第三章 Z变换
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计算机控制系统03 Z变换
Y1 ( z ) Y2 ( z ) y1 ( kT ) y2 ( kT )
不能得出 y1 (t)=y2(t) 的结论。 （3）单边Z变换 t<0时，f(t)=0; k<0时, f(kT)= f(k)=0。
（4）F(z)=Z[f*(t)],它并不是连续函数的Z变换， 但习惯上也称F(z)为 f(t) 的Z变换， Z变换本身包含着离散的概念。 总之： Z变换的重要含义在于延迟与离散。
Z [a k ] k 0 a k z k ( az 1 ) k k 0
1 z 1 1 az za
nω t,cos ω t) 5.正弦、余弦函数 (si 欧拉公式 e jt e jt e jt e jt
sin t 2j
cost
则 Z [ y( kT )] Z [u( kT ) * g ( kT )] U ( z )G ( z )
7 乘ak 后的Z变换 Z[ y( kT )] Y ( z ) 若 Z[a k y( kT )] Y ( a 1 z ) 则 k k k Z [ a y ( kT )] y ( kT ) a z k 0 证：
k 0 f (kT ) e kTs
(t kT ) e
kTs
注意: e-kTs是一个延迟环节，延迟时间为kT， 即k个采样周期(拍)。
1.定义：新变量 ln z T
e
kTs
z
k
用z 作自变量，替换F*(s) 中的 s F*(t)的z变换
拉氏变换，注意到f(nT)为常数
F * ( s) L[ f * (t )] f (0) L[ (t )] f (T ) L[ (t T )] f (2T ) L[ (t 2T )]
不能得出 y1 (t)=y2(t) 的结论。 （3）单边Z变换 t<0时，f(t)=0; k<0时, f(kT)= f(k)=0。
（4）F(z)=Z[f*(t)],它并不是连续函数的Z变换， 但习惯上也称F(z)为 f(t) 的Z变换， Z变换本身包含着离散的概念。 总之： Z变换的重要含义在于延迟与离散。
Z [a k ] k 0 a k z k ( az 1 ) k k 0
1 z 1 1 az za
nω t,cos ω t) 5.正弦、余弦函数 (si 欧拉公式 e jt e jt e jt e jt
sin t 2j
cost
则 Z [ y( kT )] Z [u( kT ) * g ( kT )] U ( z )G ( z )
7 乘ak 后的Z变换 Z[ y( kT )] Y ( z ) 若 Z[a k y( kT )] Y ( a 1 z ) 则 k k k Z [ a y ( kT )] y ( kT ) a z k 0 证：
k 0 f (kT ) e kTs
(t kT ) e
kTs
注意: e-kTs是一个延迟环节，延迟时间为kT， 即k个采样周期(拍)。
1.定义：新变量 ln z T
e
kTs
z
k
用z 作自变量，替换F*(s) 中的 s F*(t)的z变换
拉氏变换，注意到f(nT)为常数
F * ( s) L[ f * (t )] f (0) L[ (t )] f (T ) L[ (t T )] f (2T ) L[ (t 2T )]
4第三章Z变换gxsPPT课件
1、环节串联时的脉冲传递函数
a、各线性环节直接串联，之间无理想开关相 隔只有输入端设采样开关。
G (z) T
T
r(t)
G1(s) R(z)
G2(s)
y*(t) Y(z) y(t)
G(s)=G1(s)G2(s) G(z)=Z[G(s)]=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)
先乘积 后变换
即：开环系统的脉冲传递函数，等于两个环节传
1W (z) 1 D(z) •G(z)
e (z)
E(z) R(z)
R(z) Y (z) R(z)
1
Y (z) R(z)
1 (z)
e
(z)
1
1 D(z)
•
G(z)
(z) 1 e (z)
15
§3-4控制系统的稳定性
无论对于连续系统还是离散系统，所谓稳定 就是指在有界的输入作用下，系统的输出也是有 界的。一个系统必须是稳定的才能工作，当然一 个稳定的系统还有工作性能好坏的问题，这是性 能指标。这里要给大家介绍离散系统的稳定性及 稳态误差。 一、离散系统稳定的充分必要条件
图2-6 两个环节并联
G(z)= G1(z)+G2(z)=Z[G1(s)]+Z[G2(s)] 10
三、离散控制系统的闭环脉冲传函
离散控制系统中采样开关的配置有多种形式， 因此控制系统没有唯一的结构，只对几种典型 结构，给出闭还系统的脉冲传函。
1. R(z) + E(s) G(s)
B(z-) T
H(s)
y*(t) Y(z)
7
T r(t)
G (z) T
G1 (s) 1 eTS
Go(s) G2 (s) s
G(z) G1G2 z Z L1 G1 s • G2 s
第三章 Z变换
0 | z | Rx 2 0 | z | Rx 2
j Im[ z ]
左边序列 ROC示意图
Re[ z ]
Rx 2
3．2．5 双边序列的ROC
如果序列在整个区间都有定义，则称之为双边序列或无始无 终序列。
X(z)
如果
n
x (n )z n x (n )z n
n 0
n
1 z | z | 1 1 1 z z 1
1
|z| > 1
序列的单边ZT可以用双边ZT表示
Z[x(n)] Z B [x(n)u(n)]
而且，一个序列是因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u ( n )
一个序列是反因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u (— n — 1 )
（3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0
除外)
3．2．2 有限长序列的ROC
X(z)
n n1
x (n )z n
n2
（1） n1<0，n2>0 时，收敛域为 0 < | z | <∞( |z|=0, ∞ 除外) （2）n1<0， n2 ≤ 0 时， 收敛域为 0 ≤ | z | < ∞ ( |z|=∞ 除外) （3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0 除外)
a n , (n 0) x 1 (n ) 0, (n 0)
的ZT为：
X1 ( z)
n
x ( n) z
1
n
a z
Z变换ppt课件
F (s)
C0
C1 s s1
C2 (s D2 ) s2 A2s B2
L
线性常系数微分方程，可以写成传递函数f（s）：
特征值为实数（一阶系统）或者一对共轭复根（二阶系统） f（s）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），
分别查表，得到z变换式，再求和。
注意：一般不能用 F *(s) s 1 ln z F (z) T 5
f *(t) 11 (t T ) 29 (t 2T ) 67 (t 3T ) 145 (t 4T ) L
得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析
7
2. 查表法(部分分式展开法)
F (z) A1z A2z L An z
z z1 z z2
z zn
例：求
F
(
z
)
11z3 15z (z 2)(z
nm，可实现条件
例： G(z) Y (z) z z , Y (z) zR(z)
R(z)
1
y(t) r(t)=(t)
t -T 0
若r(t)=(t), R(z)=1, 则Y(z)＝z, y(t)= (t+T)
输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上 不存在
17
2 差分方程与脉冲传递函数
c(k) a1c(k 1) a2c(k 2) L anc(k n)
即
e*(t) r *(t) c*(t)
25
反馈通道有采样开关
G(z)
R(s)
_
E(s) T E(z)
G(s)
Y(s) T
Y(z)
F(s)
T
Y(z)
Y(z) G(z)E(z)
E(z) R(z) F(z)Y (z) R(z) F(z)G(z)E(z)
第3章 Z变换
一. Z变换的定义
双边z变换 双边 变换
X ( z ) = ZT [ x(n)] =
n =−∞
∑
∞
x ( n) z − n
其中： 为复变量 以其实部为横坐标， 为复变量， 其中：z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐 标构成的平面称为z平面 平面。 标构成的平面称为 平面。
X ( z ) = ZT [ x(n)] = ∑ x( n) z − n
X ( z) =
n =−∞
∑ −a u(−n −1) z
n
∞
−n
=
n =−∞
−a z = ∑ −a z = −∑ (a −1 z)n ∑
n −n −n n n =1 n=1
−1
∞
∞
此等比级数在|a-1z|<1，即|z|<|a|处收敛。 因此 此等比级数在 ， 处收敛。 处收敛
− a −1 z 1 z X ( z) = = = −1 1 − a z z − a 1 − az −1 | z |<| a |
n =0 ∞
单边z变换 单边 变换
数字信号处理
第三章 Z变换
二．Z变换的收敛域 1．收敛域的定义：对任意给定序列 ．收敛域的定义：对任意给定序列x(n)，使其 ，使其z 变换收敛的所有z值的集合称为 变换收敛的所有 值的集合称为X(z)的收敛域。 的收敛域。 值的集合称为 的收敛域 2. 收敛条件：X ( z ) = 收敛条件：
X ( z) =
n = −∞
∑
∞
x ( n) z
−n
= ∑ x ( n) z
n =0
∞
−n
+
n = −∞
x ( n) z − n ∑
双边z变换 双边 变换
X ( z ) = ZT [ x(n)] =
n =−∞
∑
∞
x ( n) z − n
其中： 为复变量 以其实部为横坐标， 为复变量， 其中：z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐 标构成的平面称为z平面 平面。 标构成的平面称为 平面。
X ( z ) = ZT [ x(n)] = ∑ x( n) z − n
X ( z) =
n =−∞
∑ −a u(−n −1) z
n
∞
−n
=
n =−∞
−a z = ∑ −a z = −∑ (a −1 z)n ∑
n −n −n n n =1 n=1
−1
∞
∞
此等比级数在|a-1z|<1，即|z|<|a|处收敛。 因此 此等比级数在 ， 处收敛。 处收敛
− a −1 z 1 z X ( z) = = = −1 1 − a z z − a 1 − az −1 | z |<| a |
n =0 ∞
单边z变换 单边 变换
数字信号处理
第三章 Z变换
二．Z变换的收敛域 1．收敛域的定义：对任意给定序列 ．收敛域的定义：对任意给定序列x(n)，使其 ，使其z 变换收敛的所有z值的集合称为 变换收敛的所有 值的集合称为X(z)的收敛域。 的收敛域。 值的集合称为 的收敛域 2. 收敛条件：X ( z ) = 收敛条件：
X ( z) =
n = −∞
∑
∞
x ( n) z
−n
= ∑ x ( n) z
n =0
∞
−n
+
n = −∞
x ( n) z − n ∑
第三章 Z变换ppt课件
（5）有限长序列
an, 0nN-1,
x[n]= 0,
其它
z变换：
N -1
N -1
X (z)= an 0
n=0
1- az-1
= 1-az-1
N
=
1 z N -1
z N -a N z-a
,
收敛域的条件：
N -1
az -1
n
<
n=0
有限长序列的收敛域：整个z平面（z = 0和z = ∞由具体序列定）
傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换 傅立叶变换的周期性解释
z变换的收敛域： （region of convergence, ROC） 对给定的序列x[n]， 所有满足下列不等式的z值
x[n] z n ,
n
x[n]rn ,
n
傅立叶不收敛
z变换收敛
若z = z1在ROC内，︱z︱= ︱z1︱的值也一定在ROC内， 表示收敛域的形状：
查表求得：
其它几种情况： （1）M ≥ N
Br 系数通过长除法获得。对应的z反变换为：Brδ[n-r] （2）M ≥ N，且有多重极点
若X(z)有一个s阶极点：z = di (其余极点均为一阶) 则X(z)可以展开为：
Cm系数：
几点说明： （1）
项对应于 (dk)nu[n]
取决于收敛域
(dk)nu[n1]
3.0 引言
连续时间信号与系统： 时域频域（傅立叶变换）；复频域（s域，拉氏变换） 离散时间信号与系统： 时域频域（傅立叶变换）；复频域（z域，z变换） 引入z变换的主要原因：
傅立叶变换的收敛性（更广泛的信号） z变换概念的方便性（分析研究信号、系统） 傅立叶变换与z变换的关系： 推广形式（数学、物理意义上） 分析上的全面性（稳态、动态、瞬态、静态）
第三章 Z变换-精品
如收敛域为|z|>Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展
成Z的负幂级数。
若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成
Z的正幂级数。
例:
试用长除法求 X(z)
z2
,1z 4
(4z)(z1) 4
的z反变换。
4
解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)
Re[ z ]
z
同样,对于级数 x(n) z n，满足 z z n0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[z]
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x(n) .
x(n)0x,(n),其 n1 他 nnn2
.
n1
0
.
n2
n
n 2
X (z) x (n )z n, 若 x (n )z n ， n 1 n n 2 ; n n 1
1 / 15 z 1
4
X ( z ) 16 15
z 1 4 z 15
z z 1
4
1 ( 16 z z ) 15 4 z z 1 4
4Z+Z2 + —41 Z3+ 1—16 Z 4+ —614 Z5 + ...
) 4-Z 16 Z 16 Z - 4 Z2
4 Z2
4 Z2 - Z3
Z3
Z3 - —14 Z 4
相减则相加则进行运算则对序列返回25三序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和返回25四两个基本性质则有如果返回25则有如果返回25五序列的实虚部与其傅氏变换偶奇部的关系1
二.变换域分析法
成Z的负幂级数。
若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成
Z的正幂级数。
例:
试用长除法求 X(z)
z2
,1z 4
(4z)(z1) 4
的z反变换。
4
解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)
Re[ z ]
z
同样,对于级数 x(n) z n，满足 z z n0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[z]
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x(n) .
x(n)0x,(n),其 n1 他 nnn2
.
n1
0
.
n2
n
n 2
X (z) x (n )z n, 若 x (n )z n ， n 1 n n 2 ; n n 1
1 / 15 z 1
4
X ( z ) 16 15
z 1 4 z 15
z z 1
4
1 ( 16 z z ) 15 4 z z 1 4
4Z+Z2 + —41 Z3+ 1—16 Z 4+ —614 Z5 + ...
) 4-Z 16 Z 16 Z - 4 Z2
4 Z2
4 Z2 - Z3
Z3
Z3 - —14 Z 4
相减则相加则进行运算则对序列返回25三序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和返回25四两个基本性质则有如果返回25则有如果返回25五序列的实虚部与其傅氏变换偶奇部的关系1
二.变换域分析法
第3章Z变换-PPT精选
n
n
n 0
3.1.5 双边序列的Z变换
双边序列的Z变换收敛域 ROC：Rx<|z|<Rx+，
这是一个简单的环状区域，如图3-4所示。
3.1.5 双边序列的Z变换
图3-4 双边序列及其收敛域
例题3-1
求序列x(n)＝(n)的Z变换X(z)及其ROC。
解：这是n1＝n2=0时的有限长序列，且
第三章 Z变换
Chapter 3 The Z-Transform
§ 3.1 z 变换 § 3.2 z 反变换 § 3.3 z 变换的性质
本章的主要内容
1、掌握z变换及其收敛域 2、会运用任意方法求z反变换 3、理解z变换的主要性质
第三章作业 习题3-1 （1）（2）（4） 习题3-2 （1） 采用长除法、围线积分法与部分分式法 求取 习题3-4
有z值的集合称为X(z)的收敛域 （ROC,Region of
Convergence）。根据级数理论，式(3-1)中级数收 敛的充要条件是
x(n)zn M
n
（3-3）
3.1 Z 变换
如果X(z)在收敛域内是一个有理函数，
X (z) P(z) （3-4） Q( z )
当X(z)=0，即P(z)=0的z称为X(z)的零点； 当X(z)为无穷大，即Q(z)=0的z称为X(z)的极点， 另外，零、极点也可能出现在 z =0 或 z =。
|z|>1 |z|>1
z2z 22 zzcco o 00s s112 1z1 zc 1co 0 o s 0zs2
(easi n0)z1 12(eacos0)z1e2az2
|z|>1
z ea
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的变换称作Z反变换。
记作 x(n) ： Z1[X(z)]
2020/6/11
z变换公式：
正： X(z) x(n)zn, n
Rx z Rx
反： x(n) 1
2j
X(z)zn1dz,
c
c(Rx,Rx)
C为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线.
j Im[z]
R x
2020/6/11
0
Re[ z ]
第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,
其收敛域为 0 z Rx ;
R
x
为最大收敛半径
.
故收敛域 0为 z Rx
j Im[z]
2020/6/11
Re[ z ]
z Rx
(5)双边序列
x（n）
0
n
双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序
列，即左边序列和右边序列之和。
1
X(z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
2020/6/11
3.1 Z变换
3.1.1 Z变换的定义及其收敛域
一.Z变换定义及推导：
xs(t)x(t)T(t)
xs(t)x(nT)(tnT) n
2020/6/11
对抽样信号进行拉氏变换得：
X ˆa (s) L T [x ˆa (t)] x (n T )(t n T )e std t n x(nT) (tnT)esnTdt n
x(nT)esnT n
2020/6/11
令z esT
得 X(z) x(nT)zn n
2020/6/11
X(z) x(n)zn n
序列x(n)的 Z变换
若信号x(n)为因果序列，x(n)=0,n<0 则有
X(z) x(n)zn n0 序列x(n)的 单边Z变换
2020/6/11
二.收敛域
X (z) x (n )z n, 若 x (n )z n ， n 1 n n 2 ; n n 1
考虑 x(n)到 是有界的 zn ， ， 必 n1n 有 n2;
2020/6/11
因此，当n0时， zn 1/ zn,只要z0，则zn 0 同样，当n0时， zn zn ,只要z，则zn 当n10,n20,则0zn
j Im[z]
2020/6/11
Re[ z ]
z
同样,对于级数 x(n) z n，满足 z z n0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[z]
2020/6/11
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x(n) .
x(n)0x,(n),其 n1 他 nnn2
.
n1
0
.
n2
n
n 2
它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔
定理可知收敛域为： Rx z
2020/6/11
(4)左边序列
x(n)
x(n), x(n) 0,
nn2 nn2
0 nn 2
n2
X(z) x(n)zn n
0
n2
x(n)zn x(n)zn
n
n1
2020/6/11
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ;
2020/6/11
第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,
其收敛域为 Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞;
Rx-为最小收敛半径。
j Im[z]
2020/6/11
收敛域
Re[ z ]
R x
因果序列（一定条件下的右边序列）
x(n), n0 x(n)0, n0
2020/6/11
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
2020/6/11
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
R x
c
二.求Z反变换的方法
1.留数法
在n1n2的特殊选择下，收敛域扩大
n10收敛域0 z ， n20收敛域0 z＜
2020/6/11
（3）. 右边序列
x(n)
x(n), x(n)0,
nn1 nn1
.. n1 0 1
...
n
1
X(z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,
q az1,
S
a1 1q
1 1az1
z。 z a
z a为极点，在z圆 a外，
X(z)为解析函数，故收敛。
2020/6/11
收敛域：z a
j Im[z]
0a
Re[ z ]
z
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
2020/6/11
例: 求序列 x(n)bnu(n1) 变换及收敛域
。
1
x(n) bnu(n1)zn bnzn bnzn
1.定义:
使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的
集合称作X(z)的收敛域. 2.收敛条件：
X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
即：x(n)zn M n
2020/6/11
三.不同形式序列的收敛域 (1).预备知识
阿贝尔定理:
如果级数 x(n) z n ，在 zz(0)
收敛,那么,满足n0≤0 |z|<|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。
2020/6/11
n
n0
n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z Rx 第二项为左边序列，其收敛域为： 0 z Rx 当Rx-<Rx+时，其收敛域为 Rx z Rx
j Im[z]
2020/6/11
Re[ z ]
R x R x
例：求序列 x(n)(n)的Z变换及收敛域。
解：这相当 n1 n2 0时的有限长序列，
n
nห้องสมุดไป่ตู้
n1
b1z(b1z)2(b1z)n
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
故其和为X
(z)
b1z 1 b1z
j Im[z]
z z b
收敛域： z b
Re[ z ] b
2020/6*/11收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。
3.1.2 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)
Z[(n)] (n)ZnZ01 n
其收敛域应包括 z 0, z ,
即 0 z , 充满整个Z平面。
2020/6/11
例: 求序列 x(n)anu(n) 的Z变换及收敛域。
解：
X(z) anu(n)zn anzn (a z1)n
n
n0
n0
1a z1(a z1)2(a z1)n
当 z a 时，这是无穷递缩等比级数。
记作 x(n) ： Z1[X(z)]
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z变换公式：
正： X(z) x(n)zn, n
Rx z Rx
反： x(n) 1
2j
X(z)zn1dz,
c
c(Rx,Rx)
C为环形解析域内环 绕原点的一条逆时 针闭合单围线.
j Im[z]
R x
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0
Re[ z ]
第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,
其收敛域为 0 z Rx ;
R
x
为最大收敛半径
.
故收敛域 0为 z Rx
j Im[z]
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Re[ z ]
z Rx
(5)双边序列
x（n）
0
n
双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序
列，即左边序列和右边序列之和。
1
X(z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
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3.1 Z变换
3.1.1 Z变换的定义及其收敛域
一.Z变换定义及推导：
xs(t)x(t)T(t)
xs(t)x(nT)(tnT) n
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对抽样信号进行拉氏变换得：
X ˆa (s) L T [x ˆa (t)] x (n T )(t n T )e std t n x(nT) (tnT)esnTdt n
x(nT)esnT n
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令z esT
得 X(z) x(nT)zn n
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X(z) x(n)zn n
序列x(n)的 Z变换
若信号x(n)为因果序列，x(n)=0,n<0 则有
X(z) x(n)zn n0 序列x(n)的 单边Z变换
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二.收敛域
X (z) x (n )z n, 若 x (n )z n ， n 1 n n 2 ; n n 1
考虑 x(n)到 是有界的 zn ， ， 必 n1n 有 n2;
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因此，当n0时， zn 1/ zn,只要z0，则zn 0 同样，当n0时， zn zn ,只要z，则zn 当n10,n20,则0zn
j Im[z]
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Re[ z ]
z
同样,对于级数 x(n) z n，满足 z z n0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[z]
2020/6/11
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x(n) .
x(n)0x,(n),其 n1 他 nnn2
.
n1
0
.
n2
n
n 2
它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔
定理可知收敛域为： Rx z
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(4)左边序列
x(n)
x(n), x(n) 0,
nn2 nn2
0 nn 2
n2
X(z) x(n)zn n
0
n2
x(n)zn x(n)zn
n
n1
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第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ;
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第一项为有限长序列,其收敛域为0<|z|<∞; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,
其收敛域为 Rx-<|z|≤∞; 两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞;
Rx-为最小收敛半径。
j Im[z]
2020/6/11
收敛域
Re[ z ]
R x
因果序列（一定条件下的右边序列）
x(n), n0 x(n)0, n0
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信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
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二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
R x
c
二.求Z反变换的方法
1.留数法
在n1n2的特殊选择下，收敛域扩大
n10收敛域0 z ， n20收敛域0 z＜
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（3）. 右边序列
x(n)
x(n), x(n)0,
nn1 nn1
.. n1 0 1
...
n
1
X(z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,
q az1,
S
a1 1q
1 1az1
z。 z a
z a为极点，在z圆 a外，
X(z)为解析函数，故收敛。
2020/6/11
收敛域：z a
j Im[z]
0a
Re[ z ]
z
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
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例: 求序列 x(n)bnu(n1) 变换及收敛域
。
1
x(n) bnu(n1)zn bnzn bnzn
1.定义:
使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的
集合称作X(z)的收敛域. 2.收敛条件：
X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
即：x(n)zn M n
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三.不同形式序列的收敛域 (1).预备知识
阿贝尔定理:
如果级数 x(n) z n ，在 zz(0)
收敛,那么,满足n0≤0 |z|<|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。
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n
n0
n
第一项为右边序列(因果)其收敛域为： z Rx 第二项为左边序列，其收敛域为： 0 z Rx 当Rx-<Rx+时，其收敛域为 Rx z Rx
j Im[z]
2020/6/11
Re[ z ]
R x R x
例：求序列 x(n)(n)的Z变换及收敛域。
解：这相当 n1 n2 0时的有限长序列，
n
nห้องสมุดไป่ตู้
n1
b1z(b1z)2(b1z)n
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
故其和为X
(z)
b1z 1 b1z
j Im[z]
z z b
收敛域： z b
Re[ z ] b
2020/6*/11收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。
3.1.2 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)
Z[(n)] (n)ZnZ01 n
其收敛域应包括 z 0, z ,
即 0 z , 充满整个Z平面。
2020/6/11
例: 求序列 x(n)anu(n) 的Z变换及收敛域。
解：
X(z) anu(n)zn anzn (a z1)n
n
n0
n0
1a z1(a z1)2(a z1)n
当 z a 时，这是无穷递缩等比级数。