数学物理方法_第三章_幂级数展开
第03章_幂级数展开
第3章 幂级数展开要学习幂级数展开？ 实变函数的幂级数展开： (1) 将实变函数进行泰勒展开，截取幂级数的前面有限项 的和可以作为函数的近似（项数取决于要达到的近似 程度）； (2) 常微分方程可用级数方法求解。 §3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第3章 幂级数展开
2
§3.1 复数项级数 1. 复数项级数 设有复数项的无穷级数
w =w +w +w + +w +
它的每一项都可分为实部和虚部， wk uk ivk 前n+1项的级数和为 复数项无穷级数的和
其中，w( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 ) 2
幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数，在收敛圆内不 可能有奇点。 幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次。 因为收敛圆的内部是单连通区域，所以幂级数在收敛圆 内又可以逐项积分。 逐项积分或逐项求导不改变收敛半径。P37 习题1. 2.
lim ak z z0
k k
k
数学物理方法
第3章 幂级数展开
k
11
例1：求幂级数 z 的收敛圆
k 0
解： a 1 k
R lim
ak ak 1
k
1 lim 1 k 1
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1 z 1
事实上，本例是几何级数，公比是z，所以 前n+1项的和为：
数学物理方法
第3章 幂级数展开
第三章幂级数展开
函数 f(z)=Ln z 在z=1点的Taylor级数展开 函数 f(z)=(1+z)n 在z=0点的Taylor级数展开
18
解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
19
展成幂级数的几种方法
直接方法
间接方法 函数 f(z)=arctan z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=sin z 在z=0点的Taylor级数展开 函数 f(z)=1/(1-z)2 在z=0点的Taylor级数展开
时，有 n p
wk (z)
k n1
其中p为任意正数
若与z无关则称 一致收敛
5
性质 连续性 可积性
解析性
级数 wn (z) 在B内一致收敛，且wn(z) n 1
连续，则该级数在B内连续
级数 wn (z) 在C上一致收敛，且wn(z) n 1
在C上连续，则
wn (z)dz wn (z)dz
n
8
举例
求级数 z n 的敛散半径及收敛圆
n 1
9
求级数 (1)n1 z2(n1) 的敛散半径收敛圆 n1
10
内闭一致收敛
幂级数在收敛圆内内闭一致收敛
幂级数的性质
在收敛园内幂级数具有连续性、可积性和解析性
11
可积性
12
第三节 Taylor级数展开
13
Taylor定理
设函数 f(z)以z0为圆心的圆周CR内解析，则对于圆内
n
则
f (z) an (z z0 )n
n
(1) 在B内连续；
(2) 在B内解析，且于B内可逐项可导；
幂级数展开
1
1
2
由于级数在CR1上一致收敛,由一致收敛级数的逐项可积 分性质得:
1 2 i
w ( )
CR1
z
d
1 2 i
a0
CR1
z
d
1 2 i
a1 ( z 0 )
CR1
z
d
1 2 i
a 2 ( z 0 )
k
证明: 取比收敛圆稍稍缩小的圆周CR1, 为其上的任 一点,级数的和记作 (3.2.9)
w ( ) a 0 a1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )
2
取CR1内任一点z, 1 a ( z ) 1 2 (i z 用有界函数 a a z ) 1 w ( ) 1 遍乘上式 i z 2 i z 2 i z 2 2 i z
解： R lim
k
级数在 z 1 绝对收敛
=
例2.求幂级数 1 z 2 z 4 z 6 的收敛圆,z为复变数 解:把 z 记作 t ,则级数为 1 t t 2 t 3 , t面上的
2
收敛半径
R lim
ak a k 1
k
1
则z面上的收敛半径为
其中, W ( z )
k 1
W (z)
wk ( z )
则级数在区域B上(或者曲线L)一致收敛于 W ( z ) W ) W ((zz) 称为和函数
,
注意: 一致收敛的概念是和一定的区域联系在一起
b.一致收敛的充要条件 对于B上(或L)上的点z， ，存在自然数
第三章幂级数展开
第三章 幂级数展开ξ3.1 复数项的级数一．复数的无穷级数可表示为：121kk n k ww w w w ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑ （1）其中：k k w u iv =+前n 项和为：11nn k k n k s w w w w w ===++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∑=11nnkkk k ui v ==+∑∑当n →∞时级数：n s →级数：1kn w∞=∑故111n kkk k k k w u i v ∞∞====+∑∑∑一个复数项级数可分解为实部项级数可虚部项级数两个级数的组合收敛问题是线性讨论级数的一个重要方面，而复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数（实部和虚部）的收敛 1. 柯西收敛判据：一个级数还可写为：11kn kk k n ws w∞∞=≠+=+∑∑ （4）其中n s 是钱n 项和1kk n w∞≠∑为余项判据：任何一个小正数ξ>0 若能找到一个N 使得n>N 时1n pkk n wξ+=+<∑则称1kn w∞=∑收敛，其中p 为任意整数 2. 绝对收敛若11kk k w∞∞===∑∑是收敛的，则1kk w∞=∑绝对收敛两个敛的级数相乘后所得的级数耶是绝对收敛的，其和等于相乘级数和的乘积二．复变项级数（复变函数项级数） 1．函数项级数一般表示为：121()()()()kkk w z w z w z w z ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅∑ （5）函数项级数的收敛问题得涉及到z 的取值域，若z 在B 上取值是（5）收敛，则称1()kk w z ∞=∑在B 上收敛。
B 称为1()kk w z ∞=∑的收敛域函数项级数也可表示为：111()nkkkk k k n w z ww∞∞===+==∑∑∑ （6）2. 函数项级数的收敛 如在B 上，对于个点z任意给0ξ>，若存在N 使得n>N 时有1n pkk n wξ+=+<∑则称级数1()nkk w z =∑在B 上一致收敛3.收敛级数性质（1）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都是B 上的连续函数 （2）在B 上一致收敛的函数项级数的每一项都可积分⇒逐项积分 (3) 若有()k k w z m ≤，而1kk m ∞=∑是收敛的，则()kw z ∑绝对且一致收敛ξ3.2 幂级数最典型也最常见的级数——即级数的各项都是幂函数2001020()()()k k k a z z a a z z a z z ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ (1) 其中0z 、0a 、1a 、2a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是复常数，这一的级数叫做以0z 为中心展开的幂级数 一.级数收敛判别法1. 比值判别法（达朗贝尔判别法）： 若：110100lim lim1k k k kk k kka z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- （3）则（2）正项级数收敛，亦即级数（1）绝对收敛 2. 根值判别法若：1k < （4）则级数（2）收敛，亦即级数（1）绝对收敛3. 收敛域和收敛半径函数级数的收敛问题（从根本上）具体要涉及的是收敛u 的问题即，z 在什么样的范围内取值级数是收敛的，收敛判别法本身给出了z 的取值范围： 由判别法“1”：01l i m kk k a z z a →∞+-< (5)则 1limkk k a R a →∞+= （6）为级数（1）的收敛半径 只要满足0z z R -< 的所有点其级数（1）都收敛则以0z 为中心R 为半径的区域是（1）的收敛区域，对应圆称（1）的收敛圆。
数学物理方法_第三章_幂级数展开
数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法，它是通过使用幂级数来表示一个函数，从而方便对函数进行近似计算和分析。
在许多问题中，幂级数展开可以简化计算的复杂性，帮助我们更好地理解问题的本质。
幂级数是一个无穷级数，形式为：f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中，a0、a1、a2...是常数系数，x0是展开点。
幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数，进而通过截断级数的方式来近似求解。
这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。
幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开，泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。
泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。
泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示，形式如下：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛，它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。
以下是幂级数展开的几个典型应用：1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。
通过截断幂级数，我们可以用其前几项来近似计算函数的值。
这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的，因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。
2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。
对于一些微分方程，无法找到解析解，但通过将解展开成幂级数的形式，可以将微分方程转化为代数方程，从而求得解的逼近解。
3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。
通过截取幂级数的前几项，我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式，从而方便我们进行数值计算。
4.解析几何的研究在解析几何中，幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。
通过展开曲线或曲面，我们可以对其性质进行分析和计算，帮助我们更好地理解几何问题。
数学物理方法复变函数第三章幂级数
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。
北京大学数学物理方法经典课件第三章-幂级数展开
泰勒级数的定义及性质
泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，它将函数展开为一系列的非负整数次幂函数的和。泰勒级数在解析学中起 着重要的作用，具有一些重要的性质。
泰勒展开的应用
通过泰勒展开，我们可以将复杂的函数近似为一个多项式，从而简化计算和分析。泰勒展开在数学和物理领域 中有广泛的应用，包括数值计算、数值解微分方程等。
幂级数展开的基本思想和方法
幂级数展开的基本思想是将待展开的函数表示为幂级数的形式，然后通过求 解系数的方式得到展开式。常用的展开方法包括泰勒展开和洛朗展开。
幂级数展开的典型例题
通过具体的例题，我们可以更好地理解和应用幂级数展开。这些例题涉及到各种函数的展开，以及如何利用展 开式求解问题。
幂级数练习题解析
为了加深对幂级数展开的理解提高 解决问题的能力和技巧。
幂级数分析的收敛性问题
在进行幂级数展开时，我们需要考虑展开式的收敛性。这一节将介绍幂级数 在不同区域内的收敛性条件，并给出相应的判别方法。
幂级数收敛半径的计算方法
幂级数的收敛半径是一个重要的概念，它决定了幂级数在哪些点上收敛。我们将介绍几种计算收敛半径的方法， 并通过例题进行实际应用。
经典函数的泰勒级数展开
许多经典函数都可以表示为泰勒级数的形式。在这一节中，我们将重点介绍 几个常见函数的泰勒级数展开，比如指数函数、对数函数、三角函数等。
洛朗级数的定义及性质
洛朗级数是一种特殊的幂级数展开形式，它包含了正幂次和负幂次两部分。 洛朗级数在解析学和复变函数中有重要的应用。
洛朗展开的应用
幂级数展开的误差估计
在实际计算中，我们常常需要估计幂级数展开的误差。这一节将介绍如何使 用剩余项来估计幂级数展开的误差，并给出具体的计算方法。
数学物理方法课件解析函数的幂级数展开
幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程 的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展 开，然后代入积分方程中求解系数，最后得 到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入 积分方程中求解系数a_n，得到解。
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幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂 级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较 相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区 间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会 逐渐增大。
数学物理方法课件解析函 数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无 穷级数的方式，其中每一项都是该函 数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得 到微分方程的解。
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pk A,
k 0
qk B
k 0
pk qk pkql cn AB
k 0
k 0
k0 l0
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k 0
三、函数项级数 1、概念与收敛判据
wk (z) w1(z) w2 (z) wk (z)
k 1
设 wk (z) (k 1, 2, 3, ) 是 z 平面上某区
1、比值判别法（达朗贝尔判别法）
| ak || (z z0 ) |k | a0 | | a1 || (z z0 ) | | a2 || (z z0 )2 |
k 0
(3.2.2)
按比值判别法（达朗贝尔判别法）
若
lim
k
|
ak 1 | ak
|| ||
z z
z0 z0
|k 1 |k
lim ak1 k ak
|k 1 |k
lim ak1 k ak
R
1
级数发散
即： | z z0 | R 收敛
| z z0 | R 发散
z0
收敛
CR
R 发散
R：收敛半径 CR: 收敛圆
2、根式判别法：
若
lim k
k
| ak
|| z z0 |k
1（（33..22..21） ）收 绝敛对，收敛
lim k
k
| ak
|| z z0 |k
k n1
——为-N语言叙 述的极限定义！
式中 p 为任意正整数。N一般随 z 不同而不同，
但如果对任给小正数 > 0, 存在与 z 无关的N(),
使得 n > N() 时，上式成立，便说
wk (z)
在 B 内一致收敛。
k 1
2、一致收敛级数的性质
记级数和为 w(z)
（1）在B内一致收敛的级数，如果级数的每一 项 wk (z) 都是 B 内的连续函数，则级数的和
w(z) 也是 B 内的连续函数。
（2）逐项求积分 在曲线 l 上一致收敛的级数， 如果级数的每一项 wk (z) 都是 l 上的连续函数， 则级数的和 w(z) 也是 l 上的连续函数，而且 级数可沿 l 逐项求积分。
l w(z)dz l wk (z) dz l wk (z)dz
k 1
k 1
第三章 幂级数展开
意义：1. 利用级数计算函数的近似值； 2. 级数法求解微分方程； 3. 以级数作为函数的定义； 4. 研究奇点附近函数的性质。
§3.1 复数项级数
一、复级数概念
wk w1 w2 wk ,
k 1
wk uk ivk
(3.1.1)
原级数成为
wk uk ivk uk i vk
（3）逐项求导数（外氏－Weierstrass 定理）
设级数 wk (z) 在 B 中一致收敛，wk (z) (k 0,1,2, ) k 1
在 B 中单值解析，则级数的和 w(z) 也是 B
中的单值解析函数，w( z )
的各阶导数可由
wk (z)
逐项求导数得到，即：
k 1
w(n) (z) wk(n) (z)
mk
收敛，则 wk (z) 在区域 B (或曲线 l
)上
k 1
k 1
绝对且一致收敛。
§3.2 幂级数 一、定义
ak (z z0 )k a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 , (3.2.1)
k 0
其中 z0，a0，a1，a2， 为复常数。 这样
的级数叫作以z0为中心的幂级数。 二、幂级数敛散性
k 1
且最后的级数 wk(n) (z) 在 B 内的任意一个区
k 1
域中一致收敛。
3、级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法，
或优级数判别法，或M判别法
若对于某区域 B (或曲线 l )上所有各点 z, 函
数项级数
wk (z)
各项的模
k 1
| wk (z) | mk ,
（ mk 是与 z 无关的正数)，而正的常数项级数
k 1
k 1
k 1
k 1
这样复级数 wk 归结为两个实级数 uk ， vk
k 1
k 1
k 1
实级数的一些性质可移用于复级数。
二、收敛性问题
1、收敛定义：
n
部分和 An wk , n 1,2, 3, 于 n 有确定
k 1
的极限，便称级数收敛；极限不存在或 lim n
An
，
便称级数发散。
2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：
域
B中的单值解析函数。如果函数项
wk
(
z)
k 1
在 B 中（或某曲线 l 上）所有点上都收敛， 则说级数在B中（或某曲线 l 上）收敛。
柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：
对B内每点 z，任给小正数 > 0, 必有 N(, z) 存在，使得当 n > N(, z) 时，
n p
wk (z)
k
k 1
n tk 1 t t2 tn 1 tn1 ,
k 0
1 t
| t | 1, 若
则 lim n tk 1 tn1 1 ,
n k0
1t 1t
对于任给的小正数 ，必有 N 存在，使得 n > N 时，
n p
wk ,
k n1
Hale Waihona Puke 式中 p 为任意正整数。——为-N语言叙 述的极限定义！
3、绝对收敛级数
若
| wk |
uk2 vk2
收敛，则
wk
k 1
k 1
k 1
绝对收敛。
a. 绝对收敛级数改变先后次序，和不变；
b. 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数 和之积。
| z z0 | 1,
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。 引入记号 R lim ak
a k k 1
则即：若
|
z
z0
|
lim
k
ak ak 1
R ，则（3.2.1)
绝对收敛。
另一方面，若 | z z0 | R 则
lim | ak1 k | ak
|| z || z
z0 z0
1
级数发散
R lim 1 k k ak
(收敛半径的另一公式)
z0
收敛
CR
R 发散
R：收敛半径 CR: 收敛圆
3、收敛圆内幂级数绝对且一致收敛
作 CR1 (R1 R)
在 | z z0 | R1
有 | ak (z z0 )k || ak | R1k
对 | ak | R1k 应用比值判别法
k 0
CR
R1 z0
CR1
R
收敛
发散
R：收敛半径 CR: 收敛圆
有
lim
|
ak 1
k | ak
| R1k1 | R1k
lim ak1 k ak
R1
R1 R
1
幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！
三、例题
例1 求 1 t t2 tk 的收敛圆。t 为复数
解：R lim ak lim 1 1.
a 1 k