时点M到AB的距离最大，∴△ABM是等边三角形，∴S△ABM＝AB×AB＝×4××4＝4，故答案为：4．。
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切线长定理综合运用(一)
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切线长定理综合运用（一）一．选择题1．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．42．如图，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（）A．B．C．2 D．33．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（）A．AB＞CE＞CD B．AB＝CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB＝CD＝CE4．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°5．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC＝2，DA＝3，则AB的长（）A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定6．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（）A．4 B．8 C．4D．87．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（）A．PA＝PB B．∠APO＝20°C．∠OBP＝70°D．∠AOP＝70°8．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．169．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若AB＝10，BC＝4，则AD的长（）A．4 B．5 C．6 D．710．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N．下列结论：①S四边形ABCD＝AB•CD；②AD＝AB；③AD＝ON；④AB为过O、C、D三点的圆的切线．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是．12．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是cm．13．如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝．14．如图，已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA＝10cm，那么△PEF周长是cm．若∠P＝35°，那么∠AOB＝，∠EOF＝．15．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，若△PDE的周长是10，则PA＝．三．解答题16．已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA＝12cm，求△PEF的周长．17．如图，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，分别过A、B作圆O的切线，两切线交于点P，若已知⊙O的半径为1，求△PAB的周长．18．如图，点B在⊙O外，以B点为圆心，OB长为半径画弧与⊙O相交于两点C，D，与直线OB相交A点．当AC＝5时，求AD的长．19．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．20．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．（1）若PA＝4，求△PED的周长；（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．参考答案一．选择题1．解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，∴PA＝PB，∵DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EB＝EC，∵△PDE的周长为12，即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12，∴PA＝6．故选：B．2．解：在直角△BCM中，tan60°＝＝，得到BC＝＝2，∵AB为圆O的直径，且AB⊥BC，∴BC为圆O的切线，又CD也为圆O的切线，∴CD＝BC＝2．故选：C．3．解：∵∠1＝60°，∠2＝65°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣65°＝55°，∴∠2＞∠1＞∠ABC，∴AB＞BC＞AC，∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，∴AC＝CD，BC＝CE，∴AB＞CE＞CD．故选：A．4．解：如图，连接OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切线，∴∠OBA＝∠OCA＝90°，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝130°，∵∠BOC＝2∠P，∴∠BPC＝65°；故选：C．5．解：如图，连接OC，OD，设⊙O的半径为r，∵BC、CD、DA与半⊙O相切，∴AD边上的高和AO边上的高都为r，∴AO＝AD，同理BO＝BC，∴AB＝AO+BO＝AD+BC＝2+3＝5．故选：B．6．解：∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，∴PA＝PB，又∠P＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝8．故选：B．7．解：∵PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，∠A＝∠B＝90°，∴∠OBP＝∠OAP，∴C是错误的．故选：C．8．解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH．∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9，∴C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7．故选：A．9．解：连接OC，OD，设⊙O的半径为r，∵BC、CD、DA与半⊙O相切，∴AD和AO的高为r，∴AO＝AD，同理BO＝BC，∴AB＝AO+BO＝AD+BC，又知AB＝10，BC＝4，故知AD＝6，故选：C．10．解：连接OD、AP，∵DA、DP、BC分别是圆的切线，切点分别是A、P、B，∴DA＝DP，CP＝CB，∠A＝90°＝∠B＝∠DPO，∴AD+BC＝DP+CP＝CD，∴S四边形ABCD＝（AD+BC）•AB＝AB•CD，∴①正确；∵AD＝DP＜OD，∵四边形ODPN是平行四边形，得到OD＝NP＜BP＜AB，则AD＜AB，∴②错误；∵AB是圆的直径，∴∠APB＝90°，∵DP＝AD，AO＝OP，∴D、O在AP的垂直平分线上，∴OD⊥AP，∵∠DPO＝∠APB＝90°，∴∠OPB＝∠DPA＝∠DOP，∵OM∥CD，∴∠POM＝∠DPO＝90°，在△DPO和△NOP中∠PON＝∠DPO，OP＝OP，∠DOP＝∠OPN，∴△DPO≌△NOP，∴ON＝DP＝AD，∴③正确；∵AP⊥OD，OA＝OP，∴∠AOD＝∠POD，同理∠BOC＝∠POC，∴∠DOC＝×180°＝90°，∴△CDO的外接圆的直径是CD，∵∠A＝∠B＝90°，取CD的中点Q，连接OQ，∵OA＝OB，∴AD∥OQ∥BC，∴∠AOQ＝90°，∴④正确．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．故答案为：72°．12．解：如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，设AB与圆相切于点E，可得OE⊥AB，∵一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，∴AB＝5cm，设BO＝4x，则AO＝3x，故（4x）2+（3x）2＝25，解得：x＝1，则AO＝3，BO＝4，故EO•AB＝AO•BO，解得：EO＝．故答案为：．13．解：∵PA＝6，⊙O的半径为2，∴PB＝PA﹣AB＝6﹣4＝2，∴OP＝4，∵PC、PD切⊙O于点C、D．∴∠OPC＝∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin∠OPC＝＝，∴∠OPC＝30°，∴∠CPD＝60°，故答案为：60°．14．解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D．∴AE＝ED，DF＝FR∴△PEF周长是PE+PF+EF＝PE+EA+PF+FR＝PA+PR＝2PA＝20cm；∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B∴∠PAO＝∠PRO＝90°∴∠AOB＝360°＝90°﹣90°﹣35°＝145°；∴∠EOF＝∠AOB＝72.5°故答案是：20，145°，72.5°．15．解：∵DA，DC都是圆O的切线，∴DC＝DA，同理EC＝EB，PA＝PB，∴△PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝10，∴PA＝5；故答案为5．三．解答题（共5小题）16．解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∴PA＝PB＝12，∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，∴EB＝EQ，FQ＝FA，∴△PEF的周长是：PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF，＝PE+EB+PF+FA＝PB+PA＝12+12＝24，答：△PEF的周长是24．17．解：∵PA，PB是圆O的切线．∴PA＝PB，∠PAB＝60°∴△PAB是等边三角形．在直角△ABC中，AB＝AC•sin60°＝2×＝∴△PAB的周长为PA+PB+AB＝3．18．解：连接OC、OD．∵OA是⊙B的直径，∴∠OCA＝∠ODA＝90°，∴AC、AD都是⊙O的切线．∴AD＝AC＝5．19．解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC﹣AD＝6，∴DC2＝62+82＝100，即DC＝10．（1分）设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，∴x+（x+6）＝10．∴x＝2．∴AD＝2，BC＝2+6＝8．（4分）方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE，设AD＝x，则BC＝x+6，由射影定理可得：OE2＝DE•EC．（2分）即：x（x+6）＝16，解得x1＝2，x2＝﹣8，（舍去）∴AD＝2，BC＝2+6＝8．（4分）（2）存在符合条件的P点．设AP＝y，则BP＝8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，∴y＝；（6分）②△ADP∽△BPC时，∴y＝4．（7分）故存在符合条件的点P，此时AP＝或4．（8分）20．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，∴DC＝DA，同理EC＝EB，∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B∴PA＝PB，∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，即三角形PDE的周长是8；（2）连接AB，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠P＝40°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，∵BF⊥PB，BF为圆直径∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．。
【2021中考数学】圆解答题含答案
2021中考数学复习专题【圆】解答题专项巩固训练1．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O 交射线AP于E、F两点．（1）求圆心O到AP的距离；（2）求弦EF的长．2．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA＝BC，∠C＝24°，求∠A的度数．3．在⊙O中，半径OD⊥AB，垂足为点P，点C为圆上任意一点，若∠O＝60°，DP＝2，求∠C 的度数和半径OB的长．4．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°．求OD的长和∠OCB度数．5．如图，某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽40米，拱高10米，今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度．6．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．7．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，过D作DE⊥CA，垂足为E，且DE与⊙O相切，DO的延长线与BC交于点F．（1）求证：四边形CEDF是矩形；（2）若AC＝OA＝2，求弦长BC与所围成的图形（阴影部分）的面积．8．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．9．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．（1）求证：AD＝AE；（2）若AB＝8，AD＝6，求EB的长．参考答案1．解：（1）过O点作OH⊥EF于H，如图，∵DB＝10，∴OD＝5，∴OA＝AD+OD＝3+5＝8，在Rt△OAH中，∵∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝4，即圆心O到AP的距离为4cm；（2）连接OF，如图，∵OH⊥EF，∴EH＝FH，在Rt△OHF中，HF＝＝＝3，∴EF＝2HF＝6（cm）．2．解：如图，连接OB，∵OB＝OA，OA＝BC，∴∠ABO＝∠A，OB＝BC，∴∠BOC＝∠C＝24°，∴∠ABO＝48°，∴∠A＝48°．3．解：连接OA，∵OD⊥AB，∴＝，∵∠BOD＝60°∴∠AOD＝∠BOD，∴∠C＝∠BOD＝30°；∵OD⊥AB，DP＝2，∴AC＝CB，设半径为R，在Rt△OAC中，R﹣2＝R，∴R＝4．∴⊙O的半径为4．4．解：∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣120°）＝30°，∵OD⊥弦BC，∴∠BDO＝90°，∴OD＝OB＝1．5．解：如图，设桥拱所在的圆心为O，正常水位时的水面为AB，上涨后的水面为CD，过O作OE⊥CD于E，交AB于F．连接OA、OD，则OF⊥AB，∴AF＝BF＝AB＝20（米），CE＝DE，设OA＝r米，则OF＝（r﹣10）米，在Rt△AOF中，根据勾股定理得r2＝202+（r﹣10）2，解得：r＝25，则OF＝15米，在Rt△OED中，OE＝OF+EF＝15+5＝20（米），∴DE＝＝＝15（米），∴CD＝2DE＝30（米），即水位到达警戒水位时水面宽30米．6．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝，∴AC＝BD；（2）∵＝，∴∠ADC＝∠DAB，∴EA＝ED，∵AB＝CD，即AE+BE＝CE+DE，∴CE＝BE．7．（1）证明：∵DE与⊙O相切，∴OD⊥DE，∴∠FDE＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACF＝90°，∵DE⊥CA，∴∠E＝90°，∴四边形CEDF是矩形．（2）解：连接OC，∵AC＝OA＝OC＝2，∴△OAC为等边三角形，∴∠COA＝∠ACO＝60°，∴∠COB＝120°，∵∠ACB＝90°，∴∠OCF＝30°，∵四边形CEDF为矩形，∴∠OFC＝90°，Rt△OCF中，OC＝2，∠OCF＝30°，∴OF＝1，CF＝，∴BC＝2，∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝×1＝．8．解：（1）直线DE与⊙O相切，连结OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）过O作OG⊥AF于G，∴AF＝2AG，∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝OA＝1，∴AF＝2，∴AF＝OD，∴四边形AODF是菱形，∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝60°，∴EF＝DF＝1．9．（1）证明：连接OF，如图1所示：∵CD⊥AB，∴∠DBC+∠C＝90°，∵OB＝OF，∴∠DBC＝∠OFB，∵EF＝EC，∴∠C＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，∴OF⊥EF，∵OF为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接AF，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵D是OA的中点，∴OD＝DA＝OA＝AB＝×4＝1，∴BD＝3OD＝3，∵CD⊥AB，CD＝AB＝4，∴∠CDB＝90°，由勾股定理得：BC＝＝＝5，∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，∴△FBA∽△DBC，∴＝，∴BF＝＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣＝．10．解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∵AB为直径，∴∠C＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵AE为⊙O切线，∴AE⊥AB，∴∠E+∠1＝90°，∴∠E＝∠3，而∠4＝∠3，∴∠E＝∠4，∴AE＝AD；（2）在Rt△ABE中，AB＝8，AE＝AD＝6，根据勾股定理，得EB＝＝10．。
2021年中考数学高频考点：《圆的综合》解答题专题练习(二)含答案
2021年中考数学复习高频考点精准练：《圆的综合》解答题专题练习（二）1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan A＝，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图，当MC＝AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．2．如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，点C为半圆弧的中点，连AC交PO于E 点．（1）求证：PB＝PE；（2）若tan∠CPO＝，求sin∠PAC的值．3．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cos C＝（如图）．M是边BC 上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．（1）设CE＝，求证：四边形AMCD是平行四边形；（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．4．已知如图，⊙O的直径BC＝4，＝＝，点P是射线BD上的一个动点．（1）如图1，求BD的长；（2）如图1，若PB＝8，连接PC，求证PC为⊙O的切线；（3）如图2，连接AP，点P在运动过程中，求AP+PB的最小值．5．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB＝PA，射线PO交⊙O于C、D两点．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AC平分∠PAB；（3）若⊙O的直径是6，AB＝2，则点D与△PAB的内切圆上各点之间距离的最大值为．6．国庆假期，小明做数学题时遇到了如下问题：如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，直线l经过点A，∠ABD ＝∠DAE＝30°．试说明直线l与⊙O相切．小明添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．（1）请你根据小明的思考，写出解决这一问题的过程；（2）图2中，若AD＝，AB＝4，求DC的长．7．如图，直线l1⊥l2，O为垂足，以O圆心，的半径作圆，交l1于点M，N，交l2于点P，Q．在⊙O上任取一点A，作△ABC，使∠A＝90°，∠ACB＝30°，顶点A，B，C按顺时针方向分布，点C落在射线ON上，且不在⊙O内．若△ABC的某一边所在直线与⊙O相切，我们称该边为⊙O的“相伴切边”．（1）如图1，CA为⊙O的“相伴切边”，CA平分∠OCB，求OC的长；（2）是否存在△ABC三边中两边都是⊙O的“相伴切边”的情形？若存在，请求出AC的长；若不存在，请说明理由．8．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AC平分∠DAB，AC 与BD相交于点F，延长AC到点E，使CE＝CF．（1）求证：BE是半圆O所在圆的切线；（2）若BC＝AD＝6，求⊙O的半径．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB＝CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半径．10．如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．（1）判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求点O到弦BD的距离．（3）求CD的长．11．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连接OA，此时有OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若，求弦AB的长；12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE ⊥AB于点E，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，连接DG．求证：（1）BG＝CG；（2）DG是⊙O的切线．13．如图，直线AF与⊙O相切于点A，弦BC∥AF，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接CE并延长，交AF于点D．（1）求证：CE∥OA；（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求DE的长．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于E，过点B作∠CBD ＝∠A，过点C作CD⊥BD于D．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝2，BC＝2，求⊙O的直径．15．如图，AB是⊙O的直径．四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC与BD交于点E，在BD的延长线上取一点F，使DF＝DE，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线．（2）若AD＝5，AC＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：在Rt△ABC中，tan A＝，AC＝5，设∠A＝α，则BC＝3，AB＝4＝BM，sin A＝＝sinα，cos A＝＝cosα，（1）如图1，∵MC＝MA＝5，过点M作MN⊥CD于点N，∵MC＝MD，则CN＝CD，在Rt△AMN中，MN＝AM sin A＝（4+4）×＝，则CD＝2CN＝2＝2＝；（2）如图1，设CD＝2m，则CM2＝BC2+MB2＝9+x2，则MN2＝CM2﹣m2＝x2+9﹣m2，在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，即（5+m）2+9+x2﹣m2＝（4+x）2，解得m＝（4x﹣9），则MN＝＝（x+4）；则S＝CD•MN+×AM•BC＝（8x2+39x﹣72）；∵m＝（4x﹣9）＞0，∴x＞；（3）如图2，过点M作MN⊥CD于点N，过点P作PD⊥CM于点P，设圆的半径为r，∵△ECD与△EMC相似，则∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝α，在Rt△DPM中，DP＝DM sin∠EMC＝r sinα＝r，MP＝r cosα＝r，则CP＝r﹣MP＝r﹣r＝r，CD＝＝r＝2CN，∴MN＝＝r，∵tan A＝＝，解得r＝3，则BM＝＝＝6．2．（1）证明：连接OA，OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵点C为半圆弧的中点，∴∠COE＝90°，∴∠OCA+∠OEC＝90°，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO＝90°，∴∠OAC+∠PAE＝90°，∴∠PAE＝∠OEC，∵∠OEC＝∠AEP，∴∠PAE＝∠AEP，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PA＝PE＝PB；（2）解：∵tan∠CPO＝＝，设OC＝3k，OP＝5k，∴OA＝OC＝3k，∴PA＝PE＝4k，过A作AH⊥PO于H，∴OP•AH＝PA•OA，∴AH＝＝k，∴OH＝＝k，∵∠AHE＝∠COE＝90°，∠AEH＝∠CEO，∴△AHE∽△COE，∴，∴OE＝k，∴CE＝＝k，∴sin∠PAC＝sin∠CEO＝＝＝．3．（1）证明：如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG＝CG＝，在Rt△CGM中，CM＝＝＝3，∴AD＝CM，∵AD∥CM，∴四边形AMCD是平行四边形．（2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T．∵ME＝MC，MT⊥EC，∴CT＝ET，∴cos C＝＝，设EC＝6k，则CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，在Rt△CEH中，EH＝CE＝k，CH＝EC＝k，∴MH＝CM﹣CH＝k，∴tan∠EMH＝，∵∠FMB＝∠EMC，∴tan∠FMB＝＝＝，∴BM＝，∴CM＝BC﹣BM＝＝5k，∴CE＝6k＝．（3）如图3﹣1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形ABPD是矩形．∴AD＝BP＝3，在Rt△CDP中，cos C＝＝，∵CD＝5，∴PC＝3，AB＝PD＝4，∴BC＝3+3＝6，设CM＝AM＝x，在Rt△ABM中，则有x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，∴⊙M的半径为．如图3﹣2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于N．设CM＝ME＝MP＝x，则DN＝x﹣3，∵DM2＝MN2+DN2＝MP2﹣DP2，∴42+（x﹣3）2＝x2﹣32，∴x＝，综上所述，满足条件的⊙M的半径为或．4．解：（1）∵BC是直径，＝＝，则、、均为60°的弧，则∠DBC＝30°，连接OA交BD于点H，∵BC＝4，则BO＝CO＝2，在Rt△BOH中，BH＝BO cos∠DBC＝2×＝3，则BD＝2BH＝6；（2）在Rt△BCD中，BC＝4，∠DBC＝30°，则CD＝CB＝2，PD＝PB﹣BD＝8﹣6＝2，在Rt△CDP中，PC2＝CD2+PD2＝4+（2）2＝16，在△BCP中，BC2＝（4）2＝48，BP2＝64，则PB2＝CB2+PC2，故△BPC为直角三角形，故PC⊥CB，故PC为⊙O的切线；（3）过点A作AH⊥BC交BD于点P，在Rt△PBH中，∠DBC＝30°，则PH＝PB，即AP+PB＝AP+PH＝AH为最小，∵、均为60°的弧，则∠ABO＝60°，而AO＝BO，故△ABO为边长为2的等边三角形，则AH＝AB sin60°＝2×＝3，即AP+PB的最小值为3．5．（1）证明：如图1中，连接OA，OB．∵PA是切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°，在△PAO和△PBO中，，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）证明：如图1中，设∠PAC＝α．∵∠PAO＝90°，∴∠OAC＝90°﹣α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝90°﹣α，∵PA＝PB，OA＝OB，∴PO垂直平分线段AB，∴∠CAB＝90°∠ACO＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠PAC＝∠CAB，∴AC平分∠PAB．（3）解：如图2中，设AB交OP于点M．∵PA，PB是⊙O的切线，∴OP平分∠APB，∵AC平分∠PAB，∴点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆⊙C交PC于H，∵⊙O的直径为6，∴OA＝3，∵OP垂直平分线AB，AB＝2，∴AM＝BM＝，∴OM＝＝＝2，∵OC＝3，∴CH＝CM＝3﹣2＝1，∵点D到⊙C上各点的最大距离为DH，∴最大距离DH＝CD+CH＝6+1＝7．故答案为7．6．（1）证明：过A作直径AF，连接DF，如图2所示：∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠FAD＝90°，∵∠ABD＝∠AFD，∠ABD＝∠DAE，∴∠AFD＝∠DAE，∴∠DAE+∠DAF＝90°，即∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，∵点A是半径OA的外端，∴直线l与⊙O相切；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G，∴∠AGB＝∠AGD＝90°，∵∠ABD＝30°，∴∠AFD＝30°，∴直径AF＝2AD＝＝BC，∵∠ABD＝30°，AB＝4，∴AG＝＝2，BG＝AG＝2，∴DG＝＝＝，∴BD＝BG+DG＝，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴．7．解：（1）如图1，连接OA，则OA＝，∵CA为⊙O的“相伴切边”，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°，∵∠ACB＝30°，CA平分∠OCB，∴∠OCA＝∠ACB＝30°，则在Rt△AOC中，OC＝2OA＝2；（2）存在．由题意可分三种情况，①当边AB，BC都是⊙O的“相伴切边”时，即OA⊥AB，∵∠BAC＝90°，即AC⊥AB，∴O，A，C三点共线，又∵点C落在射线ON上，且不在⊙O内，∴点A只能在点M或点N处，如图2，当点A在点N处时，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，∵∠ACB＝30°，∴OC＝2OD＝2，∴AC＝OC﹣AO＝，当点A在点M处时，如图3，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，∵∠ACB＝30°，∴OC＝2OD＝2，∴AC＝OC+AO＝3，②当边AC，BC都是⊙O的“相伴切边”时，则OA⊥AC，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＝180°，即O，A，B三点共线，如图4，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，设AB＝x，则BC＝2x，AC＝＝x，∴OB＝OA+AB＝+x，∵∠BAC＝∠BDO＝90°，∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBO，∴，即，解得，x＝2﹣或x＝0（舍去），经检验，x＝2﹣是所列方程的解．∴AC＝x＝2﹣3．③当边AC，AB都是⊙O的“相伴切边”时，∵AC是⊙O的“相伴切边”，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＝180°，即O，A，B三点共线，∴AB不可能是⊙O的“相伴切边”，则AC，AB不能同时是⊙O的“相伴切边”；综上可得，AC的长是或3或2﹣3．8．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CE＝CF，∴BE＝BF，∴∠E＝∠BFE，∵AC平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵∠DAF+∠AFD＝90°，∴∠BAF+∠E＝90°，∴BE是半圆O所在圆的切线；（2）解：∵∠DAF＝∠BAF，∴＝，∵BC＝AD，∴＝，∴＝＝，∴∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝12，∴⊙O的半径为6．9．（1）证明：如图，连接OE，DE，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠CEB＝90°，∵CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，∴∠A＝∠DEC，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵∠A+∠ADE＝90°，∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AB＝4，BC＝CE，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，∴AC2+BC2＝AB2，∴（2r+2）2+BC2＝（4）2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+BC2＝（r+2）2，∴BC2＝（r+2）2﹣r2，∴（2r+2）2+（r+2）2﹣r2＝（4）2，解得r＝3，或r＝﹣6（舍去）．∴⊙O的半径为3．10．解：（1）△ABD是等腰直角三角形，理由如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）过O作OE⊥DB于E，如图所示：则∠OEB＝90°，∵AB＝10cm，∴OB＝AB＝5（cm），由（1）得：△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝（cm），即点O到弦BD的距离为cm；（3）过B作BF⊥CD于F，如图所示：则∠BFC＝∠BFD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝8（cm），∵∠BCD＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴CF＝BF＝BC＝4（cm），由（1）得：△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝5（cm），∴DF＝＝＝3，∴CD＝CF+DF＝4+3＝7（cm）．11．（1）证明：∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO，∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴PA＝OA；（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH＝BH，在Rt△OPH中，tan∠OPH＝＝，设OH＝x，则PH＝2x，由（1）可知PA＝OA＝10，∴AH＝PH﹣PA＝2x﹣10，∵AH2+OH2＝OA2，∴（2x﹣10）2+x2＝102解得x1＝0（不合题意，舍去），x2＝8，∴AH＝6，∴AB＝2AH＝12．12．证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠ABC＝90°，∴DE∥BC，∴△AEF∽△ABG，△ADF∽△ACG，∴，＝，∴，∵F为DE中点，∴EF＝DF，∴BG＝CG；（2）连接OD，BD，OG，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BD，∵AO＝BO，BG＝CG，∴OG∥AC，∴OG⊥BD，∴BF＝DF，∴DG＝BG，在△ODG与△OBG中，，∴△ODG≌△OBG（SSS），∴∠ODG＝∠OBG＝90°，∴DG是⊙O的切线．13．（1）证明：∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE＝90°，∵BC∥AF，∴∠CDF＝∠ACE＝90°，∵AF与⊙O相切于点A，∴∠OAF＝90°，∴∠OAF＝∠CDF，∴CE∥OA；（2）解：如图，作OH⊥CE于点H，由垂径定理知：CH＝EH，∵OB＝OE，∴OH是△ECB的中位线，∴OH＝BC＝24＝12，在Rt△OEH中，根据勾股定理，得EH＝＝＝5，∵OH⊥CE，∴∠OHD＝90°，由（1）知：∠CDA＝∠OAD＝90°，∴四边形OADH是矩形，∴DH＝OA＝13，∴DE＝DH﹣EH＝13﹣5＝8．14．解：（1）如图，连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠BAE＝BAC，∵∠CBD＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CBD，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD是⊙O的切线；（2）由（1）知：△ABC是等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝，∵CD⊥BD，∴∠CDB＝∠AEB＝90°，∵∠CBD＝∠BAE，∴△CBD∽△BAE，∴＝，∴＝，∴AB＝3．∴⊙O的直径为3．15．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥EF，∠BAD+∠ABD＝90°，又∵DF＝DE，∴AF＝AE，∴∠FAD＝∠EAD．∴∠FAD＝∠EAD＝∠ACD＝∠ABD，∴∠FAB＝∠FAD+∠BAD＝∠BAD+∠ABD＝90°，∴AF是⊙O的切线．（2）如图，连接OD交AC于M，∵AD＝CD，∴，∴OD⊥AC，AM＝CM＝AC＝4，∴AD＝CD＝5，在Rt△DMC中，DM＝＝3．设⊙O的半径为x，则OM＝x﹣3，∵OM2+AM2＝OA2，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x＝．⊙O的半径即OA＝．。
2021年 中考数学 专题训练：与圆有关的性质(含答案)
2021 中考数学专题训练：与圆有关的性质一、选择题1. 如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A．50°B．55°C．60°D．65°2. 已知⊙O的半径为5 cm，P是⊙O内一点，则OP的长可能是()A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm3. 下列语句中不正确的有()①过圆上一点可以作圆中最长的弦无数条；②长度相等的弧是等弧；③圆上的点到圆心的距离都相等；④在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长．A．1个B．2个C．3个D．4个4. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，=.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于()A.55°B.60°C.65°D.70°5. 2019·赤峰如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°6. (2019•广元)如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．5B ．4C ．13D ．4.87. 下列说法：①矩形的四个顶点在同一个圆上；②菱形的四个顶点在同一个圆上；③平行四边形的四个顶点在同一个圆上．其中正确的有( )链接听P37例3归纳总结 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°9. (2019•镇江)如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒10. 2019·天水如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°二、填空题11.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.12. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE，若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为.︵13. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是BAC 上一点，则∠D＝________．14. 如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB.若AB＝10，CD＝8，则圆心O到弦CD 的距离为________．15. 如图所示，OB ，OC 是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.16. (2019•娄底)如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．17. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.18. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________°.三、解答题19.如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥B C.20.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．21. (2019•辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，∠=∠．AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若23==，求阴影部分的面积．CE AE2021 中考数学专题训练：与圆有关的性质-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】B[解析] ①②不正确．4. 【答案】A[解析]连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°.∵=，∴∠CAB=∠DAB=35°.∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A .5. 【答案】D6. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．7. 【答案】B[解析] 矩形的两条对角线的交点到矩形的四个顶点的距离相等，故它的四个顶点在以对角线的交点为圆心、对角线长的一半为半径的圆上．8. 【答案】B9. 【答案】A【解析】如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°–∠C=70°， ∵DC CB =，∴∠CAB=12∠DAB=35°， ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°–∠CAB=55°，故选A ．10. 【答案】C二、填空题11.【答案】50°【解析】∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAT ＝90°，在Rt △BAT 中，∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50°.12. 【答案】52°[解析]∵圆内接四边形对角互补，∴∠B +∠D=180°，∵∠B=64°，∴∠D=116°.∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠D=∠AEC=116°. ∵∠AEC=∠B +∠BAE ，∴∠BAE=52°.13. 【答案】40°【解析】AC 是⊙O 的直径⇒∠ABC ＝90°⇒⎭⎪⎬⎪⎫ ∠A ＝90°－50°＝40°∠A 和∠D 都是BC ︵所对的圆周角 ⇒∠D ＝∠A ＝40°. 14. 【答案】315. 【答案】50 [解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.16. 【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1．17. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.18. 【答案】58[解析] 方法一：如图①，连接OB.∵在△OAB 中，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.又∵∠OAB ＝32°，∴∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝180°－2×32°＝116°.又∵∠C ＝12∠AOB(一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半)， ∴∠C ＝58°.方法二：如图②，过点A作直径AD，连接BD，则∠ABD＝90°，∴∠C＝∠D ＝90°－32°＝58°(同弧所对的圆周角相等)．三、解答题19. 【答案】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵MP为⊙O的切线，∴∠PMO＝90°，∵MP∥AC，∴∠P＝∠CAB，∴∠MOP＝∠B,故MO∥BC.20. 【答案】(1)证明：如解图，连接DO，∴∠BOD＝2∠BCD＝∠A，(2分)解图又∵∠DEA＝∠CBA，∴∠DEA＋∠DOE＝∠CAB＋∠CBA，又∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，(5分)∴OD⊥DE，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．(7分)(2)解：如解图，连接BD，可得△FBD ∽△DBO ， ∴BD BO ＝DF OD ＝BF BD ，(8分)∴BD ＝DF ＝10，∴OB ＝5，(10分)即⊙O 的半径为5.21. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒， ∵OA OE =，∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠， ∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵CE AE == ∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠， ∴2AEO EAC ∠=∠， ∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠， ∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒， ∴OAE △是等边三角形， ∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴260π2π360=AOE S ⋅⨯=扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π。