数字信号处理第二章
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数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
数字信号处理第二章
0 1 2 N − 1T
Ω0
kΩ 0
此时，时域是连续变量的周期信号，而频域是离散等间 隔的。频域谱线的间隔与时域重复的周期之间的关系：
2π Ω0 = T0
3
0
n
0 1 2 N − 1N
n
时域周期化，使对应着频域离散化。频域离散的间隔：
2π N
6
1
第2章
离散傅里叶变换（DFT）
1、时域周期化→频域离散化
~ x(t)
& (kΩ ) = 1 X 0 T0
T0 2
0 −2
x (t )e ∫~
T
− jkΩ0t
dt
− T0
T0
2T0
t
& ( jΩ) X
~ x (t ) =
k = −∞
& ( kΩ ∑X
∞
0
) e jk Ω 0 t
• 一、时域频域离散与离散傅里叶级数（DFS） • 1、时域周期化→频域离散化： • 离散时间傅里叶变换是连续变量ω的函数，不方便与 计算机处理，为此将它离散化，也变成离散信号处理。 为此，将离散时间信号周期延展。 x ( n) ⎯ ⎯→ ~ x (n) ~ x(n) x(n)
n=0
N −1
2π − j kn N
0 1 2 N − 1N
n
1 ~ x ( n) = N
N −1 k =0
∑ X ( k )e
~
j
2π kn N
−N
⎛ j 2πk ⎞ ~ X⎜e N ⎟ = X (k) ⎜ ⎟ 1 ⎝ ⎠
Ts
~ x ( n) = x (( n)) N
0 1 2
N −1
N
n
0 1 2
Ω0
kΩ 0
此时，时域是连续变量的周期信号，而频域是离散等间 隔的。频域谱线的间隔与时域重复的周期之间的关系：
2π Ω0 = T0
3
0
n
0 1 2 N − 1N
n
时域周期化，使对应着频域离散化。频域离散的间隔：
2π N
6
1
第2章
离散傅里叶变换（DFT）
1、时域周期化→频域离散化
~ x(t)
& (kΩ ) = 1 X 0 T0
T0 2
0 −2
x (t )e ∫~
T
− jkΩ0t
dt
− T0
T0
2T0
t
& ( jΩ) X
~ x (t ) =
k = −∞
& ( kΩ ∑X
∞
0
) e jk Ω 0 t
• 一、时域频域离散与离散傅里叶级数（DFS） • 1、时域周期化→频域离散化： • 离散时间傅里叶变换是连续变量ω的函数，不方便与 计算机处理，为此将它离散化，也变成离散信号处理。 为此，将离散时间信号周期延展。 x ( n) ⎯ ⎯→ ~ x (n) ~ x(n) x(n)
n=0
N −1
2π − j kn N
0 1 2 N − 1N
n
1 ~ x ( n) = N
N −1 k =0
∑ X ( k )e
~
j
2π kn N
−N
⎛ j 2πk ⎞ ~ X⎜e N ⎟ = X (k) ⎜ ⎟ 1 ⎝ ⎠
Ts
~ x ( n) = x (( n)) N
0 1 2
N −1
N
n
0 1 2
数字信号处理第三版第2章.ppt
| z | 2
试利用部分分式展开法求其Z反变换。
解：
X (z)
A1 1 2z 1
1
A2 0.5
z
1
4 1 1 1 3 1 2z1 3 1 0.5z1
x(n)
4 3
2n
1 3
(0.5)n
u(n)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
X (z)
7）终值定理：设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部
极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位
圆内，则 ： lim x(n) lim[(z 1)X (z)]
n
z1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
8）序列卷积（卷积定理）
若： y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
3z (z 3)2
z2
3z , 6z 9
试利用长除法求其Z反变换。
解：
| z | 3
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
1）线性性质
Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)
2）序列的移位 Z[x(n m)] zm X (z) Rx | z | Rx
2 j c
c (Rx , Rx )
直接利用围线积分的方法计算逆Z变换比较麻烦。 下面介绍几种常用的逆Z变换计算方法： 1）用留数定理求逆Z变换（了解） 2）部分分式展开法（掌握） 3）幂级数展开法（长除法）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
1
精品课件-数字信号处理-第2章
az1)n
n
n0
第二章 Z 变 换
当|z|>a时，级数收敛，
X
(z)
1 1 az1
。该多项式之比表明，
X(z)在z=0处有一个零点， 在z=1处有一个极点。 我们把此时的
零、极点分布情况画于图2.1中， 而且以表示零点，以×表示极
点。图中打斜线的区域就是收敛域, 它包括了Z平面上|z|>a的整
能是n1<0和n2>0，这时z=0与z=∞都是极点，都不在其收敛域之内， 因而Z变换的收敛域为0<|z|<∞。
第二章 Z 变 换 2 右边序列是n小于某一个数值（如n1）时, x(n)=0的序列, 其Z变换
X (z) x(n)zn nn1
（2-6）
此级数的收敛域是一个圆的外部。为了正确确定该收敛域的具体 范围，我们假设它在z=z1 处绝对收敛，即
第二章 Z 变 换 2.2 Z 变 换
2.2.1 Z变换定义 序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn n
（2-1）
式中z为复变量。有时也将序列x(n)的Z变换记作Z［x(n)］。 式 （2-1）所示的Z变换常被称作双边Z变换，而将
X (z) x(n)zn n0
第二章 Z 变 换 定义为单边Z变换。十分明显，如果n<0时，x(n)=0，则其单边和 双边Z变换等效,否则就不等。有些教材只讲单边Z变换, 而我们主 要讨论双边Z变换。
个区域。
序列的性质决定了Z变换的收敛域。为了进一步搞清这种关 系，我们专门讨论几种特殊序列的情景。
第二章 Z 变 换
Z平面 Im
收敛 域
a
Re
图2.1 序列anu(n)的Z平面上的零、极点与收敛域
n
n0
第二章 Z 变 换
当|z|>a时，级数收敛，
X
(z)
1 1 az1
。该多项式之比表明，
X(z)在z=0处有一个零点， 在z=1处有一个极点。 我们把此时的
零、极点分布情况画于图2.1中， 而且以表示零点，以×表示极
点。图中打斜线的区域就是收敛域, 它包括了Z平面上|z|>a的整
能是n1<0和n2>0，这时z=0与z=∞都是极点，都不在其收敛域之内， 因而Z变换的收敛域为0<|z|<∞。
第二章 Z 变 换 2 右边序列是n小于某一个数值（如n1）时, x(n)=0的序列, 其Z变换
X (z) x(n)zn nn1
（2-6）
此级数的收敛域是一个圆的外部。为了正确确定该收敛域的具体 范围，我们假设它在z=z1 处绝对收敛，即
第二章 Z 变 换 2.2 Z 变 换
2.2.1 Z变换定义 序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn n
（2-1）
式中z为复变量。有时也将序列x(n)的Z变换记作Z［x(n)］。 式 （2-1）所示的Z变换常被称作双边Z变换，而将
X (z) x(n)zn n0
第二章 Z 变 换 定义为单边Z变换。十分明显，如果n<0时，x(n)=0，则其单边和 双边Z变换等效,否则就不等。有些教材只讲单边Z变换, 而我们主 要讨论双边Z变换。
个区域。
序列的性质决定了Z变换的收敛域。为了进一步搞清这种关 系，我们专门讨论几种特殊序列的情景。
第二章 Z 变 换
Z平面 Im
收敛 域
a
Re
图2.1 序列anu(n)的Z平面上的零、极点与收敛域
数字信号处理课件第二章--离散时间信号与系统(ppt文档)
• 2.2.4 因果性（Causality） 系统在n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以 前的输入，而与n时刻以后的输入无关。 y[n] x[n], x[n-1], x[n-2], … 因果系统---- 物理可实现性 x[n+1], x[n+2], … 非因果系统---- 物理不可实现性
一个非因果系统的例子： y[n]=x[n+1]-x[n]
2.2离散时间系统
离散系统可以定义为一种变换或一个算子，即：
用公式表示为：
y[n] T x[n]
2.2.1 无记忆系统（Memoryless Systems）
y[n]x[n] 例： y[n] x[n]2
2.2.2 线性系统（Linear Systems） 满足叠加原理的系统称为线性系统
y[n] x[k]h[n-k]
k
一个线性时不变（LTI）系统完全可以由它的单位脉冲 响应来表征。
• 卷积和（Convolution）
x1[n] x2[n] x1[k]x2[n k] k
系统输出可表示为：
y[n] x[k]h[n k] x[n] h[n] k
因果序列: x[n] 0, n 0
因果稳定的线性时不变系统：h[n]单边且绝对可和
例：
h[n] anu[n]
a 1
h[n]有限长非零样本-------- 有限冲击响应系统（finite-duration impulse response，FIR）------- 系统总是稳定的
h[n]无限长非零样本-------- 无限冲击响应系统（infinite-duration impulse response，IIR）
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
数字信号处理第二章
x[n]
Input sequence Discrete-time system
y[n]
O Output sequence
§2.2 2 2 Operations O ti on Sequences S
• For example, the input may be a signal p with additive noise corrupted • Discrete-time system is designed to generate an output by removing the noise component from the input • In most cases, the operation defining a particular discrete-time discrete time system is composed of some basic operations
§2.1 Discrete-Time Signals: g Time-Domain Representation
• A complex sequence {x[n]} can be written as {x[n]} ]}={ {xre[n]} ]}+j{xim[n]} where xre and xim are the real and imaginary parts of x[n] • The complex conjugate sequence of {x[n]} is given by {x*[n]}={xre[n]} - j{xim [n]} • Often Of the h b braces are i ignored d to d denote a sequence if there is no ambiguity
Input sequence Discrete-time system
y[n]
O Output sequence
§2.2 2 2 Operations O ti on Sequences S
• For example, the input may be a signal p with additive noise corrupted • Discrete-time system is designed to generate an output by removing the noise component from the input • In most cases, the operation defining a particular discrete-time discrete time system is composed of some basic operations
§2.1 Discrete-Time Signals: g Time-Domain Representation
• A complex sequence {x[n]} can be written as {x[n]} ]}={ {xre[n]} ]}+j{xim[n]} where xre and xim are the real and imaginary parts of x[n] • The complex conjugate sequence of {x[n]} is given by {x*[n]}={xre[n]} - j{xim [n]} • Often Of the h b braces are i ignored d to d denote a sequence if there is no ambiguity
第二章 时域离散信号和系统(数字信号处理)
第二章 时域离散信号和系统
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式： x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
第二章 时域离散信号和系统
图1.2.5 正弦序列
第二章 时域离散信号和系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。
正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
例 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照公式，
y (n )
m
R ( m) R ( n m)
4 4
上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非
令n-k=m，代入上式得到
u( n )
n
( m)
n
第二章 时域离散信号和系统
u(n) 1 „ n 0 1 2 3
单位阶跃序列
第二章 时域离散信号和系统
3. 矩形序列RN(n) 1, RN(n)= 0， 0≤n≤N-1 其它n
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的
第二章 时域离散信号和系统
第2章 时域离散信号和系统
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频域卷积定理
Y (e j ) 1 X (e j ) * H (e j ) 1 X (e j )H (e j( ) )d
2
2
Y (e j )
x(n)h(n)e jn
n
x(n)[ 1
H (e j )e jnd ]e jn
n
2
Y (e j ) 1
H (e j )[
x(n)e j( )n ]d
变换存在的充分条件是：
X (e j ) x(n) n
有些序列不满足以上条件，但是平方可和的，也能求到它的变换。
例如理想低通滤波器的单位样值响应：
h(n)
h(n)
c
Sa(cn)
sin cn n
c
n
它的傅里叶变换，即滤波器的频响：
H (e j )
h(n)e jn
n
1 0
c c
H (e j )
1
c
c
有些序列既不满足绝对可和，也不满足平方可和，但是引入频域 冲激信号之后，也可表示它的傅里叶变换。如：
x(n) 1
x(n)
1
-1 0 1 2 4 5 6 7
n
X (e j ) e jn 2 ( 2r )
n
r
X (e j )
(2 )
-2π 0 2π 4π 6π 8π
这里周期卷积： Y (e j ) X (e j ) W (e j )
1 X (e j )W (e j( ) )d
2
7、帕斯瓦尔定理： x(n) y*(n) 1 X (e j )Y *(e j )d
n
2
x(n) 2 1 X (e j ) 2 d
n
2
时域卷积定理
证明
X
e
(e
jw
)＝X
* e
(e
jw
)
X
o
(e
jw
)＝
X
* o
(e
jw
)，同样满足：
X e (e j )
2
n
1 H (e j ) X (e j( ) )d
2
1 H (e j ) * X (e j )
2
7. 帕斯维尔(Parseval)定理
2
x(n)
1
x(e j 2 d
n
2
2
x(n) x(n)x*(n)
x*(n)[ 1
X (e j )e jnd)]
n
n
n
2
1 X (e j ) x(n)e jnd
§2.2 时域离散信号的傅里叶变换的定义和性质
一、序列傅里叶变换（时域离散信号傅里叶变换）的定义：
X (e j ) x(n)e jn n
x(n)
1
X (e j )e jnd
2
记为：
X (e j ) DTFT [x(n)] x(n) IDTFT [ X (e j )] x(n) DTFT X (e j )
1 2
[x(n)
x*
(n)]
xo
( n)
1 [x(n) 2
x* (n)]
若 xe(n) xo (n) 是实函数，则他们分别是偶函数与奇函数。
序列的傅里叶变换，一般是频率的复函数
X (e j ) X r (e j ) jX i (e j )
也可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量之和：
X (e j ) X e (e j ) X o (e j )
y(n) x(n)*h(n)
Y (e jw ) FT[ y(n)] [ x(m)h(n m)]e jwn
n m
x(m) h(n m)e jwn
m
n
令n m＝k
＝ x(m) h(k)e jw（m＋k）
m
k
＝ x(m)e jwm h(k)e jwk
m
k
X (e jw )H (e jw )
x(n)=cosωn+j sinωn 由上式表明， 共轭对称序列的实部 确实是偶函数， 虚部是奇函数。
对于一般序列可用共轭对称与共轭反 对称序列之和表示， 即
x(n)=xe(n)+xo(n) 式中xe(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出， 将n用-n代替， 再取共轭得到
x*(-n)=xe(n)-xo(n) ，则有：
Fn
1 T
-Ω 0 Ω 2Ω 3Ω 4Ω 5Ω 6Ω
将上式中时间变量用频率变量做一
个代换，并令 T=2π ，即
t
t
0 1
于是有：
n0
e jn 2 ( 2r )
n
r
二、离散时间傅里叶变换的性质： 1、线性： ax1(n) bx2 (n) DTFT aX1(e j ) bX 2 (e j ) 2、时移与频移： x(n m) DTFT e jm X (e j )
2
n
1
X (e j ) X *(e j )d 1
2
X (e j ) d
2
2
8、奇偶对称性：满足以下关系的信号或函数，
xe (n) xe*(n) 称为共轭对称的
xo (n) xo* (n) 称为共轭反对称的
任何函数可以表示为： x(n) xe (n) xo (n)
而Leabharlann xe(n)这里
X
e
(e
j
)
1 2
[
X
(e
j
)
X
* (e
j
)]
X o (e
j )
1 2
[X
(e
j
)
X
* (e j
)]
例 2.2.2 试分析x(n)=e jωn的对称性。 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到：
x*(-n)= e jωn 因此x(n)=x*(-n)， x(n)是共轭对称序列， 如展成实部与虚部， 得到
x(n)e j0n DTFT X (e j(0 ) )
3、时间倒置（反褶）： x(n) DTFT X (e j )
4、频域微分：
nx(n) DTFT j dX (e j )
d
5、时域卷积： y(n) x(n) h(n) 则 Y (e j ) X (e j ) H (e j )
6、频域卷积： y(n) x(n) w(n) 则 Y (e j ) X (e j ) W (e j )
提示：利用理想冲激序列的傅里叶变换
FT[T
(t)]
s ( ns )
n
1 Ts
e jnTs , 令Ts
n
w
我们知道，单位冲击序列是一以T为周期的周期信号
T (t) (t rT )
r
1
e jn0t 1
e jn0t
T n
T n
这里
0
2
T
T (t)
(1)
-T 0 T 2T 3T 4T
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
对于频域函数X (e jw )也有和上面类似的概念和结论：
X (e jw ) X e (e jw ) X o (e jw ) 式中X e (e jw )与X o (e jw )分别称为共轭对称部分 和共轭反对称部分, 它们满足：