数理方程-第3章-研究生剖析
东南大学版《数理方程》课件
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 xy x y
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x atቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u2 u2 2 a f ( x, t ), x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t 利用齐次化原理，若 满足：
数理方程课件3-3
第1步：对方程系数做变换，使其解析，将其展开为泰勒级数形式；
P( x) p( x) x 1 Q( x) q( x) x2 2 x2 本例中，
所以，这两个函数已经展成了泰勒级数，其中系数
Q0 2 , Q2 1, Qn 0 (n 0, 2) P0 1, Pn 0 (n 1)
ck
1 k (2 k )
ck 2
下面求用 c1 表示 c2k 1 的公式。重写系数关系式：
( k ) 2 2 ck ck 2 0
2 2 1 由 x 的系数，得： c1 ( 1) 0
x 次项开始，对应的系数为 c0 ，之前 （由于级数从
c2 k (1)k 1 22 k k !( 1)( 2)...( k ) c0
…
1 1 c2 k 4 c2 k 4 (2k 2)(2 2k 2) 2(k 1) 2( k 1)
1 2k (2 2k ) c2 k 2 1 c2 k 2 2k 2( k )
1
第一解对应判定方程的第一个根： 1 将其代入递推关系式： ck ( k )2 2 ck 2 得：
ck 1 k (2 k ) ck 2
1
可见，待定系数 c2k 将可以依次类推，用 c0 表示； c2k 1 可用 c1 表示。
ck
1 k (2 k )
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§3-3 贝塞尔方程的级数解
用级数解法来求贝塞尔方程在x=0的邻域中的 级数解
数理方程总结完整版
此方程的特征函数和特征值分别为：
②“左一右二”齐次边界条件的齐次方程： 2 2u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1 1 则
u ( x, t ) (Cn cos
sin
(n 1/ 2) x l
③：“左二右一”齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
③“左二右一”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x 1 1
则
2 2 ( n 1/ 2) ( n 1/ 2) 2 此方程的特征函数和特征值分别为： X ( x) cos x, = = , n 1,2,3... 2 l l
②：“左一右二”齐次边界条件的齐次方程：
2 u u 2 a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x
则u(x,t)= Cne
n 1
a 2 ( n1/2 )2 2 t l2
(n ) a (n ) a (n ) 2 2 2 u ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) cos x l l l n 1
1
④“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 2u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t 2 x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
数理方程第讲教学教材
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cos
ax
C
x2
sinaxd x
-
1 a
x2
cosax
2 a2
xsinax
2 a3
cosax
C
x
cos
axd
x
1 a2
cos
ax
1 a
xsin
ax
C
x2
cosaxd x
1 a
x2
sinax
2 a2
xcosax
-
2 a3
sinax
C
25
分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固 定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定 x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
第3课数理方程
定解问题的提出
方程 u′( x) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？ 方程 u′′( x ) = 0 能不能求解？解是什么？ 能不能定解？该怎么办？ 由此可归纳出 n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数， 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。
18
定解条件
1.初始时刻 :
均匀弦的微小横振动方程 三维热传导方程 定解条件和定解问题
1
弦的微小横振动方程
一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它 受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微 小横振动。 假设这运动发生在同一平面内且与 方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间 变化规律。
弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作 用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都 在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可 以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。
22
定解问题的适定性
定解问题的适定性:一个定解问题是否能够反映实
际，从数学的角度看主要是三个方面的问题：
解的存在性:即在给定的定解条件下，定解问题是否
有解存在? 从下一章起，我们要介绍三种典型的数学 物理方程的解法，它们直接给出了解的存在性的证 明。
解的唯一性:即在给定的定解条件下，定解问题的解
若存在，它是否唯一?如果能知道一个定解问题具有唯 一解，那么我们就能采用任何合适的方法去寻找它的 解。
∂u dQ = − k ( x , y , z ) dsdt = − k ∇ u ⋅ dSdt ∂n
10
其中 n 为曲面 ds 的外法向向量， k为热传导系数。 故从t1 到 t2 这段时刻流入曲面内部的热量为
Q1 =
∫
t2
t1
∂u ⎡ ⎤ ⎢ ∫∫S k ∂ n ⋅ ds ⎥ dt . ⎣ ⎦
2022年考研数学(三)真题解析
1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当x0时，1，1 1221x， 2故用排除法可得正确选项为（B）.事实上，limx 0limlim 1，x 0 x 0或 ln(1 x) ln(1 x o(x) o o所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】【例1.55】.2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取f(x) |x|，则limx 0f(x) f( x)0，但f(x)在x 0不可导，故选（D）.x事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得f(0) 0.lim在（C）中，x 0f(x)f(x) f(0)f(x)lim 0，存在，则f(0) 0,f (0) limx 0x 0xx 0x所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得1111 13F(3) 21 ，F(2) 22 ，2222 28F( 2)200211f(x)dx f(x)dx f(x)dx 12 .20222所以 F(3)33F(2) F( 2)，故选（C）. 44【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，2x ,sinx y 1，则0 y 1, arcsiny x ，故应选（B）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D）.商品需求弹性的绝对值等于dQP 2P 1 P 40， dPQ160 2P故选（D）.【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】limy lim ln1 e ,limy lim ln1 e 0，x x xx x x 所以 y 0是曲线的水平渐近线；limy lim ln1 e ，所以x 0是曲线的垂直渐近线； x 0x 0xx1exx ln 1 e ln1 e limx 1， ylim lim 0 limx xx x x xx1xxxb lim y xxli x xn1 ex lx，所以0y x是曲线的斜渐近线.故选（D）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.x注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e当x ,x 时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组 1, 2, 3构造的另一向量组 1, 2, 3的线性相关性. 一般令 1, 2, 3 1, 2, 3 A，若A 0，则 1, 2, 3线性相关；若A 0，则 1, 2, 可通过简单的线性3线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，运算得到正确选项.【详解】由 1 2 2 3 3 1 0可知应选（A）.或者因为10 1 10 1110 1 2, 2 3, 3 1 1, 2, 3 ，而 110 0， 0 11 0 11所以 1 2, 2 3, 3 1线性相关，故选（A）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取 1 1,0,0 , 2 0,1,0 , 3 0,0,1 ，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.TTT2【详解】由 E A111( 3)2可得 1 2 3, 3 0，1122所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0.所以A与B不相似，但是A与B的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A与B 合同，故选（B）.【评注】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A）（C）. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解】p＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝ C3p(1 p)p 3p(1 p)，222故选（C）.【评注】本题属基本题型.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X与Y的独立性和公式fX|Y(x|y)f(x,y)可求解. fY(y)【详解】因为 X,Y 服从二维正态分布，且X与Y不相关，所以X与Y独立，所以f(x,y) fX(x)fY(y).故fX|Y(x|y)f(x,y)fX(x)fY(y)fX(x)，应选（A）.fY(y)fY(y)【评注】若 X,Y 服从二维正态分布，则X与Y不相关与X与Y独立是等价的. 完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.x3x21 x xxx3 x2 1 0 0,|sinx cosx| 2，【详解】因为lim limx 2x x3x x311 x2x3 x2 1(sinx cosx) 0. 所以limx 2x x3【评注】无穷小的相关性质：（1）有限个无穷小的代数和为无穷小；（2）有限个无穷小的乘积为无穷小；（3）无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式. ( 1)n2nn!( 1)n2nn!12(n)(n)【详解】y ，则y(x) ，故y(0) . ,y n 12n 13(2x 3)2x 3 2x 3【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得zy12f1 f2 ， xxy z1 x f1 2f2， yxy所以xy z zx y 2 f1 f2 . x yy x【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】, 【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令u 【详解】令uy. xy，则原方程变为 xdu1dudxu x u u3 3 .dx2u2x两边积分得111 lnx lnC， 22u22y2即x1u1e x ex，将yCCx 11代入左式得 C e，，x e.x2故满足条件的方程的特解为 exey，即y【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】, 【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.15……….【分析】先将A求出，然后利用定义判断其秩.30 0【详解】A0 0100001000 0 0 0 A3010 000000001 0r(A) 1. 0 0【评注】本题为基础题型.矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间 0,1 上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.【详解】利用几何概型计算. 图如下：21 1 S2 3.所求概率 ASD14【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.29】，【例2.47】.17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】方程 ylny x y 0两边对x求导得y lny y即y (2 lny) 1，则y (1) 上式两边再对x求导得y1 y 0， y1. 22y y(2 lny)y则y (1) ，所以曲线y y(x)在点(1,1)附近是凸的.【评注】本题为基础题型.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济8类）第一篇【例5.29】.18…….【分析】由于积分区域关于x,y轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于x,y轴均对称，所以f(x,y)d f(x,y)d ，其中D为D在第一象限内的部分.DD1而D1f(x,y)dx y 1,x 0,y 0x2d1 x y 2,x 0,ydx1x1 2 x22 xxdy dx y dxy10 01 x2所以1 . 12Df(x,y)d 1 .322【评注】被积函数包含x y时, 可考虑用极坐标，解答如下：1 x y 2x 0,y 0f(x,y)d1 x y x 0,y 02sin cos1sin cos2ddr.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.19…….【分析】由所证结论f ( ) g ( )可联想到构造辅助函数F(x) f(x) g(x)，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令F(x) f(x) g(x)，则F(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内具有二阶导数且F(a) F(b) 0.（1）若f(x),g(x)在(a,b)内同一点c取得最大值，则f(c) g(c) F(c) 0，于是由罗尔定理可得，存在 1 (a,c), 2 (c,b)，使得F ( 1) F ( 2) 0.再利用罗尔定理，可得存在 ( 1, 2)，使得F ( ) 0，即f ( ) g ( ). （2）若f(x),g(x)在(a,b)内不同点c1,c2取得最大值，则f(c1) g(c2) M，于是 F(c1) f(c1) g(c1) 0,F(c2) f(c2) g(c2) 0，于是由零值定理可得，存在c3 (c1,c2)，使得F(c3) 0 于是由罗尔定理可得，存在 1 (a,c3), 2 (c3,b)，使得F ( 1) F ( 2) 0.( ). 再利用罗尔定理，可得，存在 ( 1, 2)，使得F ( ) 0，即f ( ) g【评注】对命题为f(n)( ) 0的证明，一般利用以下两种方法：(n 1)方法一：验证为f(x)的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证f(n 1)(x)在包含x 于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法. 【详解】f(x)111 11，而x2 3x 4(x 4)(x 1)5 x 4x 11111 x 1 (x 1)nn 1, 2 x 4， x 1x 431 3n 0 3 3n 031111 x 1 ( 1)n(x 1)n, 1 x 3 ， x 121 2n 0 2 n 02n 121(x 1)n ( 1)n(x 1)n( 1)nn 1 n 1 (x 1)n，所以 f(x) n 1n 1322 n 0n 0n 0 3n收敛区间为 1 x 3.【评注】请记住常见函数的幂级数展开.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a. 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组x1 x2 x3 0 x 2x ax 0 1232x1 4x2 ax3 0 x 2x x a 123 1其系数矩阵1 1 1 0 0 0112a4a2210 1 0 000a 1 01101a 103a 1010a 11101a 10. 01 aa 10(a 1)(a 2)0110 11a 10 0200a 3a 2001 aa 1 0显然，当a 1,a 2时无公共解., 1,k为任意常数；当a 1时，可求得公共解为 k 1,0 , 1. 当a 2时，可求得公共解为0,1【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.535353【详解】（I）B 1 A 4A E 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 2 1，TT则 1是矩阵B的属于－2的特征向量. 同理可得5353B 2 2 4 2 1 2 2，B 3 3 4 3 1 3 3.所以B的全部特征值为2，1，1设B的属于1的特征向量为 2 (x1,x2,x3)，显然B为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T1T 2 0.即 x1 x2 x3 0，解方程组可得B的属于1的特征向量2 k1(1,0, 1)T k2(0,1,0)T，其中k1,k2为不全为零的任意常数.由前可知B的属于－2的特征向量为 k3(1, 1,1)T，其中k3不为零.101 100 -1（II）令P 01 1 ，由（Ⅰ）可得PBP 010 ，则101 00 2 01 1B 101 .110【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x的形式. 请记住以下结论：（1）设是方阵A的特征值，则kA,aA bE,A2,f(A),A 1,A*分别有特征值1A(A可逆） k ,a b, ,f( ),,，且对应的特征向量是相同的.2（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.24】23…….【分析】（I）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得. 【详解】（I）P X 2Yx 2y2 x y dxdy 0dx 2 x y dy 24.x207(II) 利用卷积公式可得 fZ(z)f(x,z x)dxz(2 x)dx,0 z 1 0 2z z20 z 1 1(2 x)dx,1 z 2 (2 z)21 z 2.z 1 0,其他0,其他【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24） (本题满分11分)设总体X的概率密度为0 x 2 ,1f(x) , x 12(1 )0,其他(X1,X2, ,Xn) 为来自总体X的简单随机样本，是样本均值.（I）求参数的矩估计量；（II）判断4是否为的无偏估计量，并说明理由.【分析】利用EX 求（I）；判断E4X【详解】（I）EX222?2.xf(x)dx1xx 1dx dx ，21 2 24 令（II）E422112X . 4222 12 4E 4 4 DX EX ，n而EX2xf(x)dx2221x2x2 2 1dx dx ，21 2 336 所以 DX EX EX 所以212125， 481 12 1 15 2E 42 4 DX EX 1 2 1 ，n 3n 3n 412n故4不是的无偏估计量.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.22。
ch3 数理方程第3章
如果 u (r , ϕ , z ) 在 0 ≤ r ≤ a 上满足边界条件 (α u r + β u ) r =a = 0, 那么
α R ' (a) + β R(a) = 0. 还有自然边界条件
R(0) < +∞
8
原问题的求解归结为求 ⎧ d dR(r ) ν2 ) + (λ r − ) R ( r ) = 0 ⎪ (r dr r ⎨ dr ⎪α R ' (a ) + β R(a ) = 0，R (0) |< ∞ | ⎩ 的固有值问题。
1
内容：
第一节 贝塞尔方程的引出 第二节 贝塞尔方程的求解 第三节 贝塞尔函数的性质 第四节 贝塞尔函数应用举例
2
第一节
贝塞尔方程的引出
问题：考虑一圆柱体内部的稳恒的温度分布。
三维拉普拉斯方程
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u Δu = 2 + 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂z
在柱坐标系 (r , ϕ , z ) 下 转化为
即
c1[( ρ + 1) 2 −ν 2 ] = 0.
(n ≥ 2) :
x
n+ ρ −2
c n [(n + ρ )(n + ρ − 1) + (n + ρ − ν 2 )] + cn−2 = 0
16
或
cn − 2 cn = − 2 2 ( n + ρ ) −ν
(3)
由指标方程可得
ρ1 = ν , ρ 2 = −ν .
R ′′(r ) 1 R ′(r ) 1 Φ ′′(ϕ ) Z ′′( z ) + + 2 =− = −λ R(r ) r R(r ) r Φ(ϕ ) Z ( z)
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Laurent级数
p(x) an (x x0 )n , q(x) bn (x x0 )n.
n1
n2
此时设方程（1）有广义幂级数解
y(x) csn (x x0 )sn
(3)
n0
有y(x) csn (s n)(x x0 )sn1, n0
y(x) csn (s n)(s n) 1(x x0 )sn2 , n0
正交系。
一切正交函数系都可标准化，即可取适当常数
使 00 , 11,
0 , 1, n ,
nn ,成为标准正交系，取
n
1
n
.
3.定义：若函数系n在[a,b]上满足
b a
m
(
x)n
(
x)
(
x)dx
0, 0,
m n, m n,
m, n 0,1,
其中(x)为权函数，则称函数系 n在[a,b]上关于权函数
则y P(x) y q(x) y
csn (s n)(s n) 1(x x0 )sn2 n0
( ak (x x0 )k )( csn (s n)(x x0 )sn1)
k 1
n0
( bk (x x0 )k )( csn (x x0 )sn )
k 2
n0
0.
最低幂的系数，即 (x x0)2 ，其系数为
p(x),q(x)的孤立奇点，则称 x0点为方程（1）的奇
点；若 x0 是p(x)的不超过一级的极点，并且是q(x) 不超过二级的极点，则 x0 为方程（1）的正则奇点； 否则称 为方x0 程（1）的非正则奇点。
定理（cauchy定理）设 x0是方程（1）的正常点，则
在 x0 的某邻域内存在形如
(x)正交，或称按权函数 (x)构成正交系。
二、广义Fourier级数
设n是定义在[a,b]上的一个正交函数系，f(x)是[a,b]
上给定的函数，设f(x)可以写成
f (x) c00 (x) c11(x) cnn (x) (1).
的形式，其中 c0 ,c1, ,cn , 是常数.
确定 cn，将（1）式两端同乘n (x) ，在[a,b]上积分
y(x) an (x x0 )n
(2)
n0
的解，且满足初始条件 y(x0 ) a0, y(x0 ) a1
的解存在、唯一。
作法（待定系数法）：先将p(x),q(x)在点 x0 展成
Taylor级数，然后将展开式和（2）代入（1）。满足等式
来确定 a0 , a1, , an ,
若 x0 是方程（1）的正则奇点，则p(x),q(x)可展开成
0,1,
2
b
若n关于(x)正交，则cn
a
f (x)n (x)(x)dx
b an2(ຫໍສະໝຸດ x)(x)dx
，n
0,1,
2
称级数（1）为f (x)按正交函数系n展开的广义Fourier级数，
cn为广义Fourier系数。
第三节 Sturm-Liouville问题
常微分方程
c1(x) X (x) c2 (x)X (x) [c3(x) ]X 0,a x b (1) 其中与x无关的参数。
b
b
a
f (x)n (x)dx
(
a
ckk (x))n (x)dx.
k 0
且假设级数（1）可逐项积分，则由 n的正交性，有
b
b
故cn
a
f (x)n (x)dx
b a
n2
(
x)dx
a
f
(
x)n ( n 2
x)dx
,
n
0,1,
2
若n为标准正交系，则cn
b a
f
( x)n
(x)dx，n
n0
n0
通解为 y(x) Ay1(x) By2 (x).
第二节 正交函数系及广义Fourier级数
一、正交函数系的概念
1.定义：设函数 (x), (x)在区间[a,b]上有定义，
积分
b
a (x) (x)dx.
称为函数 (x)与 (x) 的内积，记作
，
b
(x) (x)dx.
a
函数(x) 与自身的内积的开方称为该函数的范数
（2）若判定方程的两根之差是整数，则相对于较大的根所 对应的形如（3）的广义幂级数仍是（1）的解，另一个
解形式如 y2 (x) Ay1(x)ln(x x0 ) cn (x x0 )ns2 , n0
其中y1(x) 为较大根对应解，s2 是判定方程相对较小的根，且 y1(x) 和 y2 (x) 线性无关。
第三章 固有值问题与特殊函数
第一节二阶常微分方程的级数解
求解固有值问题时，经常遇到二阶线性齐次常微 分方程的求解问题。
二阶齐次常微分方程的一般形式：
y p(x) y q(x) y 0. (1)
定义：在方程（1）中，若p(x),q(x)在 x0 处解析，则 称 x0 点为方程（1）的正常点；若 x0是
（1）式适当变形后，可化成
d [ p(x)X (x)] [q(x) s(x)]X 0
(2)
dx
(1) s(x)得
s(x)c1(x)X (x) s(x)c2 (x)X (x) s(x)[c3(x) ]X 0 (3)
方程的通解情况：设 （1）若 s1 s2 Z 则
s1, s2
为判定方程的两个根。
y1(x) cn (x x0 )s1n , y2 (x) cn (x x0 )s2n.
n0
n0
通解为 y(x) Ay1(x) By2 (x).
（2）若 s1 s2 Z且s1 则s2 ,
y1(x) cn (x x0 )s1n , y2 (x) Ay1(x) ln(x x0 ) cn (x x0 )ns2 ,.
（模），记作(x)，即 (x)
，
b
2
(
x)dx
.
a
2.定义：设一族定义在[a,b]上的函数
0 (x),1(x), ,n (x),
(1)
若满足
n (x),m(x) 0,n m.且 n 0，n 0,1,2, .
则称函数系（1）是[a,b]上的正交函数系，简称正
交系，记为
n
n0
或
n
.
例：1,cos x,sin x, ,cos nx,sin nx, 是区间[- , ]上的正交函数系。 若（1）还满足 n 1,n 0,1,2则,称函数系（1）是[a,b]上的标准
cs s(s 1) a1 cs s b2 cs 0且cs 0。 则s(s 1) a1s b2 0 称为方程（1）的判定方程。
定理：设x0 是方程（1）的正则奇点 （1）若判定方程的两根之差不是整数，则s取这两个根构造
的形如（3）的两个广义幂级数均是（1）的解（且两个 解线性无关）；