运筹学图解法的灵敏度分析
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
运筹学钱颂迪答案
运筹学钱颂迪答案【篇一： 803 运筹学】class=txt>运筹学考试大纲一、考试性质运筹学是我校航空运输管理学院硕士生入学考试的综合考试科目之一，它是我校为招收交通运输规划与管理学科硕士研究生而实施的水平考试，其评价标准是普通高等院校优秀本科毕业生能够达到的及格以上水平，以保证被录取者较好地掌握了必备的专业基础知识。
本门课程主要考试内容包括：线性规划及其对偶理论、运输问题、目标规划、整数规划、动态规划、图与网络分析，注重考察考生是否已经掌握运筹学最基本的理论知识与方法。
二、考试形式与试卷结构1.答卷方式：闭卷、笔试2.答卷时间： 180 分钟3.题型比例：满分 150 分，基本概念 20% ，计算及证明题 80%三、考查要点1.线性规划及对偶理论：单纯形法，改进单纯形法。
线性规划的对偶理论，对偶单纯形法，灵敏度分析；2.运输问题：运输问题的数学模型；用表上作业法求解运输问题；产销不平衡的运输问题及其求解方法；3.目标规划：目标规划的数学模型，目标规划的图解法与单纯形法；4.整数规划：0－1 型整数规划，分支定界解法，割平面解法，指派问题；5.动态规划：动态规划的基本概念和基本方法，动态规划的最优性原理与最优性定理，动态规划与静态规划的关系，动态规划的应用；6.图与网络分析：图与树的基本概念，最短路问题，网络最大流问题，最小费用最大流问题，中国邮路问题，网络计划。
四、主要参考书目1、郭耀煌，李军 .运筹学原理与方法. 成都：西南交通大学出版社，2004 ；2 、钱颂迪主编. 运筹学（修订版）. 北京：清华大学出版社，1991 。
【篇二：运筹学大纲(13 、 14 级使用)2014.9 】（理论课程）开课系（部）：数理教研部课程编号：380020 、 381703课程类型：专业必修课或学科必修课总学时： 48 或 32学分：3或2适用专业：信息管理与信息系统、投资学、工业工程、工程管理、经济统计学、物流管理开课学期： 3 或 4 或 5先修课程：高等数学、线性代数一、课程简述本课程是以经济活动方面的问题以及解决这类问题的原理和方法作为研究的对象，把经济活动中的问题归结为对应的某种数学模型，运用数学知识等工具求得最合理的工作方案。
运筹学第11讲灵敏度分析1
12.5 x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
12 x2 3/ 2 0 1 0 1/ 4 3/ 2
cj zj
0 0 0 11//84 19//24
第14页
例2-1
产品Ⅰ利润降至1.5百元/单位，产品Ⅱ的利润 增至2百元/单位，生产计划如何变化？
解：(2) 将产品Ⅰ、Ⅱ的利润变化反映在最终单纯形表中，可得
一、含义和研究对象
1、什么是灵敏度分析？
是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij） 或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及 其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
n
max z c j x j
s.t.
n
j 1
aij xj bi （i 1,
j1
x
j
0
（j 1,
2 1 1c2 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
0 0 1 5/ 4 15/ 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2 0 1 0 1/ 4 3/ 2
1 c2 0； 1 3c2 0
44
22
cj zj
0
0
0 14 1/44c2
121/
23c2 2
即故当产品Ⅱ的13利 润c在2 [12
,
1→1+△c2
s.t.
n
j 1
aij xj bi （i 1,
j1
x
j
0
（j 1,
, m） , n）
3. 分析增加一个变量 xj 的变化 4. 分析增加一个约束条件的变化
系数矩阵A
5. 分析系数 aij 的变化
第5页
初 始
基变量 基变量 基可
运筹学图解法的灵敏度分析
B'
B
1
O
C
2
4
6
x1
总结：约束条件中右边系数 b i 的 灵敏度分析
? 当约束条件右边系数bi变化时，其线性规划的可行解域将 变化；
? 当某个bi发生变动时，它所在的约束条件直线的斜率不变， 相当于将可行解域的一个边界做平行移动。
? 当约束条件右边系数bi变化时，目标函数等值线斜率不变； ? 当bi变动时，重新考察最优解的交点是否改变。
交于该顶点的两条直线的斜率即 cj变动范围， cj在两 条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解
不变，最优值变动（cj变动）。
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
? 例：
max F ? 6 x 1 ? 4 x 2 s.t .
2 x 1 ? 3 x 2 ? 10 4 x 1 ? 2 x 2 ? 12 x1 , x2 ? 0
3当目标函数等值线的斜率在变化对原问题的影响20斜率讨论c斜率讨论最优解不变时c斜率20斜率20线性规划问题的最优解若为可行解域的某一顶点交于该顶点的两条直线的斜率即c条直线斜率之间变动时原线性规划问题的最优解不变最优值变动c11时对原问题的影响1211121原可行解域为oabc现可行解域为0abc
C
最优生产方案为：
甲生产60，乙生产250；
100
此时，
x1 ? x2 ? 300
总利润为28000元。
D
O
100
200
300
400
50x1 ? 100x2 ? 0
B1变化前后对比：
? b1=300时， ? 最优解为
x1=50,x2=250 ? 最优值为
50*50+100*250
运筹学灵敏度分析(最全版)PTT文档
c + c YP 表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯形法求最优解。
1、代表产品的单位利润或单位售价时，灵敏j度分析可用于j 预先确定保j持现有生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。
解题步骤：先用单纯形法解题，然后考虑参数变化，最后确定变化范围。
△c2/2≤0和△c2/8-1/8≤0
br bi / air ;
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air < 0
br bi / air
得到公式:
5=-8, △b2≤2/0.
ma ab ix irai{r0} brm iab inira{ ir0}
（2）当cr是基底变量xr的系数，即cr CB，cr变化 cr后，有
故△c2的变化范围:
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子 价格为元。若该厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品， 求这时该厂生产两种产品的最优方案。
表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯 形法求最优解。
最优解见下表
cj
CB XB b 2 x1 4 0 x3 2 3 x2 3
cj-zj
230 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 0.25 0 0 0 1 -0.25 -05 0 1 0 0 0.25 0 0 0 -0.5 -0.75
5=-8, △b2≤2/0.
2每台3设例备0台：时的0求影子0第价格一为元章。 例题中当第二个约束条件b2变化范围△b2。
△c2≥-1.
每台设备台时的影子价格为元。
设基变量x2的系数c2变化△c2，在原最优解不变的条件下，确定△c2的变化范围。
x1 x2 x3 x4 x5 0 0 1 -0.
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学灵敏度分析
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原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
单击此处添加小标题
资源价格（元/吨）
单击此处添加小标题
资源限量（吨）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。 影子价格的计算
CS XS b
B E N1
CB XB B-1b
E B-1 B-1N1
σ
0 CS－CB B-1 CN1－CB B-1N1
初始表
对偶的定义
max ω=-Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
2、其他形式问题的对偶
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
max z=C X s.t. AX≤b X ≥0
以B为基的单纯形表
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
Cj
CB CN
CB XB B-1b
XB XN
b
B N
B-1b
E B-1N
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
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资源价格（元/吨）
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资源限量（吨）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。 影子价格的计算
CS XS b
B E N1
CB XB B-1b
E B-1 B-1N1
σ
0 CS－CB B-1 CN1－CB B-1N1
初始表
对偶的定义
max ω=-Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
2、其他形式问题的对偶
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
max z=C X s.t. AX≤b X ≥0
以B为基的单纯形表
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
Cj
CB CN
CB XB B-1b
XB XN
b
B N
B-1b
E B-1N
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？
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cj变化只影响目标函数等值线的斜率；
线性规划问题的最优解若为可行解域的某一顶点，
交于该顶点的两条直线的斜率即cj变动范围，cj在两
条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解
不变，最优值变动（cj变动）。
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x1 4 x 2 s.t . 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0
上例中，设备台时数的对偶价格=50。
讨论：原料A（b2）的对偶价格
400
2 x 1 x 2 400
原料A的约束条件
B C C’
b2小变动对原问题 不产生影响
300
A 200 100
原料B的约束条件
设备台时的约束条件 100 D 200 D’ 300 400
原料A的 对偶价格 为0
O
50 x1 100 x2 0
图解法
400
2 x 1 x 2 400
B C
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A 200 100
x 2 250
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250； 此时， 总利润为27500元。 400
x 1 x 2 300
O
100
D 200
300
50 x1 100 x2 0
现提高设备可利用台时数 （b1=300 b1=310)
设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：
max F 50 x 1 100 x 2 s .t . x 1 x 2 310 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0
max s .t .
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
讨论cj变化对原问题的影响
x2
（5）当目标函数等值线的斜率 k<k2时，最优解交于C点；
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
4
6
x1
讨论最优解不变时c1变动的范 围（c2=4不变）
x2
目标函数等值线斜率k c1 c2 当k 2 k k1时，最优解不变， 即，2 c1 4 2 3
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
8 c1的变动范围为： c1 8 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
斜率k 1
2 3
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
讨论最优解不变时c2变动的范 围（c1=6不变）
x2
目标函数等值线斜率k c1 c2
5 A
2 斜率k 2 2
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论cj变化对原问题的影响
x2
5 A
2 斜率k 2 2 （1）Cj变动不影响可行解域； （2）cj变动将影响目标函数等值线 的斜率，从而可能影响与可行解域 的交点； （3）当目标函数等值线的斜率在 1 和 2 之间变动时，最优解仍在B点；
当约束条件右边系数bi变化时，目标函数等值线斜率不变； 当bi变动时，重新考察最优解的交点是否改变。
讨论bi变动带来最优值的变化
例：某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产。 生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗 以及资源的限制如下表：
设备 原料A 原料B 甲产品 1 2 0 乙产品 1 1 1 资源限制 300台时 400kg 250kg
F 50 x 1 100 x 2
x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0
图解法
400
2 x 1 x 2 400
B B’
此时，可行解域为OAB’C’D 最优解为B’点（60，250）
300
A 200 100
§5.1 图解法的灵敏度分析
灵敏度分析的概念和重要性
目标函数中的系数cj的灵敏度分析 约束条件中右边系数bi的灵敏度分析
一、灵敏度分析的概念
灵敏度分析：就是在建立数学模型和求得最
优解之后，研究线性规划的一些系数cj、bi、
aij变化时，对最优解产生什么影响。
二、灵敏度分析的重要性
讨论：原料B（b3）的对偶价格
400 A’ A 200 100 D 200 B’
原料A的约束条件
B C
x 2 250
b3变动 会对原问题的 最优解产生 影响
原料B的约束条件
新的 最优解 在B‘点
设备台时的约束条件
O
100
300
400
50 x1 100 x2 0
讨论：b3增加一个单位， 最优值的变化量。
首先，因为这些系数都是估计值和预测值，不一定非常精确；
其次，即使这些系数值在某一时刻是精确值，他们也会随着 市场条件的变化而变化，不会一成不变的。例如，原材料的 价格，商品的售价、加工能力、劳动力的价格等等都会影响 这些系数的变化；
有了灵敏度分析就不必为了应付这些变化而不停地建立新的
模型和求其新的最优解，也不会由于系数的估计和预测的精
改进。即求得最大值时，变得更大；求最小值时，
变得更小；
如果对偶价格小于零，则其最优目标函数值变坏。
即求最大值时，变得更小；求最小值时，变得更
大；
如果对偶价格等于零，则其最优目标函数值不变。
练习题
b3=250时， 最优解为 x1=50,x2=250 最优值为 50*50+100*250 =27500
b3=251时， 最优解为 x1=49,x2=251 最优值为 50*49+100*251 =27550
所以，原料B的对偶价格=50
几种情况
如果对偶价格大于零，则其最优目标函数值得到
5 A’ A 3
（2）原最优解为B点，现最优 解为B‘点。
B’ B
1 C O 2 4 6 x1
总结：约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
当约束条件右边系数bi变化时，其线性规划的可行解域将
变化；
当某个bi发生变动时，它所在的约束条件直线的斜率不变， 相当于将可行解域的一个边界做平行移动。
C’ C
x 2 250
最优生产方案为： 甲生产60，乙生产250； 此时， 总利润为28000元。 400
x 1 x 2 300
O
100
D 200
300
50 x1 100 x2 0
B1变化前后对比：
b1=300时， 最优解为 x1=50,x2=250 最优值为 50*50+100*250 =27500
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论cj变化对原问题的影响
x2
（4）当目标函数等值线的斜率 0>k>k1时，最优解交于A点；
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
当k 2 k k1时，最优解不变， 即，2 6 c2 2 3
3
B
1
c 2的变动范围为： c2 9 3
2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
斜率k 1
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
总结：cj的灵敏度分析
目标函数中的系数cj变化不影响可行解域；
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5 A
4 x1 2 x2 12
3
B
2 x1 3x2 10
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5 A’ A 3
4 x1 2 x2 12
确性而对所求的得最优解存在不必要的怀疑。
三、目标函数系数cj的 灵敏度分析
例：
max F 6 x1 4 x 2 s.t. 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0
图解
x2
5 A
4 x1 2 x2 12
3
B
2 x1 3x2 10
b1=310时， 最优解为 x1=60,x2=250 设备台时数增加10台时 最优值为 总利润增加500元 50*60+100*250 =28000
每增加一个台时的设备就可以多获得500/10=50元的利润
对偶价格
约束条件常数项中增加一个单位而使得
目标函数值得到改进的数量称之为这个
约束条件的对偶价格。
工厂每生产一单位甲产品可获利50元，每生产一单位乙 产品可获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品甲和 产品乙才能使得获利最多？
数学模型：
设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：
max s .t . x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0 F 50 x 1 100 x 2
线性规划问题的最优解若为可行解域的某一顶点，
交于该顶点的两条直线的斜率即cj变动范围，cj在两
条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解
不变，最优值变动（cj变动）。
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x1 4 x 2 s.t . 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0
上例中，设备台时数的对偶价格=50。
讨论：原料A（b2）的对偶价格
400
2 x 1 x 2 400
原料A的约束条件
B C C’
b2小变动对原问题 不产生影响
300
A 200 100
原料B的约束条件
设备台时的约束条件 100 D 200 D’ 300 400
原料A的 对偶价格 为0
O
50 x1 100 x2 0
图解法
400
2 x 1 x 2 400
B C
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A 200 100
x 2 250
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250； 此时， 总利润为27500元。 400
x 1 x 2 300
O
100
D 200
300
50 x1 100 x2 0
现提高设备可利用台时数 （b1=300 b1=310)
设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：
max F 50 x 1 100 x 2 s .t . x 1 x 2 310 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0
max s .t .
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
讨论cj变化对原问题的影响
x2
（5）当目标函数等值线的斜率 k<k2时，最优解交于C点；
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
4
6
x1
讨论最优解不变时c1变动的范 围（c2=4不变）
x2
目标函数等值线斜率k c1 c2 当k 2 k k1时，最优解不变， 即，2 c1 4 2 3
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
8 c1的变动范围为： c1 8 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
斜率k 1
2 3
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
讨论最优解不变时c2变动的范 围（c1=6不变）
x2
目标函数等值线斜率k c1 c2
5 A
2 斜率k 2 2
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论cj变化对原问题的影响
x2
5 A
2 斜率k 2 2 （1）Cj变动不影响可行解域； （2）cj变动将影响目标函数等值线 的斜率，从而可能影响与可行解域 的交点； （3）当目标函数等值线的斜率在 1 和 2 之间变动时，最优解仍在B点；
当约束条件右边系数bi变化时，目标函数等值线斜率不变； 当bi变动时，重新考察最优解的交点是否改变。
讨论bi变动带来最优值的变化
例：某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产。 生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗 以及资源的限制如下表：
设备 原料A 原料B 甲产品 1 2 0 乙产品 1 1 1 资源限制 300台时 400kg 250kg
F 50 x 1 100 x 2
x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0
图解法
400
2 x 1 x 2 400
B B’
此时，可行解域为OAB’C’D 最优解为B’点（60，250）
300
A 200 100
§5.1 图解法的灵敏度分析
灵敏度分析的概念和重要性
目标函数中的系数cj的灵敏度分析 约束条件中右边系数bi的灵敏度分析
一、灵敏度分析的概念
灵敏度分析：就是在建立数学模型和求得最
优解之后，研究线性规划的一些系数cj、bi、
aij变化时，对最优解产生什么影响。
二、灵敏度分析的重要性
讨论：原料B（b3）的对偶价格
400 A’ A 200 100 D 200 B’
原料A的约束条件
B C
x 2 250
b3变动 会对原问题的 最优解产生 影响
原料B的约束条件
新的 最优解 在B‘点
设备台时的约束条件
O
100
300
400
50 x1 100 x2 0
讨论：b3增加一个单位， 最优值的变化量。
首先，因为这些系数都是估计值和预测值，不一定非常精确；
其次，即使这些系数值在某一时刻是精确值，他们也会随着 市场条件的变化而变化，不会一成不变的。例如，原材料的 价格，商品的售价、加工能力、劳动力的价格等等都会影响 这些系数的变化；
有了灵敏度分析就不必为了应付这些变化而不停地建立新的
模型和求其新的最优解，也不会由于系数的估计和预测的精
改进。即求得最大值时，变得更大；求最小值时，
变得更小；
如果对偶价格小于零，则其最优目标函数值变坏。
即求最大值时，变得更小；求最小值时，变得更
大；
如果对偶价格等于零，则其最优目标函数值不变。
练习题
b3=250时， 最优解为 x1=50,x2=250 最优值为 50*50+100*250 =27500
b3=251时， 最优解为 x1=49,x2=251 最优值为 50*49+100*251 =27550
所以，原料B的对偶价格=50
几种情况
如果对偶价格大于零，则其最优目标函数值得到
5 A’ A 3
（2）原最优解为B点，现最优 解为B‘点。
B’ B
1 C O 2 4 6 x1
总结：约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
当约束条件右边系数bi变化时，其线性规划的可行解域将
变化；
当某个bi发生变动时，它所在的约束条件直线的斜率不变， 相当于将可行解域的一个边界做平行移动。
C’ C
x 2 250
最优生产方案为： 甲生产60，乙生产250； 此时， 总利润为28000元。 400
x 1 x 2 300
O
100
D 200
300
50 x1 100 x2 0
B1变化前后对比：
b1=300时， 最优解为 x1=50,x2=250 最优值为 50*50+100*250 =27500
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论cj变化对原问题的影响
x2
（4）当目标函数等值线的斜率 0>k>k1时，最优解交于A点；
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
当k 2 k k1时，最优解不变， 即，2 6 c2 2 3
3
B
1
c 2的变动范围为： c2 9 3
2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
斜率k 1
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
总结：cj的灵敏度分析
目标函数中的系数cj变化不影响可行解域；
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5 A
4 x1 2 x2 12
3
B
2 x1 3x2 10
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5 A’ A 3
4 x1 2 x2 12
确性而对所求的得最优解存在不必要的怀疑。
三、目标函数系数cj的 灵敏度分析
例：
max F 6 x1 4 x 2 s.t. 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0
图解
x2
5 A
4 x1 2 x2 12
3
B
2 x1 3x2 10
b1=310时， 最优解为 x1=60,x2=250 设备台时数增加10台时 最优值为 总利润增加500元 50*60+100*250 =28000
每增加一个台时的设备就可以多获得500/10=50元的利润
对偶价格
约束条件常数项中增加一个单位而使得
目标函数值得到改进的数量称之为这个
约束条件的对偶价格。
工厂每生产一单位甲产品可获利50元，每生产一单位乙 产品可获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品甲和 产品乙才能使得获利最多？
数学模型：
设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：
max s .t . x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0 F 50 x 1 100 x 2