数字信号处理,第二章 Z变换讲解
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第2章2.6 Z变换
外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z
变换为
X ( z ) x (n ) z n
n n1
n2
设x(n)为有界序列，由于是有限项求和， 除0与∞点 是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛。
如果n1<0， 则收敛域不包括∞点； 如n2>0， 则收敛域
不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=∞点。 具体有限长序列的收敛域表示如下：
也可作为
边界)，收敛域内不包含任何极点，但可以包含零点，这才能保证Z变换的
图2.43 极－零点分布相同而收敛域不同的4个可能的z变换
24
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.6.3 逆Z变换 已知序列的Z变换及其收敛域， 求序列称为逆Z变 换。 序列的Z变换及共逆Z变换表示如下：
X ( z) x ( n)
到FT和ZT之间的关系， 用下式表示：
X (e ) X ( z )
j
(2.6.4)
z e j
8
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
式中z=e jω表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位
圆。 (2.6.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶
变换。 如果已知序列的Z变换， 可用(2.6.4)式， 很方 便的求出序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。
12
第2章 时域离散信号和系统的频域分析 n1<0， n2≤0时， 0≤ |z|＜∞
n1<0， n2>0时， 0< |z| ＜∞ n1≥0， n2>0时， 0< |z| ≤∞ n1= n2=0时， 0≤ |z| ≤∞ 例 3. 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：
数字信号处理DSP第二章1-z变换的定义及收敛域.ppt
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数字信号处理
2、z变换的收敛域与零极点
对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和
数字信号处理
1）有限长序列
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2）右边序列
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因果序列
的右边序列，Roc: 因果序列的z变换必在 处收敛在 处收敛的z变换， 其序列必为因果序列
do
something
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第二章 z变换
时域分析方法变换域分析方法： 连续时间信号与系统 Laplace变换 Fourier变换 离散时间信号与系统 z变换 Fourier变换
数字信号处理
一、z变换的定义及收敛域
1、z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
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3）左边序列
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4）双边序列
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数字信号处理
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数字信号处理
数字信号处理
给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内
数字信号处理
第二章学习目标
掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及 判断方法会运用任意方法求z反变换理解z变换的主要性质理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域
数字信号处理 第2章讲解
36
5、共轭序列
6、翻褶序列
Z x(n) X 1 ,
z
1
1
z
Rx
Rx
37
7、初值定理 (因果序列初值）
对于因果序列，有：
8、终值定理 （因果序列终值）
对于因果序列，极点处于单 位圆 z 1 以内（单位圆上最多 在 z 1处有一阶极点），则
38
9、有限项累加特性
63
任意序列的傅立叶变换是一序列，也有类 似的分解方法：
傅立叶变换: 共轭对称序列： 共轭反对称序列：
X (e j ) Xe(e j ) Xo(e j )
X
e
(e
j
)
1 2
[
X
(e
j
)
X
(e
j
)]
X
o
(e
j
)
1 2
[
X
(e
j
)
X
(e
j
)]
64
共轭对称（偶）对应实数（部）， 共轭反对称（奇）对应虚数（部）
系统的频率响应
2
一、 Z变换的定义及收敛域
1、Z变换的定义
幂级数
记为 Z x(n) X (z)
3
2、Z变换的收敛域
Z变换所对应的幂级数收敛时， Z变换才有意义。
幂级数收敛的充分必要条件 是满足绝对可和，即：
4
1). 有限长序列
5
图1.有限长序列及其收敛域 （
除外）
6
2). 右边序列
理想冲激抽样的拉普拉斯变换为：
抽样所得序列的z变换为：
X (z) x(n)zn X (z) zesT X (esT ) X a (s)
5、共轭序列
6、翻褶序列
Z x(n) X 1 ,
z
1
1
z
Rx
Rx
37
7、初值定理 (因果序列初值）
对于因果序列，有：
8、终值定理 （因果序列终值）
对于因果序列，极点处于单 位圆 z 1 以内（单位圆上最多 在 z 1处有一阶极点），则
38
9、有限项累加特性
63
任意序列的傅立叶变换是一序列，也有类 似的分解方法：
傅立叶变换: 共轭对称序列： 共轭反对称序列：
X (e j ) Xe(e j ) Xo(e j )
X
e
(e
j
)
1 2
[
X
(e
j
)
X
(e
j
)]
X
o
(e
j
)
1 2
[
X
(e
j
)
X
(e
j
)]
64
共轭对称（偶）对应实数（部）， 共轭反对称（奇）对应虚数（部）
系统的频率响应
2
一、 Z变换的定义及收敛域
1、Z变换的定义
幂级数
记为 Z x(n) X (z)
3
2、Z变换的收敛域
Z变换所对应的幂级数收敛时， Z变换才有意义。
幂级数收敛的充分必要条件 是满足绝对可和，即：
4
1). 有限长序列
5
图1.有限长序列及其收敛域 （
除外）
6
2). 右边序列
理想冲激抽样的拉普拉斯变换为：
抽样所得序列的z变换为：
X (z) x(n)zn X (z) zesT X (esT ) X a (s)
山东大学 DSP数字信号处理PPT 第二章z变换 习题讲解
1 1 z2
X z
4
1
1 4
z
2
1
5 4
z 1
3 8
z
2
解：对X z的分子和分母进行因式分解，得
1 1 z2
X z
4
1
1 4
z
2
1
5 4
z 1
3 8
z
2
1
1 2
z 1
1
1 2
z 1
1
1 4
z 2
1
1 2
z 1
1
3 4
z 1
1 1 z1
2
1
1 2
jz
1
1
1 2
2-13 研究一个输入为x(n)和输出为 y(n)的 时域线性离散移不变系统，已知它满足
y(n 1) 10 y(n) y(n 1) x(n) 3
并已知系统是稳定的。试求其单位抽样 响应。
y(n 1) 10 y(n) y(n 1) x(n) 3
解：对差分方程两边取z变换
z1Y (z) 10 Y (z) zY (z) X (z) 3
在围线c外有单阶极点 z 1/ 4，
且分母阶次高于分子阶次二阶以上
x(n)
Re
s
F
(
z) z 1 /
4
z
1/
4
(
z 2)zn1 z 1/4
z 1 /
4
7 4
1 4
n 1
7
4n
x(n) 8 (n) 7 4n u(n 1)
j Im[z]
C
1/ 4
0
Re[z]
③部分分式法
X (z) z
jz
数字信号处理第2章 Z变换综述
例4：求序列 x(n) a u (n)的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
n n n n 1 n a u ( n ) z a z ( az ) n 0 n 0
1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
1 — 64
Z -
-2
-3 1 —— Z 256
1 -3 —— Z 256
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
例：
z 1 z z X ( z) 2 1 2 1 z z z z 1 ( z 1 )2 ( 3 j)2 2 2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
§2.3
z变换性质1
一、线性: Z[a x (n)+a x (n)]=a Z[x (n)]+a Z[x (n)]
1 1 2 2 1 1 2 2
二、时移： Z[x(n)]=X(z)
Z[x(n-m)]=z-m· X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
x(n) h(n) y(n)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ ( z 1) 2
作业2.1(2)(6)
z 2 sin z sin(0 ) sin(n0 )u (n) ~ z 2 2 z cos0 1 sin z 1 sin(0 ) 1 2 z 1 cos0 z 2
z z 1 z z X ( z) 2 z 4 z 3 ( z 1)(z 3) 2 z 1 z 3
同济大学数字信号处理课件第二章2z反变换
1 F ( z )在围线c内只有一阶极点z 4 x ( n ) Re s[ F ( z )] 1
z
j Im[ z ]
C
1 z n 1 ( z ) 1 4 (4 z )( z 1/ 4) z 4 n 4 15
4
1/ 4
0
4 Re[ z ]
当n 1时 1 F ( z )在围线c内有一阶极点z 和-(n 1)阶极点z 0 4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式
X ( z ) [a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 …] - an z n
n 1
x(n) a n u( n 1)
z 例：X ( z ) ， 1/4< z 4，求z反变换 (4 z )( z 1/ 4)
2
解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式
z2 例1：X ( z ) ， 1/4< z 4，求其z反变换 (4 z )( z 1/ 4) z2 n 1 解：x (n ) z dz c ( Rx , Rx ) 2 j c (4 z )( z 1/ 4) 2 n 1 z z n 1 其中：F ( z ) z (4 z )( z 1/ 4) (4 z )( z 1/ 4) 当n 1时 1
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 Rx z Rx , （Rx 0, Rx ） 内是解析的，则 在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即
X ( z)
而
Cn
n
n C z n
第二章Z变换讲义教材
[(1 a 2 ) / a 3 ]z 2
因此得出
x ( n ) 1 a a 2 a 2 1 a 2 a 3 1 1 a 1 a n u ( n ) 1 a n 1 u ( n 1 )
２．３ Ｚ变换的性质和定理
１、线性
线性就是要满足比例性和可加性，若
３、左边序列
左边序列只有在n≤ n２时，序列值有值，n＞ n２时， 序列值全为零，即
其Ｚ变换为
x(n) x(n)0
nn2 nn2
n 2
0
n 2
X (z) x(n )z n x(n )z n x(n )z n
n
n
n 1
是Z的正幂级数， 其收敛域为０ <|Z|< RX＋
有限长序列，其收 敛域为有限Z平面
第二章 Ｚ变换
信号与系统的分析方法有时域分析法和变换域 分析法。
连续时间系统中，其变换域方法是拉普拉斯变 换和傅立叶变换；
离散时间系统中，其变换域方法是Z变换和离 散傅立叶变换。对求解离散时间系统而言，Z变换是 个极重要的数学工具，它可以将描述离散系统的差 分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
❖ 例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。
Z [u (n )] z , z 1
| z | 1
Z [u (n 3)] u (n 3) z n z n
n
n3
z 3 1 z 1
z 2 ,
z 1
| z | 1
Z [ x (n )] X ( z ) Z [u (n )] Z [u (n 3)]
<|Z|<∞
若RX-是收敛域的最小半径， 则右边序列Ｚ变换的收敛域
Rx0
Re[z]
数字信号处理3第二章Z变换(OK)
（４）双边序列 可看做左边序列+右边序列，故其Z 可看做左边序列+右边序列，故其Z变换收敛域 应是这两个序列Z变换的公共收敛区间。 应是这两个序列Z变换的公共收敛区间。 Ｚ变换
X ( z) =
n = −∞
∑ x( n) z
∞
−n
=
n = −∞
∑ x(n) z
−1
−n
+ ∑ x ( n) z
n =0
−1 n
X ( z) = ∑ a z
n =0
=∑ ( az )
n =0
1 z = = , −1 1 − az z−a
| z |>| a |
（３）左边序列 仅在n n 序列有值， 仅在n≤n２时，序列有值，n＞ n２时值全为零
x(n) x(n) = 0 Ｚ变换为
X ( z) =
n = −∞
若X(z)只有一阶极点，X(z)展成 X(z)只有一阶极点，X(z)展成 只有一阶极点 k Am z X ( z ) = A0 + ∑ m =1 z − zm 最好写成
X ( z ) A0 k Am = +∑ z z m =1 z − zm
分别为X(z) z=0、 X(z)在 极点处的留数 A0、Am分别为X(z)在z=0、z=zm极点处的留数 X ( z) A0 = Re s[ , 0] = X ( 0) z X ( z) X ( z) Am = Re s[ , z m ] = [( z − z m ) ]z = zm z z
0 <| z |≤ ∞, 0 ≤| z |< ∞,
n1 ≥ 0 n2 ≤ 0
ROC 0 Re[z]
有限长序列的收敛域
(n)， 例1：矩形序列是有限长序列，x(n)=RＮ(n)， 矩形序列是有限长序列， 求其X(z) 求其X(z) 解： −N N −1 ∞
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二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
1
4
z
z 2 1
3z
2
X (z)
z2
1 4z3Biblioteka (z1 1)( z
3)
1 2
1 z 1
z
1 3
利用z变换的时移性质： Z 1 z 1 X (z) x(n 1) u(n 1)
令： 则：
X (z) z 1 X ' (z) z 1 1 z z 2 z 1 z 3
z
z k1 z zk
X (z) Ak (z zk ) z zzk
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法：
例2-4-1：X
(z)
1
z 1 4z1
3z
2
,|
z
|
3
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
X (z)
z2
z 4z
3
(z
z 1)( z
3)
1 2
z
z 1
z
z 3
x(n) 1 [(1)n (3)n ] u(n) 2
n
n0
n0
1 az 1 (az 1 )2 (az 1 )n
当 z a 时，这是无穷递缩等比级数。
q az 1,
S
a1 1 q
1 1 az 1
z。 za
z a为极点，当 | az1 | 1时， 即 z a时，在圆 z a 外，收敛。
三、左边序列
例5：求序列 x(n) bnu(n 1)的Z变换及收敛域。
§2.1 Z变换
Z变换的表示：
双边z变换： 单边z变换：
X (Z ) Z[x(n)] x(n)zn
n
X (Z ) Z[x(n)] x(n)zn
n0
Z为复数，以z的实部为横坐标，z的虚部 为纵坐标，可以构成一个z平面
§2.2 收敛域
1、定义： 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域。 2、收敛条件：（级数的收敛条件） X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
n
其收敛域应包括 z 0, z ,
即 0 z , 充满整个Z平面。
零极点
X (z) N(z) 为有理分式，
D(z) D(z)=0的根称为z变换的极点，
N(z)=0的根称为z变换的零点。
极点与收敛域的关系： 收敛域不包含极点，收敛域总是以极点为收敛 边界，收敛圆必然通过极点。零、极点分为单 根和重根，单根又分为实根和共轭复根（若为 复根，必然是共轭的，因为系数是实数），滤 波器设计只考虑单根的情况。
1
Z[x(n)] x(n)Z n bnZ n
n
n
n1
bnZ n
1
b
1z b1z
z b
z
z zb
q b1z, 当| b1z | 1时，即 z b时，
在圆 z b内，收敛。 z b为极点
左边～圆内 右边～圆外
四、双边序列
例6： x(n) a n ，|a|<1
1
Z[x(n)] a|n|Z n anZ n anZ n
z zk
再利用已知的z变换：
Z[ Ak zknu(n)]
Ak
z z zk
或Z[-Ak zknu(-n -1)]
Ak
z z zk
N
结合收敛域写出反变换： x(n) A0 Ak (zk )n
k 1
需要注意的问题：
①极点zk，为D(z)=0的根
②计算系数Ak时，要写成：
X (z) A0 N Ak
n
n
n0
az 1 az
1
1 az
1
1 a2 (1 az)(1 az1)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ (z 1)2
作业2.1(2)(6)
sin(n0
)u(n)
~
z2
sin z sin(0 ) z2 2z cos0 1
x' (n) 1 [(1)n (3)n ] u(n) 2
x(n) h(n) y(n)
X (Z) H(Z) Y(Z)
系统函数： H (Z ) Y (Z )
X (Z)
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、D(z)
一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形式
X (Z ) Ak z
求系数Ak
X (z) z
z
z2 4z 3 (z 1)( z 3)
A1
X (z) z
(z
zk )
zzk
X (z) A2 z (z zk ) zzk
(z
1 1)(z
3)
(z
1)
z 1
(z
1 1)(z
3)
(z
3)
z 3
1 1 13 2
1 1 31 2
第二章 Z变换
讨论z变换的目的：
离散系统可以用差分方程表示：
N
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
在数字信号处理中，离散系统就是数字滤波器，
要分析数字滤波器就要解差分方程，但直接解
起来很麻烦，所以利用z变换把差分方程转化为 代数方程，使求解过程简化。
LT~微分方程