第二章 Z变换
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第二章 z变换
n
,
Rx z Rx
n 0,1,2,
1 x ( n) X ( z ) z n1dz , 2j c
围线积分路径
2.2 逆Z变换
一、围线积分法(留数法)
留数定理求逆Z变换：如果函数
F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有
K个极点用zk，在c以外有M个极点用zm， 则有，
n
x ( n) z n M
使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。 不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。
2.2 Z变换的定义与收敛域
二、z变换的收敛域
1. 有限长序列
x ( n) x ( n) 0
n2
n1 n n2 其它
其Z变换为
X ( z ) x(n) z n
第二章 Z变换
2.1
引言
2.2
2.3
Z变换的定义与收敛域
Z反变换
2.4
2.5 2.6 2.7 2.8
Z变换的基本性质和定理
序列的z变换与连续信号的相关变换的关系 序列的傅立叶变换 傅里叶变换的一些对称性质 离散系统的系统函数，系统的频率响应
第二章 Z变换
2.2 Z变换的定义与收敛域
a u ( n) z
n
n
a z
n 0
n n
az
n 0
1 n
1 , 1 1 az
za
z=a为极点 收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。 一般说来，右边序列的z变换的收敛 域一定在模最大的有限极点所在圆之
外，对因果序列，包含z=。
_2第二章z变换
| x(n) bnu(n 1 ) z || b |
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n
第二章z变换
ˆ ( s ) Lx (t ) L x(nT ) (t nT ) Xs s n
st ˆ s x t e st dt XS x(nT ) (t nT )e dt s n
解：
X 1 ( z ) Z x1[n] a n z n
n0
如果|z|>a, 则上面的级数收敛， 1 z n n X1 ( z) a z 1 za 1 az n0
X 2 ( z ) Z x2 [n]
n
z a
(a n ) z n
lim
n
an1 ρ an
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim n a n
n
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
例2.1
例已知两序列分别为x1[n]=anu[n]， x2[n]= -anu[-n-1]，分别 求它们的z变换，并确定它们的收敛域。
1
a z 1 (a 1 z ) n
n n n 1 n0
1 z 1 1 1 a z z a
za
两个不同的序列对应于相同的z变换，但它们的收敛域不同。
三 几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有限值， 此时，Z变换为： n2
n
b u ( n 1)z
n
n
= a z
n n 0
n
n
b
n 0
1
z
n
= a z
第二章Z变换
n
n
n1 (2-7)
等式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为有限Z平面；第一项
是正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径Rx+，级数在以原点 为中心，以Rx+为半径的圆内任何点都绝对收敛。如果Rx+为收敛 域的最大半径，则综合以上两项，左边序列Z变换的收敛域为
0 | z | Rx
如果n2≤0，则式（2-7）右端不存在第二项，故收敛域应包括z=0， 即|z|<Rx+。
nn1
设x(n)为有界序列，由于X(z)是有限项级数之和，除0与∞两
点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。如果 n1<0，则收敛域不包括∞点；如果n2>0，则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列，收敛域包括∞点。具体有限长序列的收敛域表
示如下： n1 0, n2 0时 0 | z | n1 0, n2 0时 0 | z | n1 0, n2 0时 0 | z |
阿贝尔（N.Abel）定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在 以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。因此， 综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛。所以，如果Rx-是 收敛域的最小半径，则右边序列Z变换的收敛域为
Rx-<|z|<∞ 右边序列及其收敛域如图1-23所示。
第2章 z变换
2j c
c (Rx , Rx )
(2-12)
jIm[z]
c o
第2章 z变换
|z|＝Rx＋ |z|＝Rx－
Re[z]
图2-11 围线积分路径
第2章 z变换
证
1
2j
X (z)zn1dz 1
c
2j
c
mx(m)
数字信号处理(程佩青) 第二章 Z变换PPT资料优秀版
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是 X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点界定其边界。
不同形式的序列其收敛域形式不同，分别讨论如下：
12
2. z变换的收敛域
（1）有限长序列
在有限区间 n1 nn2之内具有不为零的有限
值的序列。其z变换为：
n2
X(z) x(n)zn nn1
（2.2）
要使（2.2）式收敛，则需要满足
x(n)zn n1 nn2
由于x(n)为有限值，所以要求
zn
n1 nn2
13
2. z变换的收敛域
显然在 0 z 上，都满足该条件。所以有限长序列 的收敛域为：
0 z
在n1，n2的特殊选择下，收敛域为：
0 z n1 0
Fourier 变换
由于x(n)为有限值，所以要求
(9)
设X(z)与Y(z)分别是x(n)与y(n)的z变换，即
(2)当n≤-2时：函数
在围线C外只有一个 4 一阶极点。
假如知道了向量r, p和k，利用residuez.
因果序列及其收敛域（包括z=∞ ）
19
2. z变换的收敛域
（3）左边序列
在n n 2 时 x n 有值，在 n n 2 时 x n 0
收敛区域：对于所有的序列或所有的z值，z变换并 不总是收敛的。对于任意给定的序列，使z变换收敛的z 值集合称作收敛区域：
{Z：X(z)存在}＝收敛区域。
注意：z变换收敛域的概念很重要，不同的 序列可能有相同的z变换表达式，但是收敛域却 不同。所以应该特别注意，只有当z变换的表达
式与收敛域都相同时，才能判定两个序列相等。
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
第二章Z变换
2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域 知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数， 则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是 一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接 用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式， 从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式 完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的， 不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围， 才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边 序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这 两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1
第二章 Z变换1,2,3,4
n
x ( n) z n M
2
z z 因此，要满足此不等式， 必须在一定范围之内才行。 满足的范 围就是收敛域。 不同形式的序列，其收敛域形式也不同。下面讨论几种序列 的收敛域： 1．有限长序列 在有限区间（n1 n n2 ）之内序列才具有非零的有限值， 在此区间之外，序列值都是零。其 z 变换为：
c c
x ( n) x ( n)
2 j c 2 j c
1
1
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
16
以上两式的选择，需根据具体情况来考虑。 下面给出求 X ( z ) z n 1 在任一极点 z r 处的留数的方法。 （1）z r 是 X ( z ) z n 1 的单（一阶）极点，则有
n n n 1
正幂级数 有限长序列的变换 按照阿贝尔定理，必定存在收敛半径 Rx z 综合以上两项， 变换的收敛域为： 0 z Rx 6
如果 n2 0 ，则右端第二项不存在，收敛域应包括 z 0 ，即
0 z Rx
4．双边序列 x n 为任意值时， (n) 都有非零值的序列，可以看成是左边序列 与右边序列之和。
1
§2.2 z 变换的定义与收敛域 一、z 变换(ZT)的定义 若序列为x(n)，则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z n
称为序列的 z 变换，其中 z 为变量，简便表示为： Z x ( n) X ( z )
二、z 变换的收敛域(ROC) 只有幂级数收敛， z 变换才存在。 收敛域：对任意给定序列 x(n) ，使其 z 变换收敛的所有值的 集合，称为~。 按照级数理论，z 变换式中级数收敛的必要且充分条件是满 足绝对可和的条件，即
x ( n) z n M
2
z z 因此，要满足此不等式， 必须在一定范围之内才行。 满足的范 围就是收敛域。 不同形式的序列，其收敛域形式也不同。下面讨论几种序列 的收敛域： 1．有限长序列 在有限区间（n1 n n2 ）之内序列才具有非零的有限值， 在此区间之外，序列值都是零。其 z 变换为：
c c
x ( n) x ( n)
2 j c 2 j c
1
1
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk
k
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
16
以上两式的选择，需根据具体情况来考虑。 下面给出求 X ( z ) z n 1 在任一极点 z r 处的留数的方法。 （1）z r 是 X ( z ) z n 1 的单（一阶）极点，则有
n n n 1
正幂级数 有限长序列的变换 按照阿贝尔定理，必定存在收敛半径 Rx z 综合以上两项， 变换的收敛域为： 0 z Rx 6
如果 n2 0 ，则右端第二项不存在，收敛域应包括 z 0 ，即
0 z Rx
4．双边序列 x n 为任意值时， (n) 都有非零值的序列，可以看成是左边序列 与右边序列之和。
1
§2.2 z 变换的定义与收敛域 一、z 变换(ZT)的定义 若序列为x(n)，则幂级数
X ( z)
n
x ( n) z n
称为序列的 z 变换，其中 z 为变量，简便表示为： Z x ( n) X ( z )
二、z 变换的收敛域(ROC) 只有幂级数收敛， z 变换才存在。 收敛域：对任意给定序列 x(n) ，使其 z 变换收敛的所有值的 集合，称为~。 按照级数理论，z 变换式中级数收敛的必要且充分条件是满 足绝对可和的条件，即
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-
第2章 z变换
表 2 1 几 种 序 列 的 变 换
Z
第2章 z变换
2.3 Z反变换
已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变 换，
x(n)=Z-1［X(z)］
Z
若
X (z) x(n)zn Rx | z | Rx
n
(2-10)
则
x(n) 1 X (z)zn1dz
2.5.2 傅氏变换与序列的Z变换
第2章 z变换
2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数，系统的频率响应
2.8.1 因果稳定系统 2.8.2 系统函数和差分方程的关系 2.8.3 系统频率响应的意义 2.8.4 频率响应的几何确定法 2.8.5 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）
2.2
2.2.1 Z变换的定义
Z变换
第2章 z变换
一个离散序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn
(2-1)
n
式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用
Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z变换，也即
Z[x(n)] X (z)
(2-2)
第2章 z变换
究收敛域的重要性。
第2章 z变换
（4） 双边序列： 一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和， 即
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
(1-62)
因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。
等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-; 第二项为左边序列，
第二章 Z变换
2.1 引言
第2章 z变换
2.2 Z 变 换
2.2.1 Z变换的定义
2.2.2 Z变换的收敛域
2.3 Z反变换
2.3.1 围线积分法（留数法）
2.3.2 部分分式展开法
2.3.3 幂级数展开法（长除法）
2.4 Z变换的性质
2.5 拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系
2.5.1 拉氏变换与Z变换
“○”表示)，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。
第2章 z变换
收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。 所以，右边序列的Z变换如果有N个有限极点｛z1,z2,…,zN｝存在， 那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外，也即
Rx max[| z1 |, | z2 |, ,| zN |]
解
N 1
X (z) RN (n)zn zn
n
n0
1 z 1 z 2 z (N 1)
这是一个有限项几何级数之和。因此
X
(
z
)
1 1
zN z 1
0 | z |
第2章 z变换
（2）右边序列：右边序列是指x(n)只在n≥n1时有值，在n<n1
例1-9 x(n)=a|n|, a为实数，求其Z变换及收敛域。 解 这是一个双边序列，其Z变换为
1
X (z) x(n)zn an zn an zn
n
n0
n
设
X 1 ( z )
n0
a n z n
1 1 az1
X 2 (z)
X (z) x(n)z n Rx | z | n0 (2-6)
Z变换收敛域包括|z|=∞处是因果序列的特征。
第2章 z变换
例2-2 x(n)=anu(n), 求其Z变换及收敛域。 解 这是一个因果序列，其Z变换为
X (z)
a nu(n) z n
n
an z n
n0
(az 1 ) n
n0
1 1 az1
|z|>|a|
这是一个无穷项的等比级数求和，只有在|az-1|<1即|z|>|a|处收敛
如图2-7所示。故得到以上闭合形式的表达式，由于 1 z 1 az1 z a
, 故 在 z=a 处 有 一 极 点 ( 用 “ ×” 表 示 ) ， 在 z=0 处 有 一 个 零 点 ( 用
X (z)
a1z 1 a1z
z
z a
1 1 az1
| z || a |
序列Z变换的收敛域如图2-8所示。
函数
z
z
a
1 1 az1
在z=a
处有一极点，整个收敛域在极点所在圆以内的解析区域。
jIm[z]
第2章 z变换
a
o
Re[z]
|z|＝a| |
图2-8 左边序列收敛域
这种变换也称为双边Z变换，与此相应的单边Z变换的定义 如下：
X (z) x(n)zn n0
这种单边Z变换的求和限是从零到无穷，因此对于因果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明， 均用双边Ｚ变换对信号进行分析和变换。
第2章 z变换
2.2.2 Z变换的收敛域 显然，只有当式（2-1）的幂级数收敛时，Z变换才有意义。
Z[ (n)] (n)z n 1 n
0 | z |
所以收敛域应是整个z的闭平面(0≤|z|≤∞)， 如图2-6所示。
jIm[z]
第2章 z变换
o
Re[z]
图 2-6 δ(n)的收敛域(全部Z平面)
第2章 z变换
例题 求矩形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。
x(n)
x(n)
0
n1 n n2 其他n
第2章 z变换
其Z变换为
n2
X (z) x(n)zn
nn1
设x(n)为有界序列，由于X(z)是有限项级数之和，除0与∞两
点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。如果 n1<0，则收敛域不包括∞点；如果n2>0，则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列，收敛域包括∞点。具体有限长序列的收敛域表
其收敛域为|z|<Rx+。如果Rx-<Rx+，则存在公共收敛区域，X(z)有收
敛域
Rx-<|z|<Rx+
这是一个环状区域。如果Rx->Rx+，则无公共收敛区域，X(z)无 收敛域，也即在Z平面的任何地方都没有有界的Ｘ(z)值，因此就不 存在Z变换的解析式， 这种Ｚ变换就没有什么意义。
第2章 z变换
对于因果序列，∞处也不能有极点。
jIm[z]
第2章 z变换
|a| a
o
Re[z]
图 2-7 图 1-24
第2章 z变换
（3） 左边序列: 左边序列是指在n≤n2时x(n)有值，而在n>n2 时x(n)=0，其Z变换为
n2
0
n2
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
2j c
c (Rx , Rx )
(2-12)
jIm[z]
c o
第2章 z变换
|z|＝Rx＋ |z|＝Rx－
Re[z]
图2-11 围线积分路径
第2章 z变换
证
1
2j
时x(n)=0。 其Z变换为
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn (2-5)
nn1
nn1
n0
此式右端第一项为有限长序列的Z变换，按上面讨论可知,它的收
敛域为有限Z平面；而第二项是z的负幂级数，按照级数收敛的
阿贝尔（N.Abel）定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在 以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。因此， 综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛。所以，如果Rx-是 收敛域的最小半径，则右边序列Z变换的收敛域为
Rx-<|z|<Rx+
收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域（图中 的斜线部分）。Rx-和Rx+称为收敛半径。当然Rx-可以小到零，R x+可以大到无穷大。
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：
X (z) P(z) Q(z)
第2章 z变换
jIm[z]
o |z|＝Rx－
对任意给定序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的 集合称为X(z)的收敛域。
按照级数理论，式（2-1）的级数收敛的充分必要条件是满 足绝对可和的条件，即要求
| x(n)z n | M
(2-3)
n
第2章 z变换
要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就 是收敛域。一般收敛域用环状域表示，即
2.1 引言
第2章 z变换
我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时 域分析方法和频率分析方法。
在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的 函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域 进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域 函数转换到频率域。
在时域离散信号和系统中，信号用序列表示， 其自变量仅取整数， 非整数时无定义， 而系统则 用差分方程描述。
Rx-<|z|<∞ 右边序列及其收敛域如图1-23所示。
第2章 z变换
jIm[z]
Rx－
o
Re[z]
图1-23 （n1<0， |z|=∞除外）
第2章 z变换
因果序列是最重要的一种右边序列，即n1=0的右边序列。 也就是说，在n≥0时x(n)有值，n<0时x(n)=0，其Z变换级数中无z 的正幂项，因此级数收敛域可以包括|z|=∞。