第二章 z变换
• 级数收敛的充要条件：绝对可和，即 • |x(n)z-n|<∞ • 正向级数收敛性判别法： • 比值判别法：对于级数 |an|, <1, 收敛 an 1 >1,发散 lim n an =1,收发 • 根值判别法：
lim
n
n
an
<1,收敛 >1,发散 =1,收发
k
z R
例：x[k ] b u[k 1]
X ( z)
k
1
b k z k b k z k
k 1
1 b k z k
k 0
1 1 1 1 1 1 b z 1 bz
z b
4)双边序列
X ( z)
k
k
例 求序列 x(n)=anu(n)-bnu(-n-1)的z变换 • 解
X ( z)
n
x ( n) z a z
n n 0 n n
n n
b z
n
1
n n
z z a z 1 b z z a z b n 0 n 0
1 * 1 1 则有: x(n)h (n) x( ) H ( ) d c 2 j n
其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域 内。
11. 翻褶序列
如果 Z[ x(n)] X ( z) , Rx z Rx ，则
证明： Z [ x(n)]
k
1 z 1 z 1
N
z 0
2)右边序列
X ( z)
k
k N1
k
x[k ]z
k
z R
例：x[k ] a u[k ]
X ( z) a z
k 0 k
1 1 az 1
z a
3)左边序列
X ( z)
k
k
N2
x[k ]z
第2章 Z变换
2.2 Z变换的收敛域
• 为什么研究收敛域？ • 收敛域: z变换中级数收敛的所有Z值的集合。 • 只有级数收敛，变换才有意义。对单边变 换，序列与变换式、收敛域唯一对应；一 般情况，单边z变换是存在的，只是收敛域 大小不同 • 对双边变换，不同序列、不同收敛域可能 映射为同一变换式，而且由于找不到收敛 域使变换不存在。
• • • • • • • • • •
几类序列z变换的收敛域： (1) 有限长序列:X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2) ① n1<0, n20, 0<|z|<∞ ② n1 0, n2 > 0, |z|>0 ③ n1<0, n2 0, |z|<∞ (2) 右边序列 X(z)= x(n)z-n , (n1< n n2, n2=∞), 若n∞, lim(|x(n)z-n|)1/n<1, |z|>lim (|x(n)|)1/n=Rx1, 收敛。 ① n1<0 ,n2=∞ , Rx1<|z|<∞ ② n1 0 ,n2=∞ , Rx1<|z|
z
8. 终值定理
对于因果序列x(n)，且X ( z ) Z [ x(n)]的极点 在单位圆内，且只允许单位圆上z 1处有一 阶极点，则有 lim x(n) lim [( z 1) X ( z )] Re s[ X ( z )] z 1
n z 1
9. 共轭序列
如果 Z[ x(n)] X ( z) , Rx z Rx ，则
5.序列的卷积和(时域卷积定理)
如果y (n) x(n) h(n)
m
x(m)h(n m)
而且X ( z ) Z [ x(n)] , Rx z Rx ， H ( z ) Z [h(n)] , Rn z Rn ， 则有：Y ( z ) Z [ y (n)] X ( z ) H ( z ) max[ Rx , Rh ] z min[ Rx , Rh ]
• (3) 左边序列 • X(z)= x(n)z-n , (-∞ n n2) • 若将n换为 -n,则 X(z)= x(-n)zn,当n∞, • lim(|x(-n)zn|)1/n<1, |z|<lim (|x(-n)|)-1/n=Rx2, 收敛于圆内部分 • ① n1=-∞, n2>0, Rx2>|z|>0; • ② n1 =-∞ , n2 0 , Rx2>|z|; • (4) 双边序列 • X(z)= x(n)z-n，(-∞ n ∞) • n1=-∞, n2=∞, Rx2>|z|> Rx1
1.线性 如果
Z [ x(n)] X ( z ) , R x z Rx Z [ y (n)] Y ( z ) , R y z R y
则有：
Z [ax(n) by (n)] aX ( z ) bY ( z ), max( Rx , Ry ) z min( Rx , Ry )
其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛 域内环原点的一条逆时针单封闭围线。
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X ( z )。
z
证明：X ( z )
n
x(n)u(n) z x(n) z
n n 0 1 2
n
x(0) x(1) z x(2) z 显然, lim X ( z ) x(0)
2. 序列的移位 如果
Z[ x(n)] X ( z) , Rx z Rx 则有：
m
Z[ x(n m)] z X ( z) ; Rx z Rx
例 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。 z Z [u ( n)] , z 1 z 1 2 z z Z [u ( n 3)] z 3 , z 1 z 1 z 1 z z 2 z2 z 1 Z [ x ( n)] , z 1 2 z 1 z 1 z
4. 序列的线性加权(Z域微分)
如果 Z[ x(n)] X ( z) , Rx z Rx ，则
d Z [nx(n)] z X ( z ), R x z R x dz
例 求序列x(n)=nu(n)的z变换。
z Z [u ( n)] , z 1 z 1 d z z Z [ nx( n)] z ( ) , z 1 2 dz z 1 ( z 1)
n n
• 若|a|<|b|,收敛域：|a|<|z|<|b|, 若|a| |b|, 则序 列的Z变换不存在
1)有限长序列
X ( z)
k N1
N2
x[k ]z
k
1 0 k N 1 例：x[k ] RN [k ] 0 其它
X ( z) z
k 0
N 1
1 Z [ x(n)] X ( ) ; z
n
x ( n) z
1 n
1 1 z Rx Rx
n
n
x ( n) z
n
1 x(n)( z ) X ( ) ，Rx z 1 Rx ， z n 1 1 即 z Rx Rx
6.序列相乘(复卷积定理)
如果y (n) x(n) h(n), 且X ( z ) Z [ x(n)], Rx z Rx ; H ( z ) Z [h(n)], Rn z Rn ， 1 z 1 则有：Y ( z ) Z [ y (n)] X ( ) H ( v ) v dv 2j c v 1 z 1 X (v) H ( )v dv; Rx Rn z Rx Rn 2j c v
k
x[k ]z k
ROC R z R
例：x[k ] a u[k ] b u[k 1] 1 1 X ( z) 1 1 az 1 bz 1
a z b
2.3 Z变换的基本性质
• • • • • • 线性和位移性 序列线性加权（ Z 域微分） 序列指数加权（ Z 域尺度变换） 初值定理和终值定理 时域卷积和 Z 域卷积定理 帕斯瓦尔定理
Z [ x (n)] X ( z ) ，Rx z Rx ;
* * *
其中，x (n)为x(n)的共轭序列。
*
10.帕斯瓦尔定理(parseval)
如果 X ( z )
Z [ x(n)] , Rx z Rx ;
H ( z ) Z [h(n)] , Rh z Rh ; 且Rx Rn 1 Rx Rn .
2.4
Z的反变换
（1）留数法 （2）部分分式法 （3）幂级数展开法
• (1) 围线积分法(留数法) 1 n 1 n 1 x ( n) X ( z ) z dz Re s [ X ( z ) z ]z zm 2j c m • 如果X(z)zn-1在z=zm处有s阶极点，则留数
d s j 1 s X ( z) Bj s j ( z zi ) ( s j )! dz z zz
i
例 求X(z)=z2/(z2-1.5z+0.5) 的 逆变换x(n),|z|>1
n
• (2) 部分分式法：先将X(z)/z 展成部分分 式之和Am/(z-zm)，再乘以z，则有
X ( z)
m
Am z z zm
• zm—X(z)/z的极点，对每一项作逆Z变换， 即可得 x(n)。如X(z)/z 中有高阶极点
合集下载
第二章 z变换
n
,
Rx z Rx
n 0,1,2,
1 x ( n) X ( z ) z n1dz , 2j c
围线积分路径
2.2 逆Z变换
一、围线积分法(留数法)
留数定理求逆Z变换：如果函数
F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有
K个极点用zk，在c以外有M个极点用zm， 则有，
n
x ( n) z n M
使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。 不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。
2.2 Z变换的定义与收敛域
二、z变换的收敛域
1. 有限长序列
x ( n) x ( n) 0
n2
n1 n n2 其它
其Z变换为
X ( z ) x(n) z n
第二章 Z变换
2.1
引言
2.2
2.3
Z变换的定义与收敛域
Z反变换
2.4
2.5 2.6 2.7 2.8
Z变换的基本性质和定理
序列的z变换与连续信号的相关变换的关系 序列的傅立叶变换 傅里叶变换的一些对称性质 离散系统的系统函数，系统的频率响应
第二章 Z变换
2.2 Z变换的定义与收敛域
a u ( n) z
n
n
a z
n 0
n n
az
n 0
1 n
1 , 1 1 az
za
z=a为极点 收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。 一般说来，右边序列的z变换的收敛 域一定在模最大的有限极点所在圆之
外，对因果序列，包含z=。
_2第二章z变换
| x(n) bnu(n 1 ) z || b |
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
第二章z变换
ˆ ( s ) Lx (t ) L x(nT ) (t nT ) Xs s n
st ˆ s x t e st dt XS x(nT ) (t nT )e dt s n
解：
X 1 ( z ) Z x1[n] a n z n
n0
如果|z|>a, 则上面的级数收敛， 1 z n n X1 ( z) a z 1 za 1 az n0
X 2 ( z ) Z x2 [n]
n
z a
(a n ) z n
lim
n
an1 ρ an
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim n a n
n
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
例2.1
例已知两序列分别为x1[n]=anu[n]， x2[n]= -anu[-n-1]，分别 求它们的z变换，并确定它们的收敛域。
1
a z 1 (a 1 z ) n
n n n 1 n0
1 z 1 1 1 a z z a
za
两个不同的序列对应于相同的z变换，但它们的收敛域不同。
三 几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有限值， 此时，Z变换为： n2
n
b u ( n 1)z
n
n
= a z
n n 0
n
n
b
n 0
1
z
n
= a z
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
第二章(2)序列的Z变换.
Im(z)
Rx
Re(z)
Rx
1
解：X (z) a n zn an zn an zn an zn an zn
n
n
n0
n1
n0
第一部分收敛域为 az 1,
z
|
1 a
| ，X
(
z)的收敛域为：a
z
a －1
第二部分收敛域为 az－1 1,
z
a
X (z)
az 1 az
1
1 az
1
(1
j Im(z)
0
Re( z )
Rx+
例2.5.4 求x(n) anu(n 1)的Z变换并确定其收敛域
解：X (z) an zn an zn＝ (a1z)n
n1
n1
n1
a1z (a1z)n
n0
a1z 1 a1z
1 1 az1
收敛域为： a1z 1, z a
3. 双边序列Z变换及收敛域
2.5.3、逆Z变换
一.定义： 已知X(z)及其收敛域, 反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z 1[X (z)]
z变换公式：
正：X (z) x(n)zn , Rx z Rx n
Ñ 反：x(n) 1
2 j
X (z)zn1dz,
c
c (Rx , Rx )
(2.5.5)
§2.5 序列的Z变换
2.5.1 Z变换定义
设某序列为x(n)，其Z变换定义为
双边Z变换 单边Z变换
X (z) x(n)zn n
X (z) x(n)zn n
(2.6.1) (2.6.2)
1.收敛域定义
第二章Z变换
2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域 知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数， 则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是 一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接 用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式， 从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式 完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的， 不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围， 才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边 序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这 两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1
第二章 Z变换1,2,3,4
n
x ( n) z n M
2
z z 因此，要满足此不等式， 必须在一定范围之内才行。 满足的范 围就是收敛域。 不同形式的序列，其收敛域形式也不同。下面讨论几种序列 的收敛域： 1．有限长序列 在有限区间（n1 n n2 ）之内序列才具有非零的有限值， 在此区间之外，序列值都是零。其 z 变换为：
c c
x ( n) x ( n)
2 j c 2 j c
1
1
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
16
以上两式的选择，需根据具体情况来考虑。 下面给出求 X ( z ) z n 1 在任一极点 z r 处的留数的方法。 （1）z r 是 X ( z ) z n 1 的单（一阶）极点，则有
n n n 1
正幂级数 有限长序列的变换 按照阿贝尔定理，必定存在收敛半径 Rx z 综合以上两项， 变换的收敛域为： 0 z Rx 6
如果 n2 0 ，则右端第二项不存在，收敛域应包括 z 0 ，即
0 z Rx
4．双边序列 x n 为任意值时， (n) 都有非零值的序列，可以看成是左边序列 与右边序列之和。
1
§2.2 z 变换的定义与收敛域 一、z 变换(ZT)的定义 若序列为x(n)，则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z n
称为序列的 z 变换，其中 z 为变量，简便表示为： Z x ( n) X ( z )
二、z 变换的收敛域(ROC) 只有幂级数收敛， z 变换才存在。 收敛域：对任意给定序列 x(n) ，使其 z 变换收敛的所有值的 集合，称为~。 按照级数理论，z 变换式中级数收敛的必要且充分条件是满 足绝对可和的条件，即
x ( n) z n M
2
z z 因此，要满足此不等式， 必须在一定范围之内才行。 满足的范 围就是收敛域。 不同形式的序列，其收敛域形式也不同。下面讨论几种序列 的收敛域： 1．有限长序列 在有限区间（n1 n n2 ）之内序列才具有非零的有限值， 在此区间之外，序列值都是零。其 z 变换为：
c c
x ( n) x ( n)
2 j c 2 j c
1
1
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
16
以上两式的选择，需根据具体情况来考虑。 下面给出求 X ( z ) z n 1 在任一极点 z r 处的留数的方法。 （1）z r 是 X ( z ) z n 1 的单（一阶）极点，则有
n n n 1
正幂级数 有限长序列的变换 按照阿贝尔定理，必定存在收敛半径 Rx z 综合以上两项， 变换的收敛域为： 0 z Rx 6
如果 n2 0 ，则右端第二项不存在，收敛域应包括 z 0 ，即
0 z Rx
4．双边序列 x n 为任意值时， (n) 都有非零值的序列，可以看成是左边序列 与右边序列之和。
1
§2.2 z 变换的定义与收敛域 一、z 变换(ZT)的定义 若序列为x(n)，则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z n
称为序列的 z 变换，其中 z 为变量，简便表示为： Z x ( n) X ( z )
二、z 变换的收敛域(ROC) 只有幂级数收敛， z 变换才存在。 收敛域：对任意给定序列 x(n) ，使其 z 变换收敛的所有值的 集合，称为~。 按照级数理论，z 变换式中级数收敛的必要且充分条件是满 足绝对可和的条件，即
Z变换新版
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例 3.1.3求x(n)=anu(n)旳Z变换及其收敛域
解：
X (z)
n
anu(n)zn
n0
anzn
1 1 azn
在收敛域中必须满足|az-1|<1， 所以收敛域为|z|>|a|。 3. 左序列
左序列是在n≤n2时， 序列值不全为零， 而在n>n1， 序列值全为零旳序列。 左序列旳Z变换表达为
1
X (z)
anu(n 1)zn
n
n
anzn
n1
anzn
X(z)存在要求|a-1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
X
(z)
a 1 z 1 a1z
1 1 az1
,
z a
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
4. 双边序列
一种双边序列能够看作一种左序列和一种右序列 之和， 其Z变换表达为
例 3.1.5 x(n)=a|n|， a为实数， 求x(n)旳Z变换及其
收敛域。 解：
X (z)
a n zn
n
1
anzn
znzn
n
n0
an zn zn zn
n0
n0
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
第一部分收敛域为|az|<1， 得|z|<|a|-1， 第二部分收 敛域为|az-1|<1， 得到|z|>|a|。 假如|a|<1， 两部分旳公 共收敛域为|a|<|z|<|a|-1， 其Z变换如下式：
(3)
n
使(3)式成立， Z变量取值旳域称为收敛域。 一
般收敛域用环状域表达
第2章--Z变换及Z传递函数
sin t cost
F(z)
z za
z z eaT
z sin T z2 2z cosT 1
z(z cosT ) z2 2z cosT 1
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
则：
fi (kT )
1
ai z z zi
i 1, 2, , n
n
f * (t) fi (kT) (t kT) k 0 i1
第2章 Z变换及Z传递函数
3．留数法
设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换 f(kT)值，可由下式计算
f (kT ) 1 F (z)
1
i0
则
G(z)
F(z) 1 z 1
7．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F(z) z
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (t)eat F(z eaT )
9．微分定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
G1 (z) G2 (z)
第2章 Z变换及Z传递函数
由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的 Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。
在一般情况下，很容易证明：
G1G2 (z) G1 (z) G2 (z)
在进行计算时，应引起注意。
第2章 Z变换及Z传递函数
pi )F (z)zk1
n
f
(kT )
F(z)
z za
z z eaT
z sin T z2 2z cosT 1
z(z cosT ) z2 2z cosT 1
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
则：
fi (kT )
1
ai z z zi
i 1, 2, , n
n
f * (t) fi (kT) (t kT) k 0 i1
第2章 Z变换及Z传递函数
3．留数法
设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换 f(kT)值，可由下式计算
f (kT ) 1 F (z)
1
i0
则
G(z)
F(z) 1 z 1
7．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F(z) z
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (t)eat F(z eaT )
9．微分定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
G1 (z) G2 (z)
第2章 Z变换及Z传递函数
由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的 Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。
在一般情况下，很容易证明：
G1G2 (z) G1 (z) G2 (z)
在进行计算时，应引起注意。
第2章 Z变换及Z传递函数
pi )F (z)zk1
n
f
(kT )
第二章Z变换
左边序列的n Z 变 换的收敛域n 一 定位于最内n 部 1 极点的内部，
其收敛域为：
0 z Rx
左边序列 的收敛域
4.双边序列
双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：
1
X (z ) x (n )z nx (n )z n x (n )z n
n
n 0
n
双边序列 的收敛域
X(ej)1a1ej
za
此时，ROC包括了单位圆。
例2: x(n)anu(n1)
1
X(z) anzn anzn
n
n1
1aa1z1z 11az1
za
例3. x(n)(1)nu(n)2nu(n1)
2
X (z) (1)n zn 1 2n zn
n0 2
n
1
1 1
z 1
1
1 2 z 1
2
ROC: 1 z 2 2
定包括 z 点。
因果序列的收敛域为： Rx z
例1．考虑一系统，其中 H(z)11 1z112 1z1
判断其是否为因果系统？
2
z2
解： 因为H(z)的ROC是最外边极点的圆的外边，所以它的 单位脉冲响应h(n)是右边序列。为了确定是否是因果的， 我们可以利用因果性所要求的其它条件来检验。
把H(z)表示成两个多项式之比
数形式 的反变X换( z。)
3. 留数法：
由留数定理有：
x (n )1 2j
cX (z)zn 1 d zR e s[X (z)zn 1 ,zi] i
x ( n ) 等 于 X ( z ) Z n 1 在 围 线 积 分 C 内 所 有 极 点 Z i 上 的 留 数 的 总 和