计算机控制技术-第2章 Z变换及Z传递函数
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z变换的传递函数python
z变换的传递函数python[z变换的传递函数python][z变换是一种常用的信号处理工具，用于对离散时间信号进行频域分析。
在信号处理领域，传递函数是一个非常重要的概念，它描述了输入信号和输出信号之间的关系。
本文将介绍如何使用Python进行z变换的传递函数计算和分析。
一、什么是z变换的传递函数？在信号处理中，传递函数是一个描述输入信号与输出信号之间关系的函数。
它通常用于描述线性时不变系统，其中包括了许多常见的信号处理系统，比如滤波器、系统控制等。
传递函数可以用于描述一个系统的频域特性，可以揭示系统的频率响应、稳定性和滤波效果等信息。
在z变换的框架下，传递函数可以用多项式形式表示，即N(z)/D(z)，其中N(z)和D(z)分别是输入和输出的z域多项式。
二、如何计算z变换的传递函数？在Python中，可以使用Scipy库中的signal模块来进行z变换的传递函数计算。
1. 首先，我们需要导入所需的库：pythonimport numpy as npfrom scipy import signal2. 接下来，我们需要定义输入和输出的多项式系数。
这些系数可以表示为两个数组，比如：pythonnum = [1, 2, 3] # 输入多项式系数den = [1, -1, 0] # 输出多项式系数3. 然后，我们可以使用signal.TransferFunction()函数创建一个传递函数对象：pythonsys = signal.TransferFunction(num, den)4. 这样，我们就成功创建了一个传递函数对象。
接下来，我们可以使用对象的成员函数来计算传递函数的各种属性，比如：python# 计算传递函数的零极点zeros = sys.zerospoles = sys.poles# 计算传递函数的频率响应w, h = signal.freqresp(sys)# 计算传递函数的阶数order = sys.order# 计算传递函数的单位阶跃响应t, y = signal.step(sys)这些函数可以帮助我们计算传递函数的各种属性，并进一步分析和理解系统的特性。
计算机控制技术及其应用-第2章
《计算机控制技术及其应用》第2章
2.1.1. 控制系统的描述方法
描述的方法
(1). 输入/输出描述方法
(2). 状态空间描述方法
r(t)
y(t)
T[ ]
系统状态转换
t
t
r(t)
y(t)
T[ ]
+
苏州大学应用技术学院 5 /118
《计算机控制技术及其应用》第2章
2.1.1. 控制系统的描述方法
2.1.1 控制系统的描述方法
2.1.2 用微分方程表示的系统模型
2.1.3 用脉冲响应表示的系统模型
2.1.4 拉氏变换
2.1.5 用传递函数表示的系统模型
2.1.6 系统的方框图
2.1.7 状态空间概念和模型框图
苏州大学应用技术学院 2 /118
《计算机控制技术及其应用》第2章
b1
dr(t) dt
b0r
(t)
n
i0
ai
d i y(t) dt i
m
bj
j 0
d jr(t) dt j
苏州大学应用技术学院 12 /118
《计算机控制技术及其应用》第2章
2.1.3. 用脉冲响应表示的系统模型
原理
系统的脉冲响应h(t)能反应系统的固有特征。
适用
表达简洁；
由于卷积运算比较麻烦，实用时较为困难。
《计算机控制技术及其应用》第2章
2.1.1. 控制系统的描述方法
(2).状态空间描述方法
原理：基于系统状态转换为核心；
历史信息由状态变量来体现；
系统的输出仅与当前的输入和状态变量有关。
这现代控制系统的一个基本描述方法。
适用：
不仅适用于描述单变量输入和单变量输出的系统，
第二章 Z变换
n = −∞
xa ( nT )e −nsT ∑
X ( z) =
n = −∞
∑ x(n) z
∞
−n
复变量s平面到z平面的映射
z=e
令
sT
1 s = ln z T
s = σ + jΩ
z = re
jω
则
re
jω
=e
(σ + jΩ ) T
=e e
σT
jΩT
r=e
σT
S 平面
Z 平面
－1
1
ω = ΩT
所以序列的z变换和连续信号的拉普拉斯 变换的关系可以表示如下： 因为时域中的抽样，对应于s域为沿 jΩ 轴（s平面的虚轴）的周期延拓
∞
n = −∞
例如：
X 已知序列的z变换为： ( z ) = 1 1 − az −1 z>a
求原序列 x (n )
例如
序列的z变换为：
z ( 2 z − a − b) X ( z) = ,a < z < b ( z − a )( z − b)
求原序列
x (n )
部分分式展开法
B( z ) X ( z) = = X 1 ( z) + X 2 ( z) + ⋯ + X K ( z) A( z ) (z
−1
l
z反变换
Z反变换通常采用如下三种方法：围线积 分法，幂级数展开法（长除法）和部分 分式法
围线积分法
1 k = 0 1 k −1 柯西积分公式 ∫c z dz = 0 k ≠ 0 2πj
∞ 1 1 k −1 − n + k −1 ∫c X ( z ) z dz = 2πj ∫cn∑ x(n)z dz 2πj = −∞
计算机控制系统-2理论基础课件
第2章 微型计算机控制理论基础
重点 (1) 连续系统拉普拉斯变换及主要性质 (2) 传递函数与方块图 (3) 典型系统的方块图与传递函数 (4) 离散系统Z变换
难点 计算机控制系统变换函数分析与物理意义
2019/1/30
1
2.1 连续系统数学基础
2．1．1 拉普拉斯变换(略讲) 1.定义
用表示时间的函数 f (t )，而且当 示f (t ) 的拉普拉斯变换，记之为
t
e at te
at
Tz ( z 1) 2
5
z z e aT
6
1 ( s a) 2
Tze aT ( z e aT ) 2
7
( s a) 2 2
e at sin t
ze aT sin T z 2 2 ze aT cos T e2 aT
的象函数。
(1) L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s ) 线性 ( 2) LAf (t )' AF ( s ) (3) L f ( t ) e ss F ( s ) （位移性质） 2019/1/30 2
2．1．2 传递函数与方块图 1．传递函数
Page
Page
8
f (t) T (a) 采样开关 f(t)
f *(t)
f *(t)
0 T …
2T 3T 4T 5T … t
0 T 2T 3T 4T 5T … t … (c) 采样信号 (b) 连续信号 图2.4 信号的采样过程
Page 9
采样的数学描述 f(t)为被采样的连续信号，f *(t)是经采样后的脉冲序列， 采样开关的采样周期为T。若采样开关的接通时间为无 限小，则采样信号f *(t)就是f(t)在开关合上瞬时的值， 即脉冲序列 f(0)，f(T)，f(2T)，…，f(KT)，… 可用理想脉冲函数将采样后的脉冲序列f*(t)表示成：
重点 (1) 连续系统拉普拉斯变换及主要性质 (2) 传递函数与方块图 (3) 典型系统的方块图与传递函数 (4) 离散系统Z变换
难点 计算机控制系统变换函数分析与物理意义
2019/1/30
1
2.1 连续系统数学基础
2．1．1 拉普拉斯变换(略讲) 1.定义
用表示时间的函数 f (t )，而且当 示f (t ) 的拉普拉斯变换，记之为
t
e at te
at
Tz ( z 1) 2
5
z z e aT
6
1 ( s a) 2
Tze aT ( z e aT ) 2
7
( s a) 2 2
e at sin t
ze aT sin T z 2 2 ze aT cos T e2 aT
的象函数。
(1) L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s ) 线性 ( 2) LAf (t )' AF ( s ) (3) L f ( t ) e ss F ( s ) （位移性质） 2019/1/30 2
2．1．2 传递函数与方块图 1．传递函数
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8
f (t) T (a) 采样开关 f(t)
f *(t)
f *(t)
0 T …
2T 3T 4T 5T … t
0 T 2T 3T 4T 5T … t … (c) 采样信号 (b) 连续信号 图2.4 信号的采样过程
Page 9
采样的数学描述 f(t)为被采样的连续信号，f *(t)是经采样后的脉冲序列， 采样开关的采样周期为T。若采样开关的接通时间为无 限小，则采样信号f *(t)就是f(t)在开关合上瞬时的值， 即脉冲序列 f(0)，f(T)，f(2T)，…，f(KT)，… 可用理想脉冲函数将采样后的脉冲序列f*(t)表示成：
第二章z变换
x[n]的单边z 变换:
X ( z ) Z
x[n] x[n]z
n 0
n
x[0] x[1]z x[2]z
1
2
2.2
Z变换的收敛域
上面定义的z变换是z的幂级数，所以只有当级数收敛 时，z变换才有意义。因此我们必须讨论z变换的收敛 问题。
一．收敛域的定义
对于任意给定的序列x(n) ，能使X ( z ) x( n) z n n 收敛的所有z 值之集合为收敛域。 根据级数的理论，级数收敛的充要条件是满足绝 对可和条件，即要求
X(z)= x(n)z -n
n n1
1）n1<0,n2>0时，除z=及z=0外，X(z)在z平面 上处处收敛。即收敛域为：
0 z
X
2）n1<0,n20时，除z=外，X(z)在z平面上处处 收敛。即收敛域为：
z
x(n)
n1 n2
3）n10,n2>0时，除z=0外，X(z)在z平面上处处 收敛。即收敛域为：
x(n) X ( z )
二．对z变换式的理解
X (z)
n
x ( n) z n
x( 2) z 2 x( 1) z 1
z的 正 幂
x(0) z 0 x(1) z 1 x( 2) z 2 x( n) z n
X(z)= x(n)z
n
-n
n
x(n)z
1
-n
x(n)z
n0
-n
双边序列看成右边序列和左边序列的z变换叠加。
其收敛域为:两级数收敛域的重叠部分. Rx1 z Rx 2 Rx 2 Rx1 则该级数收敛.其中Rx1 0, Rx 2 <.
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
第二章Z变换
解：
1
z2
X (z) (1 2z1)(1 0.5z1) (z 2)(z 0.5)
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X
( z
z
)
]
z
2
4 3
A2
[( z 0.5)
X (z)
z
]z 0.5
1 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
n2
X (z) x(n)z n
n
0
n2
x(n)z n x(n)z n
n
n1
x(n)
0 nn 2
第二项为有限长序列,其收敛域 0 z ;
第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,
其收敛域为0 z Rx ;
Rx
为最大收敛半径
.
故收敛域为0 z Rx
j Im[ z]
Re[z]
z Rx
j Im[ z]
Re[ z]
z
同样,对于级数 x(n) z n ，满足 z z n0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[ z]
Re[ z]
z
(2).有限长序列
x (n)
.
x(n), x(n) 0,
n1 n n2 其他n
.
.
n1 0
n2
n2
X (z) x(n)zn ,若 x(n)zn ，n1 n n2; nn1
Re s[ X (z)z n1 ]zzr
(l
1 1)!
d l1 dz l1
[( z
zr
)l
第二章Z变换讲义教材
[(1 a 2 ) / a 3 ]z 2
因此得出
x ( n ) 1 a a 2 a 2 1 a 2 a 3 1 1 a 1 a n u ( n ) 1 a n 1 u ( n 1 )
２．３ Ｚ变换的性质和定理
１、线性
线性就是要满足比例性和可加性，若
３、左边序列
左边序列只有在n≤ n２时，序列值有值，n＞ n２时， 序列值全为零，即
其Ｚ变换为
x(n) x(n)0
nn2 nn2
n 2
0
n 2
X (z) x(n )z n x(n )z n x(n )z n
n
n
n 1
是Z的正幂级数， 其收敛域为０ <|Z|< RX＋
有限长序列，其收 敛域为有限Z平面
第二章 Ｚ变换
信号与系统的分析方法有时域分析法和变换域 分析法。
连续时间系统中，其变换域方法是拉普拉斯变 换和傅立叶变换；
离散时间系统中，其变换域方法是Z变换和离 散傅立叶变换。对求解离散时间系统而言，Z变换是 个极重要的数学工具，它可以将描述离散系统的差 分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
❖ 例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。
Z [u (n )] z , z 1
| z | 1
Z [u (n 3)] u (n 3) z n z n
n
n3
z 3 1 z 1
z 2 ,
z 1
| z | 1
Z [ x (n )] X ( z ) Z [u (n )] Z [u (n 3)]
<|Z|<∞
若RX-是收敛域的最小半径， 则右边序列Ｚ变换的收敛域
Rx0
Re[z]
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k mk k
f (mT ) z
m
k 1 m z f (mT ) z f (mT ) z m m0 m0
z F ( z ) f (mT ) z k m
k m 0
k 1
第2章 Z变换及Z传递函数
4．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F ( z )
证明：
z
F ( z ) f (kT ) z k f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
k 0
所以
f (0) lim F ( z )
z
第2章 Z变换及Z传递函数
5．终值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：
F ( z ) f (kT ) z k
k 0
式中F(z)就称为离散函数f *(t)的Z变换。
第2章 Z变换及Z传递函数
在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)在采样瞬 间的状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时 刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从 这个意义上来说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函 数f *(t)具有相同的Z变换。即
第2章 Z变换及Z传递函数 Nhomakorabea2．滞后定理 设连续时间函数在t＜0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)， 则有
Z f (t kT ) z F ( z)
k
证明：
Z f (t kT ) f (nT kT ) z n
n 0
f (0) z
k
f (T ) z
6．卷积和定理 设连续时间函数 f(t) 和 g(t) 的 Z 变换分别为 F(z) 及 G(z)，若 定义
g (iT ) f (kT iT ) g (kT iT ) f (iT ) g (kT )* f (kT )
i 0 i 0
k
k
则
Z g (kT )* f (kT ) G( z)F ( z)
( k 1)
f (2T ) z
( k 2)
1 2 z k f (0) f ( T ) z f (2 T ) z z k F ( z)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．超前定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：
Z f (t kT ) z k F ( z ) f (mT ) z k m
f ( kT ) (t kT ) e Ts d t
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F ( s) f (kT )e
* k 0
kTs
第2章 Z变换及Z传递函数
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉氏变换，因复变 量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新 变量z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则
f (kT ) f (kT T )
k 0 k 0
f (kT ) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1.2 常用信号的Z变换
1．单位脉冲信号 f (t ) (t )
F ( z ) Z (t ) (kT ) z k 1
2．单位阶跃信号
F ( z)
k 1( kT ) z k 0
f (t ) 1(t )
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
证明： 由于当i >k时
f (kT iT ) 0
k 0 k g ( iT ) f ( kT iT ) z i 0 k g ( iT ) f ( kT iT ) z i 0 k
Z g (kT ) * f (kT )
g (kT ) f (iT )
i 0
k
则
F ( z) G( z) 1 1 z
第2章 Z变换及Z传递函数
证明：
g ( kT ) f (iT )
i 0
k
g ( kT T ) f ( jT )
j 0
k 1
g ( kT ) g ( kT T ) f (kT ) G ( z ) z 1G ( z ) F ( z ) F ( z) G( z) 1 1 z
第2章 Z变换及Z传递函数
4．指数信号
f (t ) e at
F ( z ) e kaT z k
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z at z e
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
z z j T z e jT z e 1 e jT e jT 2 2 j z (e jT e jT ) z 1 z sin T 2 z 2 z cos T 1 1 2j
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
Z af (t ) aF ( z ) Z a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
* k 0
f (0) (t ) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT )
对上式取拉氏变换，得
F ( z) F (s) f (0) f (T ) z f (2T ) z f (kT ) z
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1 Z变换定义与常用函数Z变换
2.1.1 Z变换的定义 已知连续信号f(t)经过来样周期为T的采样开关后， 变成离散的脉冲序列函数f *(t)即采样信号。
f (t ) f (kT ) (t kT )
* k 0
*
1
2
k
第2章 Z变换及Z传递函数
例2.1 求f(t)=at/T 函数（a为常数）的Z变换。 解：根据Z变换定义有
F ( z ) f (kT ) z
k 0 1
k
1 az a z
2
2
a z
k
k
1 z 1 za 1 az
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
1 z 1 z 2 1 1 z 1 z z 1
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号
f (t ) t
F ( z ) kTz k
k 0
T ( z 1 2 z 2 3z 3 ) Tz ( z 1) 2 ( z 1)
k 0
f [(k i )T ]z ( k i ) g (iT ) z i
k 0 i 0
k i 0
f [(k i )T ]z
( k i )
g (iT ) z
i 0
i
F ( z )G ( z )
第2章 Z变换及Z传递函数
7．求和定理 设连续时间函数 f(t) 和 g(t) 的 Z 变换分别为 F(z) 及 G(z)，若 有
F ( z ) Z f (t ) Z[ f * (t )] f (kT ) z k
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f (t ) f (kT ) (t kT )
z 1
f () lim(1 z 1 ) F ( z ) lim( z 1) F ( z )
z 1 z 1
z 1
lim(1 z 1 ) F ( z ) lim F ( z ) z 1 F ( z )
k k lim f (kT ) z f (kT T ) z z 1 k 0 k 0
对上式进行拉氏变换，则
第2章 Z变换及Z传递函数
对上式进行拉氏变换，则
F ( s ) L[ f (t )]
* *
f (t ) e
*
Ts
dt
Ts f ( kT ) (t kT ) e d t k 0
k 0
a （a为常数） 求F(Z) s( s a)
解：将F(s)写成部分分式之和的形式
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a
a1 1 a2 1 s1 0 s2 a
z z F ( z) z 1 z e aT (1 e aT ) z 2 z (1 e aT ) z e aT
第2章 Z变换及Z传递函数
2.3 Z反变换
f (mT ) z
m
k 1 m z f (mT ) z f (mT ) z m m0 m0
z F ( z ) f (mT ) z k m
k m 0
k 1
第2章 Z变换及Z传递函数
4．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F ( z )
证明：
z
F ( z ) f (kT ) z k f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
k 0
所以
f (0) lim F ( z )
z
第2章 Z变换及Z传递函数
5．终值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：
F ( z ) f (kT ) z k
k 0
式中F(z)就称为离散函数f *(t)的Z变换。
第2章 Z变换及Z传递函数
在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)在采样瞬 间的状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时 刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从 这个意义上来说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函 数f *(t)具有相同的Z变换。即
第2章 Z变换及Z传递函数 Nhomakorabea2．滞后定理 设连续时间函数在t＜0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)， 则有
Z f (t kT ) z F ( z)
k
证明：
Z f (t kT ) f (nT kT ) z n
n 0
f (0) z
k
f (T ) z
6．卷积和定理 设连续时间函数 f(t) 和 g(t) 的 Z 变换分别为 F(z) 及 G(z)，若 定义
g (iT ) f (kT iT ) g (kT iT ) f (iT ) g (kT )* f (kT )
i 0 i 0
k
k
则
Z g (kT )* f (kT ) G( z)F ( z)
( k 1)
f (2T ) z
( k 2)
1 2 z k f (0) f ( T ) z f (2 T ) z z k F ( z)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．超前定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：
Z f (t kT ) z k F ( z ) f (mT ) z k m
f ( kT ) (t kT ) e Ts d t
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F ( s) f (kT )e
* k 0
kTs
第2章 Z变换及Z传递函数
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉氏变换，因复变 量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新 变量z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则
f (kT ) f (kT T )
k 0 k 0
f (kT ) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1.2 常用信号的Z变换
1．单位脉冲信号 f (t ) (t )
F ( z ) Z (t ) (kT ) z k 1
2．单位阶跃信号
F ( z)
k 1( kT ) z k 0
f (t ) 1(t )
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
证明： 由于当i >k时
f (kT iT ) 0
k 0 k g ( iT ) f ( kT iT ) z i 0 k g ( iT ) f ( kT iT ) z i 0 k
Z g (kT ) * f (kT )
g (kT ) f (iT )
i 0
k
则
F ( z) G( z) 1 1 z
第2章 Z变换及Z传递函数
证明：
g ( kT ) f (iT )
i 0
k
g ( kT T ) f ( jT )
j 0
k 1
g ( kT ) g ( kT T ) f (kT ) G ( z ) z 1G ( z ) F ( z ) F ( z) G( z) 1 1 z
第2章 Z变换及Z传递函数
4．指数信号
f (t ) e at
F ( z ) e kaT z k
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z at z e
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
z z j T z e jT z e 1 e jT e jT 2 2 j z (e jT e jT ) z 1 z sin T 2 z 2 z cos T 1 1 2j
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
Z af (t ) aF ( z ) Z a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
* k 0
f (0) (t ) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT )
对上式取拉氏变换，得
F ( z) F (s) f (0) f (T ) z f (2T ) z f (kT ) z
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1 Z变换定义与常用函数Z变换
2.1.1 Z变换的定义 已知连续信号f(t)经过来样周期为T的采样开关后， 变成离散的脉冲序列函数f *(t)即采样信号。
f (t ) f (kT ) (t kT )
* k 0
*
1
2
k
第2章 Z变换及Z传递函数
例2.1 求f(t)=at/T 函数（a为常数）的Z变换。 解：根据Z变换定义有
F ( z ) f (kT ) z
k 0 1
k
1 az a z
2
2
a z
k
k
1 z 1 za 1 az
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
1 z 1 z 2 1 1 z 1 z z 1
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号
f (t ) t
F ( z ) kTz k
k 0
T ( z 1 2 z 2 3z 3 ) Tz ( z 1) 2 ( z 1)
k 0
f [(k i )T ]z ( k i ) g (iT ) z i
k 0 i 0
k i 0
f [(k i )T ]z
( k i )
g (iT ) z
i 0
i
F ( z )G ( z )
第2章 Z变换及Z传递函数
7．求和定理 设连续时间函数 f(t) 和 g(t) 的 Z 变换分别为 F(z) 及 G(z)，若 有
F ( z ) Z f (t ) Z[ f * (t )] f (kT ) z k
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f (t ) f (kT ) (t kT )
z 1
f () lim(1 z 1 ) F ( z ) lim( z 1) F ( z )
z 1 z 1
z 1
lim(1 z 1 ) F ( z ) lim F ( z ) z 1 F ( z )
k k lim f (kT ) z f (kT T ) z z 1 k 0 k 0
对上式进行拉氏变换，则
第2章 Z变换及Z传递函数
对上式进行拉氏变换，则
F ( s ) L[ f (t )]
* *
f (t ) e
*
Ts
dt
Ts f ( kT ) (t kT ) e d t k 0
k 0
a （a为常数） 求F(Z) s( s a)
解：将F(s)写成部分分式之和的形式
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a
a1 1 a2 1 s1 0 s2 a
z z F ( z) z 1 z e aT (1 e aT ) z 2 z (1 e aT ) z e aT
第2章 Z变换及Z传递函数
2.3 Z反变换