_2第二章z变换
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第二章 Z变换
-
第2章 z变换
表 2 1 几 种 序 列 的 变 换
Z
第2章 z变换
2.3 Z反变换
已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变 换，
x(n)=Z-1［X(z)］
Z
若
X (z) x(n)zn Rx | z | Rx
n
(2-10)
则
x(n) 1 X (z)zn1dz
2.5.2 傅氏变换与序列的Z变换
第2章 z变换
2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数，系统的频率响应
2.8.1 因果稳定系统 2.8.2 系统函数和差分方程的关系 2.8.3 系统频率响应的意义 2.8.4 频率响应的几何确定法 2.8.5 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）
2.2
2.2.1 Z变换的定义
Z变换
第2章 z变换
一个离散序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn
(2-1)
n
式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用
Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z变换，也即
Z[x(n)] X (z)
(2-2)
第2章 z变换
究收敛域的重要性。
第2章 z变换
（4） 双边序列： 一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和， 即
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
(1-62)
因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。
等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-; 第二项为左边序列，
第二章 z变换
n
,
Rx z Rx
n 0,1,2,
1 x ( n) X ( z ) z n1dz , 2j c
围线积分路径
2.2 逆Z变换
一、围线积分法(留数法)
留数定理求逆Z变换：如果函数
F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有
K个极点用zk，在c以外有M个极点用zm， 则有，
n
x ( n) z n M
使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。 不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。
2.2 Z变换的定义与收敛域
二、z变换的收敛域
1. 有限长序列
x ( n) x ( n) 0
n2
n1 n n2 其它
其Z变换为
X ( z ) x(n) z n
第二章 Z变换
2.1
引言
2.2
2.3
Z变换的定义与收敛域
Z反变换
2.4
2.5 2.6 2.7 2.8
Z变换的基本性质和定理
序列的z变换与连续信号的相关变换的关系 序列的傅立叶变换 傅里叶变换的一些对称性质 离散系统的系统函数，系统的频率响应
第二章 Z变换
2.2 Z变换的定义与收敛域
a u ( n) z
n
n
a z
n 0
n n
az
n 0
1 n
1 , 1 1 az
za
z=a为极点 收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。 一般说来，右边序列的z变换的收敛 域一定在模最大的有限极点所在圆之
外，对因果序列，包含z=。
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z f (t )e
证明：
at
F (z e )
aT
at akT k Z f (t )e f (kT )e z k 0
f (kT )(e z )
f (kT ) f (kT T )
k 0 k 0
f (kT ) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数
F ( z ) e kaT z k
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z aT z e
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a, a1, a2为任意常数，连续时间函数f(t), f1(t), f2(t) 的 Z变换分别为F(z), F1(z), 及F2(z)，则有
Z af (t ) aF ( z ) Z a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
数字信号处理第二章Z变换
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为 抽样信号的拉氏变换为
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为 比较两式得s平面到z平面的映射关系为：
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：
，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率；
•将z平面用极坐标表示：
，|a|<1
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
作业2.1(2)(6)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
，
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；
•两平面都是复平面。
(1)r与的关系
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为 抽样信号的拉氏变换为
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为 比较两式得s平面到z平面的映射关系为：
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：
，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率；
•将z平面用极坐标表示：
，|a|<1
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
作业2.1(2)(6)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
，
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；
•两平面都是复平面。
(1)r与的关系
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射
计算机控制系统第2章 信号转换与z变换
F ( j )
0
f (t )e
jt
dt
1
F ( j ) F ( j jns )
T n
*
频谱幅值发生变化
s
n=0
2
T
附加频谱
(a) F ( j ) —频谱
主频谱 (b) F * ( j ) —频谱
周期频谱
非周期频谱
图2.5 频谱图
问题：如何选择采样周期 T ?
u(kT )
(t kT ) 2
2
(kT t (k 1)T )
u(kT )
1
u (kT ) u (k 1)T
T
u(kT )
1
u (kT ) 2u k 1 T u k 2 T
2
T
… …
2.3.1 零阶保持器
x1 ( t ) cos
t
8
2 7
x2 ( t ) cos
t
8
两个余弦信号的采样信号值(T=1s)
两个信号在所有采样时刻都具有相同的采样值；
采样信号频谱在以下两种情况下，将产生频率混叠现象：
----连续信号的频谱带宽有限，但采样频率太低,
如s <2max (max ---信号中的最高频率)。
上图a为蒸汽加热冷水系统，其
中
．(b)---连续记录
．(c)---T=2min时采样记录
．(d)---T=0.5min时采样记录
正弦振荡信号的采样
香农（Shannon）采样定理：
“如果一个连续信号不包含高于频率 m ax 的频率分量（连续信
第二章__Z变换
第二章 序列的Z 变换与傅里叶变换 2.1 引言信号与系统的分析方法:时域分析；变换域分析 信号与系统的分析方法有多种连续时间信号与系统：拉普拉斯变换、傅里叶变换；信号用时间 t 的函数表示；系统用微分方程描述。
离散时间信号与系统：z 变换、傅里叶变换；信号用序列表示；系统用差分方程描述。
z 变换是一个很重要数学工具，可用于求解差分方程，同时它也可以从不同的侧面和方法对离散信号的频域特征进行分析，还能很方便地分析系统的因果性、稳定性等方面的特性。
2.2 Z 变换的定义与收敛域 一、z 变换的定义序列x(n)的Z 变换定义：双边Z 变换单边Z 变换因果序列的Z 变换: 单边Z 变换可以看成因果序列情况下的双边Z 变换z 是一个复变量， 它所在的复平面称为z 平面。
z 是一个连续复变量，具有实部和虚部。
变量z 的极坐标形式 单位圆:在Z 平面上|z|= 1为半径的圆 单位圆上的参数可表示为例2.1 求序列 的Z 变换。
解：序列x (n )是因果序列，根据Z 变换的定义分析收敛性：X (z )是无穷项幂级数。
当|z|≤a 时级数发散，当|z|＞|a|时级数收敛。
X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为二、z 变换的收敛域收敛域: 对于给定的任意序列x (n )，使其Z 变换收敛的所有z 值的集合组成的区域。
Z 变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即使上式成立的Z 变量取值的域称为收敛域。
根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域收敛半径Rx -可以小到0，Rx +可以大到∞收敛域以原点为中心，Rx -和Rx +为半径的环域()()nn X z x n z ∞-=-∞=∑∞<=∑∞-∞=-M z n x n n )(110()[()]()(2.2)n n X z x n x n z +∞-==Z =∑j ||e z z ω=j e z ω=()()n x n a u n =10011213()()()1()()n n n nn n n X z x n z a z az az az az +∞+∞+∞---=-∞==---====++++⋅⋅⋅∑∑∑1101()(),||||1n n zX z az z a az z a +∞--====--∑＞不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。
第2章z变换
的z反变换。
解：
X(z)(12z1)11(0.5z1)
z2
(z2)(z0.5)
X(z)
zபைடு நூலகம்
A1 A2
z (z2)(z0.5) z2 z0.5
A1
[( z 2)
X
(z) z
]z2
4 3
A2
[( z
0.5)
X (z)
z
] z 0.5
1 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
故其和为X
(z)
b1z 1 b1z
j Im[z]
z z b
收敛域： z b
Re[ z ] b
*收敛域在模最小的极（左边序列极点）点所在的圆内。
一个结论
• 由上面两个例子来看，Z变换表达式一样， 不代表序列相同，还得看他们的收敛域 是否一致。
• 这一点类似于差分方程不能唯一确定序 列，必须给出边界条件。
大家看一下书48页的例题2-4
§2-3 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)
的变换称作Z反变换。
记作 x(n) ： Z1[X(z)]
z变换公式：
正： X(z) x(n)zn, n
Rx z Rx
反： x(n) 1
n 1 n 2
2.部分分式法
有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。
有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。
部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式
a
axb
的和，使各分式具有 ( x A ) k 或 (x2 AxB)k
解：
X(z)(12z1)11(0.5z1)
z2
(z2)(z0.5)
X(z)
zபைடு நூலகம்
A1 A2
z (z2)(z0.5) z2 z0.5
A1
[( z 2)
X
(z) z
]z2
4 3
A2
[( z
0.5)
X (z)
z
] z 0.5
1 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
故其和为X
(z)
b1z 1 b1z
j Im[z]
z z b
收敛域： z b
Re[ z ] b
*收敛域在模最小的极（左边序列极点）点所在的圆内。
一个结论
• 由上面两个例子来看，Z变换表达式一样， 不代表序列相同，还得看他们的收敛域 是否一致。
• 这一点类似于差分方程不能唯一确定序 列，必须给出边界条件。
大家看一下书48页的例题2-4
§2-3 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)
的变换称作Z反变换。
记作 x(n) ： Z1[X(z)]
z变换公式：
正： X(z) x(n)zn, n
Rx z Rx
反： x(n) 1
n 1 n 2
2.部分分式法
有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。
有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。
部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式
a
axb
的和，使各分式具有 ( x A ) k 或 (x2 AxB)k