数理方程第三章课件
3
2
2
3.1 一维波动方程的达朗倍尔公式
• 研究对象 无界域 波动方程 （波动方程初值问题） 仅考虑初始条件
• 思路 建立波动方程初值问题的通解公 式，并通过初始条件确定解
一维波动方程初值问题的特征线解法
齐次一维波动方程的初值问题解法 -特征线法 一维波动方程
utt = a u xx
2
其特征方程为
直接积分 特征方程
−∞ < x < +∞, t > 0 ⎧u xx = 16utt 特征线 ⎨ 2 u ( x, 0) = 0, ut ( x, 0) = x ⎩
直接用 达朗倍 特征变换 尔公式 积分
x + at
utt = a u xx
2
1 1 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫atψ (ξ )dξ 2 2a x −
求出定解问题（3）的解后，将 其对时间做积分，就得到定解问 题（2）的解
齐次化原理（冲量法）
⎧vtt = a vxx + f ( x, t )δ (t − τ ) ⎪ (3)⎨ ⎪v t =0 = 0, vt t =0 = 0 ⎩
2
⎧ω tt = a 2ω xx ⎪ (4) ⎨ ⎪ω t =τ = 0, ω t ⎩
-2a -a 2a 3a
0
a
特征线
• x－t平面上斜率为 ± 1 的两族直线
a
x ± at = 常数
为一维波动方程的特征线。 特征变换 特征线法
⎧ξ = x + at ⎨ ⎩η = x − at
一般的二阶偏微分方程
Au xx + 2 Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + Fu = 0
常见的题型
⎧ u xx + 2u xy − 3u yy = 0 ⎨ u ( x, 0) = 3 x 2 , u y ( x, 0) = 0 ⎩
特征方程 特征线 特征变换 积分
存在强迫外力的非齐次一维波动方程初值问题 解法
⎧utt = a 2u xx + f ( x, t ), ⎪ ⎨u t =0 = ϕ ( x) ⎪ ut t =0 = ψ ( x) ⎩
x
代回(2)中，得到方程（1）在定解条件（3）下的解
1 1 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫atψ (ξ )dξ 2 2a x −
无限长弦自由振动的达朗倍尔公式
x + at
达朗倍尔公式的物理意义
u = ∫ f (ξ )dξ = f1 (ξ ) + f 2 (η ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
B − B 2 − AC η =( )x − y A
• 第四步，求积分得通解 • 第五步，根据初始条件写出方程的解
求定解问题的解
⎧ u xx + 2u xy − 3u yy = 0 ⎨ 2 u ( x, 0) = 3 x , u y ( x, 0) = 0 ⎩
特征方程 特征线
( dy )
2
− 2dxdy − 3 ( dx ) = 0
⎧ f1 ( x) + f 2 ( x) = ϕ ( x) ⎪ ⎨ ⎪af1′( x) − af 2′ ( x) = ψ ( x) ⎩
（4） （5）
• 在(5)式两端对x积分
af1 ( x) − af 2 ( x) = ∫ψ (ξ )d ξ + C
0
x
• 两端除以a，并与(4)式联立，可求解出：
1 1 C f1 ( x) = ϕ ( x) + ψ (ξ )d ξ + 2 2a ∫ 2a 0 x 1 1 C f 2 ( x) = ϕ ( x) − ψ (ξ )dξ − 2 2a ∫ 2a 0
2
3x − y = C1 x + y = C2
特征变换
⎧ξ = 3x − y ⎨ ⎩η = x + y
uξη = 0
通解为
u = f1 (ξ ) + f 2 (η )
根据定解条件确定 f1 ,
f2
常见的题型
x>0 y>0 ⎧ u xy = y ⎨ ⎩u (0, y ) = 2 y + 1, u ( x, 0) = 1
ω
ω ′ 的形式
⎧ωt′′t ′ = a 2ϖ xx , t ′ > τ ⎪ 可直接应 ⎨ω ′ t ′=0 = 0 ⎪ ′ 用达朗贝 ⎩ωt ′ t ′=0 = f ( x,τ ) 尔公式
1 ω ′( x, t ′;τ ) = ∫at′ f (ξ ,τ )dξ 2a x −
x + at ′
⎧vtt = a 2 v xx + f ( x, t ) ⎪ ( 2) ⎨ ⎪ v t = 0 = 0, vt t = 0 = 0 ⎩
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 ,
f2
• 特例：无限长的弦自由横振动
初始条件：
⎧u ⎪ ⎨ ⎪ut ⎩
t =0
= ϕ ( x) t =0 = ψ ( x)
（3）
将 u = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) 代入上式，得到
v( x, t) =
2
∂ ⎛ ∂u ⎞ ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂y ⎠
=x y
2
用什么方法去掉一次微分？
• 两端同时对x积分
∂ ⎛ ∂u ⎞ 2 ⎜ ⎟=x y ∂x ⎝ ∂y ⎠
+0
∂u ∂y
x y = 3
3
+ g ( y)
1
∂u x y = + g 1 ( y ) +0 3 ∂y
3
• 两端同时对y积分
x y u ( x, y ) = + f ( x) + g ( y ) 6
齐次化原理（冲量法）
⎧vtt = a 2 v xx + f ( x, t ) ⎪ ( 2) ⎨ ⎪ v t = 0 = 0, vt t = 0 = 0 ⎩
考虑一个连续作用的 量f(x,t)可以看成瞬时 作用量f(x,t)δ(t-τ)的 叠加
⎧vtt = a 2vxx + f ( x, t )δ (t − τ ) ⎪ (3)⎨ ⎪v t =0 = 0, vt t =0 = 0 ⎩
−∞ < x < +∞,
t >0
叠加原理 达朗倍尔公式 齐次化原理
⎧Vtt = a u xx ⎪ ⎨V t =0 = ϕ ( x) ⎪ ⎩Vt t =0 = ψ ( x)
2
⎧vtt = a 2 vxx + f ( x, t ) ⎪ ⎨v t = 0 = 0 ⎪ ⎩vt t =0 = 0
特点： 非齐次方程 齐次定解条件
(dx) − a (dt ) = 0
2 2 2
特征线
(dx) − a (dt ) = 0
2 2 2
的积分曲线即
一维波动方程的特征线：
x ± at = 常数
1 x－t平面上斜率为 ± a
的两族直线
特征变换
对
utt = a u xx
2
（1）
依据特征线，做如下的代换
特征变换 特征线法
⎧ξ = x + at ⎨ ⎩η = x − at
以速度a沿X轴负方向传播的行波，左行波
达朗倍尔公式的物理意义：弦上的任意扰动以行波的方式分别 向两个方向传播，其速度为a
达朗倍尔公式的物理意义
1 1 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫atψ (ξ )dξ 2 2a x −
• 依赖区间 [ x − at , x + at ]
•影响区域
X－t平面上由
x1 − at ≤ x ≤ x2 + at
确定的区域为[x1,x2] 的影响区域
当区间[x1,x2]缩成一点x0，其 影响区域为过点x0作两条斜率 各为±1/a的直线所夹的角形 区域。
u = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
在以 x,t为二维变元的平面上取特征变换的 值 只是 的函数
τ +0
(t > τ )
t =τ
= f ( x ,τ )
τ +0
∫ τ
τ +0
vtt dt = a 2
τ +0 τ −0
−0
∫ τ
vxx dt +
−0
∫ τ
dtf ( x, t )δ (t − τ )
t =τ
−0
vt
= 0 + f ( x,τ ),
vt
= f ( x,τ )
某一时刻的强迫振动可以转换为该时刻的初 始条件（初始速度）
⎧vtt = a 2 v xx + f ( x, t ) ⎪ ( 2) ⎨ ⎪ v t = 0 = 0, vt t = 0 = 0 ⎩
⎧vtt = a 2vxx + f ( x, t )δ (t − τ ) ⎪ (3)⎨ ⎪v t =0 = 0, vt t =0 = 0 ⎩
⎧ω tt = a 2ω xx ⎪ (4) ⎨ ⎪ω t =τ = 0, ω t ⎩
的特征方程
A(dy ) − 2 Bdxdy + C (dx) = 0
2 2
特征方程的积分曲线
B + B 2 − AC y−( ) x = 常数 A
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人教版七年级数学上册第三章一元一次方程PPT教学课件全套
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
学习目标
1.通过算术与方程方法的使用与比较，体验用方程解 决某些问题的优越性，提高解决实际问题的能力. 2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学 会判断某个数值是不是一元一次方程的解.（重点） 3.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程. （难点）
从算式到方程是数学的进步！
观察与思考
观察下列方程，它们有什么共同点？
x x 1 60 70
70 y=60（y+1） 70（z-1）=60z
问题1 每个方程中，各含有几个未知数？ 1个
问题2 说一说每个方程中未知数的次数. 1次
问题3 等号两边的式子有什么共同点？ 都是整式
知识要点
一元一次方程
二 列方程
典例精析
例2 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形
的边长是多少？
解：设正方形的边长为x cm.
等量关系：正方形边长×4=周长，
x
列方程：4x 24.
(2) 一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用 150 h，经过多少月这台计算机的使用时间 达到规定的检修时间2450 h？
（7） 1 1. x6
典例精析
例1 若关于x的方程 2x n 1 9 0 是一元一次方程，则 n 的值为 2或－2 .
【变式题】加了限制条件，需进行取舍 方程(m 1)x m 1 0 是关于一元一次方程，则 m= 1 .
注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0.
列方程：1.20.8x 20.960 x 87.
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
学习目标
1.通过算术与方程方法的使用与比较，体验用方程解 决某些问题的优越性，提高解决实际问题的能力. 2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学 会判断某个数值是不是一元一次方程的解.（重点） 3.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程. （难点）
从算式到方程是数学的进步！
观察与思考
观察下列方程，它们有什么共同点？
x x 1 60 70
70 y=60（y+1） 70（z-1）=60z
问题1 每个方程中，各含有几个未知数？ 1个
问题2 说一说每个方程中未知数的次数. 1次
问题3 等号两边的式子有什么共同点？ 都是整式
知识要点
一元一次方程
二 列方程
典例精析
例2 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形
的边长是多少？
解：设正方形的边长为x cm.
等量关系：正方形边长×4=周长，
x
列方程：4x 24.
(2) 一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用 150 h，经过多少月这台计算机的使用时间 达到规定的检修时间2450 h？
（7） 1 1. x6
典例精析
例1 若关于x的方程 2x n 1 9 0 是一元一次方程，则 n 的值为 2或－2 .
【变式题】加了限制条件，需进行取舍 方程(m 1)x m 1 0 是关于一元一次方程，则 m= 1 .
注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0.
列方程：1.20.8x 20.960 x 87.
人教版数学七年级上册第三章一元一次方程章节复习课件
分析：
（1）桌面数:桌腿数=1:4; （2）桌面数=桌面所用木材体积×20
桌腿数=桌腿所用木材体积×400 (3) 桌面所用木材体积+桌腿所用木材体积=12.
解：设应用xm³木材做桌面，则用(12-x)m³木材 做桌腿，恰好配成整套桌子.
依题意，列出方程 400(12-x)=4×20x.
解方程，得
方程的有关概念例题
例1 已知x=－1是方程ax3＋bx－3=2的解，则 当x=1时，求代数式ax3＋bx－3的值.
解：将x=-1代入方程a(-1)3+b(-1)-3=2， 即a+b=-5.
当x=1时 原式=a·13+b·1-3
=a+b-3
=-5-8.
例2. 若 (m＋4) x| m|－3＋2＝1 是关于 x 的一元一次方 程，则 m的值为__4_．
合并同类项 把方程化成 ax ＝ b (a≠0)的情势
系数化为1 方程两边同除以 x 的系数，x＝m 的情势
解一元一次方程
(1) 2x 1 1 x 10x 1
4
12
解：去分母，得
3(2x+1)－12 = 12x－(10x+1).
去括号，得 6x＋3－12 = 12x－10x－1.
移项，得 6x－12x＋10x = －1－3＋12.
注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值， 需谨记未知数的系数不为0.
知识回顾——等式的性质
等式的性质例题
(1) 怎样从等式 x－6= y－6 得到等式 x = y ?
根据等式的性质1两边同时加6.
(2) 怎样从等式 5+x=1 得到等式 x =－4?
根据等式的性质1两边同时减5.
（1）桌面数:桌腿数=1:4; （2）桌面数=桌面所用木材体积×20
桌腿数=桌腿所用木材体积×400 (3) 桌面所用木材体积+桌腿所用木材体积=12.
解：设应用xm³木材做桌面，则用(12-x)m³木材 做桌腿，恰好配成整套桌子.
依题意，列出方程 400(12-x)=4×20x.
解方程，得
方程的有关概念例题
例1 已知x=－1是方程ax3＋bx－3=2的解，则 当x=1时，求代数式ax3＋bx－3的值.
解：将x=-1代入方程a(-1)3+b(-1)-3=2， 即a+b=-5.
当x=1时 原式=a·13+b·1-3
=a+b-3
=-5-8.
例2. 若 (m＋4) x| m|－3＋2＝1 是关于 x 的一元一次方 程，则 m的值为__4_．
合并同类项 把方程化成 ax ＝ b (a≠0)的情势
系数化为1 方程两边同除以 x 的系数，x＝m 的情势
解一元一次方程
(1) 2x 1 1 x 10x 1
4
12
解：去分母，得
3(2x+1)－12 = 12x－(10x+1).
去括号，得 6x＋3－12 = 12x－10x－1.
移项，得 6x－12x＋10x = －1－3＋12.
注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值， 需谨记未知数的系数不为0.
知识回顾——等式的性质
等式的性质例题
(1) 怎样从等式 x－6= y－6 得到等式 x = y ?
根据等式的性质1两边同时加6.
(2) 怎样从等式 5+x=1 得到等式 x =－4?
根据等式的性质1两边同时减5.
3人教版七年级数学上册第三章 3.1.1 一元一次方程 优秀教学PPT课件
【素养提升】 18．(12分)某通讯公司推出两种手机付费方式：甲种方式不交月租费， 每通话1分钟付费0.15元；乙种方式需交18元月租费，每通话1分钟付费 0.10元．两种方式不足1分钟均按1分钟计算． (1)如果一个月通话x分钟，那么用甲种方式付费应付话费多少元？用乙 种方式应付话费多少元？ (2)如果求一个月通话多少分钟时两种方式的费用相同，可以列出一个怎 样的方程？它是一元一次方程吗？ 解：(1)甲种方式应付话费0.15x元，乙种方式应付话费(18＋0.10x)元 (2)0.15x＝18＋0.10x，是一元一次方程
17．(10分)根据题意列出方程： (1)《文摘报》每份0.5元，《信息报》每份0.4元，小刚用7元钱买了两种 报纸共15份，他买的两种报纸各多少份？ (2)水上公园某一天共售出门票128张，收入912元，门票价格为成人每张 10元，学生可享受六折优惠．这一天出售的成人票与学生票各多少张？ (只列方程) 解：(1)设买《文摘报》x份，则买《信息报》(15－x)份，根据题意列方 程，得0.5x＋0.4(15－x)＝7 (2)设出售成人票x张，则出售学生票(128－x)张，根据题意列方程，得 10x＋60%×10×(128－x)＝912
当x = 4，5，6时呢?
1.若k是方程 2x=3 的解，则 4k+2=______.
2.若 xn2 4 0 是关于x的一元一次方程，则
n=______.
3.已知方程 x a 1 1是关于x的一元一次方程，则
a=______.
1. 一元一次方程的概念： 只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两 边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
回顾思考
1.你知道什么叫做方程吗？
方程： 含有未知数的等式叫方程.
3人教版七年级数学上册第三章 3.1.2 等式的性质 优秀教学PPT课件
通常用a b表示一般的等式.
试一试
我们可以直接看出像4x=24，x+1=3这样简单 方程的解，但是仅靠观察来解比较复杂的方 程是困难的。因此，我们还要讨论怎样解方 程。方程是含有未知数的等式，为了讨论解 方程，我们先来看看等式有什么性质。
对比天平与等式，你有什么发现？
等式的左边
等式的右边
等号
把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码， 则等号成立就可看作是天平保持两边平衡.
1、什么叫方程的解？
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫 做方程的解。
2、什么叫解方程？
求出使方程左右两边都相等的未 知数的值的过程叫做解方程。
检验一个数值是不是方程的解的步骤：
１.将数值代入方程左边进行计算，
２.将数值代入方程右边进行计算， ３.比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的 解，反之，则不是．
第三章 一元一次方程 3.1 从算式到方程 3.1.2 等式的性质
学习目标
1. 理解、掌握等式的性质. (重点) 2. 能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.
(难点)
1. 什么是方程?
方程是含有未知数 的等式。
2. 什么是一元一次方程？ 只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1，等 号两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程。
(1)a，b，c三个物体就单个而言哪个最重？ (2)若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平 两边至少应该分别放几个物体a和物体c?
解：(1)根据图示，知 2a＝3b，2b＝3c，所以 a＝32 b，b＝32 c，则 a＝
9 4
c，因为94
c＞32
c＞c，即 a＞b＞c，所以 a，b，c 三个物体就单个而言，
试一试
我们可以直接看出像4x=24，x+1=3这样简单 方程的解，但是仅靠观察来解比较复杂的方 程是困难的。因此，我们还要讨论怎样解方 程。方程是含有未知数的等式，为了讨论解 方程，我们先来看看等式有什么性质。
对比天平与等式，你有什么发现？
等式的左边
等式的右边
等号
把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码， 则等号成立就可看作是天平保持两边平衡.
1、什么叫方程的解？
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫 做方程的解。
2、什么叫解方程？
求出使方程左右两边都相等的未 知数的值的过程叫做解方程。
检验一个数值是不是方程的解的步骤：
１.将数值代入方程左边进行计算，
２.将数值代入方程右边进行计算， ３.比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的 解，反之，则不是．
第三章 一元一次方程 3.1 从算式到方程 3.1.2 等式的性质
学习目标
1. 理解、掌握等式的性质. (重点) 2. 能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.
(难点)
1. 什么是方程?
方程是含有未知数 的等式。
2. 什么是一元一次方程？ 只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1，等 号两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程。
(1)a，b，c三个物体就单个而言哪个最重？ (2)若天平一边放一些物体a，另一边放一些物体c，要使天平平衡，天平 两边至少应该分别放几个物体a和物体c?
解：(1)根据图示，知 2a＝3b，2b＝3c，所以 a＝32 b，b＝32 c，则 a＝
9 4
c，因为94
c＞32
c＞c，即 a＞b＞c，所以 a，b，c 三个物体就单个而言，
东南大学版《数理方程》课件
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 xy x y
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x atቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u2 u2 2 a f ( x, t ), x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t 利用齐次化原理，若 满足：
数理方程课件3-3
第1步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；
P( x) p( x) x 1 Q( x) q( x) x2 2 x2 本例中，
所以，这两个函数已经展成了泰勒级数，其中系数
Q0 2 , Q2 1, Qn 0 (n 0, 2) P0 1, Pn 0 (n 1)
ck
1 k (2 k )
ck 2
下面求用 c1 表示 c2k 1 的公式。重写系数关系式：
( k ) 2 2 ck ck 2 0
2 2 1 由 x 的系数，得： c1 ( 1) 0
x 次项开始，对应的系数为 c0 ，之前 （由于级数从
c2 k (1)k 1 22 k k !( 1)( 2)...( k ) c0
…
1 1 c2 k 4 c2 k 4 (2k 2)(2 2k 2) 2(k 1) 2( k 1)
1 2k (2 2k ) c2 k 2 1 c2 k 2 2k 2( k )
1
第一解对应判定方程的第一个根： 1 将其代入递推关系式： ck ( k )2 2 ck 2 得：
ck 1 k (2 k ) ck 2
1
可见，待定系数 c2k 将可以依次类推，用 c0 表示； c2k 1 可用 c1 表示。
ck
1 k (2 k )
数理方程课件33数理方程数理方程视频数理方程与特殊函数数理方程课后习题答案数理方程试卷北航数理方程数理方程常用公式数理方程pdf数理方程复习
§3-3 贝塞尔方程的级数解
用级数解法来求贝塞尔方程在x=0的邻域中的 级数解
数理方程第3讲.ppt
O x1
x2
x
12
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
(3.17)
f1f(13(x3)x) f2f(2x()x) 3x02
(3.18) (3.19)
从(3.19)得
1 3
f1(3x)
f2 ( x)
C,
(3.20)
从(3.18)与(3.20)可得
20
f1(3x)
9 4
x2
C,
f1 ( x)
1 4
x2
C,
SrM
u(x rx1, y
S1o
S
ry1,
z
rz1,
t
)
d,
(3.25)
其中=x+rx1,=y+ry1,=z+rz1 是球面SrM 上的
点的坐标, S1o是以原点为中心的单位球面,
d是单位球面上的面积元素,
dS
是
S
M r
上的面
积元素, 显然有 dS=r2d. 在球面坐标系中,
x1=sin qcos , y1=sin qsin , z1= cos q, d=sin qdqd.
x2
xy y2 x y
它的特征方程为
A(dy)22Bdxdy+C(dx)2=0
(3.13)
并不是任意一个二阶线性偏微分方程(3.12)都
人教版七年级数学上第三章整章课件
12．将连续的奇数1、3、5、7…排成如图3-2-3所示的 数阵： (1)十字框中的5个数的和与中间数25有什么关系？
解：(1)十字框中的5个数的和 是中间数25的5倍；
(2)设中间数为a，用式子表示十字框中5个数之和； (2)a-10+a-2+a+a+2+a+10=5a；
(3)十字框中的5个数之和能等于2015吗？2005呢？
1．下列变形正确的是( A ) A．若a=b，则a+c=b+c B．若2x=a，则x=a-2 C．若6a=2b，则a=3b D．若a=b+2，则3a=3b+2
其中一定正确的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．下列结论正确的是( B ) A．在等式3a-6=3b+5的两边都除以3 a-2=b+5 B．如果2=-x，那么x=-2 C．在等式5=0．1x的两边都除以0．1 x=0．5 D．在等式7x=5x+3的两边都减去x-3 6x- 3=4x+6
南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭)设野 鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，可
列方程为( D
)
A．(9-7)x=1
B．(9+7)x=1
3．要修一段长1210米的公路，由甲、乙两施工队从 两端同时施工，已知甲队每小时修130米，乙队每小 时修90米，则修完公路需( B ) A．5小时 B．5．5小时 C．6小时 D．6．6小时
(m-3) 2016的值为
1
．
【提示】
∵x2m-3+6=m是关于x的一元一次方程， ∴2m-3=1，解得m=2， ∴(m-3) 2016= (2-3) 2016=1．
人教版七年级数学上册《三章 一元一次方程 第三章 一元一次方程(通用)》示范课课件_6
则x=___3___.
10/11/2019
解一解:
4x 8(x 2) 1 40 40
解: 去分母,得
去括号,得 移项,得
4x 8(x 2) 40 4x 8x 16 40
4x 8x 40 16
合并同类项,得
12x 24
系数化为1,得
x2
三、解下列方程：
10/11/2019
3、x 1 x 方程去分母得：__5_x_-_1_0__=__2_x_.
2
5
4、方程
x3 2
1
2x 6
去分母后可得（
B
）
A. 3 x－3 =1＋2 x ，B. 3 x－9 =1＋2 x ， C. 3 x－3 =2＋2 x ，D. 3 x－12=2＋4 x .
5、若代数式x-5的值与2x-4的值互为相反数，
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子), 结果仍相等.
如果a=b,那么a ± c =_b_±___c__.
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个 不为０的数,结果仍相等.
如 如果 果aa==bb,(那c≠么0),a那c=么bc_;___ac___bc_.
10/11/20前是”-”,去括号后每一
大括号
项要改变符号。
移项
把含有未知数的项移到方程 1）移项要变号，不移不变 左边，常数项移到方程右边 2）项较多时不要漏项
合并同 类项
系数化 为1
运用合并同类项法则,把方 程变为ax=b（a≠0 ) 的最简
形式
将方程两边都除以未知 数的系数
1）把系数相加 2）字母和字母的指数不变
（1）6x 2(1 x) 7x 3(x 2)
10/11/2019
解一解:
4x 8(x 2) 1 40 40
解: 去分母,得
去括号,得 移项,得
4x 8(x 2) 40 4x 8x 16 40
4x 8x 40 16
合并同类项,得
12x 24
系数化为1,得
x2
三、解下列方程：
10/11/2019
3、x 1 x 方程去分母得：__5_x_-_1_0__=__2_x_.
2
5
4、方程
x3 2
1
2x 6
去分母后可得（
B
）
A. 3 x－3 =1＋2 x ，B. 3 x－9 =1＋2 x ， C. 3 x－3 =2＋2 x ，D. 3 x－12=2＋4 x .
5、若代数式x-5的值与2x-4的值互为相反数，
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子), 结果仍相等.
如果a=b,那么a ± c =_b_±___c__.
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个 不为０的数,结果仍相等.
如 如果 果aa==bb,(那c≠么0),a那c=么bc_;___ac___bc_.
10/11/20前是”-”,去括号后每一
大括号
项要改变符号。
移项
把含有未知数的项移到方程 1）移项要变号，不移不变 左边，常数项移到方程右边 2）项较多时不要漏项
合并同 类项
系数化 为1
运用合并同类项法则,把方 程变为ax=b（a≠0 ) 的最简
形式
将方程两边都除以未知 数的系数
1）把系数相加 2）字母和字母的指数不变
（1）6x 2(1 x) 7x 3(x 2)
数理方程第3讲PPT课件
13
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
2 u 2 u 2 u u u A x 2 2 B x y C y 2 D x E y F u 0( 3 .1 2 )
15
A 2 u 2 B 2 u C 2 u D u E u F u 0( 3 .1 2 ) x 2 x y y 2 x y
xat
x
11
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
t
决定区域
10
从达朗贝尔公式(3.11)还可以看出, 解在(x,t)点
的数值仅依赖于x轴上区间[xat,x+at]内的初
始条件, 而与其他点上的初始条件无关. 区间
[xat, x+at]称为点(x,t)的依赖区间. 它是由过
(x,t)点的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所
截得的区间.
t
(x,t)
依赖区间
O xat
u t t0
(x),x.
(3.7)
将(3.6)中的函数代入(3.7)中, 得
a f1 f1 ((xx )) fa 2f(2 x ()x ) (x()x ,).
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
2 u 2 u 2 u u u A x 2 2 B x y C y 2 D x E y F u 0( 3 .1 2 )
15
A 2 u 2 B 2 u C 2 u D u E u F u 0( 3 .1 2 ) x 2 x y y 2 x y
xat
x
11
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
t
决定区域
10
从达朗贝尔公式(3.11)还可以看出, 解在(x,t)点
的数值仅依赖于x轴上区间[xat,x+at]内的初
始条件, 而与其他点上的初始条件无关. 区间
[xat, x+at]称为点(x,t)的依赖区间. 它是由过
(x,t)点的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所
截得的区间.
t
(x,t)
依赖区间
O xat
u t t0
(x),x.
(3.7)
将(3.6)中的函数代入(3.7)中, 得
a f1 f1 ((xx )) fa 2f(2 x ()x ) (x()x ,).