数字信号处理第二章Z变换
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数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
数字信号处理第二章小结
5. z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换 变换与拉普拉斯变换、 变换与拉普拉斯变换 之间的关系。 之间的关系。 6. 系统函数零、据系统函数的收敛域可给出因果系统、 据系统函数的收敛域可给出因果系统、稳定 系统以及物理可实现系统的判定条件。 系统以及物理可实现系统的判定条件。 7. 系统频率特性H(e jω ) 是ω的周期函数， 的周期函数， 是偶函数， 其周期为 2π( Ωs )且 H(e ω ) 是偶函数，ϕ(ω) 是奇函 数。
j
2. z变换及其收敛域与序列具有一一对应关系。 变换及其收敛域与序列具有一一对应关系。 变换及其收敛域与序列具有一一对应关系 若仅有变换式， 若仅有变换式，则它与序列的对应关系往往是多 值的。根据收敛域判定序列性质， 值的。根据收敛域判定序列性质，在z反变换中具 反变换中具 有重要意义。 有重要意义。 3. z变换共有 条性质，其中最常用的有位移 变换共有8条性质 变换共有 条性质， 性和时域卷积定理。 性和时域卷积定理。 4. z反变换及其计算方法：留数定理、幂级数 反变换及其计算方法： 反变换及其计算方法 留数定理、 展开法和部分分式法等。其中用留数定理求z反变 展开法和部分分式法等。其中用留数定理求 反变 换是最主要的方法。 换是最主要的方法。
本章小结
本章主要介绍z变换的定义、 本章主要介绍 变换的定义、收敛域及其性 变换的定义 反变换， 质，z反变换，离散时间信号与系统频域分析、 反变换 离散时间信号与系统频域分析、 z域分析的原理与方法。重点是 变换定义及其 域分析的原理与方法。 域分析的原理与方法 重点是z变换定义及其 性质。难点是z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变 性质。难点是 变换与拉普拉斯变换、 变换与拉普拉斯变换 换的关系。应掌握以下主要内容： 换的关系。应掌握以下主要内容： 1. z变换定义。z变换实质是把序列变换到 变换定义。 变换实质是把序列变换到 变换定义 连续的复平面z域加以分析和处理 切记z是一 域加以分析和处理， 连续的复平面 域加以分析和处理，切记 是一 个连续的复变量。 个连续的复变量。
数字信号处理第2章 Z变换综述
例4：求序列 x(n) a u (n)的Z变换及收敛域。
n
解： X ( z )
n
n n n n 1 n a u ( n ) z a z ( az ) n 0 n 0
1 az 1 (az 1 ) 2 (az 1 ) n
1 — 64
Z -
-2
-3 1 —— Z 256
1 -3 —— Z 256
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
例：
z 1 z z X ( z) 2 1 2 1 z z z z 1 ( z 1 )2 ( 3 j)2 2 2
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
§2.3
z变换性质1
一、线性: Z[a x (n)+a x (n)]=a Z[x (n)]+a Z[x (n)]
1 1 2 2 1 1 2 2
二、时移： Z[x(n)]=X(z)
Z[x(n-m)]=z-m· X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
x(n) h(n) y(n)
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
z nu(n) ~ ( z 1) 2
作业2.1(2)(6)
z 2 sin z sin(0 ) sin(n0 )u (n) ~ z 2 2 z cos0 1 sin z 1 sin(0 ) 1 2 z 1 cos0 z 2
z z 1 z z X ( z) 2 z 4 z 3 ( z 1)(z 3) 2 z 1 z 3
数字信号处理教程2z变换与离散时间傅里叶变换2
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即 max(Rx1, Ry1) < z < min(Rx2, Ry2 )
某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。
浙江理工大学 2010
2.4 z变换的基本性质和定理
例1 已知x(n) = cos(ω0n)u(n)，求它的z变换。
解： 由 得
( ) cos
= lim[x(n +1)] = lim x(n)
n→∞
n→∞
浙江理工大学 2010
2.4 z变换的基本性质和定理
九．有限项累加特性
若 x(n)为因果序列，即x(n) = 0, n < 0；X (z) = Z[x(n)]
∑ 则
n
Z[ x(m)] =
z
X (z),
m=0
z −1
z
>
max[
R x
−
,1]
y(n) = anu(n − 1) ↔ Y (z) = a
z−a
z>a z>a
x(n) − y(n) = δ(n) ↔ X (z) − Y (z) = 1
零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。
浙江理工大学 2010
2.4 z变换的基本性质和定理
二．序列的移位
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
x(n) 4
⎦
| z |>| e± jω0 | = 1
=
1[ 2 1−
1 e jω0
z −1
+ 1 ] − jω0 −1 1 − e z 浙江理工大学 2010
=
1−
1− z −1 cos ω0 2z −1 cos ω0 +
数字信号处理-z变换(new1)
z n1 1 z 4)(z 4
数字信号处理－第二章z变换与离散时间傅立叶变换（DTFT)
（1）
n 1 1 n 1 , X ( z ) z 在收敛域中作围线c, 当 在围线内有一个一阶极点 z 1 4 n 1 z 当 n 2, X ( z ) z 围线内有一个一阶极点 4 和一个高阶极点 z 0 n 1 1 故此时改求围线外留数。 j Im z 4 n 1, x(n) Re s[ X ( z ) z n 1 ] 1 z 1 4 ( 4) 4 4 ( n 1) 4n 4 , n 1 C 15 15 n 2, x(n) Re s[ X ( z ) z n 1 ]z 4 1/4 4
零点
z 0, z
有三种收敛域：
1 左边序列 2 1 2 ( 2) z 双边序列 2 3 (1) z
3 3 2 2 1 , z 极点z j , z j , z 4 4 3 3 2
2 (3) z 3
右边序列
数字信号处理－第二章z变换与离散时间傅立叶变换（DTFT)
例如：
5 2 z 1 1 n z x1 (n) u ( n 5) z 2 z 1 2z 2 n 2 n 5 1 0 z 2 n n n 5 5 2 z 1 1 n z x2 (n) u ( n 5) z 2 z 1 2z 2 n 2 n 5 1 0 z 2 n n n 5
j Im z
n 1, x(n) Re s[ X ( z ) z n 1 ]
n 1
z
1 4
Re s[ X ( z ) z n 1 ] z 4
数字信号处理z变换公式表
数字信号处理z变换公式表序号变换名称公式。
1双边Z变换定义X(z)=∑_n = -∞^∞x(n)z^-n，收敛域为R_x -<| z|2单边Z变换定义（因果序列）X(z)=∑_n = 0^∞x(n)z^-n，收敛域为| z| > R_x -3Z变换的线性性质若x_1(n)↔ X_1(z)，R_1 -<| z|，x_2(n)↔ X_2(z)，R_2 -<| z|，则ax_1(n)+bx_2(n)↔ aX_1(z)+bX_2(z)，收敛域为R_ -<| z|，其中R_ -=max(R_1 -,R_2 -)，R_ +=min(R_1 +,R_2 +)4序列的移位（双边Z变换）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则x(n - m)↔ z^-mX(z)，收敛域为R_x -<| z|（m为整数）5序列的移位（单边Z变换）若x(n)↔ X(z)，则x(n - m)u(n)↔ z^-mX(z)+∑_k =0^m - 1x(k - m)z^-k（m>0），收敛域为| z| > R_x -6Z域尺度变换（乘以指数序列）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则a^nx(n)↔X((z)/(a))，收敛域为| a| R_x -<| z|<| a| R_x +（a≠0）7序列的线性加权（Z域求导）若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则nx(n)↔ -z(dX(z))/(dz)，收敛域为R_x -<| z|8序列的反褶若x(n)↔ X(z)，R_x -<| z|，则x(-n)↔ X((1)/(z))，收敛域为(1)/(R_x +)<| z|<(1)/(R_x -)9卷积定理（双边Z变换）若x_1(n)↔ X_1(z)，R_1 -<| z|，x_2(n)↔ X_2(z)，R_2 -<| z|，则x_1(n)*x_2(n)↔ X_1(z)X_2(z)，收敛域为R_ -<| z|，其中R_ -=max(R_1 -,R_2 -)，R_ +=min(R_1 +,R_2 +)10卷积定理（单边Z变换）设x_1(n)和x_2(n)为因果序列，x_1(n)↔ X_1(z)，x_2(n)↔ X_2(z)，则x_1(n)*x_2(n)↔ X_1(z)X_2(z)，收敛域为| z| >max(R_1 -,R_2 -)11初值定理（因果序列）若x(n)是因果序列，x(n)↔ X(z)，则x(0)=lim_z→∞X(z)12终值定理（因果序列，X(z)的极点在单位圆内，最多在z = 1处有一阶极点）若x(n)是因果序列，x(n)↔ X(z)，则lim_n→∞x(n)=lim_z→1(z - 1)X(z)。
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
同济大学数字信号处理课件第二章2z反变换
1 F ( z )在围线c内只有一阶极点z 4 x ( n ) Re s[ F ( z )] 1
z
j Im[ z ]
C
1 z n 1 ( z ) 1 4 (4 z )( z 1/ 4) z 4 n 4 15
4
1/ 4
0
4 Re[ z ]
当n 1时 1 F ( z )在围线c内有一阶极点z 和-(n 1)阶极点z 0 4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式
X ( z ) [a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 …] - an z n
n 1
x(n) a n u( n 1)
z 例：X ( z ) ， 1/4< z 4，求z反变换 (4 z )( z 1/ 4)
2
解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式
z2 例1：X ( z ) ， 1/4< z 4，求其z反变换 (4 z )( z 1/ 4) z2 n 1 解：x (n ) z dz c ( Rx , Rx ) 2 j c (4 z )( z 1/ 4) 2 n 1 z z n 1 其中：F ( z ) z (4 z )( z 1/ 4) (4 z )( z 1/ 4) 当n 1时 1
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 Rx z Rx , （Rx 0, Rx ） 内是解析的，则 在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即
X ( z)
而
Cn
n
n C z n
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意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为 抽样信号的拉氏变换为
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为 比较两式得s平面到z平面的映射关系为：
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：
，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率；
•将z平面用极坐标表示：
，|a|<1
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
作业2.1(2)(6)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
，
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；
•两平面都是复平面。
(1)r与的关系
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射
到s平面的实轴上负无穷远处。
例3：求序列
二、右边序列
的Z变换及收敛域。
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
例4：求序列 解：
的Z变换及收敛域。
当
时，这是无穷递缩等比级数。
三、左边序列
例5：求序列
的Z变换及收敛域。
例6：
四、双边序列
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14
-
—116
Z-1
为了得到z的正次幂的 多项式，将除数和被 除数按z的升幂排列
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
①极点zk，为D(z)=0的根 ②计算系数Ak时，要写成：
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法： 例2-4-1：
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
求系数Ak
例2-4-2：
利用z变换的时移性质： 令： 则：
长除法-原理
即D(z)除以N(z)的商为z的多项式，多项式的系数即为序列x(n) 左边序列对应z的正次幂的系数，右边序列对应z的负次幂的系数
数字信号处理第二章Z变换
讨论z变换的目的：
离散系统可以用差分方程表示：
在数字信号处理中，离散系统就是数字滤波器 ，要分析数字滤波器就要解差分方程，但直接 解起来很麻烦，所以利用z变换把差分方程转化 为代数方程，使求解过程简化。
LT~微分方程
§2.1 Z变换
Z变换的表示：
双边z变换：
单边z变换： Z为复数，以z的实部为横坐标，z的虚部 为纵坐标，可以构成一个z平面
例：
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
作业2.3
§2.5 Z变换与Laplace变换、序列的 傅里叶变换的关系
一、 Z变换与Laplace变换的关系
利用LT可以得到连续系统的一些性质，利用z变换 可以得到离散系统的系统函数，而在设计数字滤 波器时可以先设计AF，再通过代换得到DF,所以 AF和DF的关系就可从LT与z变换的关系得到。
长除法-例子
为了得到z的正次幂的多项式，将除数和被除数按z的升幂排列
4-Z)
4Z+Z2+ —41 Z 3+ —116Z 4+ —614Z 5+ ...
16 Z 16 Z - 4 Z2
4 Z2
4 Z2 - Z3
Z3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Z 3 - —14 Z 4
—14 —14
Z Z
4
4-
—116
Z
5
—116 Z 5
…
1+ —14 Z-1+11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
零极点
为有理分式，
D(z)=0的根称为z变换的极点， N(z)=0的根称为z变换的零点。
极点与收敛域的关系： 收敛域不包含极点，收敛域总是以极点为收敛 边界，收敛圆必然通过极点。零、极点分为单 根和重根，单根又分为实根和共轭复根（若为 复根，必然是共轭的，因为系数是实数），滤 波器设计只考虑单根的情况。
当输入x(n)=(n)时，输出y(n)称为单位抽样
响应h(n)。
3、注意的问题：系统的稳定性和因果性
= 0T,
z：始于原点的射线；
jIm[Z]
Re[Z]
0
Re[Z]
二、Z变换与FT的关系
傅里叶变换是拉氏变换在s平面的虚轴上的 特例，由于s平面的虚轴映射到z平面的单位 圆上，因此抽样序列在单位圆上的z变换就 是它的傅里叶变换。
连续： L[h(t)]
离散： Z[h(t)]
频率响应 系统函数
各个变换的关系：
s=jΩ X(S)
z=esT
X(z) z=ejω
模拟：x(t)
X(j) =T
X(ejω)
t=nT
s
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应
一、离散系统的系统函数
1、差分方程和系统函数的关系
系统的差分方程为：
对方程两边做z变换，得：
整理得系统函数为：
2、 H(z)和单位抽样响应h(n) 的关系
§2.2 收敛域
1、定义： 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域。 2、收敛条件：（级数的收敛条件） X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
一、有限长序列
例1：求序列
的Z变换及收敛域。
收敛域为：
例2：求序列
解：
的Z变换及收敛域。
其收敛域应包括
即
充满整个Z平面。
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→， 所以在一个周期内：为–/T→/T
=0，S平面的实轴，
=0，z平面正实轴；
=0(常数)， S：平行实轴的直线，
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形 式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为 抽样信号的拉氏变换为
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为 比较两式得s平面到z平面的映射关系为：
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：
，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率；
•将z平面用极坐标表示：
，|a|<1
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的 公共收敛区间。
课本P27表2.1
作业2.1(2)(6)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
，
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；
•两平面都是复平面。
(1)r与的关系
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射
到s平面的实轴上负无穷远处。
例3：求序列
二、右边序列
的Z变换及收敛域。
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
例4：求序列 解：
的Z变换及收敛域。
当
时，这是无穷递缩等比级数。
三、左边序列
例5：求序列
的Z变换及收敛域。
例6：
四、双边序列
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14
-
—116
Z-1
为了得到z的正次幂的 多项式，将除数和被 除数按z的升幂排列
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
极点分为：实极点、复极点 若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现
①极点zk，为D(z)=0的根 ②计算系数Ak时，要写成：
③利用已知z变换时，注意收敛域
配分法： 例2-4-1：
（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）
求系数Ak
例2-4-2：
利用z变换的时移性质： 令： 则：
长除法-原理
即D(z)除以N(z)的商为z的多项式，多项式的系数即为序列x(n) 左边序列对应z的正次幂的系数，右边序列对应z的负次幂的系数
数字信号处理第二章Z变换
讨论z变换的目的：
离散系统可以用差分方程表示：
在数字信号处理中，离散系统就是数字滤波器 ，要分析数字滤波器就要解差分方程，但直接 解起来很麻烦，所以利用z变换把差分方程转化 为代数方程，使求解过程简化。
LT~微分方程
§2.1 Z变换
Z变换的表示：
双边z变换：
单边z变换： Z为复数，以z的实部为横坐标，z的虚部 为纵坐标，可以构成一个z平面
例：
因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现
作业2.3
§2.5 Z变换与Laplace变换、序列的 傅里叶变换的关系
一、 Z变换与Laplace变换的关系
利用LT可以得到连续系统的一些性质，利用z变换 可以得到离散系统的系统函数，而在设计数字滤 波器时可以先设计AF，再通过代换得到DF,所以 AF和DF的关系就可从LT与z变换的关系得到。
长除法-例子
为了得到z的正次幂的多项式，将除数和被除数按z的升幂排列
4-Z)
4Z+Z2+ —41 Z 3+ —116Z 4+ —614Z 5+ ...
16 Z 16 Z - 4 Z2
4 Z2
4 Z2 - Z3
Z3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Z 3 - —14 Z 4
—14 —14
Z Z
4
4-
—116
Z
5
—116 Z 5
…
1+ —14 Z-1+11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
零极点
为有理分式，
D(z)=0的根称为z变换的极点， N(z)=0的根称为z变换的零点。
极点与收敛域的关系： 收敛域不包含极点，收敛域总是以极点为收敛 边界，收敛圆必然通过极点。零、极点分为单 根和重根，单根又分为实根和共轭复根（若为 复根，必然是共轭的，因为系数是实数），滤 波器设计只考虑单根的情况。
当输入x(n)=(n)时，输出y(n)称为单位抽样
响应h(n)。
3、注意的问题：系统的稳定性和因果性
= 0T,
z：始于原点的射线；
jIm[Z]
Re[Z]
0
Re[Z]
二、Z变换与FT的关系
傅里叶变换是拉氏变换在s平面的虚轴上的 特例，由于s平面的虚轴映射到z平面的单位 圆上，因此抽样序列在单位圆上的z变换就 是它的傅里叶变换。
连续： L[h(t)]
离散： Z[h(t)]
频率响应 系统函数
各个变换的关系：
s=jΩ X(S)
z=esT
X(z) z=ejω
模拟：x(t)
X(j) =T
X(ejω)
t=nT
s
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应
一、离散系统的系统函数
1、差分方程和系统函数的关系
系统的差分方程为：
对方程两边做z变换，得：
整理得系统函数为：
2、 H(z)和单位抽样响应h(n) 的关系
§2.2 收敛域
1、定义： 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域。 2、收敛条件：（级数的收敛条件） X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
一、有限长序列
例1：求序列
的Z变换及收敛域。
收敛域为：
例2：求序列
解：
的Z变换及收敛域。
其收敛域应包括
即
充满整个Z平面。
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→， 所以在一个周期内：为–/T→/T
=0，S平面的实轴，
=0，z平面正实轴；
=0(常数)， S：平行实轴的直线，