《高等数学》(北大第二版 )5-3空间中平面及直线的方程

uuu uuuu uuuu r r r ∴ P P ⋅ P P2 × P P3 = 0. 1 1 1
(
)
此 混 合积 的 坐标 形式为:
x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0. x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
例4 设已知三点 P(0,0,1), P (1,1,0)及P 1 0， 求过该三点 （， ）， 1 1 2 3 的平面方程. 解 所求的平面方程是
2x − y − z = 0
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2.空间直线方程 2.空间直线方程
一般式方程 直线可视为两平面交线， 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
z
Π1
L
y
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x
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o
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Π2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
结束
例9 联立方程
⋅
(3,4, z)
4
y
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例10 联立方程
y = 5x +1 y = x −3 y = x −3
代表平面y=5x+1 与平面y=x-3的交线.
z
y = 5x +1
o
y
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对称式方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线, 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 这个向量就叫做这条直线的方向向量.
x −3 = 0, y − 4 = 0
平行于z轴 平行于 轴.
z
表示平行于yoz坐标面的平面 表示平行于 坐标面的平面 表示平行于xoz坐标面的平面 表示平行于 坐标面的平面
的解是(3,4,z), 其图形是平面 的解是 其图形是平面x-3=0与y-4=0的交线，它 的交线， 与 的交线
x3
o
平面的截距式方程 平面的截距式方程
Ax + By + Cz + D = 0 ( A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0).
D 求平面在x轴上的截距： y = z = 0, 解得 x = − , 同理求得 令 A 平 在 轴 z轴 的 距 别 ： D， D. 若 ≠ 0, 面 y 和 上 截 分 为 − − D B C 平面的截距式方程为 x y z + + =1. D D D − − − A B C
P ( x1 , y1 , z1 ) , P2 ( x2 , y2 , z2 ) , P3 ( x3 , y3 , z3 ) , 1
uuuu r uuuu uuuu r r r uuuu r ∴ P P2 与 P1 P3 不共线, 即 PP2 × PP3 ≠ 0, 1 1 1
uuuu uuuu r r 以 PP2 × PP3 作为所求平面的法向量. 1 1 uuuu uuuu r r uuur 设 P ( x, y, z ) 是平面上任一点, 显然 P1 P 垂直于 PP2 × PP3 1 1
参数式方程: 参数式方程
设
x− x0 y − y 0 z − z 0 = = =t, 得方程组 m n p
x = x 0 + mt y = y 0 + nt . z = z 0 + pt 此方程组就是直线的参数方程 直线的参数方程. 直线的参数方程
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例11 将一般方程 化成标准方程及参数方程. 解 先在直线上找一点. y + z = −2 ,得 y = 0, z = −2 令 x = 1, 解方程组 y − 3z = 6 是直线上一点 . 再求直线的方向向量 s . 已知直线的两平面的法向量为
①
称①式为平面Π的点法式方程 称n 为 面 Π的 点法式方程, 点法式方程 法向量. 平
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平面的点法式方程（ ） 平面的点法式方程（1）可以化成
Ax + By + Cz + D = 0
其中D = −Ax0 − By0 − Cz0是常数， y, z的系数A，B，C依次 x,
通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程:
x− x0 y − y0 z − z 0 = = . m n p
说明: 说明 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 例如, 当 m = n = 0, p ≠ 0 时 直线方程为 , x = x0 y = y 0 当 = 0, n ≠ 0, p ≠ 0 时 直线方程为 m , x = x0 y − y0 z − z0 . n = p
解 于 与 的 立 程 得 = 2, k = 3. 关 l k 联 方 ， l
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补例 一平面通过两点 M1( 1, 1, 1)和 M2 ( 0, 1, −1) , 且 垂直于平面∏: 垂直于平面 x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 方程为 则所求平面
x − 0 y − 0 z −1 1 1 1 0 −1 = 0. 0
即 y + z −1= 0. ：
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Ax + By + Cz + D = 0 ( A + B + C ≠ 0)
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n = (0, B, C) ⊥ i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
方向向量
求通过点M0(x0, y0, z0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线的方程. 设M(x, y, z)为直线上的任一点, 则从M0到M的向量平行于方向向量: M M : (x−x0, y−y0, z−z0)//s , 从而有
x− x0 y − y0 z − z 0 = = . m n p 这就是直线的方程, 叫做直线的对称式方程或标准方程 对称式方程或 对称式方程 标准方程.
2 2 2 2 m12 + n1 + p12 ⋅ m2 + n2 + p2
.
方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:
cosϕ =
| m1m2 + n1n2 + p1 p2 |
2 2 2 2 2 m1 + n1 + p12 ⋅ m2 + n2 + p2
.
两直线垂直与平行的条件 设有两直线 x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 L1 : L2 : = = = = , , m1 n1 p1 m2 n2 p2 则 L1 ⊥ L2⇔m1m2+n1n2+p1p2=0; m n p L1 // L2 ⇔ 1 = 1 = 1 . m2 n2 p2
例8 试决定常数 l 与 k 使得平面
x + ly + kz =1
2 与平面x + y − z = 8垂直，且过点1,1,− ). ( 3 解 两平面垂直要求其向量垂直，即有 两平面垂直要求其向量垂直，
1+ l − k = 0.
2 11 点（，− ）在平面x + ly + kz =1上，则要求 ， 3 2 1+ l − k =1. 3
2 2 2 A12 + B12 +C12 ⋅ A2 + B2 +C2
.
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的 充要条件是 A1A2+B1B2+C1C2=0. 两平面平行的条件 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的 充要条件是 A1: A2=B1: B2=C1: C2.
cosθ =| cos(n1 , n2 )|=
^
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
2 2 2 A12 + B12 + C12 ⋅ A2 + B2 + C2
.
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:
cosθ =
两平面垂直的条件
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
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=t
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两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夹角ϕ满足
cosϕ =| cos(s1 , sห้องสมุดไป่ตู้ )|
^
=
| m1m2 + n1n2 + p1 p2 |