频率选择表面分析方法

频率选择表面的研究起始于上世纪60年代，国内外大批学者均为之投入了大量精力进行广泛深入的工作，提出了各种不同的数学分析与计算方法，如交分法，等效电路法，模式匹配法，谱方法等，这些计算方法主要可分为两大类，即标量分析方法与矢量分析方法。

前者包括变分法，等效电路法等，其仅可通过计算获得关于反射透射系数的幅度信息，通用性差，但计算量小，耗时短；后者包括模式匹配法，谱方法等，其通过计算不仅可获得反射透射系数的幅度信息，还可以获得相关的相位与极化信息，通用性强，但计算量大且耗时长。

值得一提的是，国内研究目前普遍采用模式匹配法进行计算分析，该方法不仅适用于求解任意单元形 状及排列方式的无限大平面FSS 结构，还可应用于多层的FSS 以及均匀层状衬底等组合结构。

但这种方法 依然存在不足，即处理复杂多层FSS 时计算量非常大，而且在数值求解过程中，选择适合复杂单元形状的 基函数非常困难，因而难以保证解的收敛速度，降低了有效性。

与一般模式匹配法相比，谱方法原理上也能分析任意单元形状的FSS 结构，在求解无限大FSS 问题时 与模式匹配法相当，该方法在求解过程中要求选取合适的基函数来保证收敛性，但可直接用于求解有耗FSS 的散射问题，与迭代技术相结合可以求解有限尺寸的FSS 散射问题。

并且谱方法利用了场的周期性，注意 电流分布的周期性特征，所以求解模型简单，计算量小，是一种很好的方法。

谱展开法
在周期性结构的分析中，谱展开法是一种重要的分析方法。

Floquet 定理;
一维周期结构如图2．5所示。

设入射平面波z TM
()0j wt z E E e ϕ-=
则空间沿x 方向相距为m 个周期的两点之间场为
cos ,(,,)x jm D x x mD y w x y w e βθ
-ψ(+,) =ψ
式中ψ为电磁场的某一分量。

m 为一整数，β为传播常数，x D 为沿x 方向的周期长度，θ为入射角，上式即
是Floquet 定理。

如果这个周期结构的单元是偶极子等贴片型类型，则入射场在单元上将感应出电压，并产生电流，如果我们将其中一个单元的电流作为基准单元电流(表示为0I )，则距它m 个周期的单元电流表示为m I 。

根据Floquet 定理，两者的关系为 cos 0x j mD m
I I e βθ-=
将一维情况扩展到二维情况。

一个二维周期阵列如图2_6所示，这个阵列位于自由空间中，阵列平面位于XOY 平面，法线为z 轴。

图中入射波方向表示为
ˆˆˆˆx y z s
xs ys zs =++ 根据Floquet 定理可直接得出基准单元电流00I 和与它相距m 个x 方向周期长度Dx ，n 个y 方向周期长度Dy 的单元电流
mn I 的关系为
00y y
x x j nD s j mD s mn
I I e e
ββ--=
如果周期阵列是有源阵列，且我们假定每个单元电流有相同的振幅和符合上式的相位关系，这个阵列就会辐射出平面
波，如果无源周期阵列在入射场中的电流符合式，则也会辐射出平面波。

这就是在入射场中的二维周期阵列
的二次辐射。

Floquet 定理使得二维周期结构上的各个单元的电流都可用式简单表示，大大地简化二维周期结构的数学模型。

一维周期结构的位矢量
在图2-6中，每一个单元上都有由入射电场所产生的电流。

根据电磁场理论，由该电流可求出该单元的位矢量。

假设观察点为R(x,y,z)，q 行m 列的单元电流为qm I ，单元长度为dl(赫兹单元)，则位矢量
ˆ4qm
j R
qm qm qm
I dl e dA p R βμπ-=
式中ˆp
多为单元的单位方向矢量，可指向XOY 平面的任意方向。

qm R 是观察点到单元的距离
qm R =因为整个阵列的所有单元指向同一方向
ˆp
，一维无限阵列和二维无限阵列在观察点的总位矢量可通过单个单元的位矢量简单相加得到。

这样对一维无限阵列，我们得到
ˆ4qm
j R q qm m qm
dl e dA p I R βμπ-∞=-∞=∑ 将qm I 的表达式代入上式：00ˆ4qm
y y x x j R
j mD s j qD s q m qm
I dl e dA p e e R βββμπ-∞--=-∞=∑ 这个级数收敛很慢，在计算时将花费很长的时间。

为此我们利用泊松和公式
00()()jmw t
m m e
F mw T
f t nT ∞
∞
-=-∞
=-∞
=+∑∑
(2)01(2j F H j -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
t -∞<<∞
从而可以将结果变换为一个新的级数：
((2/))(2)00021ˆ42y y x x jz s n D j qD s q n y I dl dA p e e H D j βπβμππ∞-+-=-∞
=∑
而这个级数比之前结果收敛较快。

二维周期结构的位矢量
二维无限阵列的位矢量dA 是把所有从q=-∞到∞的列的位矢量q dA 相加得到：
((/))(2)000ˆ4y y x x j y s n D jq D s q q n q y I dl dA dA p e e H jD βλβμ∞
∞∞-+-=-∞=-∞=-∞
==∑∑∑ 同样这个级数的收敛速度很慢，需要进一步变换以加快收敛。

通过运用傅里叶变换：
(2)
0(,H F t β-⎡⎤
=-∞<<∞ 并运用泊松和公式：
00()()jmw t
m m e
F mw T
f t nT ∞
∞
-=-∞
=-∞
=+∑∑
我们能得到新的收敛较快的级数：
((/))((/))
00ˆ2y y x x j j y s n D j x s n D k n x y
I dl
dA p
e
e
j D D ββλβλμβ-∞∞
-+-+=-∞=-∞
=∑∑式中2/λπβ=，可以将上式改写成以下形式： ˆ00ˆ2j R r k n x y
z
I dl e dA p
j D D r βμβ±-⋅∞
∞
=-∞=-∞=∑∑ ˆˆˆˆˆˆˆ()()
x z y x z x
r
xr zr yr x s k zr
y y D y s n
D λ
λ
±=±+=+±++，z>0取-号。

Z<0取+号。

其中
z r =
这样就得到一个与参数q ，m 无关的收敛更快的级数。

注意：以上的公式适用于矩形栅格排列的周期结构。

阵列的二次辐射场
在上面我们通过计算分析，得到了整个阵列的位矢量 dA ，我们把整个阵列看成一个辐射源，根据克斯韦方程组就很容易得到它的再次辐射场。

从1
dH dA =
∆⨯μ
可以求出 ˆ00
ˆˆ2j R r k n z x
y I dl e dH p r D D r β±
-⋅∞
∞
±=-∞=-∞
=⨯∑∑ 把上式代入：1
E H jw ε
=
∇⨯ 得到：()ˆ00ˆˆˆ2j R r k n z x
y ZI dl
e dE p r r D D r β±
-⋅∞
∞
±±=-∞=-∞
=
⨯⨯∑∑ 以上就是谱展开法的基本理论，通过运用Flquet 定理和位矢量公式，可以得到二维周期阵列
的在辐射场。

通过运用傅里叶公式及泊松和公式可以使二维周期阵列在辐射场公式得到简化，改善收敛性。