数学物理方法第二篇第3章

第三章 行波法和通积分法§2.3.1一维波动方程哥西问题达朗贝尔公式无限长均匀弦的自由振动归结为一维齐次波动方程的哥西问题：⎩⎨⎧==>+∞<<-∞=-)()0,(),()0,()0,(,02x x u x x u t x u a u t xx tt ψϕ 这个方程的特征方程为 0)(22=-at x d d ，所以波动方程是双曲型方程，有两组实的特征线1c at x =-，2c at x =+，作自变量的变换，令at x -=ξ，at x +=η， 应用复合函数求导法则，有ηξηξau au a u a u u t +-=⋅+-=)(,ηξηξu u u u u x +=⋅+⋅=11,ηηξηξξu a u a u a u tt 2222+-=,ηηξηξξu u u u xx ++=2,代入波动方程中，化简得0=ξηu ，利用偏导数的意义，得通解)()()()(),(at x G at x F G F t x u ++-=+=ηξ，其中F 和G 是任意二阶连续可微函数.由),(t x u 满足的初始条件来确定F 和G 的具体形式，于是 得函数方程⎩⎨⎧='+'-=+)()()(),()()(x x G a x F a x x G x F ψϕ 积分第二式得C ax G x F xx +=+-⎰ααψd 0)(1)()(，C 为积分常数.从而得2)(21)(21)(0C a x x F xx --=⎰ααψϕd ，2)(21)(21)(0C ax x G xx ++=⎰ααψϕd故得一维齐次波动方程哥西问题的解 ααψϕϕd ⎰+-+++-=atx atx aat x at x t x u )(21)]()([21),(,这就是著名的达朗贝尔公式.通常称)(at x F -为右传播波（或右行波），称)(at x G +为左传播波（或左行波），a 为速度.所以这种解波动方程哥西问题的方法称为行波法，在数学上又叫通积分法.例1. 一端运动的半无限长均匀弦的自由振动，归结为求解下面的初边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤==>=>+∞<<=-)0(),()0,(),()0,()0(),(),0()0,0(,02x x x u x x u t t t u t x u a u t xx tt ψϕμ a 是波的传播速度，当x ≥at 时，端点)(),0(t t u μ=的波动不会对解),(t x u 产生影响，所以这时ααψϕϕd ⎰+-+++-=atx atx aat x at x t x u )(21)]()([21),(，（x ≥at ）特别地，当at x =时，有)()(21)]2()0([21),(20t g aat t at u at≡++=⎰ααψϕϕd是已知函数.现在只需确定问题在0≤x at <处的解，由通解式)()(),(at x G at x F t x u ++-=，分别令0=x 与atx =可得⎩⎨⎧==+==+-)(),()2()0(),(),0()()(t g t at u at G F t t u at G at F μ由此导出，)0()2()(F ag G -=ββ， )0()2()()()()(F ag aG aF +---=---=ββμββμβ从而有)()(),(at x G at x F t x u ++-=)2()2()(aat x g ax at g ax at ++---=μααψϕϕμd ⎰+-+--++-=atx xat ax at at x ax t )(21)]()([21)(，（0≤x at <）故一端运动的半无限长均匀弦的自由振动问题的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤+--++-≥+++-=⎰⎰+-+-)0(,)(21)]()([21)()(,)(21)]()([21),(at x a x at at x a x t at x a at x at x t x u atx xat atx at x ααψϕϕμααψϕϕd d 例2. 一端受力作用的半无限长均匀弦的自由振动问题.⎪⎩⎪⎨⎧==≥=>+∞<<=-),()0,(),()0,()0(),(),0()0,0(,02x x u x x u t t t u t x u a u t x xx tt ψϕμ因为a 是波的传播速度，当x ≥at 时，同样，端点0=x 的波动)(),0(t t u x μ=不会对解),(t x u 产生影响，因此在at x -≥0时有ααψϕϕd ⎰+-+++-=atx atx aat x at x t x u )(21)]()([21),(，（x ≥at ）为了满足边界条件，为此求导得：)]()([21)]()([21),(at x at x aat x at x t x u x --+++'+-'=ψψϕϕ，于是当at x =时，有)()]0()2([21)]2()0([21),(t h at aat t at u x ∆=-+'+'=ψψϕϕ，在0≤at x <时的解)()(),(at x G at x F t x u ++-=，就有)()(),(at x G at x F t x u x +'+-'=当0=x 时得：)(),0()()(t t u at G at F x μ=='+-' 即 )()()(ξξμξG aF '--='，积分得 )()()(0ξττμξξ-+-=⎰-G a F ad ，由)(),(t h t at u x =，得)()2()0(t h at G F ='+'，即 )0()2()(F ah G '-='ηη积分之，有ηττηη)0()(2)(20F h aG a'-=⎰d这样，在0≤at x <时，有)()(),(at x G at x F t x u ++-=ττμααψααψϕϕd d d ⎰⎰⎰--+-++-++=ax t xat atx aaax at at x 0)()(21)(21)]()([21)2)](0()0(21)0(21[at F a'--'+ψϕ 注意到 )0(21)0(21)0(ψϕaF -'='，因此得解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-++-++≥+++-=⎰⎰⎰⎰--++-)0(,)()(21)(212)()()(,)(212)()(),(00at x a a a x at at x at x a at x at x t x u ax t xat at x atx atx ττμααψααψϕϕααψϕϕd d d d 例3. 求解Cauchy 问题：⎪⎩⎪⎨⎧+===++==xx u x u u u u xy xxy yy xy xx cos 4,46431032解： 写出特征方程 0310)(32=+-xy x y d d d d得 03=-x y d d 或 03=-x y d d得到特征线 13c x y =-，23c x y =-，21,c c 为任意常数. 令 x y -=3ξ，x y 3-=η， 化简原方程为 6464=-ξηu 即 1=ξηu 得通解有)()(ηξξηG F u ++-=这里F ，G 为二阶可微函数.因此得原方程的通解)3()3()3)(3(),(x y G x y F x y x y y x u -+-+---=. 由24xuxy ==有224)2()2(4xx G x F x =-++,得函数方程 0)()(=-+x G x F , 由x x x x u x cos 4),(+=，而)3(3)3(610),(x y G x y F x y y x u x -'--'--=得 x x x G x F x cos 4)2(3)2(4+=-'-'-, 所以 2cos)(3)(x x G x F -=-'+',积分得 C x x G x F +-=--2s i n 2)(3)(, 这样就有 42sin21)(C x x F +-=，42sin21)(C x x G --=,因此问题的解23sin2123sin21)3)(3(),(y x y x x y y x y x u -+-+--=.例4. 求方程xyu y u y xyuu x y yy xyxx 32222=+++ 的通解.解：写出特征方程 02)(222=+-yxy xyx y x d d d d由于0)(222=--=∆y x xy ，所以方程是抛物型的方程，解得一族特征线：0=-ydx xdy , 有 1c xy =，1c 为实常数.作变量变换： xy =ξ，y =η，0110),(D ),(D 22≠-=-=xy xx y y x ηξ，这样原方程可化为ξηηη=+u u ，)0(≠y得通解 )()(ξξξηηg e f u +-=-, 故得方程的通解有)()(),(2xy g e x y f x yy x u y +-=-, 其中 f 和g 为任意二阶可微函数.§2.3.2一维非齐次波动方程的Cauchy 问题一维非齐次波动方程的Cauchy 问题:⎩⎨⎧+∞<<-∞==>+∞<<-∞=-)(),()0,(),()0,()0,(),,(2x x x u x x u t x t x f u a u t xx tt ψϕ 利用线性方程的叠加原理，考虑如下两个Cauchy 问题：问题I ：⎩⎨⎧+∞<<-∞==>+∞<<-∞=-)(),()0,(),()0,()0,(,02x x x v x x v t x v a v t xx tt ψϕ它的解为ααψϕϕd aat x at x t x v atx atx ⎰+-+++-=)(212)()(),(问题II ：⎩⎨⎧+∞<<-∞==>+∞<<-∞=-)(,0)0,(,0)0,()0,(),,(2x x u x u t x t x f u a u t xx tt如果这个问题的解),(2t x u 求出来，则原问题的解为 ),(),(),(2t x u t x v t x u += 对于问题II ，有齐次化原理(Duhamel ).齐次化原理：设0≥τ为参数，如果函数);,(τt x w 是Cauchy 问题⎩⎨⎧==>=-),();,(,0);,()(,02ττττττx f x w x w t w a w t xx tt的解，则函数ττd ⎰=tt x w t x u 0);,(),(是问题II 的解.事实上，⎰⎰=+=tt tt t t x w t x w t t x w u 00d );,(d );,();,(ττττ⎰⎰+=+=ttt ttt t tt t x w t x f t x w t t x w u 0d );,(),(d );,();,(ττττ⎰=txxxx t x wu 0d );,(ττ由此 ),(d )];,();,([),(022t x f t x w a t x w t x f u a u ttt tt xx tt ⎰=-+=-τττ.表明),(t x u 满足问题II 中的方程，满足初始条件是显然的. 对于这个问题的解，令τ-='t t ，这样把初始时刻是τ的转化为0='t ，问题就变为⎪⎩⎪⎨⎧==>'=-=''='''),(,0)0(,0002τx f w w t w a w t t t xx t t由达朗贝尔公式得 αταττd ⎰'+'-=+'t a x t a x f at x w ),(21);,(,于是得解ατατττd ⎰-+--=)()(),(21);,(t a x t a x f at x w ,这样问题II 的解为ταταττd d ⎰⎰-+--=t t a x t a x f at x u 0)()(2),(21),(,从而得一维非齐次波动方程的Cauchy 问题的解有ταταααψϕϕττd d d ⎰⎰⎰-+--+-++++-=t t a x t a x atx atx f aaat x at x t x u 0)()(),(21)(212)()(),(.§2.3.3高维波动方程的Cauchy 问题对于三维波动方程的Cauchy 问题的提法是⎩⎨⎧==++≡∆=),,()0,,,(),,,()0,,,()(22z y x z y x u z y x z y x u u u u a u a u t zz yy xx tt ψϕ 用球面平均值法求解.现在将一维波动方程Cauchy 问题的达朗贝尔解改写成ααψααϕd d ⎰⎰+-+-+∂∂=atx atx atx atx at tattt t x u )(2])(2[),(分析一下这个解的特点： (1)ααχd ⎰+-atx atx at)(21是被积函数)(αχ在区间],[at x at x +-上的算术平均值；积分值的大小依赖于区间中点x 和区间的半径长at ，因此它是两个变量),(t x 的函数，记为ααχd ⎰+-=atx atx att x v )(21),(.(2))(x χ是一个任意函数，但),(),(1t x tv t x u =，tt x tv t x u ∂∂=)],([),(2都满足方程 xx tt u a u 2=.(3)只要令)()(x x ψχ=，则),(1t x u 满足初始条件)()0,(1x x u t ψ=；若令)()(x x ϕχ=，那么),(2t x u 就满足初始条件)()0,(2x x u ϕ=，因此，叠加后的),(),(),(21t x u t x u t x u +=都满足初始条件：)()0,(x x u ϕ=，)()0,(x x u t ψ=.由此，启发我们仿照此就可构成三维波动方程Cauchy 问题的达朗贝尔解：球面方程：22222)()()(t a z y x =-+-+-ζηξ，记为Mat S ；球心：),,(z y x ；球半径：at ；球面M at S 的面积：224t a π.这样任意函数),,(z y x χ在球面Mat S 上的平均值为Sta t z y x v d ⎰⎰=ππζηξχπ20022),,(41),,,(σζηξχπππd ⎰⎰=200),,(41,这里球面M at S 上的点),,(ζηξ满足参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=θζϕθηϕθξcos sin sin cos sin at z at y at x ϕθθd d d sin 22t a S =， ϕθθσd d d sin =这样对于三维波动方程Cauchy 问题：⎩⎨⎧==++≡∆=),,()0,,,(),,,()0,,,()(22z y x z y x u z y x z y x u u u u a u a u t zz yy xx tt ψϕ 的解为]),,(4[),,,(),(20022S ta tt t z y x u t M u d ⎰⎰∂∂==ππζηξϕπS ta t d ⎰⎰+ππζηξψπ20022),,(4]),,(4[200σζηξϕπππd ⎰⎰∂∂=tt σζηξψπππd ⎰⎰+200),,(4t这就是泊松公式，用球面平均值方法得到的.例5．利用泊松公式求解波动方程的Cauchy 问题⎪⎩⎪⎨⎧+==++===yz x u u u u u a u t t t zz yy xx tt 2002,0)(解：这里0),,(=z y x ϕ，yz x z y x +=2),,(ψ，令ϕθξcos sin at x +=，ϕθηsin sin at y +=，θζcos at z += 由泊松公式得问题的解 ]sin )]cos )(sin sin ()cos sin [(412002ϕθθθϕθϕθπππd d at at z at y at x au ⎰⎰++++=3222231)(])(34)(4[4ta t yz x at yz x t ++=++=πππ例6．试用降维法导出二维波动方程Cauchy 问题的解.二维波动方程的Cauchy 问题：⎩⎨⎧+∞<<-∞==>+∞<<-∞+=),(),,()0,,(),,()0,,()0,,(),(2y x y x y x u y x y x u t y x u u a u t yy xx tt ψϕ 所谓降维法就是把它看成三维问题的特殊情形，函数u 与z 无关，即0=z u ，所以，初值函数ϕ，ψ也与z 无关.现在由泊松公式来导出这个问题的解.由于初值函数ϕ和ψ与z 无关，因此沿球面Mat S 的积分可以用过点M 平行于平面0=z 的平面与球M at K 相截的圆形区域∑Mat上的积分来代替.球面元素S d 与平面元素)d d (d y x σ有S d d θσcos =，而aty x at atz 222)()()(cos ηξθ----==上半球面与下半球面的积分都用∑M at上积分代替，从而得),,(),(t y x u t M u =])()()(),()()()(),([21222222⎰⎰⎰⎰∑∑----+----∂∂=MatMaty x at y x at ta ηξηξηξψηξηξηξϕπd d d d 积分区域∑M at：222)()()(at y x ≤-+-ηξ.例7．非齐次波动方程的Cauchy 问题. 解：考虑带齐次初始条件的Cauchy 问题：⎩⎨⎧==+∆=0)0,,,(,0),,,(),,,(2z y x u t z y x u t z y x f u a u t tt用齐次化原理，对τ>t ，τ为参数，考虑问题⎪⎩⎪⎨⎧==∆=);,,();,,,(0);,,,(2τττττz y x f z y x w z y x w w a w ttt则由泊松方程得解]]),(),(),([4);,,,(200σττζτητξπττππd ⎰⎰-+-+-+-=t a z t a y t a x f t t z y x w 其中 ϕθξcos sin =，ϕθηsin sin =，θζcos =，那么容易验证函数⎰=tt z y x w t z y x u 0);,,,(),,,(ττd]]),(),(),([)(41200τσττζτητξτπππd d ⎰⎰⎰-+-+-+-=t a z t a y t a x f t t 就是带齐次初始条件的Cauchy 问题的解.。