第二章Z变换.
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_2第二章z变换
| x(n) bnu(n 1 ) z || b |
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
第二章z变换
ˆ ( s ) Lx (t ) L x(nT ) (t nT ) Xs s n
st ˆ s x t e st dt XS x(nT ) (t nT )e dt s n
解：
X 1 ( z ) Z x1[n] a n z n
n0
如果|z|>a, 则上面的级数收敛， 1 z n n X1 ( z) a z 1 za 1 az n0
X 2 ( z ) Z x2 [n]
n
z a
(a n ) z n
lim
n
an1 ρ an
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim n a n
n
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
例2.1
例已知两序列分别为x1[n]=anu[n]， x2[n]= -anu[-n-1]，分别 求它们的z变换，并确定它们的收敛域。
1
a z 1 (a 1 z ) n
n n n 1 n0
1 z 1 1 1 a z z a
za
两个不同的序列对应于相同的z变换，但它们的收敛域不同。
三 几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有限值， 此时，Z变换为： n2
n
b u ( n 1)z
n
n
= a z
n n 0
n
n
b
n 0
1
z
n
= a z
数字信号处理(程佩青) 第二章 Z变换PPT资料优秀版
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是 X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点界定其边界。
不同形式的序列其收敛域形式不同，分别讨论如下：
12
2. z变换的收敛域
（1）有限长序列
在有限区间 n1 nn2之内具有不为零的有限
值的序列。其z变换为：
n2
X(z) x(n)zn nn1
（2.2）
要使（2.2）式收敛，则需要满足
x(n)zn n1 nn2
由于x(n)为有限值，所以要求
zn
n1 nn2
13
2. z变换的收敛域
显然在 0 z 上，都满足该条件。所以有限长序列 的收敛域为：
0 z
在n1，n2的特殊选择下，收敛域为：
0 z n1 0
Fourier 变换
由于x(n)为有限值，所以要求
(9)
设X(z)与Y(z)分别是x(n)与y(n)的z变换，即
(2)当n≤-2时：函数
在围线C外只有一个 4 一阶极点。
假如知道了向量r, p和k，利用residuez.
因果序列及其收敛域（包括z=∞ ）
19
2. z变换的收敛域
（3）左边序列
在n n 2 时 x n 有值，在 n n 2 时 x n 0
收敛区域：对于所有的序列或所有的z值，z变换并 不总是收敛的。对于任意给定的序列，使z变换收敛的z 值集合称作收敛区域：
{Z：X(z)存在}＝收敛区域。
注意：z变换收敛域的概念很重要，不同的 序列可能有相同的z变换表达式，但是收敛域却 不同。所以应该特别注意，只有当z变换的表达
式与收敛域都相同时，才能判定两个序列相等。
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
第二章(2)序列的Z变换.
Im(z)
Rx
Re(z)
Rx
1
解：X (z) a n zn an zn an zn an zn an zn
n
n
n0
n1
n0
第一部分收敛域为 az 1,
z
|
1 a
| ，X
(
z)的收敛域为：a
z
a －1
第二部分收敛域为 az－1 1,
z
a
X (z)
az 1 az
1
1 az
1
(1
j Im(z)
0
Re( z )
Rx+
例2.5.4 求x(n) anu(n 1)的Z变换并确定其收敛域
解：X (z) an zn an zn＝ (a1z)n
n1
n1
n1
a1z (a1z)n
n0
a1z 1 a1z
1 1 az1
收敛域为： a1z 1, z a
3. 双边序列Z变换及收敛域
2.5.3、逆Z变换
一.定义： 已知X(z)及其收敛域, 反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z 1[X (z)]
z变换公式：
正：X (z) x(n)zn , Rx z Rx n
Ñ 反：x(n) 1
2 j
X (z)zn1dz,
c
c (Rx , Rx )
(2.5.5)
§2.5 序列的Z变换
2.5.1 Z变换定义
设某序列为x(n)，其Z变换定义为
双边Z变换 单边Z变换
X (z) x(n)zn n
X (z) x(n)zn n
(2.6.1) (2.6.2)
1.收敛域定义
(研)第2章Z变换PPT课件
求余x(弦 n)c信 on s)u 号 ((n)的 z变换。 交集
时移
x [n k ] z z kX (z ),RO R C
Consider: [ n ],[ n k ],[ n k ]
Z域尺度变换
anx[n] z X(z), RO aC R a
（1）当a为实数，则表示在z平面上的缩小或扩大；
s平面上的j虚轴0sj映射到z平面就是一个半径r1的单位园而左半s平面和j轴平行的直线映射到z平面就是一个单位园内的圆周右半s平面和j轴平行的直线映射到z平面就是一个单位园外的圆周
第2章 Z变换及离散时间系统分析
2.0 引言
x(n) zn
y(n)H(z)zn
LTI
h(n)
H (z) h(n)zn,
面上，这条直线就被映射成一条幅角为
=ω的射线。
s 平面上的实轴（ω=0，s =σ）映射到 z平面就是一条幅角 =0 的射线；s平 面上ω=π/4 的直线映射到z平面就是一 条幅角 =π/4 的射线。
3、z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)的关系：
z rej
X(z)X(rje ) [x(n)rn]ejn n
s 平面上的 j 虚轴( =0，s = j )映射到 z 平
面就是一个半径 r =1 的单位园，而左半 s 平面和
j 轴平行的直线映射到 z 平面就是一个单位园内 的圆周，右半 s 平面和 j 轴平行的直线映射到 z
平面就是一个单位园外的圆周。
为常数
在 s 平面上，ω为常数表示一条和实轴
平行的直线，由于 =ω，因此，在 z 平
——IIR系统
• 零极点模型（ARMA系统）：有极点，有 零点。
——IIR系统
2.5.2 离散系统的零极点分析
时移
x [n k ] z z kX (z ),RO R C
Consider: [ n ],[ n k ],[ n k ]
Z域尺度变换
anx[n] z X(z), RO aC R a
（1）当a为实数，则表示在z平面上的缩小或扩大；
s平面上的j虚轴0sj映射到z平面就是一个半径r1的单位园而左半s平面和j轴平行的直线映射到z平面就是一个单位园内的圆周右半s平面和j轴平行的直线映射到z平面就是一个单位园外的圆周
第2章 Z变换及离散时间系统分析
2.0 引言
x(n) zn
y(n)H(z)zn
LTI
h(n)
H (z) h(n)zn,
面上，这条直线就被映射成一条幅角为
=ω的射线。
s 平面上的实轴（ω=0，s =σ）映射到 z平面就是一条幅角 =0 的射线；s平 面上ω=π/4 的直线映射到z平面就是一 条幅角 =π/4 的射线。
3、z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)的关系：
z rej
X(z)X(rje ) [x(n)rn]ejn n
s 平面上的 j 虚轴( =0，s = j )映射到 z 平
面就是一个半径 r =1 的单位园，而左半 s 平面和
j 轴平行的直线映射到 z 平面就是一个单位园内 的圆周，右半 s 平面和 j 轴平行的直线映射到 z
平面就是一个单位园外的圆周。
为常数
在 s 平面上，ω为常数表示一条和实轴
平行的直线，由于 =ω，因此，在 z 平
——IIR系统
• 零极点模型（ARMA系统）：有极点，有 零点。
——IIR系统
2.5.2 离散系统的零极点分析
第二章Z变换
2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域 知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数， 则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是 一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接 用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式， 从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式 完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的， 不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围， 才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边 序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这 两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1
第二章 Z变换1,2,3,4
n
x ( n) z n M
2
z z 因此，要满足此不等式， 必须在一定范围之内才行。 满足的范 围就是收敛域。 不同形式的序列，其收敛域形式也不同。下面讨论几种序列 的收敛域： 1．有限长序列 在有限区间（n1 n n2 ）之内序列才具有非零的有限值， 在此区间之外，序列值都是零。其 z 变换为：
c c
x ( n) x ( n)
2 j c 2 j c
1
1
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
16
以上两式的选择，需根据具体情况来考虑。 下面给出求 X ( z ) z n 1 在任一极点 z r 处的留数的方法。 （1）z r 是 X ( z ) z n 1 的单（一阶）极点，则有
n n n 1
正幂级数 有限长序列的变换 按照阿贝尔定理，必定存在收敛半径 Rx z 综合以上两项， 变换的收敛域为： 0 z Rx 6
如果 n2 0 ，则右端第二项不存在，收敛域应包括 z 0 ，即
0 z Rx
4．双边序列 x n 为任意值时， (n) 都有非零值的序列，可以看成是左边序列 与右边序列之和。
1
§2.2 z 变换的定义与收敛域 一、z 变换(ZT)的定义 若序列为x(n)，则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z n
称为序列的 z 变换，其中 z 为变量，简便表示为： Z x ( n) X ( z )
二、z 变换的收敛域(ROC) 只有幂级数收敛， z 变换才存在。 收敛域：对任意给定序列 x(n) ，使其 z 变换收敛的所有值的 集合，称为~。 按照级数理论，z 变换式中级数收敛的必要且充分条件是满 足绝对可和的条件，即
x ( n) z n M
2
z z 因此，要满足此不等式， 必须在一定范围之内才行。 满足的范 围就是收敛域。 不同形式的序列，其收敛域形式也不同。下面讨论几种序列 的收敛域： 1．有限长序列 在有限区间（n1 n n2 ）之内序列才具有非零的有限值， 在此区间之外，序列值都是零。其 z 变换为：
c c
x ( n) x ( n)
2 j c 2 j c
1
1
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
16
以上两式的选择，需根据具体情况来考虑。 下面给出求 X ( z ) z n 1 在任一极点 z r 处的留数的方法。 （1）z r 是 X ( z ) z n 1 的单（一阶）极点，则有
n n n 1
正幂级数 有限长序列的变换 按照阿贝尔定理，必定存在收敛半径 Rx z 综合以上两项， 变换的收敛域为： 0 z Rx 6
如果 n2 0 ，则右端第二项不存在，收敛域应包括 z 0 ，即
0 z Rx
4．双边序列 x n 为任意值时， (n) 都有非零值的序列，可以看成是左边序列 与右边序列之和。
1
§2.2 z 变换的定义与收敛域 一、z 变换(ZT)的定义 若序列为x(n)，则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z n
称为序列的 z 变换，其中 z 为变量，简便表示为： Z x ( n) X ( z )
二、z 变换的收敛域(ROC) 只有幂级数收敛， z 变换才存在。 收敛域：对任意给定序列 x(n) ，使其 z 变换收敛的所有值的 集合，称为~。 按照级数理论，z 变换式中级数收敛的必要且充分条件是满 足绝对可和的条件，即
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1
bnzn
n
n1
bnzn
b1z 1 b1z
1 1 bz1
z
z b
| z || b |
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式 完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的， 不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围， 才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边 序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这 两个序列Z变换的公共收敛区间。
其Ｚ变换为
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n
n0
左边序列，其收 敛域为|Z|< RX＋
右边序列，其收敛 域为|Z|＞ RX－
Im[z] Rx+
１、有限长序列
x(n) x(n) 0
n1 n n2 n为其他值
n2
其Ｚ变换为 X (z) x(n)zn
因为x(n)是有界序列，nn由1 于是有限项求和，显然在
0<|z|<∞上都满足收敛条件，收敛域至少是有限Z平
面(0，∞)，在n1和n2的特殊取值情况下，收敛域可
扩大为
Im[z]
0 | z | , n1 0
２、右边序列
右边序列只有在n≥n1时，序列值不全为零，其它 n值时，序列值全为零，即
其Ｚ变换为
x(n)
x(n) 0
n n1 n n1
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
有限长序列，其收
是Z的负幂级数，
敛域为有限Z平面
其收敛域为RX-
Im[z]
<|Z|<∞
1
；
第二部分的收敛域为| az1 | 1，
|a|
即 | z || a |。
已知| a |1， 所以
az
1
1 a2
X (z) 1 az 1 az1 (1 az)(1 az1)
| a || z | 1 |a|
２．２ Ｚ反变换
求Ｚ反变换的方法通常有： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法、长除法
１、部分分式法 一般X(z)是z的有理分式，可表示X(z)=B(z)/A(z)， B(z)和A(z)都是变量z的实系数多项式，且没有公因 式，可以把X(z)分解为部分分式的形式，然后求出各 部分分式的z反变换（基本Ｚ变换对的公式可查表), 将各反变换相加即得到x(n)。
如果X(z)中含有高阶极点，
设X(z)含有k个一阶极点，一个s阶极点zi，则X(z)展成
k
X (z)
Am z s
Br z
m1 z zm r 1 (z zi )r
其中Br用下式确定
Br
1 d sr (s r)! dzsr
(z zi )s
２．１ ２．２ ２．３ ２．４
２．５
ห้องสมุดไป่ตู้
Ｚ变换的定义与收敛域 Ｚ反变换 Ｚ变换的基本性质和定理 序列的Ｚ变换与连续信号的拉普拉斯 变换、傅立叶变换的关系 离散系统的系统函数、系统的频率响 应
２．１ Ｚ变换的定义与收敛域
２．１．１ Ｚ变换的定义
对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为
X (z) x(n)zn n
如果X(z)只有一阶极点，则X(z)展成
最好写成
X
(z)
A0
k m 1
Am z z zm
X (z) A0 k Am
A0、Am分别为X(z)在z z=0、zz=zmm处1 z极 点zm 的留数，即
X (z)
A0 Re s[ z ,0] X (0)
X (z)
X (z)
Am Re s[ z , zm ] [(z zm ) z ]zzm
若RX-是收敛域的最小半径， 则右边序列Ｚ变换的收敛域
Rx0
Re[z]
为 Rx | z |
右边序列
当n1 =0时的右边序列称为因果序列，其收敛域为
Rx | z | 因此在|z|=∞处Z变换收敛是因果序列的特征。
例：求指数序列 x(n) anu(n) 的Ｚ变换。
解：
X (z)
anzn
n0
(az1)n
其中Z为一个复变量，上式定义的Z变换称为双边Z变 换或标准Z变换，
２．１．２ Ｚ变换的收敛域
由于x(n)的Z变换是一个无穷级数，就必然存在 收敛和发散的问题，仅当级数收敛时才可将X(z)表 示成一个闭合形式，按照级数理论，级数收敛的充 要条件是满足绝对可和的条件，即
x(n)zn M
n
使上式成立的所有Z值的集合称为X(z)的收敛域， 不同形式的序列，其收敛域不同．
n0
1
1 az
1
z
z a
| z || a |
３、左边序列
左边序列只有在n≤ n２时，序列值有值，n＞ n２时， 序列值全为零，即
其Ｚ变换为
x(n) x(n) 0
n n2 n n2
n2
0
n2
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n
n1
是Z的正幂级数， 其收敛域为０ <|Z|< RX＋
第二章 Ｚ变换
信号与系统的分析方法有时域分析法和变换域 分析法。
连续时间系统中，其变换域方法是拉普拉斯变 换和傅立叶变换；
离散时间系统中，其变换域方法是Z变换和傅 立叶变换。对求解离散时间系统而言，Z变换是个极 重要的数学工具，它可以将描述离散系统的差分方 程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
有限长序列，其收 敛域为有限Z平面
左边序列Ｚ变换的收敛域
Im[z]
Rx+ 0
Re[z]
为 0 | z | Rx
左边序列
当n２＞０时，收敛域不包括z=0，即 0 | z | Rx；
当n２≤０时，收敛域包括z=0，即 | z | 。 Rx
例：求序列 x(n) bnu(n 1) 的Ｚ变换．
解：
X
(z)
若满足RX－＜ RX＋， 则双边序列Ｚ变换的收敛域为
Rx | z | Rx
RＸ－ 0
Re[z]
双边序列
例：求序列 x(n) a|n| 的Ｚ变换，其中| a | 1。
解：
1
X (z) a|n| z n an z n an| z n
n
n
n0
an z n an z n
n1
n0
第一部分的收敛域为 | az | 1 ，即 | z |
0 | z | , n2 0
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X
(z)
n
x(n)zn
N 1
zn
n0
1 zN 1 z1
收敛域为 0 | z | 。
从上式的分母可知在z=1处有一个极点，但是从分子 处看出z=1处有一个零点，零极点刚好对消。