Chapt3幂级数展开
函数的幂级数的展开与技巧
1引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。
一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。
2 泰勒级数泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则()()()()()()20''00002!x x f x f x f x x x f x -=+-+()()())00(!n nn x x f x R x n -+++ ， (1)这里()x R n =()()nx x o 0-称为皮亚诺型余项。
如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”，那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()()()1101()1!n n n R x fx x n ξ++=-+ （拉格朗日余项）()()1(1)001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- （柯西余项）()()0(1)1!x n nx f t x t dt n +=-⎰， （积分型余项） 如果在(1)中抹去余项()x R n ，那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。
如果函数f 在0x x =处有任意阶的导数，这时称形式为：()()()()()()()()20000000"'2!!n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++-+(2)的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ，或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ，这是我们现在要讨论的问题。
下面我们先看一个例子：例1[]1 由于函数()=x f 21,0,0,0,x e x x ⋅-⎧⎪≠⎨⎪=⎩在0x x =处的任何阶导数都为0，即()(),,2,1,00 ==n f n 所以f 在0x =处的泰勒级数为：++++⋅+n x n x x !!20002， 显然，它在()+∞∞-,上收敛，且其和函数()0=x S ， 由此看到对一切0x =都有()()x S x f ≠，这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有()0lim =∞→x R n n时才能够。
幂级数展开
1
1
2
由于级数在CR1上一致收敛,由一致收敛级数的逐项可积 分性质得:
1 2 i
w ( )
CR1
z
d
1 2 i
a0
CR1
z
d
1 2 i
a1 ( z 0 )
CR1
z
d
1 2 i
a 2 ( z 0 )
k
证明: 取比收敛圆稍稍缩小的圆周CR1, 为其上的任 一点,级数的和记作 (3.2.9)
w ( ) a 0 a1 ( z 0 ) a 2 ( z 0 )
2
取CR1内任一点z, 1 a ( z ) 1 2 (i z 用有界函数 a a z ) 1 w ( ) 1 遍乘上式 i z 2 i z 2 i z 2 2 i z
解： R lim
k
级数在 z 1 绝对收敛
=
例2.求幂级数 1 z 2 z 4 z 6 的收敛圆,z为复变数 解:把 z 记作 t ,则级数为 1 t t 2 t 3 , t面上的
2
收敛半径
R lim
ak a k 1
k
1
则z面上的收敛半径为
其中, W ( z )
k 1
W (z)
wk ( z )
则级数在区域B上(或者曲线L)一致收敛于 W ( z ) W ) W ((zz) 称为和函数
,
注意: 一致收敛的概念是和一定的区域联系在一起
b.一致收敛的充要条件 对于B上(或L)上的点z， ，存在自然数
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式在数学中，函数的幂级数展开式是一种重要的工具，它可以帮助我们更好地理解并计算函数的性质和值。
本文将介绍函数的幂级数展开式的定义、性质和应用，并举例说明。
首先，我们来了解一下函数的幂级数展开式的定义。
给定一个函数f(x)，如果存在一系列常数c0、c1、c2...和x的幂次，使得对于函数的定义域内的任意x，都有以下等式成立：f(x) = c0 + c1x^1 + c2x^2 + ...其中c0、c1、c2...是常数，x^1、x^2...表示x的各个幂次。
这样的幂级数展开式也称为函数f(x)在某个点的Taylor级数。
函数的幂级数展开式的存在性以及展开式的具体形式，取决于函数f(x)的性质和给定的展开点。
接下来，我们来了解一些函数的幂级数展开式的性质。
首先是幂级数的收敛性。
对于给定的函数f(x)，其幂级数展开式在一个收敛域内收敛，而在收敛域外发散。
在收敛域内的任意点，幂级数展开式可以计算出与原函数f(x)相等的值。
其次是幂级数展开式的求导和积分。
对于幂级数展开式，我们可以逐项对其求导和积分。
当幂级数展开式存在有限的半径收敛时，对幂级数逐项求导和积分后得到的新的幂级数展开式依然收敛，并且与原函数的导数和积分相等。
此外，函数的幂级数展开式还可以用于逼近函数的值。
对于给定的函数f(x)，如果我们知道它在某个点的展开式，并且展开式在此点附近收敛，那么我们可以通过截取幂级数展开式的有限项来逼近函数在该点的值。
通常，我们选择截取的项数越多，逼近的精度就越高。
函数的幂级数展开式在实际应用中具有广泛的应用。
首先是在微积分中，我们可以通过函数的幂级数展开式来计算和研究函数的性质，如极值、拐点、渐近线等。
其次，在物理学领域，函数的幂级数展开式被广泛应用于计算物理量的近似解析解。
例如，通过函数的幂级数展开式可以计算近似解析解的电磁场分布、概率分布等。
此外，函数的幂级数展开式还可以用于解决各种工程和科学问题，如信号处理、图像处理、数值计算等。
数学物理方法_第三章_幂级数展开
数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法，它是通过使用幂级数来表示一个函数，从而方便对函数进行近似计算和分析。
在许多问题中，幂级数展开可以简化计算的复杂性，帮助我们更好地理解问题的本质。
幂级数是一个无穷级数，形式为：f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中，a0、a1、a2...是常数系数，x0是展开点。
幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数，进而通过截断级数的方式来近似求解。
这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。
幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开，泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。
泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。
泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示，形式如下：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛，它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。
以下是幂级数展开的几个典型应用：1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。
通过截断幂级数，我们可以用其前几项来近似计算函数的值。
这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的，因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。
2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。
对于一些微分方程，无法找到解析解，但通过将解展开成幂级数的形式，可以将微分方程转化为代数方程，从而求得解的逼近解。
3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。
通过截取幂级数的前几项，我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式，从而方便我们进行数值计算。
4.解析几何的研究在解析几何中，幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。
通过展开曲线或曲面，我们可以对其性质进行分析和计算，帮助我们更好地理解几何问题。
幂级数展开法推导
幂级数展开法推导幂级数展开法是数学中一种重要的计算方法，它被广泛应用于函数的近似表示、微积分和概率论等领域。
在本篇文章中，我们将介绍幂级数展开法的推导方法，并给出一些实例。
一、幂级数展开法的基本定义幂级数展开法是指将一个连续函数表示为无限级数的形式。
设f(x)是一个定义在区间I上的连续函数，那么f(x)可以表示为一个无限级数的形式，即：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 +...+anxn+...其中a0, a1, a2,...,an,...为常数，且x∈I。
这里将其称作幂级数展开式，也可以称作泰勒级数、麦克劳林级数等。
二、泰勒级数的推导方法对于大多数函数，要想简化其表达式，我们需要求出其导数。
幂级数展开法也是通过求函数的导数来推导的，下面我们以泰勒级数（Taylor Series）为例，介绍其推导方法。
泰勒级数是指在点x0附近，将函数f(x)展开成无限级数的形式，即：f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)(x - x0)^2/2!+ ...+ f(n)(x0)(x - x0)n/n! + ...上式中，f(x0)表示函数在x = x0处的函数值，f'(x0)表示它的一阶导数在x = x0处的函数值，f''(x0)表示它的二阶导数在x = x0处的函数值，f(n)(x0)表示它的n阶导数在x = x0处的函数值。
我们可以通过对f(x)进行求导的方式来推导出泰勒级数的式子。
假设有如下泰勒级数：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 +...+anxn+...我们对f(x)进行n次求导：f^(n)(x) = n!anxn将其带入原式，有：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 +...+f^(n)(x0)(x - x0)n/n! +...将x = x0代入式中，可以得到：f(x0) = a0f'(x0) = a1f"(x0) = 1/2！a2进一步可以得到：an = f^(n)(x0)/n!故可列出如下泰勒级数公式：f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)(x - x0)^2/2!+ ...+ f(n)(x0)(x - x0)n/n! + ...三、实例通过幂级数展开法，我们可以得到很多有用的结论。
幂级数展开式步骤
幂级数展开式步骤以幂级数展开式步骤为标题，写一篇文章。
一、幂级数展开式的概念幂级数展开式是一种将函数表示为无限级数的方法。
它可以将复杂的函数用简单的级数来逼近，从而更好地理解函数的性质和计算其近似值。
二、确定展开点在进行幂级数展开之前，我们需要确定展开的点。
展开点的选择很重要，它应该是函数在某个范围内的典型值。
常见的展开点有0和某个特定的实数。
三、求导数接下来，我们需要求出函数在展开点附近的各阶导数。
导数的计算可以使用求导法则，例如常数倍、和差、乘积和商法则等。
通过求导，我们可以得到函数在展开点附近的各阶导数。
四、计算展开系数展开系数是幂级数中每一项的系数，它反映了函数在展开点附近的性质。
展开系数的计算可以通过求导数的值来进行，具体的计算方法根据函数的性质而定。
五、写出幂级数展开式将展开系数代入幂级数的通项公式中，我们可以得到幂级数展开式。
幂级数展开式通常是一个无限级数，每一项都是展开系数乘以展开点的幂次。
六、确定收敛区间幂级数并不一定在整个实数轴上收敛，因此我们需要确定幂级数的收敛区间。
收敛区间可以通过比较级数的收敛性来确定，例如使用比值判别法或根值判别法。
七、判断边界在确定收敛区间的同时，我们还需要判断边界。
边界是指幂级数在收敛区间的端点上是否收敛。
判断边界的方法可以使用柯西收敛判别法或阿贝尔收敛判别法。
八、验证展开式的有效性在得到幂级数展开式后，我们还需要验证其有效性。
可以通过将展开式代入原函数，并比较两者的差值来验证展开式的有效性。
差值越小，展开式越有效。
九、应用幂级数展开式幂级数展开式在数学和物理等领域有广泛的应用。
它可以用于计算函数的近似值、解决微分方程、研究物理问题等。
通过应用幂级数展开式，我们可以更好地理解和解决实际问题。
十、总结幂级数展开式是一种重要的数学工具，通过将函数表示为无限级数，可以更好地理解函数的性质和计算其近似值。
通过确定展开点、求导数、计算展开系数、写出展开式、确定收敛区间和判断边界等步骤，我们可以得到有效的幂级数展开式，并应用于实际问题中。
常见幂级数展开式求和公式
常见幂级数展开式求和公式幂级数展开式是一种重要的数学工具，可以将各种函数表示为无穷级数的形式。
常见的幂级数展开式求和公式有泰勒级数、麦克劳林级数和幂级数的逐项积分求和公式。
下面将逐一介绍这些公式。
1.泰勒级数求和公式：泰勒级数是将一个函数在其中一点展开成无穷级数的形式，用于近似表示函数在该点的值。
对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=a 处的泰勒级数展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f^n(a)表示f(x)在x=a点的n阶导数，n!表示n的阶乘。
当n 足够大时，泰勒级数可以提供较准确的函数近似。
2.麦克劳林级数求和公式：麦克劳林级数是泰勒级数在x=0处展开的特殊形式。
对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=0处的麦克劳林级数展开式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...麦克劳林级数将函数近似表示为多项式的形式，方便计算。
3.幂级数逐项积分求和公式：对于幂级数∑a_n(x-a)^n，可以对其逐项积分得到：∫[∑a_n(x-a)^n]dx = ∑[a_n/(n+1)(x-a)^(n+1)] + C其中，C为积分常数。
这个公式可以用于计算幂级数的积分。
除了上述三种常见幂级数展开式求和公式，还有一些其他的展开式求和公式，如：4.欧拉恒等式：欧拉恒等式表示以自然对数e为底的指数函数和三角函数的关系：e^ix = cos(x) + i·sin(x)其中，i表示虚数单位。
这个等式广泛应用于复数分析、信号处理等领域。
5.贝塞尔函数展开式：贝塞尔函数是一类特殊的函数，可以用无穷级数表示。
对于整数阶的贝塞尔函数J_n(x)，其展开式为：J_n(x)=(∑[(-1)^k/(k!(n+k)!)(x/2)^(2k+n)])/(x/2)^n贝塞尔函数在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
高考数学知识点精讲幂级数的展开与收敛半径
高考数学知识点精讲幂级数的展开与收敛半径高考数学知识点精讲：幂级数的展开与收敛半径在高考数学中，幂级数是一个重要的知识点，其中幂级数的展开与收敛半径更是理解和解决相关问题的关键。
让我们一起来深入探讨这个知识点，帮助同学们在高考中轻松应对相关题型。
首先，我们来了解一下什么是幂级数。
简单来说，幂级数就是形如∑（n=0 到∞） aₙ xⁿ ＝ a₀＋ a₁ x ＋ a₂ x²＋ a₃ x³＋的无穷级数。
其中，aₙ 被称为幂级数的系数，x 是变量。
那么，为什么要研究幂级数的展开呢？这是因为通过将一些复杂的函数展开成幂级数的形式，我们能够更方便地对其进行分析、计算和研究。
接下来，我们看看幂级数的展开方法。
常见的有直接展开法和间接展开法。
直接展开法是根据幂级数的定义，利用泰勒公式将函数在某一点展开成幂级数。
泰勒公式为：f(x) ＝ f(x₀) ＋ f'（x₀)（x x₀) ＋ f'＇（x₀)（x x₀)²／ 2! ＋ f'＇＇（x₀)（x x₀)³／ 3! ＋。
例如，对于函数 f(x) ＝eˣ，我们想在 x ＝ 0 处将其展开成幂级数。
首先求导可得 f'（x) ＝eˣ，f'＇（x) ＝eˣ，f'＇＇（x) ＝eˣ，，所以f(0) ＝ 1，f'（0) ＝ 1，f'＇（0) ＝ 1，，则eˣ ＝ 1 ＋ x ＋ x²／ 2! ＋ x³／ 3! ＋。
间接展开法则是利用已知的幂级数展开式，通过一些运算（如四则运算、变量代换等）得到新的幂级数展开式。
比如，已知 1 ／（1 x) ＝ 1 ＋ x ＋ x²＋ x³＋（｜x| ＜ 1），那么通过将 x 替换为 x²，可以得到 1 ／（1 ＋ x²) ＝ 1 x²＋ x⁴ x⁶＋（｜x| ＜ 1）。
讲完了幂级数的展开，我们再来重点探讨一下收敛半径。
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k 1
在区域B(或曲线l )上绝对且一致收敛。
k 1
10
§3.2 幂级数
一、定义
ak (z z0 )k a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 ,
k 0
其中 z0，a0，a1，a2， 为复常数。这样的级
数叫作以z0为中心的幂级数。 二、幂级数敛散性
1、比值判别法（达朗伯判别法）
| ak || (z z0 )k | | a0 | | a1 || (z z0 ) | | a2 || (z z0 )2 | ,
k 0
11
按比值判别法（达朗伯判别法）
若
lim
k
|
ak 1 | ak
|| ||
z z
z0 z0
|k 1 |k
lim ak1 k ak
| z z0 | 1,
单值解析函数。如果函数项级数
wk (z) 在B中
（或某曲线l上）所有点上都收敛，则k说1 级数在B中
（或某曲线l上）收敛。
6
柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：
对B内每点 z，任给小正数 0, 必有 N ( , z)
存在，使得当 n N ( , z) 时，
n p
wk (z) ,
k n1
R
1,
级数发散 即： | z z0 | R, 收敛
| z z0 | R, 发散
R
CR
z0
收敛 发散
R：收敛半径
CR: 收敛圆
13
2、根式判别法：
若
lim k
k
| ak
||
z
z0
|k
1
（3.2.2）收敛，
（3.2.1）绝 对收敛
lim k
k
| ak
|| z z0 |k
1
级数发散
R lim 1 , k k |ak |
收敛半径的另一公式
R
CR
z0
收敛 发散
14
3、收敛圆内幂级数绝对且一致收敛
作 CR1 (R1 R)
在 | z z0 | R1 有 | ak (z z0 )k || ak | R1k
z R C R1 R1 0
CR
收敛
发散
对
| ak | R1k
应用比值判别法
k 0
有
lim
k
|
ak 1 | ak
设级数 wk (z)
在
B
中一致收敛，wk (z) (k 0,1,2,)
在 B k中1 单值解析，则级数的和 w(z) 也是 B 中的单值解析函数， w(z) 的各阶导数可由
wk (z)逐项求导数得到，即：
k 1
w(n) (z) wk(n) (z)
k 1
且最后的级数 wk(n) (z) 在 B 内的任意一个闭区
域中一致收敛k 1。
9
3、级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法， 或优级数判别法，或M判别法
若对于某区域B(或曲线l )上所有各点z, 函数项级
数 wk (z) 各项的模 | wk (z) | mk（, mk 是与z无关
k 1
的正数)，而正的常数项级数 mk 收敛，则 wk (z)
| |
R1k R1k
1
lim
k
ak 1 ak
R1
1,
幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！
15
三、例题
例1 求1 t t2 tk 的收敛圆。t 为复数
解： 若
R lim ak lim 1 1.
a 1 k
k
k 1
n tk 1 t t2 tn 1 tn1 ,
k 0
1 t
| t | 1,
也是B内的连续函数。
（2）逐项求积分 在曲线l上一致收敛的级数， 如果级数的每一项 wk (z) 都是l上的连续函数，
则级数的和 w(z) 也是l上的连续函数，而且级
数可沿l逐项求积分。
l w(z)dz l wk (z) dz l wk (z)dz
k 1
k 1
8
（3）逐项求导数（外氏－Weierstrass 定理）
, 对于任给的小正数 必有N存在，使得
n>N 时，
n p
wk ,
式中 p 为任意正k整n数1 。
3
3、绝对收敛级数
若
| wk |
uk2 vk2
k 1
k 1
收敛，则 wk 绝对
k 1
收敛.
a. 绝对收敛级数改变先后次序，和不变.
b. 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为 两级数和之积.
pk A,
k 0
qk B,
k 0
4
pk qk pkql cn AB
k 0
k 0
k0 l0
n0
n
cn pk qnk
k 0
5
三、函数项级数
1、概念与收敛判据
wk (z) w1(z) w2 (z) wk (z)
k 1
设 wk (z) (k 1,2,3,) 是z平面上 某区域B中的
式中 p 为任意正整数。N一般随z不同而不同，但
如果对任给小正数 0, 存在与z无关的
N ( ), 使得 n N ( ) 时，上式成立，便说
wk (z) 在B内一致收敛。
k 1
7
2、一致收敛级数的性质
记级数和为 w( z )
（1）在B内一致收敛的级数，如果级数的每一项
wk (z)都是B内的连续函数，则级数的和 w(z)
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛
引入记号
R lim ak a k
k 1
则即：若
|
z
z0
|
lim
k
ak ak 1
R
，则（3.2.1) 绝对收敛
12
另一方面，若 | z z0 | R 则
lim | ak1 k | ak
|| z || z
z0 z0
|k 1 |k
lim
k
ak 1 ak
第三章 幂级数展开
意义：1、利用级数计算函数的近似值；
2、级数法求解微分方程； 3、以级数作为函数的定义； 4、奇点附近函数的性态。
§3.1 复数项级数
一、复级数概念
wk w1 w2 wk
k 1
wk uk ivk
1
原级数成为
wk uk ivk uk i vk
k 1
k 1
则
lim n tk 1 tn1 1 ,
n k0
1t 1t
1 t t2 2 求 1 z2 z4 z6 的收敛圆。z 为复
数
解： z2 t
1 t t2 t3
R lim ak lim 1 1.
a 1 k
k
k 1
z R C R1 R1 0
k 1
k 1
这样复级数 wk 归结为两个实级数 uk， vk
k 1
实级数的一些性质可移于复级数 k1
k 1
二、收敛性问题
1、收敛定义：
部分和 An n wk , n 1,2,3, 于 n
k 1
2
有确定的极限，便称级数收敛，极限不存在
或
lim
n
An
，便称级数发散
2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：