2.1 直线,平面的方程
3. 例2 在仿射坐标系中,一直线经过点A(2,-3,4),且 平行于xoz面同时与y轴相交，求其方程。 解:
由题意得，直线与 y轴的
交点为 B ( 0 , 3 , 0 ),
取
x2 y3 z4 则直线方程为 . 2 0 4
v BA
= （ 2， 0， 4）
2.1.2 平面方程
用坐标写出即得：
x x 0 X 1 X 2 , y y 0 Y1 Y 2 , z z Z Z . 0 1 2
（2.1）
(2.1)称为平面 的参数方程， , 称为参数， 它们可取任意实数。
2.又 M 0 M
, v1 ， v2 共面的充分必要条件是 x x0 y y0 z z0 X1 Y1 Z1 0, X2 Y2 Z2
上两方程称为平面 的点法式方程. n称为平面 的一个法向量.
上面方程也可以写为
Ax+By+Cz+D=0
(2.10)
其中 D=-(Ax0+By0+Cz0). (2.10)就是所求 平面π 的方程. 从而在直角坐标系中，平面方 程的一次项系数就是这个平面法向量的坐标。
命题2.1.1 在仿射坐标系{O;e1, e2, e3 }下, 平面
（2.4） Ar Bs Ct 0. ∥平面 的充分必要条件是 ,v 1 ,v 2
Ax By Cz D 0
(2.2)
r X1 X2
s Y1 Y2
t Z1 0, Z2
即
Ar Bs Ct 0.
4.推论2.1 平面 : Ax+By+Cz+D=0 平行于x轴 （或y轴，或z轴）的充分必要条件是 A 0 (或 B 0，或 C 0 )；平面 通过原点的 充分必要条件是 D 0。
D1 不妨设 A ，取点 M 1 , 0, 0 及两个向量： 1 0 A1
A1x B1 y C1z D1 0
B1 C1 v1 ,1,0 , v2 ,0,1 A1 A1
显然两向量不共线。由点M1和v1 ，v2决定的平 面1的方程为：
: Ax+By+Cz+D=0
的一个法向量为
n Ae2 e3 Be3 e1 Ce1 e2 .
证明:设
v1 a1e1 a2 e2 a3e3 , v2 b1e1 b2 e2 b3e3
Ab1+Bb2+Cb3=0. 不难验证n ∙ v1 =0, n ∙ v2 =0 . 所以
x D1 A 1 y0 1 0 z 0 0 1 0
B1 A 1 C1 A 1
即：
A 1x B 1 y C1 z D 1 0.
从而原三元一次方程表示平面1。
2.1.3 直角坐标系下的平面方程
1. 取一直角标架{O；e1，e2，e3}. 我们来求 过点M0（x0，y0，z0),且垂直于向量n=(A,B,C) 的平面π 的方程. 点M(x，y，z)在平面π 上的充分必要条件 是 M 0 M⊥n，从而 M 0 M · n=0，于是得 A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0.
称为直线 l 的标准方程 (或点向式方程).
X, Y, Z 称为直线l的方向数. 方向数不是唯一的.
2.例1 求过空间两点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)的直线
l 方程.
解:
v = AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),所以
x x1 y y1 z z1 l: . x 2 x 1 y 2 y1 z 2 z1 上面方程称为直线 l 的两点式方程
第2章 直线与平面
2.1
直线、平面的方程
构成直线和平面的基本要素
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 不同两点确定一条直线; 过一点沿一方向确定一条直线; 过一点和两个不共线的向量确定一条平面; 过一点和一个向量垂直确定一条平面; 不共线的三点确定一个平面; 一条直线和此直线外一点确定一个平面; 两条相交直线确定一个平面; 两条平行直线确定一个平面.
证明 因为 e 1 的坐标是(1,0,0)，所以 e 1∥平 面 的充分必要条件是 关于 e 2 或 e 3平行于平面 的情形可类似讨论。
原点O(0,0,0)在平面 上的充要条件是D=0。
A 1 B 0 C 0 0,即: A 0.
5.定理2.1.1 在空间中取定一个仿射坐标系， 则平面的方程必定是三元一次方程；反之，任意 一个三元一次方程表示一个平面。 证明：定理的前半部分已经证完。现证后半部分： 任给一个三元一次方程
该式称为直线 l 的向量式参数方程，t 称为参数, 它的几何意义是点M在直线l上的仿射标架{M0;v} 下的坐标。向量 v 称为直线l的方向向量.
将上式用坐标写出，即得：
x =x0 +tX y =y0 +tY z =z +tZ 0
该式称作直线l的参数方程，其中t取任意实数。
x x0 y y0 z z0 消去参数t，又得方程 : X Y Z
2.1.1 直线的方程 1, 取仿射坐标系{O;e1,e2,e3 }.
设点 M0 x0 , y0 , z0 ,向量
v X , Y , Z , 下面求
过点M0且方向向量为v的直线l的方程。 设M(x, y, z)为直线l上的一点，M0, M的位置向量 分别为r0, r，则有
r r0 tv
2 2 2 2
条件是 M0 M与v1 , v2共面。
使得： ， 于是,存在唯一的一对实数
M 0 M v1 v2 .如果 M 0 , M 的 位置向量为r0 , r.则有 r ro v1 v2 .
上式称为平面的向量式参数方程,
,
称为参数, v1
, v2称为平面的方位向量.
（2.2）
即 Ax By Cz D 0,
其中
A
Y1 Y2
Z1 Z2
,B
Z1 Z2
X1 X2
,C By0 Cz0 ).
(2.2)称为平面
的一般方程(或普通方程)。
3. 引理2.1.1 设平面 的方程为
则向量 ( r , s, t )平行于平面 的充分必要条件是 证明 共面，从而
1. 取定一个仿射标架{O; e1, e2 , e3} 。已知一个 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,向量 v1 ( X1 , Y1 , Z1 ) 和向 量 v ( X , Y , Z ) ，其中 v 1 与 v 2不共线,求由v 1 和 v 2，M0 确定的平面的方程。 易知点 M ( x, y, z ) 在平面 上的充分必要
n// v1 X v2. 于是 n是该平面的一个法向量。
是该平面的两个方位向量，则有Aa1+Ba2+Ca3=0,
作业: 1, 复习第2.1节; 2. 习题2.1: 1,2,3,4,5,6; 3. 预习第2.2节.
已知点和直线求平面方程
已知点和直线求平面方程在数学的世界里，有些东西听起来好像一颗难啃的骨头，但其实只要掌握了窍门，哦，真的是“易如反掌”！今天我们就来聊聊如何根据已知的点和直线，求出一个平面的方程。
这听起来是不是有点高大上？别担心，跟着我走，保证你会觉得这事儿其实挺简单的。
1. 理解基本概念首先，咱们得弄明白几个基础概念。
平面方程通常看起来像这样：( Ax + By + Cz+ D = 0 )。
这里的A、B、C和D就像是拼图的块儿，每一个都有它独特的位置和作用。
为了更好地理解这道题，我们得搞清楚“点”和“直线”到底是什么。
1.1 点的作用想象一下，点就是那个“孤独的小孩”，在坐标系里坐着，可能坐标是( (x_0, y_0,z_0) )。
这个点就是我们需要用来“牵线搭桥”的关键。
平面方程要通过这个点，所以咱们可以把它视为平面的“固定点”。
1.2 直线的重要性直线呢，则是“拽着一群小伙伴”的角色，通常由两个点决定，或者用一个点和一个方向向量来描述。
我们可以把直线想象成一个有“拖拽能力”的小车，只要有了这条线，我们就能把它拉伸，构建出一个面来。
2. 公式与步骤好啦，咱们有了基本概念，接下来就该“上手操作”了。
整个过程其实可以分为几步，像是做菜一样，先备好材料，然后慢慢烹饪。
2.1 确定直线的方程首先，要找到直线的方程。
假设直线是通过两个点( A(x_1, y_1, z_1) )和( B(x_2, y_2,z_2) )的。
我们需要找出这条线的方向向量。
方向向量就是从点A到点B的“矢量”，可以表示为( vec{d = (x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1) )。
记住，方向向量是构建平面的“原料”哦！2.2 选择一个法向量接下来，我们需要一个法向量，这个东西就像是平面的一根支柱。
法向量可以通过方向向量和给定点的坐标计算得出。
咱们可以取法向量( vec{n = (a, b, c) )。
这些参数可以根据直线的方向变化来定，可能需要一些代数运算，但相信我，几步下来你就能理清楚。
线性代数：平面与直线方程
从代数上看，即方程组
A1 x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
*
有没有解？有多少解？
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14
14
(1) 1 // 2
A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2
方程组*系数矩阵的秩 与增广矩阵的秩不等
Ax By Cz D 0 *
D ( Ax0 By0 Cz0 )
注： (1) 三元一次方程* 一一对应空间中的平面, 此即三元一次方程的几何意义.
(2) 以上5种形式的方程可相互转化
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6
6
例：求经过点 A(1, 2, 3)，B(1, 4, 2)，C(0, 1, 1)
n M0M
n M0M 0
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
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2
2 点位式方程
给定M0，和两个不共线的向量，， 那么过M0且平行于，的平面可唯一确定.
称向量，为平面 的方位向量 M0
设M0 ( x0 , y0 , z0 )，
M
{ X1,Y1, Z1}， { X2 ,Y2 , Z2 }
M( x, y, z) M0M,, 共面
x x0 y y0 z z0
(M0M,, ) 0 X1
Y1
Z1 0
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3
X2
Y2
Z2 3
3 三点式方程
M1( x1 , y1 , z1 )
M2( x2 , y2 , z2 ) M3 ( x3 , y3 , z3 )，
从几何上看，它们可能是相交、平行、重合.
《高等数学》教学课件：第1章 曲线与曲面 第2节
1
1
2
2x py z 6 0
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2.1.两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（介于0与 间）叫做两直线的夹角
2cos s1 s2 Nhomakorabea| m1m2 n1n2 p1 p2 |
| s1 || s2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
问题：两直线平行、重合？两直线垂直(相交、 不交)?
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直线L的位置就完全确定下来
参数的含义？方程的
特殊形式？
x x0 tm,
y
y0
tn,
tR
z z0 tp.
参数方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
对称式方程
点向式方程
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二、空间直线及其方程 10
1、空间直线的方程 1.2.直线的一般方程
4
1、平面方程 法向量(normal vector):与一平面垂直的向量(vector)称为该平面的法向 量(normal vector).
一般方程
Ax By Cz D 0
它是三元一次方程.事实上任何三元一次方程在三维几 何空间都表示平面.因此对于任给的三元一次方程，其 三个未知量的系数就是该方程所表示平面的一个方向量
第一章 曲线与曲面
第一节 空间形式概述 第二节 平面与空间直线的方程 第三节 曲面及其方程 第四节 曲线的表示形式
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2018-2019学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1 直线与方程 2.1.3 两条直
2.1.3 两条直线的平行与垂直[学业水平训练]1．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析：l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k 1k 2＝－b 2，∴－b 2＝－1，得b ＝2.l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－3k －b ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b )＝0，即b ＝－98. 答案：2 －982．设a ∈R ，如果直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，那么a ＝________.解析：当a ＝0时，l 1：y ＝12，l 2：x ＋y ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ≠0且a ≠－1时，l 1：y ＝－a 2x ＋12，l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1，由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,1)，B (1,5)，C (－3,2)，则△ABC 的形状为________．解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－－＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，且A 、B 、C 、D 4点不共点，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形4．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD ，其中正确的序号为________．解析：k AB ＝－4－26－－＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，且A 、B 、C 、D 4点不共线，所以AB ∥CD ，k AC ＝6－212－－＝14，k BD ＝12－－2－6＝－4， k BD ·k AC ＝－1，所以AC ⊥BD .答案：①④5．已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，则m ＝________. 解析：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －－＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1，因为直线PQ ∥直线MN ， 所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1.经检验m ＝0或m ＝1时直线MN ，PQ 都不重合．综上，m 的值为0或1.答案：0或16．已知两条直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0互相垂直，垂足为(1，b )，则a ＋c －b ＝________.解析：∵k 1k 2＝－1，∴a ＝10.∵垂足(1，b )在直线10x ＋4y －2＝0上，∴b ＝－2.将(1，－2)代入2x －5y ＋c ＝0得c ＝－12，故a ＋c －b ＝0.答案：07．(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)， 即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.8．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．[高考水平训练]1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若存在点D ，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD ，则点D 的坐标为________．解析：设点D 的坐标为(x ，y )．因为k AB ＝2－－2－1＝3，k CD ＝y x －3， 且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1. ①因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1， 且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1， ② 由①②得x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.答案：－7或±2或33．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋， k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.4．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状．解：如图所示，由已知两个点的坐标得：k OP ＝t －01－0＝t ， k RQ ＝＋t －2－2t －－2t＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t. k PQ ＝t －＋t 1－－2t ＝－1t， 所以k OP ＝k RQ ，k OR ＝k PQ ，所以OP ∥RQ ，OR ∥PQ ，所以四边形OPQR 是平行四边形；又k OP ·k OR ＝t ·(－1t)＝－1， 所以OP ⊥OR ，∠POR 是直角， 所以四边形OPQR 是矩形；过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ， RB ⊥x 轴，垂足为B ，那么由勾股定理得： OP 2＝OA 2＋AP 2＝1＋t 2.∴OP ＝1＋t 2，OR 2＝OB 2＋BR 2＝(－2t )2＋22＝4(1＋t 2)，∴OR ＝21＋t 2.∴OP ≠OR ，所以四边形OPQR 不是正方形， 综上可知，四边形OPQR 是矩形．。
平面及其方程,空间直线及其方程
4
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2. 直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n ( A, B ,C )
则直线与平面夹角 满足
第6节
平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
第八章
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C), 求该平面的方程.
任取点M (x, y, z) , 则有
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
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2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
题8 1 :由题意设所求平面方程为： By D 0, 将点2，-5，3 代入上述方程，得
5B D 0, D 5B, 所求平面方程为y 5 0.
(3)由题意设所求平面方程为By Cz D 0,
将点Ａ４,０，－２和点Ｂ５，１，７ 代入上式，
有 Ｂ－＋２７ＣＣ＋＋ＤＤ＝＝0０， Ｄ＝２Ｃ，Ｂ＝－９Ｃ， 所求方程为－９ｙ＋ｚ＋２＝０.
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练习：习题8-6 题1，题3.
• 题1. • 题3.
3x 7y 5z 4 0
平面方程的基本形式
平面方程的基本形式一、为什么需要平面方程？在几何学中，平面是一个重要的概念。
它是一个无限大的二维平面，由无数个无限小的点组成。
研究平面的性质和特点，对于解决几何问题和应用数学都具有重要意义。
而平面方程则是描述平面的数学工具，具体来说，它是用来表示平面上所有点的方程。
二、平面方程的基本形式平面方程的基本形式通常是通过平面上的点和平面的法向量来确定的。
一般来说，有两种常见的基本形式，分别是点法向式和一般式。
2.1 点法向式点法向式是平面方程的一种常见形式，它通过平面上的一点和平面的法向量来表示平面方程。
点法向式的一般形式如下：Ax + By + Cz = D其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是平面方程中的常数。
2.2 一般式一般式是另一种常见的平面方程形式，它通过平面上的点和平面的法向量的法向量分量来表示。
一般式的形式如下：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C是平面的法向量的分量，而D则是平面方程中的常数。
三、如何确定平面方程确定平面方程的关键在于确定平面上的一点和平面的法向量。
一般来说，确定平面上的一点是比较容易的，可以通过给定的条件或者已知的点来确定。
而确定平面的法向量则需要一些特定的方法。
3.1 平面上的两个向量确定法向量平面上的两个向量可以确定平面的法向量。
具体来说，如果已知平面上的两个向量u和v，那么它们的叉乘u x v即为该平面的法向量。
3.2 通过法线方向确定法向量如果已知平面上的一点和平面的法线方向，那么可以通过求解法线方向的单位向量来确定平面的法向量。
求解法线方向的单位向量，可以通过将法线方向向量除以其模长得到。
四、平面方程的性质和应用平面方程的基本形式具有一些重要的性质和应用：4.1 平面方程与直线的关系平面方程可以用来判断一条直线是否与平面相交，以及求解它们的交点。
如果一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，那么它们没有交点；如果一条直线的方向向量与平面的法向量平行，则它们要么没有交点，要么有无数个交点；如果一条直线的方向向量与平面的法向量既不垂直也不平行，则它们有且只有一个交点。
求通过直线且垂直于平面的平面方程
求通过直线且垂直于平面的平面方程
设直线的方程为l: r = r0 + tv，其中r0为直线上一点的坐标，v为直线的方向向量，t为参数。
设平面的方程为P: n · (r
r0) = 0，其中n为平面的法向量，r0为平面上一点的坐标。
由于直线l与平面P垂直，所以直线的方向向量v与平面的法
向量n垂直，即v · n = 0。
假设直线的方向向量为v = (p, q, r)，则有ap + bq + cr = 0。
现在我们已经得到了直线的方向向量与平面的法向量的关系，
接下来我们可以利用这一关系来求解通过直线且垂直于平面的平面
方程。
假设直线l的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线的方向向量
为v = (p, q, r)，则直线l的方向向量可以表示为v = (A, B, C)。
根据直线的方向向量与平面的法向量垂直的条件，我们可以得到平
面的法向量n与直线的方向向量v的关系式为An + Bq + Cr = 0。
因此，通过直线且垂直于平面的平面方程可以表示为Ax + By
+ Cz + D = 0，并且满足An + Bq + Cr = 0。
这样我们就得到了通
过直线且垂直于平面的平面方程。
需要注意的是，以上推导过程中涉及到了向量的点积和向量的垂直关系，以及平面方程的一般形式。
在实际应用中，可以根据具体的直线和平面的参数来求解满足条件的平面方程。
高数一 8-3 直线与平面方程
二、平面的点法式方程
法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 , 这向量就叫做该平面的 法线向量.
平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.
唯一确定平面的条件 当平面上一点M0(x0, y0, z0)和它的 一个法线向量n(A, B, C)为已知时, 平面 的位置就完全确定了.
2.平面AxByCz0有什么特点？ 提示： D0, 平面过原点.
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平面的一般方程为AxByCzD0,其法线向量为n(A, B, C).
例2 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.
解 可设此平面的方程为 ByCz0. 又因为此平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B-C0. 将C-3B代入所设方程, 得 By-3Bz0. 于是所求的平面方程为 y-3z0. 提示：平面通过 x 轴 , 表明 A0( 它的法线向量垂直于 x 轴 ) 且 D0(它通过原点).
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三、平面的一般方程
由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面 都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平 面都可以用三元一次方程来表示. 反过来, 可以证明任一三元一次方程AxByCzD0的图 形总是一个平面. 方程 AxByCzD0 称为平面的一般方程, 其法线向量 为 n(A, B, C). 提示: A, B, C 不同时为零. 当 A 不为零时, AxByCzD0 可写成点法式方程
直线与平面方程
一、直线的点向式方程 二、平面的点法式方程 三、平面的一般方程
四、两平面的交线
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解析几何第二章第一二节
0 2,
z
( M ( x, y, z )) M (r, , z )
z .
x
o
r
P(r , )
y
如图，三坐标面分别为
圆柱面； 为常数 半平面； z 为常数 平 面． 柱面坐标与直 角坐标的关系为 x r cos , y r sin , z z.
y
y
作业：P52
3,5,7
§2 平面的方程
1.1平面的参数方程和一般方程 1.2 两平面的相关位置 1.3三平面恰交于一点的条件
M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) ，向量 1 ( X 1 ,Y1 , Z1 ) 和向量 ) 2( X 2 ,Y2 , Z 2，其中 1 与 2 不共线， 求由点 M 0 和 1 2 确定的平面 的方程。 z M x , y , z 在平面上 点 2 M M0 M 0 M 与v1 ,v2 共面 e3 e 2 1 v1 // v2 o y e1 M 0 M , v1 , v2共面,则存在唯一的一对实数 x , 使得： M 0 M v1 v2 .
三元二次方程：Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Kz L 0 若A B C 0, D E F 0，整理得：
2 2 2
x y z 2b1 x 2b2 y 2b3 z c 0;
2 2 2
( x b1 ) ( y b2 ) ( z b3 ) b1 b2 b3 c .
2. 如果取u, v (a≤u≤b, c≤v≤d)的一切可能 取值，向量 r ( u, v ) x( u, v )e1 y( u, v )e2 z(u, v )e3 的终点 M 总在一个曲面上；反过来， 在这个曲面上的任意点M总对应着以它为 终点的向量, 且该向量可由u, v的值通过 (a≤u≤b, c≤v≤d)完全决定； 那么我们就把上式叫做曲面的向量式参 数方程，其中u, v为参数.
2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.2 直线的方程(第课时)一般式讲义 2
第3课时一般式学习目标核心素养1.了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点）2．根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程几种形式之间的关系．（易错、易混点）3．能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程．(重点）通过学习本节内容来提升学生的数学运算和数学建模核心素养。
1．直线与二元一次方程的关系（1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）来表示．（2）在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A,B不全为0）都表示一条直线．2．直线的一般式方程(1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示直线．方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫做直线方程的一般式．（2)对于直线Ax＋By＋C＝0,当B≠0时，其斜率为－错误!,在y 轴上的截距为－错误!；当B＝0时，在x轴上的截距为－错误!；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－错误!,－错误!．(3）直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y,常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．1。
思考辨析(1）在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0都表示一条直线．（）（2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程．( ）（3）直线方程的一般式同二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B 不同时为零）之间是一一对应关系．（)（4）方程①x＋2y－3＝0；②x－3＝0；③y＋1＝0均表示直线．( )[答案] (1)×（2）×（3)√(4)√2．过点（1，2)，斜率为0的直线对应的二元一次方程为________．y－2＝0 [过点(1，2)，斜率为0的直线方程为y＝2，其对应的二元一次方程为y－2＝0.］3．方程错误!－错误!＝1,化成一般式为________．2x－3y－6＝0 [由错误!－错误!＝1,得2x－3y－6＝0。