第四章 频率分析法0809000101
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自动控制理论教学课件-四频率分析法 67页PPT文档
09.09.2019
第四讲 控制系统频域法分析
4
频率特性的概念
输入：正弦交流电压 uUsi nt
输出：电流 i
对于稳态线性电路，输出量和输入量之间有以下关系：同频、 变幅、移相：
U U j te
I
U ej( t )
R 2 (L )2
arc L tan R
用频域法来分析控制系统的性能，不必求解系统的 微分方程，而是作出系统频率特性的图形，然后通 过频域和时域之间的关系来分析系统的性能。
频率特性不仅可以反映系统的性能，而且还可以反 映系统的参数和结构与系统性能的关系。因此，通 过研究系统的频率特性，可以了解如何改变系统的 参数和结构来改善系统的性能。
r
1 T
1 2 2
(0 0.707)
谐振峰值Mr：M rA ()ma x 21 12
(00.70 ) 7
09.09.2019
第四讲 控制系统频域法分析
27
谐振环节 的Mr与的曲线
09.09.2019
第四讲 控制系统频域法分析
28
A ()
1
1
( 1 2 T 2 )2 ( 2T )2 1 4 T 4 2 T 2 ( 42 2 )
比例环节的传递函数及频率特性为：
G(s)K
G(j)K
A()K L()20lgK
()0
比例环节的对数幅频特性为一水平线。K>1，在0dB线以 上； K<1，在0dB线以下。
相频特性与横坐标轴重合。
09.09.2019
第四讲 控制系统频域法分析
16
积分环节的频率特性
第四章 频率分析法
与引例4-1类似， A()和()的物理意义在于： 稳态输出的幅值是输入的A()倍，而与输入的相位 差为()，即此时系统的稳态输出为
lim c(t ) G ( j ) sin(t ( ))
t
需要指出的是，对于物理上可实现的系统，其 传递函数的分母多项式阶次n总是大于或等于分子 多项式的阶次m，即nm。 因此，不可能出现当 →∞时系统输出的幅值也趋于无穷大的情况。 G(j)的幅频、相频特性和实频、虚频特性之 间具有下列关系：
上式写成幅值和幅角表达式为
U 1 1 1 o U i 1 jT 1 jT 1 jT 1 1 T
2 2
arctan ω
则RC网络的幅频特性为
A( )
相频特性为
1 1 T
2 2
( ) [ arctanT ]
可以证明，从RC网络得到的这一重 要结论，对于任何稳定的线性定常系统 都是正确的。设系统的传递函数为
同理，幅频特性A()是的偶函数，而相 频特性()则是的奇函数。
G(j)的极坐标图绘制时需要取的增量逐 点作出，因此不便于手工作图。一般情况下， 根据作图原理，可以粗略地绘制出极坐标图的 草图。
G(j)的极坐标图通常用于频域稳定性分析中。
2、对数坐标图
通常也称为波德(Bode)图、对数频率特性图。 它具有方便实用的特点，因而被广泛地应用于控 制系统的分析和设计中。 波德图是根据频率特性的矢量表达式
P( ) A( ) cos ( ) Q( ) A( ) sin ( )
A( ) P 2 ( ) Q 2 ( ) Q ( ) ( ) arct an P ( )
4-1-2 频率特性的定义
从直观上看，可以把频率特性定义为 系统的稳态正弦输出信号的复数符号与输 入正弦信号的复数符号之比，即
频率分析法
i =1
n
表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在BODE图 表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在BODE图 BODE 上可由环节特性叠加而得到。 上可由环节特性叠加而得到。 同样， 同样，相频特性也具有这个特点
) ) ∠G( jω) = ∑∠( jτ iω +1 + + ∑∠( jTiω +1 −
Y ( jω ) ∠ = ∠ G ( jω ) X ( jω )
为此，定义对象的频率特性（正弦传递函数）如下： 为此，定义对象的频率特性（正弦传递函数）如下：
Y ( jω) = G( jω) X( jω)
线性定常系统的频率特性， ω取代其传递函数中s即 线性定常系统的频率特性，用jω取代其传递函数中 即得。 它是一个复变量，其幅值与幅角是频率的函数。 它是一个复变量，其幅值与幅角是频率的函数。 幅角为正称相位超前，幅角为负称相位滞后。 幅角为正称相位超前，幅角为负称相位滞后。
纸张张力控制系统
I = Ie jψi
正弦输入信号下系统的稳态输出
40
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。 设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变，而频率变化的正弦信号， 给系统输入一个幅值不变，而频率变化的正弦信号，响应如下
结论： 结论：
Ar=1 ω=0.5
线性定常系统是稳定的情况下，系统的正弦响应在 线性定常系统是稳定的情况下， 稳定的情况下 稳态时，输出与输入是同频率 而幅值和相角皆随 同频率， 稳态时，输出与输入是同频率，而幅值和相角皆随 ω而变的正弦。 而 的正弦。
Ae
即
jω t
jω
ωe j (π / 2)
A ωe
j ( ωt + π / 2 )
n
表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在BODE图 表示系统可分解成个各环节，系统的幅频特性在BODE图 BODE 上可由环节特性叠加而得到。 上可由环节特性叠加而得到。 同样， 同样，相频特性也具有这个特点
) ) ∠G( jω) = ∑∠( jτ iω +1 + + ∑∠( jTiω +1 −
Y ( jω ) ∠ = ∠ G ( jω ) X ( jω )
为此，定义对象的频率特性（正弦传递函数）如下： 为此，定义对象的频率特性（正弦传递函数）如下：
Y ( jω) = G( jω) X( jω)
线性定常系统的频率特性， ω取代其传递函数中s即 线性定常系统的频率特性，用jω取代其传递函数中 即得。 它是一个复变量，其幅值与幅角是频率的函数。 它是一个复变量，其幅值与幅角是频率的函数。 幅角为正称相位超前，幅角为负称相位滞后。 幅角为正称相位超前，幅角为负称相位滞后。
纸张张力控制系统
I = Ie jψi
正弦输入信号下系统的稳态输出
40
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。 设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变，而频率变化的正弦信号， 给系统输入一个幅值不变，而频率变化的正弦信号，响应如下
结论： 结论：
Ar=1 ω=0.5
线性定常系统是稳定的情况下，系统的正弦响应在 线性定常系统是稳定的情况下， 稳定的情况下 稳态时，输出与输入是同频率 而幅值和相角皆随 同频率， 稳态时，输出与输入是同频率，而幅值和相角皆随 ω而变的正弦。 而 的正弦。
Ae
即
jω t
jω
ωe j (π / 2)
A ωe
j ( ωt + π / 2 )
（频率分析法）
8. Frequency Response Methods(频率分析法)本章主要知识点、重点：1、频率特性的概念(The Concept of Frequency Response)：幅频特性(Magnitude)，相频特性(Phase)；2、系统开环频率特性的绘制：极坐标图（polar plot ）or 奈氏曲线（Nyquist ），伯德图（Bode Diagram ），对数幅频特性(Log Magnitude Diagram)，对数相频特性(Log Phase Diagram);3、系统闭环频率特性与性能指标的关系（Performance Specifications In The Frequency Domain ）：谐振频率（r ω）、谐振峰值（p M ω）、带宽（B ω）时域法：列写微分方程，拉氏变换，拉氏反变换，得y(t); 性能指标：Tr ， Tp ， Ts ， P.O% 频率（域）法(1)克服系统分析上的困难；(2) 便于研究系统结构、参数变化对系统性能的影响； (3)频率法特性可通过实验获得； (4)图解法直观。
频率响应法的基本思想，是把控制系统中的各个变量看成是一些信号，而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的；各个变量的运动就是系统对各个频率的信号的响应的总合。
起源于通讯科学---音频、视频等是由不同频率正弦信号合成的，并以此观点进行处理和传递。
20世纪30年代引入控制科学，对控制理论发展起了强大推动作用，克服了直接用微分方程的种种困难，解决了许多理论和工程问题，迅速形成了分析和综合控制系统的一整套方法，是控制理论中极为重要的内容。
按频率响应的观点：一个控制系统的运动，无非是信号在一个一个环节之间依次传递，每个信号又是不同频率的正弦信号合成的，这些不同频率的正弦信号的振幅和相角在传递过程中，依一定的函数关系变化，就产生形式多样的运动。
近年来，还发展到可以应用于多输入多数出系统的多变量频域理论。
第四章 频率分析法
2
(1 + T2 )
2 2
A ( )
1 + T2
2
( ) arctan T1 9 0 arctan T 2
24
第四章 系统的频域特性分析
Nyquist草图绘制小结
1、保持准确曲线的重要特征：如起点、终点、与实轴、虚 轴的交点 2、在重要点附近有足够的准确性。
，求系统的频率特性
4）频率特性可用实验方法求取。
9
第四章 系统的频域特性分析
4.2 频率特性的图示方法
一、频率特性极坐标图（又称Nyquist图）
当频率从∞变到+∞时，向量G(j)的幅值和相位也随之作 相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。 相角的符号规定：从正实轴开始，顺时针为负，逆时针为正。 据G(j)的定义，用实频特性和虚频特性表示
A ( ) e
j
j
1
( ) e
j
( rad )
57 . 3 ( )
奈氏图特点：在单位圆上作 无限循环。
20
第四章 系统的频域特性分析
2、Nyquist图的草图绘制
（1）由G(jω)求其实部、虚部、A(ω), ψ(ω)表 达式。 （2）计算若干特征点
传递函数：G (s) 设
U 0 (s) U i (s)
1 RCs 1
1 Ts 1
R
u i ( t ) U i sin t U i (s) U i s
2 2
ui
i
C u0
2
第四章 系统的频域特性分析
则
Uo(s)=
1 Ts+1
(1 + T2 )
2 2
A ( )
1 + T2
2
( ) arctan T1 9 0 arctan T 2
24
第四章 系统的频域特性分析
Nyquist草图绘制小结
1、保持准确曲线的重要特征：如起点、终点、与实轴、虚 轴的交点 2、在重要点附近有足够的准确性。
，求系统的频率特性
4）频率特性可用实验方法求取。
9
第四章 系统的频域特性分析
4.2 频率特性的图示方法
一、频率特性极坐标图（又称Nyquist图）
当频率从∞变到+∞时，向量G(j)的幅值和相位也随之作 相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。 相角的符号规定：从正实轴开始，顺时针为负，逆时针为正。 据G(j)的定义，用实频特性和虚频特性表示
A ( ) e
j
j
1
( ) e
j
( rad )
57 . 3 ( )
奈氏图特点：在单位圆上作 无限循环。
20
第四章 系统的频域特性分析
2、Nyquist图的草图绘制
（1）由G(jω)求其实部、虚部、A(ω), ψ(ω)表 达式。 （2）计算若干特征点
传递函数：G (s) 设
U 0 (s) U i (s)
1 RCs 1
1 Ts 1
R
u i ( t ) U i sin t U i (s) U i s
2 2
ui
i
C u0
2
第四章 系统的频域特性分析
则
Uo(s)=
1 Ts+1
频率分析法
i 1 j 1
( k s 1) ( l2 s 2 2 l l s 1)
k
m1
m2
Go ( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gk ( j ) Gi ( j )
i 1
Go ( j ) G1 ( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) G2 ( j ) Gi ( j ) Gi ( j )
( ) j 90
4-2-4 惯性环节
Nyquist图
1
1 G( j ) 1 Ts
s j
1 1 jT
T 1 G( j ) j arctan T 2 2 2 2 2 2 1 T 1 T 1 T 1 A( ) 1 2T 2
G( j ) G( j ) e j ( ) Im[G( j )] ( ) G( j ) arctg Re[G( j )]
G( j ) G( j ) e j ( ) G( j ) e j ( )
e j[ t ( )] e j[ t ( )] yn (t ) X G ( j ) 2j X G ( j ) sin[ t ( )]
()是单调减的，且以转折频率为 中心，两边反对称
① ② ③
最大误差
L( ) 20 lg 1 1 2T 2
1 / T
1 20 lg 3.01(dB) 2
误差修正曲线
4-2-5 一阶微分环节 G ( j ) 1 T s s j 1 jT
Nyquist图 Bode图
幅频特性与相频特性----系统的频率特性。
频率特性与传递函数的关系
s p
j
G ( j ) G ( s ) s j
( k s 1) ( l2 s 2 2 l l s 1)
k
m1
m2
Go ( j ) G1 ( j )G2 ( j )Gk ( j ) Gi ( j )
i 1
Go ( j ) G1 ( j ) G1 ( j ) G2 ( j ) G2 ( j ) Gi ( j ) Gi ( j )
( ) j 90
4-2-4 惯性环节
Nyquist图
1
1 G( j ) 1 Ts
s j
1 1 jT
T 1 G( j ) j arctan T 2 2 2 2 2 2 1 T 1 T 1 T 1 A( ) 1 2T 2
G( j ) G( j ) e j ( ) Im[G( j )] ( ) G( j ) arctg Re[G( j )]
G( j ) G( j ) e j ( ) G( j ) e j ( )
e j[ t ( )] e j[ t ( )] yn (t ) X G ( j ) 2j X G ( j ) sin[ t ( )]
()是单调减的，且以转折频率为 中心，两边反对称
① ② ③
最大误差
L( ) 20 lg 1 1 2T 2
1 / T
1 20 lg 3.01(dB) 2
误差修正曲线
4-2-5 一阶微分环节 G ( j ) 1 T s s j 1 jT
Nyquist图 Bode图
幅频特性与相频特性----系统的频率特性。
频率特性与传递函数的关系
s p
j
G ( j ) G ( s ) s j
第四章频域分析法
4sin( t 45) =2 A(1) sin[t + (1)]
即
A(1)
2 n
(
2 n
2 )2
4 2 n2 2
1
2 n
2
(
2 n
1)2
4
2
2 n
(1) arctan 2n
2 n
2
1
arctan 2n 45
2 n
1
整理得
4 n
4[(
2 n
1) 2
4
输出信号：
c(t) ae jt ae jt G( j) e e j() jt A G( j) e j()e jt A
2j
2j
G( j) Asin(t ())
输入信号： r(t) Asin( t)
线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号， 其输出与输入的幅值比为： A() G( j)
解 首先求出系统的闭环传递函数(s) ，并令s=j得
j
s
|s
j
1
G(s) G(s)H
(s)
|s
j
s
1
2
|s
j
1
j 2
1 arctg
2 22
2
令=2， 则 (j2)=0.35 -45o
则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o) =0.7sin(2t-45o)
例2 已知一控制系统结构图如图所示，当输入r(t) = 2sint时，
频率特性：
G(j) = K = Kej0
幅频特性：
A() = K
相频特性：
() = 0
实频特性：
P() = K
虚频特性：
即
A(1)
2 n
(
2 n
2 )2
4 2 n2 2
1
2 n
2
(
2 n
1)2
4
2
2 n
(1) arctan 2n
2 n
2
1
arctan 2n 45
2 n
1
整理得
4 n
4[(
2 n
1) 2
4
输出信号：
c(t) ae jt ae jt G( j) e e j() jt A G( j) e j()e jt A
2j
2j
G( j) Asin(t ())
输入信号： r(t) Asin( t)
线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号， 其输出与输入的幅值比为： A() G( j)
解 首先求出系统的闭环传递函数(s) ，并令s=j得
j
s
|s
j
1
G(s) G(s)H
(s)
|s
j
s
1
2
|s
j
1
j 2
1 arctg
2 22
2
令=2， 则 (j2)=0.35 -45o
则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o) =0.7sin(2t-45o)
例2 已知一控制系统结构图如图所示，当输入r(t) = 2sint时，
频率特性：
G(j) = K = Kej0
幅频特性：
A() = K
相频特性：
() = 0
实频特性：
P() = K
虚频特性：
第4章频率分析法
第四章 频率分析法
频率特性包括幅频特性和相频特性， 频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频 包括幅频特性 率域里全面地描述了系统输入和输出之间的 关系即系统的特性。 关系即系统的特性。 频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 是指系统对正弦输入的稳态输出 频率特性和频率响应是两个联系密切但又有 区别的概念。 区别的概念。
Y(ω) A(ω) = X
（4-2） ）
它描述了在稳态情况下， 它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值 比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。 比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。
系统的相频特性定义： 系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的 的变化， 相位之差随频率ω的变化，记为ϕ(ω)。 。 它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特 按照正弦信号的旋转矢量表示方法， 性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定 ϕ(ω)按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向 按逆时针方向旋转为正值， 按逆时针方向旋转为正值 旋转为负值。 旋转为负值。 幅频特性A( 和相频特性 统称为系统的频 幅频特性 ω)和相频特性ϕ(ω)统称为系统的频 统称为系统的 率特性，记作G(j 。频率特性G(j 是一个以 率特性，记作 ω)。频率特性 ω)是一个以 为自变量的复变函数，它是一个矢量。 频率ω为自变量的复变函数，它是一个矢量。
dy(t ) x(t ) = C + ky(t ) dt
系统的传递函数
式中 T=c/k=10/10=1（s） （） 系统的频率特性
Y(s) 1/ k 1/ k G(s) = = = X(s) c Ts + 1 s +1 k
1/ k 0.1 G(jω) = = 1+ jωT 1 + jω
频率特性包括幅频特性和相频特性， 频率特性包括幅频特性和相频特性，它在频 包括幅频特性 率域里全面地描述了系统输入和输出之间的 关系即系统的特性。 关系即系统的特性。 频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 频率响应是指系统对正弦输入的稳态输出。 是指系统对正弦输入的稳态输出 频率特性和频率响应是两个联系密切但又有 区别的概念。 区别的概念。
Y(ω) A(ω) = X
（4-2） ）
它描述了在稳态情况下， 它描述了在稳态情况下，系统输出与输入之间的幅值 比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。 比随频率的变化情况，即幅值的衰减或放大特性。
系统的相频特性定义： 系统的相频特性定义：输出信号与输入信号的 的变化， 相位之差随频率ω的变化，记为ϕ(ω)。 。 它描述了输出相位对输入相位的滞后或超前特 按照正弦信号的旋转矢量表示方法， 性。按照正弦信号的旋转矢量表示方法，规定 ϕ(ω)按逆时针方向旋转为正值，按顺时针方向 按逆时针方向旋转为正值， 按逆时针方向旋转为正值 旋转为负值。 旋转为负值。 幅频特性A( 和相频特性 统称为系统的频 幅频特性 ω)和相频特性ϕ(ω)统称为系统的频 统称为系统的 率特性，记作G(j 。频率特性G(j 是一个以 率特性，记作 ω)。频率特性 ω)是一个以 为自变量的复变函数，它是一个矢量。 频率ω为自变量的复变函数，它是一个矢量。
dy(t ) x(t ) = C + ky(t ) dt
系统的传递函数
式中 T=c/k=10/10=1（s） （） 系统的频率特性
Y(s) 1/ k 1/ k G(s) = = = X(s) c Ts + 1 s +1 k
1/ k 0.1 G(jω) = = 1+ jωT 1 + jω
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可以证明
这里
G(s)是该线性定常系统的传递函数 证明：为书写简便，不妨设G（s）无重极点，
显然所有极点均具有负实部。
反变换
记
则
在过度过程结束后，有
c(t)
e j t Ar {a
e j t 2j
e j t b
e j t }
2
Ar
| G( j) | sin[ t G( j)]
幅值是与ω无关的常量，其值为1 相位角与ω成线性变化 故其极坐标图是一个单位图 。
二、开环系统的幅相频率特性（多环节极坐标图）
开环频率特性通常都是由若干个典型环节串联组成。 绘制系统开环频率特性的极坐标图，则需把系统所 包含的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。
绘制概略极坐标图图形的一Fra bibliotek步骤为：（若
则
）
•幅频特性： 描述系统幅度增益与频率的关系
•相频特性： 描述系统相移角与频率的关系
•频率特性：幅频特性和相频特性的统称。
二、频率特性的求取： 1、根据定义求取。 即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入， 求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复 数比即可得到。 2、根据传递函数求取。
二阶微分环节的曲线形状与振荡环节的曲线以横轴为对称频率特性
对数幅频特性 Lω 20lg 1 T2ω2 2 2ζ Tω 2
相频特性
ω
tg 1
2ζ Tω 1 T2ω2
其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为+40dB/dec； 转折频率为：ω=ωn=1/T 相频由0°（对应ω=0），经 90°（ω=ωn=1/T ），
1 jω T
惯性环节的幅频特性与相频特性为
惯性环节的幅频特性： 当ω<<ω1时（低频段） 当ω>>ω1时（高频段）
在低频段对数幅频特性曲线是与横轴相重合的直线。 （近似）
在高频段对数幅频特性曲线是一条在ω=ω1经过横 轴，斜率为-20dB/dec的直线。（近似）
这两条直线称为渐近线。
ωn=1/T
相频特性曲线以ω=ωn=1/T点（拐点、-90°）呈斜 对称。
相频特性曲线以 ω=ωn=1/T点 （拐点、-90°） 呈斜对称。
谐振频率谐振峰值
振荡环节的幅频特性在转折频率 生谐振峰值
ω=ωn=1/T附近产
在ω=ωr处具有最大值。将ωr代入幅频特性中， 得谐振峰值Mr为 ，谐振时，G(jω)的相角为
◆相频特性的纵坐标为相移轴，单位是度(也可以 用弧度)，均匀刻度。
对数幅相曲线(略)
◆对数幅相曲线又称尼科尔斯(Nichols)图。
将对数幅频特性和相频特性绘制对数幅相曲线(略)
四、频率特性的性质
1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学 模型。 它描述了系统的内在特性，与外界因素无 关。当系统结构参数给定，则 频率特性也完 全确定。
3．绘制Bode图的简捷办法与具体步骤 （各环节传递函数应为时间常数表达式） ⑴ 按顺序排列各环节
◆ 幅相频率特性曲线的缺点：不易观察频率与幅
值和频率与相角的对应关系。
对数频率特性曲线
◆对数频率特性曲线又称伯德（Bode）图。
◆伯德图将幅频特性和相频特性分别绘制在上下 对应的两幅图中；
◆横轴为频率轴，对数刻度， ㏒ω，ω单位是弧 度；
◆幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴，，单位是 分贝，均匀刻度；
例: 求如下传递函数的极坐标图
解：写出环节串联形式 其幅值与相角分别为：
由于幅值是从1开始单调减小，相角也是单调 减小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺 旋线。
三、极坐标图的形状与系统的型号的关系 注意起始点（ω→0）
结论：
① 0 型系统（v=0）：极坐标图起始于正实 轴上的有限点，终止于原点。
（以上适用于最小相位系统）
例1：求如下传递函数的极坐标图。
例2：求如下传递函数的极坐标图。
例3：求如下传递函数的极坐标图。
例4：求如下传递函数的极坐标图。
由图可见，若传递函数有零点 （即有一阶微分环节），
则曲线会发生弯曲，相位可能非单调变化。
幅相频率特性其优点
可以在一张图上描绘出系统在整个频率域的 特性，为分析系统性能提供方便；
其对数幅频曲线和相频曲线关于横轴对称。
4．振荡环节与二阶微分环节
振荡环节：
Gjω
T2 jω2
1 2ζ
Tjω 1
Lω 20lg 1 T2ω2 2 2ζ Tω 2
ωn=1/T
幅频特性： 当ω<<ωn时（低频段） 当ω>>ωn时（高频段） L() 20 lg(2T 2 ) 40 lg(T )
特别是为研究系统在频域内的稳定判据提供 了基础。
幅相频率特性其缺点
无法由图形准确表示出系统由哪些环节组成， 以及各环节的作用。
4 . 3 对数频率特性（ Bode 图）
对数频率特性曲线横轴为频率轴，对数刻度，㏒ω，ω单 位是弧度；
幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴 单位是分贝，均匀刻度；
由于
= -90°是常数，
而
随ω增大而减小。
因此，积分环节是一条与虚轴负段相重合的直线。
极坐标相位从0°到 –180°变化，频率特性 与虚轴交点处的频率是无阻尼自然振荡频率 ωn ，ξ越小，对应ω的幅值越大。说明频率 特性与ω、 ξ均有关。当ξ小到一定程度时， 将会出现峰值，这个值称为谐振峰值Mr，对 应频率称为谐振频率ωr。
相频特性的纵坐标为相移轴， 单位是度(也可以用弧度)，均匀刻度。
一、典型环节的Bode 图
1．比例环节 比例环节的频率特性为 G(jω)=K ，对应的幅频特
性和相频特性为
放大环节的对数幅频特性曲线是 一条幅值为20lgK分贝，且平行于横轴的直线；
相频特性曲线是 一条和横轴重合的直线。
不随频率的改变而改变。
两条渐近线相交处的频率称为转折频率或交接频 率。转折频率为ω=ω1=1/T 。
惯性环节的相频特性：
当ω=0时，ω 0o ；
当ω=ω1=1/T转折频率时，ω -45o；
当ω→∞ 时 ω趋于 -90°
惯性环节具有低通特性，对低频输入能精确地复现， 而对高频输入要衰减，且产生相位迟后。 因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。
采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算的。 幅值的最大误差发生在转折频率处，近似等于3dB。
一阶微分环节： Gjω 1 jω T
ω tg1ω T
一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其相位变化范围 由0°（ω=0）经+45°至90°（ω=∞）。
一阶微分环节的频率特性与惯性环节的频率特性互 为倒数关系，其对数幅频和相频特性仅差一负号。
2．绘制Bode图的基本步骤 ⑴ 系统的频率特性写成各典型环节的乘积形式（传递
函数为时间常数表达式）； ⑵ 画出每一个环节的对数幅频和相频曲线； ⑶ 然后进行同频率叠加，即得到该系统的伯德图。 先按渐进线画图，需要时再修正。 3．绘制Bode图的简捷办法与具体步骤 （各环节传递函数应为时间常数表达式）
当ω=0 → ω=∞ 可以得到关于
和
的以ω为自变量的表达式或曲线
一、定义
线性定常系统(或环节)在不同频率得正弦输入信号 的作用下，稳态输出与输入的复数比叫做系统(或环 节)的频率特性，记为G( jω )。
输出信号与输入信号幅度的比值为幅频特性
输出信号的相角与输入信号相角的差值为相频特性
第四章 频率分析法
4．1 频率特性
当线性定常系统的输入信号是正弦信号时，则在 过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频 率的正弦信号，只是其幅值和相角发生改变。
幅值和相角的改变情况与信号频率有关，都是频 率的函数，即
输入 r(t) Ar sin t 输出 c(t) Ac () sin[ t ()]
即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。
3、通过实验的方法直接测得。
三、频率特性的图形表示方法
图形表示的优点是，直观，易于了解整体情况。 幅相频率特性曲线
◆幅相频率特性曲线简称为幅相曲线或极坐标图、
乃奎斯特（Nyquist）图等。
◆横轴为实轴，纵轴为虚轴，当频率从零变到无
穷大时，点在复平面上留下频率曲线。曲线上的 箭头表示频率增大的方向。
注意终止点（ω→+∞）
结论； ⑴ ω→+∞，频率特性幅值→0
⑵传递函数中增加一个极点，将使曲线终点 （ω→+∞）相角多转-90° （顺时针）； ⑶传递函数中增加一个零点，使曲线的终点 （ω→+∞）相角多转90°（逆时针）。 或者：
终点（ω→+∞）相角是 -90°×传递函数分母分子
的阶次差。
K=1时，20lgK=0dB； K>1时，20lgK>0dB； K<1时，20lgK<0dB。
2．积分、微分环节 积分环节
对数幅频与相频特性为
当ω=1时
当ω=1时 当ω=10时
ω每增加10倍，L(ω)则衰减20dB， 记为：－20dB/十倍频程， 或-20dB/dec。或直接写成-20。
谐振频率ωr及谐振峰值Mr都与ζ有关。 ζ越小, ωr越接近ωn, Mr将越大。 当>0.707时，不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。 当=0.707时，r=0，Mr=1。 <0.707时，r>0，Mr>1。 0时，r n，Mr∞。
二阶微分环节： Gjω 1 2ζ Tjω T2 jω2
2、频率特性是一种稳态响应。
3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频 率。
这里
G(s)是该线性定常系统的传递函数 证明：为书写简便，不妨设G（s）无重极点，
显然所有极点均具有负实部。
反变换
记
则
在过度过程结束后，有
c(t)
e j t Ar {a
e j t 2j
e j t b
e j t }
2
Ar
| G( j) | sin[ t G( j)]
幅值是与ω无关的常量，其值为1 相位角与ω成线性变化 故其极坐标图是一个单位图 。
二、开环系统的幅相频率特性（多环节极坐标图）
开环频率特性通常都是由若干个典型环节串联组成。 绘制系统开环频率特性的极坐标图，则需把系统所 包含的各个环节对应频率的幅值相乘，相角相加。
绘制概略极坐标图图形的一Fra bibliotek步骤为：（若
则
）
•幅频特性： 描述系统幅度增益与频率的关系
•相频特性： 描述系统相移角与频率的关系
•频率特性：幅频特性和相频特性的统称。
二、频率特性的求取： 1、根据定义求取。 即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入， 求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复 数比即可得到。 2、根据传递函数求取。
二阶微分环节的曲线形状与振荡环节的曲线以横轴为对称频率特性
对数幅频特性 Lω 20lg 1 T2ω2 2 2ζ Tω 2
相频特性
ω
tg 1
2ζ Tω 1 T2ω2
其对数幅频特性的高频渐近线的斜率为+40dB/dec； 转折频率为：ω=ωn=1/T 相频由0°（对应ω=0），经 90°（ω=ωn=1/T ），
1 jω T
惯性环节的幅频特性与相频特性为
惯性环节的幅频特性： 当ω<<ω1时（低频段） 当ω>>ω1时（高频段）
在低频段对数幅频特性曲线是与横轴相重合的直线。 （近似）
在高频段对数幅频特性曲线是一条在ω=ω1经过横 轴，斜率为-20dB/dec的直线。（近似）
这两条直线称为渐近线。
ωn=1/T
相频特性曲线以ω=ωn=1/T点（拐点、-90°）呈斜 对称。
相频特性曲线以 ω=ωn=1/T点 （拐点、-90°） 呈斜对称。
谐振频率谐振峰值
振荡环节的幅频特性在转折频率 生谐振峰值
ω=ωn=1/T附近产
在ω=ωr处具有最大值。将ωr代入幅频特性中， 得谐振峰值Mr为 ，谐振时，G(jω)的相角为
◆相频特性的纵坐标为相移轴，单位是度(也可以 用弧度)，均匀刻度。
对数幅相曲线(略)
◆对数幅相曲线又称尼科尔斯(Nichols)图。
将对数幅频特性和相频特性绘制对数幅相曲线(略)
四、频率特性的性质
1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学 模型。 它描述了系统的内在特性，与外界因素无 关。当系统结构参数给定，则 频率特性也完 全确定。
3．绘制Bode图的简捷办法与具体步骤 （各环节传递函数应为时间常数表达式） ⑴ 按顺序排列各环节
◆ 幅相频率特性曲线的缺点：不易观察频率与幅
值和频率与相角的对应关系。
对数频率特性曲线
◆对数频率特性曲线又称伯德（Bode）图。
◆伯德图将幅频特性和相频特性分别绘制在上下 对应的两幅图中；
◆横轴为频率轴，对数刻度， ㏒ω，ω单位是弧 度；
◆幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴，，单位是 分贝，均匀刻度；
例: 求如下传递函数的极坐标图
解：写出环节串联形式 其幅值与相角分别为：
由于幅值是从1开始单调减小，相角也是单调 减小，所以该传递函数的极坐标图是一条螺 旋线。
三、极坐标图的形状与系统的型号的关系 注意起始点（ω→0）
结论：
① 0 型系统（v=0）：极坐标图起始于正实 轴上的有限点，终止于原点。
（以上适用于最小相位系统）
例1：求如下传递函数的极坐标图。
例2：求如下传递函数的极坐标图。
例3：求如下传递函数的极坐标图。
例4：求如下传递函数的极坐标图。
由图可见，若传递函数有零点 （即有一阶微分环节），
则曲线会发生弯曲，相位可能非单调变化。
幅相频率特性其优点
可以在一张图上描绘出系统在整个频率域的 特性，为分析系统性能提供方便；
其对数幅频曲线和相频曲线关于横轴对称。
4．振荡环节与二阶微分环节
振荡环节：
Gjω
T2 jω2
1 2ζ
Tjω 1
Lω 20lg 1 T2ω2 2 2ζ Tω 2
ωn=1/T
幅频特性： 当ω<<ωn时（低频段） 当ω>>ωn时（高频段） L() 20 lg(2T 2 ) 40 lg(T )
特别是为研究系统在频域内的稳定判据提供 了基础。
幅相频率特性其缺点
无法由图形准确表示出系统由哪些环节组成， 以及各环节的作用。
4 . 3 对数频率特性（ Bode 图）
对数频率特性曲线横轴为频率轴，对数刻度，㏒ω，ω单 位是弧度；
幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴 单位是分贝，均匀刻度；
由于
= -90°是常数，
而
随ω增大而减小。
因此，积分环节是一条与虚轴负段相重合的直线。
极坐标相位从0°到 –180°变化，频率特性 与虚轴交点处的频率是无阻尼自然振荡频率 ωn ，ξ越小，对应ω的幅值越大。说明频率 特性与ω、 ξ均有关。当ξ小到一定程度时， 将会出现峰值，这个值称为谐振峰值Mr，对 应频率称为谐振频率ωr。
相频特性的纵坐标为相移轴， 单位是度(也可以用弧度)，均匀刻度。
一、典型环节的Bode 图
1．比例环节 比例环节的频率特性为 G(jω)=K ，对应的幅频特
性和相频特性为
放大环节的对数幅频特性曲线是 一条幅值为20lgK分贝，且平行于横轴的直线；
相频特性曲线是 一条和横轴重合的直线。
不随频率的改变而改变。
两条渐近线相交处的频率称为转折频率或交接频 率。转折频率为ω=ω1=1/T 。
惯性环节的相频特性：
当ω=0时，ω 0o ；
当ω=ω1=1/T转折频率时，ω -45o；
当ω→∞ 时 ω趋于 -90°
惯性环节具有低通特性，对低频输入能精确地复现， 而对高频输入要衰减，且产生相位迟后。 因此，它只能复现定常或缓慢变化的信号。
采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算的。 幅值的最大误差发生在转折频率处，近似等于3dB。
一阶微分环节： Gjω 1 jω T
ω tg1ω T
一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其相位变化范围 由0°（ω=0）经+45°至90°（ω=∞）。
一阶微分环节的频率特性与惯性环节的频率特性互 为倒数关系，其对数幅频和相频特性仅差一负号。
2．绘制Bode图的基本步骤 ⑴ 系统的频率特性写成各典型环节的乘积形式（传递
函数为时间常数表达式）； ⑵ 画出每一个环节的对数幅频和相频曲线； ⑶ 然后进行同频率叠加，即得到该系统的伯德图。 先按渐进线画图，需要时再修正。 3．绘制Bode图的简捷办法与具体步骤 （各环节传递函数应为时间常数表达式）
当ω=0 → ω=∞ 可以得到关于
和
的以ω为自变量的表达式或曲线
一、定义
线性定常系统(或环节)在不同频率得正弦输入信号 的作用下，稳态输出与输入的复数比叫做系统(或环 节)的频率特性，记为G( jω )。
输出信号与输入信号幅度的比值为幅频特性
输出信号的相角与输入信号相角的差值为相频特性
第四章 频率分析法
4．1 频率特性
当线性定常系统的输入信号是正弦信号时，则在 过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频 率的正弦信号，只是其幅值和相角发生改变。
幅值和相角的改变情况与信号频率有关，都是频 率的函数，即
输入 r(t) Ar sin t 输出 c(t) Ac () sin[ t ()]
即用s=j代入系统的传递函数，即可得到。
3、通过实验的方法直接测得。
三、频率特性的图形表示方法
图形表示的优点是，直观，易于了解整体情况。 幅相频率特性曲线
◆幅相频率特性曲线简称为幅相曲线或极坐标图、
乃奎斯特（Nyquist）图等。
◆横轴为实轴，纵轴为虚轴，当频率从零变到无
穷大时，点在复平面上留下频率曲线。曲线上的 箭头表示频率增大的方向。
注意终止点（ω→+∞）
结论； ⑴ ω→+∞，频率特性幅值→0
⑵传递函数中增加一个极点，将使曲线终点 （ω→+∞）相角多转-90° （顺时针）； ⑶传递函数中增加一个零点，使曲线的终点 （ω→+∞）相角多转90°（逆时针）。 或者：
终点（ω→+∞）相角是 -90°×传递函数分母分子
的阶次差。
K=1时，20lgK=0dB； K>1时，20lgK>0dB； K<1时，20lgK<0dB。
2．积分、微分环节 积分环节
对数幅频与相频特性为
当ω=1时
当ω=1时 当ω=10时
ω每增加10倍，L(ω)则衰减20dB， 记为：－20dB/十倍频程， 或-20dB/dec。或直接写成-20。
谐振频率ωr及谐振峰值Mr都与ζ有关。 ζ越小, ωr越接近ωn, Mr将越大。 当>0.707时，不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。 当=0.707时，r=0，Mr=1。 <0.707时，r>0，Mr>1。 0时，r n，Mr∞。
二阶微分环节： Gjω 1 2ζ Tjω T2 jω2
2、频率特性是一种稳态响应。
3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频 率。