高中数学公式大全(完整版)

A"B 二 Au A U B M B U A 二 B= C U B 二 C U A

=AflC u B —：」u C u A U B 二 R

2 ?集合｛a i ,a 2,|l(,a n ｝的子集个数共有2n 个；真子集有2n - 1个；非空子集有2n - 1个；非空的真子集有2n - 2 个? 3?充要条件

(1) 充分条件：若 P= q ，则p 是q 充分条件? (2) 必要条件：若 q= p ，则p 是q 必要条件?

(3) 充要条件：若 p= q ，且q= p ，则p 是q 充要条件? 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然 4. 函数的单调性 (1) 设为 X 2

a,b ,X 1 X 2那么

(咅-x 2) f (x ,) - f (x 2) 1 0

f (人)__

f (x

)o= f (x)在 la,b 上是增函数；

捲_x 2

(咅-x 2) f (xj - f (x 2)丨：：0：=

f (x

J 一

：：：0 二 f (x)在'a, b 1 上是减函数?

X<| _ x 2

(2) 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果「(x) .0,则f(x)为增函数；如果f(x)：：：0,则f(x)为减函

数?

5. 如果函数 f (x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f (x) + g( x)也是减函数；如果函数

y = f (u)和u =g(x)在其对应的定义域上都是减函数

，则复合函数y 二f[g(x)]是增函数?

6 ?奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么

这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于

y 轴对称，那么这个函数是偶函数.

a + b

7?对于函数y 二f(x)(x ?R ), f (x ? a)二f (b-x)恒成立，则函数f (x)的对称轴是函数 x

；两个函

a + b

数y = f (x a)与y = f (b - x)的图象关于直线 x

对称?

8?几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)

f (x) = f (x a)，则 f (x)的周期 T=a ；

1 1

(2)

------------------------------ , f (x +a) = --------------------------(

f (x)式 0)，或 f (x+a) =- (f (x)式0),则 f (x)的周期

T=2a ；

f (x)

f(x)

9?分数指数幕

巴 1 *

- 1

(1) a n

( a 0,m, n N ，且 n 1) .(2) a n m ( a 0,m, n N ，且 n1) ? "a a n

10. 根式的性质

| a a > 0

(1) (n a)n =a .( 2)当 n 为奇数时，n

a n 二 a ；当 n 为偶数时，n .a n =|a|=

' 一 ? 、—a,a ￡ 0

II. 有理指数幕的运算性质 (1) a r

a s =a r s (a 0,r, s Q) .(2)

(a r )s = a rs (a 0, r,s Q) .(3) (ab)r = a r b r (a 0,b

0,r Q).

12.指数式与对数式的互化式

log a N =b = a b

=N(a 0,^M,N 0) ?

①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：log a1=0，③.底的对数等于1 ：log a 1 ,

④.积的对数：log a (MN ) = log a M log a N，商的对数：log a M= log a M -log a N ,

n 」

a 1 n

a* = ag

內(1 -q n )

=1 -q n a 1,q =1

18.同角三角函数的基本关系式

sin 2

v cos 2

v T , tan )=

sin

cos 日

17.等比数列的通项公式其前n 项的和公式为s n

,q a^i —a n q -n

,q"

胡、或

sn = < 1 -q

19正弦、余弦的诱导公式

f n

（-1）2 sin :,

n A.

S "(

:■)

（n 为偶数） 20 和

J -1) 2 co sa,

与差角公式

cos (卅二「)= cos ： cos ： +sin ： sin

,，任、 tan ? ±tan P （n 为奇数）

si n(、￡二 =si n r cos L ：二 cos t s

in ：; asin -■ tan (用二 l ：,

) .

1 + tanet tan P

bcos

a 2

b 2 sin （二：；用）（辅助角「所在象限由点（a,b ）的象限决定,tan =-）.

21、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin2： =2sin ： cos ：.

2 2 2 2 2

⑵ cos2： =cos sin 2cos 1=1-2sin : ( cos :-=

1 cos2： ,sin 2-S 空).

2 2

⑶tan2,车■

1 -tan ?

22.三角函数的周期公式

函数 y 二sin （，x 亠门）,x € R 及函数 y = cos （，x 亠「）, x € R （A, w ,

“

兀

函数 y 二 tan(「x ?「), x = k , k ? Z (A, 3 ,「为常数，且 A M 0,

3 >0）的周期T 工一

23.正弦定理

a b ―2R . sin C

幕的对数：log a M “ 二 nlog a M ； log a m b n = n iog a b

伯.对数的换底公式 log a =

log m N

( a 0,且 a =1, m 0,且 m = 1, N 0). log m a

推论 lo g a m b n = nl og a b ( a . 0,且 a . 1, m,n . 0,且 m = 1, n-1, N

0).

n = 1

. a n = j

(数列｛aj 的前n 项的和为s n =印+ a ?十川+a n ).

S n -S nm n 一2

16.等差数列的通项公式 a n = a 1 (n-1)d=dn ? a^i -d(n ?N *)；

=na 1 n

(^d =d

n 2 (a 1」d)n .

2 2 2 2

其前n 项和公式为s n =

24. 余弦定理

2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b e _2bccosA ； b c a _2cacosB ； c a b _2abcosC .

1 1 1

25. 面积定理 S absinC bcsin A casin B (2).

2 2 2

26. 三角形内角和定理 C q- A + B 在厶 ABC 中,有 A B -C C - -(A B) 2C =2愿「2(A B).

2 2 2

27. 实数与向量的积的运算律

设入、□为实数，那么

(1) 结合律：入(卩a)=(入卩)a;(2)第一分配律：(入+卩)a=入a+卩a; (3)第二分配律：入(a+b)=入a+入b. 28. 向量的数量积的运算律：

(1) a ? b= b ? a (交换律);(2) ( - a ) ? b= - (a ? b ) =，a ? b= a ? (，b ) ;(3) (a +b ) ? c= a ? c +b ? c.

30. 向量平行的坐标表示

设 a=(X |, y-j ), b=(x 2, y 2)，且 b = 0，则 a l lb(b = 0) = x 1y^x 2y 1 = 0. 31. a 与b 的数量积(或内积)a ? b=| a || b|cos 0 .

32. 数量积a ? b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos 0的乘积. 33. 平面向量的坐标运算

(1) 设 a =(X 1,yJ , b=(x 2, y 2)，则 a+b= (X 1 冷,y 「y ?).

(2) 设 a =(X 1,yJ , b=(X 2, y ?)，则^-b.1 ^，力一丫2)?

(3) 设 A (X 1, y 1), B ( x 2, y 2),则 AB = OB -^OA = (x ? -^, y ? -■ %). (4) 设 a= (x, y), .■二 R ，则a=(九x 、y).

(5) 设 a=(x 1,yj , b=(X 2,y 2)，则 a ? b= (x^ ym).

(X 2—xj 2 卜2—yj 2 (A (心yj , B (x 2,y ?)).

36. 向量的平行与垂直

设 a =(X 1, yj , b=(X 2,y 2)，且 b = 0，则 A|| b ：= bd a :二 x 1y 2「x 2y 1 =0. a_b(a =0) = a ? b=0u x 1x 2 - %y 2 =0. 37. 三角形的重心坐标公式

△ ABC 三个顶点的坐标分别为A(x 1,y J 、 B(x 2,y 2)、 C(x 3,y 3),则△ ABC 的重心的坐标是

X 1 x 2 % % y ? *3、

G( , )

设O 为 ABC 所在平面上一点，角，代B,C 所对边长分别为a,b,c ，则

2 2 2

(1) O 为 ABC 的外心=OA 二OB 二OC

(3) O 为 ABC 的垂心=OA OB =OB OC 38. 常

用不等

式： (1)

(2) a,b ?R= L^_?ab (当且仅当a = b 时取“=”号).

34.两向量的夹角公式cos =

X 1X 2 yy 2 X

a =(X 1, yj ,

b = (x 2, y ?)).

35.平面两点间的距离公式

d A ,B = | AB

T ■*

)J. (2) O 为 ABC 的重心=OA OB OC = 0 . OC =OC

OA .

2 2

a,b ?R= a b-2ab (当且仅当a = b 时取“=”号) AB AB

y 2

\ x ； y ；

(3)a—b 兰a+b + b .

39已知x, y都是正数，则有(1)若积xy是定值p，则当x = y时和x y有最小值2 p ;

1 2

(2)若和x y是定值s，则当x二y时积xy有最大值一s2.

40. 含有绝对值的不等式当a> 0时，有xca= x?ca二_acx

x〉au x >a u x>a 或-a .

—y1

41. 斜率公式k 2- ( R(X i,y i)、F2(X2,y2)).

X2— Xj

42. 直线的五种方程

(〔)点斜式y-w^a x-x j (直线I过点F^(x1, y-i)，且斜率为k).

(2)斜截式y =kx ? b (b为直线I在y轴上的截距).

y _ y x — x

(3)两点式(y i y2)( P1(x i, y i)、P2(x2, y2) ( x i 7- x2 )).

y2 - y i x2 - x i

(4)截距式- * =i(a b分别为直线的横、纵截距，a、b = 0)

a b

(5)—般式Ax ? By?C = 0(其中A、B不同时为0).

43. 两条直线的平行和垂直

⑴若l i: y =k i x D , J : y =k2X d ① h〔出二k i =k2,b i = 6 ；② l i _ ^二- -i?⑵若l i : A]X By G = 0 , l2： A2X

B2 y C2 = 0,且A i、A2、B i、B2都不为零，

① l i||l2 = A

A2 B2

A]A2B-I B2 =0 ；

(l i : Ax B i y C i =0,l2: A2X B?y C2 二0,人代B i B^-0).

直线h_l2时，直线l i与l2的夹角是一.

45 .点到直线的距离d」AX° By° o C|(点P(x。，y。)，直线l : Ax By ^0 ). J A2 +B2

46. 圆的四种方程

(1)圆的标准方程(x -a)2? (y -b)2二r2.

(2)圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F =0( D2E^4F >0).

47. 直线与圆的位置关系

直线Ax By ^0与圆(x - a)2? (y -b)2二r2的位置关系有三种：

d ? r 二相离 u : < 0 ; d = r =相切 u ■■:二0 ;

丄亠?Aa + Bb + C

d ：：：r 二相父 u 「：? 0.其中d .

V A2+B2

48. 两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O, Q,半径分别为r i, r2, O i O2 = d

d r i r^外离二4条公切线；d = r i ? q外切3条公切线；

r i

0 ￡d v几-r2二内含二无公切线

49. 圆的切线方程

(i)已知圆x2 y2 Dx Ey F = 0 .⑵已知圆x2 y2二r2.

①过圆上的F0(X0,y。)点的切线方程为x°x ? y°y =r ；

2 2

X y

50. 椭圆—2 =i(a b 0)的参数方程是

a b

2 2

x y

51. 椭圆—2 =i(a b 0)焦半径公式

a b

x = a COST

y = bs in^

丄a

PF i =e(x + ——),

PF2 =e(——_x).