第03章_幂级数展开
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l l
如果级数wk (z)在B上一致收敛，wk (z)(k 0,1,2,)在B上
k 0
k 0
k
k 0
l
k
单值解析，则级数的和w(z)也是B上的单值解析函数，w(z) 的各阶导数可由wk (z)逐项求导得到，即
k 0
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在B(或l )上各点z, 对于任一给定的小正数 , 必有N ( z )存在, 使得当n N ( z )时,
k n 1
w ( z) , 式中p为任意正整数。
k
n p
若N与z无关，则称级数在B(或l)上一致收敛。
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数学物理方法
第3章 幂级数展开
(n) w(n) (z) wk (z) k 0
7
(n) 而且wk (z)在B内的任意一个闭区域上一致收敛。 k 0
对于区域B(或曲线l )上所有各点z, 如果函数项级数各项的 模 wk ( z ) mk , 而正的常数项级数 mk收敛, 则函数项级数
以z0为圆心R为半径作一个圆CR，幂级数在圆的内部绝对收敛， 在圆外发散。CR称为幂级数的收敛圆，R称为收敛半径。
所谓“圆的内部”指的是比这个圆稍稍缩小一些的闭区域。以 z0为圆心R1(稍稍小于R)为半径作一个圆CR1，在CR1所围的闭圆域 上，幂级数各项的模 ak ( z z0 )k ak R1k。
对正的常数项级数 ak R1k，应用比值判别法，
k 0
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数学物理方法
第3章 幂级数展开
10
ak 1 R1k 1 ak 1 1 lim R1 = R1 1 = lim k k k a ak R1 R k
其中，w( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 ) 2
幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数，在收敛圆内不 可能有奇点。 幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次。 因为收敛圆的内部是单连通区域，所以幂级数在收敛圆 内又可以逐项积分。 逐项积分或逐项求导不改变收敛半径。P37 习题1. 2.
lim ak z z0
k k
k
数学物理方法
第3章 幂级数展开
k
11
例1：求幂级数 z 的收敛圆
k 0
解： a 1 k
R lim
ak ak 1
k
1 lim 1 k 1
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1 z 1
事实上，本例是几何级数，公比是z，所以 前n+1项的和为：
这个正的常数项级数收敛。根据上节最后的结论，幂级 数在收敛圆内部不仅绝对收敛而且一致收敛。 2. 根值判别法 1 绝对收敛
1 发散 1 求收敛半径的另一方法： R lim k k ak
z z0 R 绝对收敛
z z0 R 发散
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1 f ( ) d 证明：由Cauchy公式，有 f ( z ) 2π i CR1 z 1 1 1 1 z z0 1 z z0 z0 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 z0 k 1 z ( z 1) 2 k 0 1 z 1 z z0 z z0 1 z0 z0 z0 k z0 z z0 1 z z0 k 0 z0 z z z0 0 CR1 k ( z z0 ) k 1 CR ( z ) k 0 0
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数学物理方法
第3章 幂级数展开
k0 k0 k0
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数学物理方法
n
第3章 幂级数展开
n
3
这时 lim uk u , lim vk v 也收敛。
n k 0 n k 0
这样，复数项无穷级数的收敛性问题就归结为uk和vk两个 实数项级数的收敛性问题。于是，实数项级数的许多性 质可移用于复数项级数。 柯西收敛判据：(无穷级数收敛的充分必要条件)
数学物理方法
第3章 幂级数展开
1
第3章 幂级数展开
为什么要学习幂级数展开？ 实变函数的幂级数展开： (1) 将实变函数进行泰勒展开，截取幂级数的前面有限项 的和可以作为函数的近似（项数取决于要达到的近似 程度）； (2) 常微分方程可用级数方法求解。 §3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
1 z k n 2 z 1 z z z 1 z k 0
n
n 1
1 公比项数 1 公比
n 1 1 1 z k ( z 1) z lim 若 z 1 n 1 z 1 z k 0
1 1 公比
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k 1 k
k
ak 1 lim z z0 k a k
1 绝对收敛
1 发散
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9
ak 令： R lim k a k 1
z z0 R
绝对收敛
z z0 R 发散
例：求幂级数
z 1
( z / 2)
k 0
2k
解： R lim k
lim
1
2k
a2 k
1 1 / 22 k
的收敛半径
k 2 k
2
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13
P36：根据“幂级数在收敛圆内部绝对收敛而且一致收敛 ”，幂级数的和可以表示为连续函数的回路积分，而连 续函数的回路积分可在积分号下求导任意多次，也是解 析函数。 1 w( ) 2 d a a ( z z ) a ( z z ) 0 1 0 2 0 C 2πi R1 z
对于任一给定的小正数 , 必有N 存在, 使得当n N时, Fn p +1 Fn +1 wn 1 wn 2 wn p = 式中p为任意正整数。
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k n 1
w
n p
k
,
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4
如果由级数各项的模(正实数)组成的级数
k 0
2 2 wk uk vk k 0
收敛，则称级数绝对收敛。绝对收敛的级数必收敛。 绝对收敛的级数的性质： (1) 绝对收敛的级数各项先后次序可以任意改变，其和不 变。 (2) 设有两个绝对收敛的级数，其和分别为A和B，将它 们逐项相乘，得到的级数也是绝对收敛的，而且它的和 n 就等于AB。 其中, c pq
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2
§3.1 复数项级数 1. 复数项级数 设有复数项的无穷级数
w =w +w +w + +w +
它的每一项都可分为实部和虚部， wk uk ivk 前n+1项的级数和为 复数项无穷级数的和
k 0
在B(或l )上绝对且一致收敛。
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8
§3.2 幂级数 如果函数项级数的各项都是幂函数
k 2 a ( z z ) a a ( z z ) a ( z z ) k 0 0 1 0 2 0 k 0
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14
基本要求
1. 理解级数绝对收敛的概念； 2. 掌握正项级数的比值判别法和根值判别法； 3. 会求复变函数幂级数的收敛圆或收敛半径。
作业：P37 3.(4), 4.(4)
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k 2k ( 1) z 的收敛圆 例2：求幂级数 k 0
解： ak (1)
k
ak R lim 1 k a k 1
事实上，本例也是几何级数，公比为 z 2
k 2k 2 4
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1
1 若 z 1 ( 1) z =1 z z 2 ( z 1) 1 z k 0
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§3.3 泰勒(Taylor)级数展开 定理：设f(z)在以z0为圆心、以R为半径的圆CR内解析，则 对圆内的任意z点，f(z)可展开为幂级数
f ( z ) ak ( z z 0 )
k 0
k
z
(k )
z0
z z0
CR1 CR
1 f ( ) f ( z0 ) ak d 其中： k 1 2π i CR1 ( z0 ) k!
CR1为圆CR内包含z点且与CR同心的圆。
z0
f ( z)
k 0
f ( k ) ( z0 ) k ( z z0 ) , ( z z0 R ) k!
称为f ( z )的泰勒展开，右端级数称为以z0为中心的泰勒级数。
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6
在B上一致收敛的级数的每一项wk(z)都是B上的连续函数 ，则级数的和w(z)也是B上的连续函数。 在l上一致收敛的级数的每一项wk(z)都是l上的连续函数， 则级数的和w(z)也是l上的连续函数，而且级数可以沿l逐 项积分。
w( z ) d z w ( z ) d z w ( z ) d z
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5
2. 函数项级数
w ( z) w ( z) w ( z) w ( z) w ( z)
k 0 k 0 1 2 k
它的各项都是z的函数。如果级数在某个区域B(或某条曲 线l)上的所有点，级数都收敛，则称级数在B(或l)上收敛。 根据柯西收敛判据，函数项级数在B(或l)上收敛的充分必 要条件：
n
k 0
n
k
nk
p
k 0
k
A, qk B
k 0
p q = p q c
k 0 k l 0 l k 0 l 0 k l n0
AB
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其中，z0, a0, a1, a2, …都是复常数。这样的级数称为以z0 为中心的幂级数。 考察由幂级数各项的模组成的正项级数 2 k a0 a1 z z0 a2 z z0 ak z z0 1. 比值判别法(达朗贝尔判别法)
lim
ak 1 z z0 ak z z0
n n n n n
k 0
k
0
1
2
k
w u iv
k 0 k k 0 k k 0
n
n
n
k
F n1
w u
k 0
n
k
k 0
k
i vk
k 0
k 0
若limwk limuk ilimvk F 有限， 称级数 wk 收敛于F。
如果级数wk (z)在B上一致收敛，wk (z)(k 0,1,2,)在B上
k 0
k 0
k
k 0
l
k
单值解析，则级数的和w(z)也是B上的单值解析函数，w(z) 的各阶导数可由wk (z)逐项求导得到，即
k 0
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在B(或l )上各点z, 对于任一给定的小正数 , 必有N ( z )存在, 使得当n N ( z )时,
k n 1
w ( z) , 式中p为任意正整数。
k
n p
若N与z无关，则称级数在B(或l)上一致收敛。
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(n) w(n) (z) wk (z) k 0
7
(n) 而且wk (z)在B内的任意一个闭区域上一致收敛。 k 0
对于区域B(或曲线l )上所有各点z, 如果函数项级数各项的 模 wk ( z ) mk , 而正的常数项级数 mk收敛, 则函数项级数
以z0为圆心R为半径作一个圆CR，幂级数在圆的内部绝对收敛， 在圆外发散。CR称为幂级数的收敛圆，R称为收敛半径。
所谓“圆的内部”指的是比这个圆稍稍缩小一些的闭区域。以 z0为圆心R1(稍稍小于R)为半径作一个圆CR1，在CR1所围的闭圆域 上，幂级数各项的模 ak ( z z0 )k ak R1k。
对正的常数项级数 ak R1k，应用比值判别法，
k 0
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ak 1 R1k 1 ak 1 1 lim R1 = R1 1 = lim k k k a ak R1 R k
其中，w( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 ) 2
幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数，在收敛圆内不 可能有奇点。 幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意多次。 因为收敛圆的内部是单连通区域，所以幂级数在收敛圆 内又可以逐项积分。 逐项积分或逐项求导不改变收敛半径。P37 习题1. 2.
lim ak z z0
k k
k
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例1：求幂级数 z 的收敛圆
k 0
解： a 1 k
R lim
ak ak 1
k
1 lim 1 k 1
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1 z 1
事实上，本例是几何级数，公比是z，所以 前n+1项的和为：
这个正的常数项级数收敛。根据上节最后的结论，幂级 数在收敛圆内部不仅绝对收敛而且一致收敛。 2. 根值判别法 1 绝对收敛
1 发散 1 求收敛半径的另一方法： R lim k k ak
z z0 R 绝对收敛
z z0 R 发散
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1 f ( ) d 证明：由Cauchy公式，有 f ( z ) 2π i CR1 z 1 1 1 1 z z0 1 z z0 z0 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 z0 k 1 z ( z 1) 2 k 0 1 z 1 z z0 z z0 1 z0 z0 z0 k z0 z z0 1 z z0 k 0 z0 z z z0 0 CR1 k ( z z0 ) k 1 CR ( z ) k 0 0
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k0 k0 k0
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n
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n
3
这时 lim uk u , lim vk v 也收敛。
n k 0 n k 0
这样，复数项无穷级数的收敛性问题就归结为uk和vk两个 实数项级数的收敛性问题。于是，实数项级数的许多性 质可移用于复数项级数。 柯西收敛判据：(无穷级数收敛的充分必要条件)
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第3章 幂级数展开
为什么要学习幂级数展开？ 实变函数的幂级数展开： (1) 将实变函数进行泰勒展开，截取幂级数的前面有限项 的和可以作为函数的近似（项数取决于要达到的近似 程度）； (2) 常微分方程可用级数方法求解。 §3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析延拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
1 z k n 2 z 1 z z z 1 z k 0
n
n 1
1 公比项数 1 公比
n 1 1 1 z k ( z 1) z lim 若 z 1 n 1 z 1 z k 0
1 1 公比
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k 1 k
k
ak 1 lim z z0 k a k
1 绝对收敛
1 发散
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ak 令： R lim k a k 1
z z0 R
绝对收敛
z z0 R 发散
例：求幂级数
z 1
( z / 2)
k 0
2k
解： R lim k
lim
1
2k
a2 k
1 1 / 22 k
的收敛半径
k 2 k
2
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P36：根据“幂级数在收敛圆内部绝对收敛而且一致收敛 ”，幂级数的和可以表示为连续函数的回路积分，而连 续函数的回路积分可在积分号下求导任意多次，也是解 析函数。 1 w( ) 2 d a a ( z z ) a ( z z ) 0 1 0 2 0 C 2πi R1 z
对于任一给定的小正数 , 必有N 存在, 使得当n N时, Fn p +1 Fn +1 wn 1 wn 2 wn p = 式中p为任意正整数。
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k n 1
w
n p
k
,
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如果由级数各项的模(正实数)组成的级数
k 0
2 2 wk uk vk k 0
收敛，则称级数绝对收敛。绝对收敛的级数必收敛。 绝对收敛的级数的性质： (1) 绝对收敛的级数各项先后次序可以任意改变，其和不 变。 (2) 设有两个绝对收敛的级数，其和分别为A和B，将它 们逐项相乘，得到的级数也是绝对收敛的，而且它的和 n 就等于AB。 其中, c pq
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2
§3.1 复数项级数 1. 复数项级数 设有复数项的无穷级数
w =w +w +w + +w +
它的每一项都可分为实部和虚部， wk uk ivk 前n+1项的级数和为 复数项无穷级数的和
k 0
在B(或l )上绝对且一致收敛。
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8
§3.2 幂级数 如果函数项级数的各项都是幂函数
k 2 a ( z z ) a a ( z z ) a ( z z ) k 0 0 1 0 2 0 k 0
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14
基本要求
1. 理解级数绝对收敛的概念； 2. 掌握正项级数的比值判别法和根值判别法； 3. 会求复变函数幂级数的收敛圆或收敛半径。
作业：P37 3.(4), 4.(4)
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12
k 2k ( 1) z 的收敛圆 例2：求幂级数 k 0
解： ak (1)
k
ak R lim 1 k a k 1
事实上，本例也是几何级数，公比为 z 2
k 2k 2 4
收敛圆：以 z=0为圆心 半径为1
1 若 z 1 ( 1) z =1 z z 2 ( z 1) 1 z k 0
数学物理方法
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15
§3.3 泰勒(Taylor)级数展开 定理：设f(z)在以z0为圆心、以R为半径的圆CR内解析，则 对圆内的任意z点，f(z)可展开为幂级数
f ( z ) ak ( z z 0 )
k 0
k
z
(k )
z0
z z0
CR1 CR
1 f ( ) f ( z0 ) ak d 其中： k 1 2π i CR1 ( z0 ) k!
CR1为圆CR内包含z点且与CR同心的圆。
z0
f ( z)
k 0
f ( k ) ( z0 ) k ( z z0 ) , ( z z0 R ) k!
称为f ( z )的泰勒展开，右端级数称为以z0为中心的泰勒级数。
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6
在B上一致收敛的级数的每一项wk(z)都是B上的连续函数 ，则级数的和w(z)也是B上的连续函数。 在l上一致收敛的级数的每一项wk(z)都是l上的连续函数， 则级数的和w(z)也是l上的连续函数，而且级数可以沿l逐 项积分。
w( z ) d z w ( z ) d z w ( z ) d z
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5
2. 函数项级数
w ( z) w ( z) w ( z) w ( z) w ( z)
k 0 k 0 1 2 k
它的各项都是z的函数。如果级数在某个区域B(或某条曲 线l)上的所有点，级数都收敛，则称级数在B(或l)上收敛。 根据柯西收敛判据，函数项级数在B(或l)上收敛的充分必 要条件：
n
k 0
n
k
nk
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k 0
k
A, qk B
k 0
p q = p q c
k 0 k l 0 l k 0 l 0 k l n0
AB
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数学物理方法
其中，z0, a0, a1, a2, …都是复常数。这样的级数称为以z0 为中心的幂级数。 考察由幂级数各项的模组成的正项级数 2 k a0 a1 z z0 a2 z z0 ak z z0 1. 比值判别法(达朗贝尔判别法)
lim
ak 1 z z0 ak z z0
n n n n n
k 0
k
0
1
2
k
w u iv
k 0 k k 0 k k 0
n
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k
F n1
w u
k 0
n
k
k 0
k
i vk
k 0
k 0
若limwk limuk ilimvk F 有限， 称级数 wk 收敛于F。