2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第7章 第3节 空间点、直线、平面间的位置关系
(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或 直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补 角才是要求的角．
[跟踪训练]
3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面
直线AE与BC所成角的余弦值为________． 解析 如图，连接DE.
∵AD∥BC， ∴AE 与 BC 所成的角，即为 AE 与 AD 所成的角，即∠EAD. 设正方体棱长为 a， ∴DE＝ a 2 5 a ＋（ ） ＝ a， 2 2
[关键要点点拨]
1．三个公理的作用
(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内． (2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题 转化为平面问题的条件．
(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的
交线；③证明多点共线．
2．异面直线的有关问题 (1)判定方法：①反证法；
(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正
确命题的编号)．
①相对棱AB与CD所在直线异面； ②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点； ③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的 直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一
④正确．故选C.
答案 C
[规律方法]
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是 异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发， 经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经常用到． 2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一 点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
叫做异面直
三、直线与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表示 公共点个数
直线l在平
面α内 直线l与平 面α相交
l⊂α
无数个
l∩α＝A
一个
直线l与平面 α 平行 l∥α 0个
两个平面平行
α∥β
0个
四、平面与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表示 公共点个数
两个平面相交
α∩β＝l
无数个(这些公共点 均在交线l上)
)
【解析】 设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α， l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内
存在直线l′∥l.又因为l⊥β.所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；
若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因 此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内， 则l∥α且l∥β，因此D错误． 【答案】 B
[基础自测自评]
1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，
那么c与b ( A．异面 C．不可能平行 B．相交 D．不可能相交 )
C [由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，
但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直 线相矛盾．]
2．(2014·广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线 为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( )
第三节
空间点、直线、平面间 的位置关系
[主干知识梳理] 一、平面的基本性质 名称 图示 文字表示 如果一条直线上的两 符号表示 A∈l，B∈l，
公理1
点在一个平面内，那 么这条直线在此平面 内
且A∈α，
B∈α⇒ l⊂α
过不在一条直线上的 公理2 三点，有且只有一个 平面
如果两个不重合的平
公理3 面有一个公共点，那 么它们有且只有一条 过该点的公共直线
P∈α，且
P∈β⇒ α∩β＝l， 且P∈l
二、空间直线的位置关系 1．位置关系的分类
相交 直线：同一平面内，有且只有 一个 公共点； 共面直线 平行 直线：同一平面内， 没有 公共点； 异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有 公共点.
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相 平行 ．
对于 C，如图③，l 可与 β 平行或 l⊂β内；
对于 D，如图④，l⊥β 或 l⊂β或 l∥β.
[体验高考] 1．(文)(2013·广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平
面．下列命题中正确的是
( A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β )
又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC.
∴四边形 A1D1CB 为平行四边形． ∴A1B∥CD1，从而 EF∥CD1. ∴EF 与 CD1 确定一个平面． ∴E，C，F，D1 四点共面．
[规律方法] 1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于 一点，再证交点在第三条直线上．
2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所
给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线 (或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后 分别确定平面，再证平面重合．
[跟踪训练]
1．(1)(2014·福州一中月考)设A，B，C，D是空间四个不同 的点，在下列命题中，不正确的是 ( A．若AC与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC )
∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D，
∴P∈平面 AA1D1D.
又 P∈EC 且 CE⊂平面 ABCD，
∴P∈平面 ABCD， 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点． 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D＝AD. ∴P∈AD.∴CE、D1F、DA 三线共点．
[互动探究] 本例条件不变试证明 E，C，D1，F 四点共面． 证明 ∵E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， 1 ∴EF 綊 A1B. 2
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
B [如图，在正方体 A1B1C1D1－ABCD 中，对于 A，设 l 为 AA1， 平面 B1BCC1，平面 DCC1D1 为 α，β. A1A∥平面 B1BCC1， A1A∥平面 DCC1D1， 而平面 B1BCC1∩平面 DCC1D1＝C1C； 对于 C，设 l 为 A1A，平面 ABCD 为 α， 平面 DCC1D1 为 β.A1A⊥平面 ABCD，
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
A [若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不 一定成立．]
3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD， 那么直线AB与CD的位置关系是
(
A．AB∥CD B．AB与CD异面 C．AB与CD相交 D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
点．
解析 由四面体的概念可知，AB 与 CD 所在的 直线为异面直线，故①正确； 由顶点 A 作四面体的高，只有当四面体 ABCD 的 对棱互相垂直时，其垂足是△BCD 的三条高线的 交点，故②错误；当 DA＝DB，CA＝CB 时，这两条高线共面，故 ③错误；设 AB，BC，CD，DA 的中点依次为 E，F，M，N，易证 四边形 EFMN 为平行四边形，所以 EM 与 FN 相交于一点，易证 另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确． 答案 ①④Z
【高手支招】 (1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的 直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少 了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．
(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长
方体或正方体化抽象为直观去判断.
【巧思妙解】 借助于长方体模型解决本题： 对于 A，如图①，α 与 β 可相交； 对于 B，如图②，不论 β 在何位置，都有 α⊥β；
故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°. 答案 60°
Hale Waihona Puke 5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共
面又与CC1共面的棱的条数为________． 解析 如图，与AB和CC1都相交的棱有BC； 与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与 AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符 合条件的棱共有5条． 答案 5
)
D [若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形， 则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则 直线AB与CD是异面直线．]
4．(教材习题改编)如图所示，在正方体
ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB， AD的中点，则异面直线B1C与EF所成 的角的大小为________． 解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，
n与l都斜交，则m与n一定不垂直；④m，n是α内两相交直线， 则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交． 则四个结论中正确的个数为
(
A．1 C．3 B．2 D．4
)
B [①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当
点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，
因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平 面内时， 就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m 上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l； ④正确．]
5 2 5 2 a ＋ a －a2 2 2 3 ∴cos∠D1FD＝ ＝ . 5 5 5 2· a· a 2 2
3 答案 5
[规律方法] 求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下： (1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
[跟踪训练] 2．已知 m，n，l 为不同的直线，α，β 为不同的平面，有下面四 个命题： ①m，n 为异面直线，过空间任一点 P，一定能作一条直线 l 与 m，n 都相交．②m，n 为异面直线，过空间任一点 P，一 定存在一个与直线 m，n 都平行的平面．③α⊥β，α∩β＝l，
[跟踪训练]
3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面
直线AE与BC所成角的余弦值为________． 解析 如图，连接DE.
∵AD∥BC， ∴AE 与 BC 所成的角，即为 AE 与 AD 所成的角，即∠EAD. 设正方体棱长为 a， ∴DE＝ a 2 5 a ＋（ ） ＝ a， 2 2
[关键要点点拨]
1．三个公理的作用
(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内． (2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题 转化为平面问题的条件．
(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的
交线；③证明多点共线．
2．异面直线的有关问题 (1)判定方法：①反证法；
(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正
确命题的编号)．
①相对棱AB与CD所在直线异面； ②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点； ③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的 直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一
④正确．故选C.
答案 C
[规律方法]
1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是 异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发， 经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经常用到． 2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一 点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
叫做异面直
三、直线与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表示 公共点个数
直线l在平
面α内 直线l与平 面α相交
l⊂α
无数个
l∩α＝A
一个
直线l与平面 α 平行 l∥α 0个
两个平面平行
α∥β
0个
四、平面与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表示 公共点个数
两个平面相交
α∩β＝l
无数个(这些公共点 均在交线l上)
)
【解析】 设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α， l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内
存在直线l′∥l.又因为l⊥β.所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；
若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因 此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内， 则l∥α且l∥β，因此D错误． 【答案】 B
[基础自测自评]
1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，
那么c与b ( A．异面 C．不可能平行 B．相交 D．不可能相交 )
C [由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，
但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直 线相矛盾．]
2．(2014·广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线 为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( )
第三节
空间点、直线、平面间 的位置关系
[主干知识梳理] 一、平面的基本性质 名称 图示 文字表示 如果一条直线上的两 符号表示 A∈l，B∈l，
公理1
点在一个平面内，那 么这条直线在此平面 内
且A∈α，
B∈α⇒ l⊂α
过不在一条直线上的 公理2 三点，有且只有一个 平面
如果两个不重合的平
公理3 面有一个公共点，那 么它们有且只有一条 过该点的公共直线
P∈α，且
P∈β⇒ α∩β＝l， 且P∈l
二、空间直线的位置关系 1．位置关系的分类
相交 直线：同一平面内，有且只有 一个 公共点； 共面直线 平行 直线：同一平面内， 没有 公共点； 异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有 公共点.
2．平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相 平行 ．
对于 C，如图③，l 可与 β 平行或 l⊂β内；
对于 D，如图④，l⊥β 或 l⊂β或 l∥β.
[体验高考] 1．(文)(2013·广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平
面．下列命题中正确的是
( A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β )
又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC.
∴四边形 A1D1CB 为平行四边形． ∴A1B∥CD1，从而 EF∥CD1. ∴EF 与 CD1 确定一个平面． ∴E，C，F，D1 四点共面．
[规律方法] 1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于 一点，再证交点在第三条直线上．
2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所
给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线 (或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后 分别确定平面，再证平面重合．
[跟踪训练]
1．(1)(2014·福州一中月考)设A，B，C，D是空间四个不同 的点，在下列命题中，不正确的是 ( A．若AC与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC )
∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D，
∴P∈平面 AA1D1D.
又 P∈EC 且 CE⊂平面 ABCD，
∴P∈平面 ABCD， 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点． 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D＝AD. ∴P∈AD.∴CE、D1F、DA 三线共点．
[互动探究] 本例条件不变试证明 E，C，D1，F 四点共面． 证明 ∵E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， 1 ∴EF 綊 A1B. 2
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
B [如图，在正方体 A1B1C1D1－ABCD 中，对于 A，设 l 为 AA1， 平面 B1BCC1，平面 DCC1D1 为 α，β. A1A∥平面 B1BCC1， A1A∥平面 DCC1D1， 而平面 B1BCC1∩平面 DCC1D1＝C1C； 对于 C，设 l 为 A1A，平面 ABCD 为 α， 平面 DCC1D1 为 β.A1A⊥平面 ABCD，
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
A [若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不 一定成立．]
3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD， 那么直线AB与CD的位置关系是
(
A．AB∥CD B．AB与CD异面 C．AB与CD相交 D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
点．
解析 由四面体的概念可知，AB 与 CD 所在的 直线为异面直线，故①正确； 由顶点 A 作四面体的高，只有当四面体 ABCD 的 对棱互相垂直时，其垂足是△BCD 的三条高线的 交点，故②错误；当 DA＝DB，CA＝CB 时，这两条高线共面，故 ③错误；设 AB，BC，CD，DA 的中点依次为 E，F，M，N，易证 四边形 EFMN 为平行四边形，所以 EM 与 FN 相交于一点，易证 另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确． 答案 ①④Z
【高手支招】 (1)构造法实质上是结合题意构造适合题意的 直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少 了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．
(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长
方体或正方体化抽象为直观去判断.
【巧思妙解】 借助于长方体模型解决本题： 对于 A，如图①，α 与 β 可相交； 对于 B，如图②，不论 β 在何位置，都有 α⊥β；
故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°. 答案 60°
Hale Waihona Puke 5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共
面又与CC1共面的棱的条数为________． 解析 如图，与AB和CC1都相交的棱有BC； 与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与 AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符 合条件的棱共有5条． 答案 5
)
D [若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形， 则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则 直线AB与CD是异面直线．]
4．(教材习题改编)如图所示，在正方体
ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB， AD的中点，则异面直线B1C与EF所成 的角的大小为________． 解析 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，
n与l都斜交，则m与n一定不垂直；④m，n是α内两相交直线， 则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交． 则四个结论中正确的个数为
(
A．1 C．3 B．2 D．4
)
B [①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当
点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，
因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平 面内时， 就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m 上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l； ④正确．]
5 2 5 2 a ＋ a －a2 2 2 3 ∴cos∠D1FD＝ ＝ . 5 5 5 2· a· a 2 2
3 答案 5
[规律方法] 求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下： (1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；
(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
[跟踪训练] 2．已知 m，n，l 为不同的直线，α，β 为不同的平面，有下面四 个命题： ①m，n 为异面直线，过空间任一点 P，一定能作一条直线 l 与 m，n 都相交．②m，n 为异面直线，过空间任一点 P，一 定存在一个与直线 m，n 都平行的平面．③α⊥β，α∩β＝l，
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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章-第7节-抛物线
π 答案 6
第30页，共61页。
直线与抛物线的位置关系
[典题导入] (2013·辽宁高考)如图，抛物线 C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点 M(x0，y0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为 原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1－ 2时，切线 MA 的斜率为 －12.
第18页，共61页。
当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为27， 即|PA|＋|PF|的最小值为27， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴P 点的坐标为(2，2)．
第19页，共61页。
[规律方法] 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用 抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．
第20页，共61页。
[跟踪训练] 1．(2012·安徽高考)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于
A，B 两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________． 解析 由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1， 0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点 A 到准线 x＝－1 的距离为 3，∴点 A 的横坐标为 2. 将 x＝2 代入 y2＝4x 得 y2＝8，由图知，y＝2 2， ∴A(2，2 2)，∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)．
第13页，共61页。
抛物线的定义及应用
[典题导入]
(1)(2013·江西高考)已知点 A(2，0)，抛物线 C：x2＝4y
的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点
N，则|FM|∶|MN|＝
()
A．2∶ 5
B．1∶2
C．1∶ 5
D．1∶3
第30页，共61页。
直线与抛物线的位置关系
[典题导入] (2013·辽宁高考)如图，抛物线 C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点 M(x0，y0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为 原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1－ 2时，切线 MA 的斜率为 －12.
第18页，共61页。
当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为27， 即|PA|＋|PF|的最小值为27， 此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2， ∴P 点的坐标为(2，2)．
第19页，共61页。
[规律方法] 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用 抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．
第20页，共61页。
[跟踪训练] 1．(2012·安徽高考)过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于
A，B 两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________． 解析 由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1， 0)，又∵|AF|＝3，由抛物线定义知，点 A 到准线 x＝－1 的距离为 3，∴点 A 的横坐标为 2. 将 x＝2 代入 y2＝4x 得 y2＝8，由图知，y＝2 2， ∴A(2，2 2)，∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)．
第13页，共61页。
抛物线的定义及应用
[典题导入]
(1)(2013·江西高考)已知点 A(2，0)，抛物线 C：x2＝4y
的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点
N，则|FM|∶|MN|＝
()
A．2∶ 5
B．1∶2
C．1∶ 5
D．1∶3
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第5节-合情推理与演绎推理
第24页，共45页。
类比推理
[典题导入] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为 a，b，c 内 切圆半径为 r，则三角形面积为 S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间， 类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1，S2， S3，S4，内切球的半径为 r，则四面体的体积为____________”．
命题(猜想)
第3页，共45页。
二、演绎推理 1．定义：从 一般性的原理 出发，推出 某个特殊情况 下的结
论，我们把这种推理称为演绎推理． 2．特点：演绎推理是由 一般到特殊 的推理． 3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
第4页，共45页。
①大前提—已知的 一般原理 ； “三段论”
第五节 合情推理与演绎推理
第1页，共45页。
一、合情推理
[主干知识梳理]
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的 部分对象 具 由两类对象具有类似特征
有某些特征，推出该类事物
的 全部对象 都具有这些特征 和其中一类对象的某些已
的推理，或者由 个别事实 概 括出 一般结论 的推理
知特征推出另一类对象也 具有这些特征的推理
(小前提)
故Snn是以 2 为公比，1 为首项的等比数列． (大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(结论)
第30页，共45页。
(2)由(1)可知nS＋n＋11 ＝4·nS－n－11 (n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·nS－n－11＝4·n－n－1＋1 2·Sn－1 ＝4an(n≥2)． 又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1， ∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.
(3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和 AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以 ED＝AF.(结论) 上面的证明可简略地写成：
类比推理
[典题导入] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为 a，b，c 内 切圆半径为 r，则三角形面积为 S△ABC＝12(a＋b＋c)r”，拓展到空间， 类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 S1，S2， S3，S4，内切球的半径为 r，则四面体的体积为____________”．
命题(猜想)
第3页，共45页。
二、演绎推理 1．定义：从 一般性的原理 出发，推出 某个特殊情况 下的结
论，我们把这种推理称为演绎推理． 2．特点：演绎推理是由 一般到特殊 的推理． 3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
第4页，共45页。
①大前提—已知的 一般原理 ； “三段论”
第五节 合情推理与演绎推理
第1页，共45页。
一、合情推理
[主干知识梳理]
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的 部分对象 具 由两类对象具有类似特征
有某些特征，推出该类事物
的 全部对象 都具有这些特征 和其中一类对象的某些已
的推理，或者由 个别事实 概 括出 一般结论 的推理
知特征推出另一类对象也 具有这些特征的推理
(小前提)
故Snn是以 2 为公比，1 为首项的等比数列． (大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(结论)
第30页，共45页。
(2)由(1)可知nS＋n＋11 ＝4·nS－n－11 (n≥2)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·nS－n－11＝4·n－n－1＋1 2·Sn－1 ＝4an(n≥2)． 又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1， ∴对于任意正整数 n，都有 Sn＋1＝4an.
(3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和 AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以 ED＝AF.(结论) 上面的证明可简略地写成：
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第7节-数学归纳法
中 n∈N*且 n≥2)，其展开后含 xr 项的系数记作 ar(r＝0，1， 2，…，n)． (1)求 a1(用含 n 的式子表示)； (2)求证：a2＝3n＋ 4 2C3n＋1.
第34页，共45页。
【思路导析】 (1)a1 为含 x 项的系数；(2)可使用数学归纳法证明． 【解析】 (1)a1＝1＋2＋…＋n＝n（n＋2 1）. (2)证明：证法一：利用数学归纳法 ①当 n＝2 时，f(x)＝(1＋x)(1＋2x)＝1＋3x＋2x2， 此时 a2＝2. 又3n＋4 2C3n＋1＝2C33＝2，所以命题成立． ②假设 n＝k(k≥2)时，命题成立，即 a2＝3k＋4 2C3k＋1. 则当 n＝k＋1 时，
第28页，共45页。
[规律方法] “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归 纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个 特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种 方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题 中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
第29页，共45页。
第22页，共45页。
[跟踪训练] 2．用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n(n∈N*，n≥2)．
证明 (1)当 n＝2 时，1＋212＝54＜2－12＝32，命题成立．
第23页，共45页。
(2)假设 n＝k 时命题成立，即 1＋212＋312＋…＋k12＜2－1k. 当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋（k＋11）2＜2－1k＋（k＋11）2 ＜2－1k＋k（k＋1 1）＝2－1k＋1k－k＋1 1 ＝2－k＋1 1命题成立． 由(1)(2)知原不等式在 n∈N*，n≥2 时均成立．
第25页，共45页。
第34页，共45页。
【思路导析】 (1)a1 为含 x 项的系数；(2)可使用数学归纳法证明． 【解析】 (1)a1＝1＋2＋…＋n＝n（n＋2 1）. (2)证明：证法一：利用数学归纳法 ①当 n＝2 时，f(x)＝(1＋x)(1＋2x)＝1＋3x＋2x2， 此时 a2＝2. 又3n＋4 2C3n＋1＝2C33＝2，所以命题成立． ②假设 n＝k(k≥2)时，命题成立，即 a2＝3k＋4 2C3k＋1. 则当 n＝k＋1 时，
第28页，共45页。
[规律方法] “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归 纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个 特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种 方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题 中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．
第29页，共45页。
第22页，共45页。
[跟踪训练] 2．用数学归纳法证明：1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n(n∈N*，n≥2)．
证明 (1)当 n＝2 时，1＋212＝54＜2－12＝32，命题成立．
第23页，共45页。
(2)假设 n＝k 时命题成立，即 1＋212＋312＋…＋k12＜2－1k. 当 n＝k＋1 时，1＋212＋312＋…＋k12＋（k＋11）2＜2－1k＋（k＋11）2 ＜2－1k＋k（k＋1 1）＝2－1k＋1k－k＋1 1 ＝2－k＋1 1命题成立． 由(1)(2)知原不等式在 n∈N*，n≥2 时均成立．
第25页，共45页。
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第2节-一元二次不等式及其解法
Δ＞0，
即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a＜－1， g（－1）≥0.
解得－3 ≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[－3，1]．
第24页，共42页。
[互动探究] 本题中的“x∈[－1，＋∞)改为“x∈[－1，1)”，求 a 的取值范围．
解析 令 g(x)＝x2－2ax＋2－a，
由已知，得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，1)上恒成立，
第38页，共42页。
[体验高考]
1．(2013·江西高考)下列选项中，使不等式 x＜1x＜x2 成立的 x 的取
值范围是
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
()
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
A [原不等式等价于xx＞2＜01，＜x3，①或xx＜ 2＞01，＞x3， ② ①无解，解②得 x＜－1.故选 A.]
【思路导析】 利用新定义化简出f(x)，并作出图象分析．
第34页，共42页。
【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式，数形结合求出 m 的取 值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解． 由定义可知， f(x)＝－（（2x－x－11））x，x，x≤x＞00，. 作出函数 f(x)的图象， 如图所示．
第17页，共42页。
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的 大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行 分类讨论，分类要不重不漏．
第18页，共42页。
1．解下列不等式：
[跟踪训练]
(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解析 (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0.
第26页，共42页。
[跟踪训练] 2．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，则实
即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a＜－1， g（－1）≥0.
解得－3 ≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[－3，1]．
第24页，共42页。
[互动探究] 本题中的“x∈[－1，＋∞)改为“x∈[－1，1)”，求 a 的取值范围．
解析 令 g(x)＝x2－2ax＋2－a，
由已知，得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，1)上恒成立，
第38页，共42页。
[体验高考]
1．(2013·江西高考)下列选项中，使不等式 x＜1x＜x2 成立的 x 的取
值范围是
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
()
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
A [原不等式等价于xx＞2＜01，＜x3，①或xx＜ 2＞01，＞x3， ② ①无解，解②得 x＜－1.故选 A.]
【思路导析】 利用新定义化简出f(x)，并作出图象分析．
第34页，共42页。
【解析】 根据新定义写出 f(x)的解析式，数形结合求出 m 的取 值，再根据函数的图象和方程的根等条件求解． 由定义可知， f(x)＝－（（2x－x－11））x，x，x≤x＞00，. 作出函数 f(x)的图象， 如图所示．
第17页，共42页。
2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的 大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行 分类讨论，分类要不重不漏．
第18页，共42页。
1．解下列不等式：
[跟踪训练]
(1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解析 (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0.
第26页，共42页。
[跟踪训练] 2．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，则实
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第10章-第7节-离散型随机变量及其分布列
第14页，共54页。
5．(教材习题改编)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布为：
X012 Pabc
第15页，共54页。
则 a＝________，b＝________，c＝________.
解析 P(X＝0)＝C152＝110； P(X＝1)＝CC13C52 12＝53； P(X＝2)＝CC2325＝130.
X x x…x…x
12
i
n
P
…p1 … p2
pi
pn
第3页，共54页。
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有
时为了表达简单，也用等式
P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
表示X的分布列．
第4页，共54页。
三、离散型随机变量分布列的性质 1．pi ≥0，i＝1,2，…，n；
n
2.pi＝1 .
取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是
A．X＝4
B．X＝5
()
C．X＝6
D．X≤5
C [由条件知“放回 5 个红球”事件对应的 X 为 6.]
第13页，共54页。
4．设随机变量 X 等可能取值 1,2,3，…，n，如果 P(X<4)＝0.3， 那么 n＝________. 解析 1n×3＝0.3，则 n＝10. 答案 10
X 1 2 3 …n
P
k n
k n
k n
…k n
第22页，共54页。
则 k 的值为
1 A.2 C．2 B [由nk＋nk＋…＋nk＝1， 解得 k＝1.]
B．1 D．3
第23页，共54页。
()
分布列的求法
5．(教材习题改编)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布为：
X012 Pabc
第15页，共54页。
则 a＝________，b＝________，c＝________.
解析 P(X＝0)＝C152＝110； P(X＝1)＝CC13C52 12＝53； P(X＝2)＝CC2325＝130.
X x x…x…x
12
i
n
P
…p1 … p2
pi
pn
第3页，共54页。
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有
时为了表达简单，也用等式
P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n
表示X的分布列．
第4页，共54页。
三、离散型随机变量分布列的性质 1．pi ≥0，i＝1,2，…，n；
n
2.pi＝1 .
取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是
A．X＝4
B．X＝5
()
C．X＝6
D．X≤5
C [由条件知“放回 5 个红球”事件对应的 X 为 6.]
第13页，共54页。
4．设随机变量 X 等可能取值 1,2,3，…，n，如果 P(X<4)＝0.3， 那么 n＝________. 解析 1n×3＝0.3，则 n＝10. 答案 10
X 1 2 3 …n
P
k n
k n
k n
…k n
第22页，共54页。
则 k 的值为
1 A.2 C．2 B [由nk＋nk＋…＋nk＝1， 解得 k＝1.]
B．1 D．3
第23页，共54页。
()
分布列的求法
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学理一轮复习课件：第7章第1节空间几何体的结构特征及三视图和直观图
解析 该几何体的左视图的面积等于 3×2＝2 3. 答案 2 3
几何体的直观图 [典题导入]
已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求 原△ABC的面积． [听课记录] 建立如图所示的坐标系xOy′， △A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′ 边在x轴上， 把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴， 则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点 即为A′，B′点，长度不变．
2＋ 2 C. 2
D．1＋ 2
A [恢复后的原图形为一直角梯形
S＝12(1＋ 2＋1)×2＝2＋ 2.]
【创新探究】 三视图识图不准致误 (2012·高考湖南卷)某几何体的
正视图和侧视图均如图所示，则该几何 体的俯视图不可能是
()
【思路导析】 根据几何体三视图之间的关系用排除法求解．
【解析】 由“正视图与俯视图等长，侧视图与俯视图等 宽”，知该几何体正视图与侧视图相同，而D项中正视图与 侧视图不同，可知选D. 【答案】 D
2．对三视图的认识及三视图画法 (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平 面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧 面表示的图形． (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线 和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线． (3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的 轮廓线．
课时作业
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝21OC＝ 43a，
在图中作
C′D′⊥A′B′于
D′，则
C′D′＝
22O′C′＝
6 8 a.
∴S△A′B′C′＝21A′B′·C′D′＝12×a× 86a＝ 166a2.
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第6章-第4节-基本不等式
第15页，共45页。
∴m1 ＋n2＝(m1 ＋n2)·(2m＋n) ＝4＋mn ＋4nm≥4＋2 mn ×4nm＝8， 当且仅当mn ＝4nm，即 n＝2m 时等号成立． 由 2m＋n＝1，也就是说 m＝14，n＝12时等号成立． 答案 8
第16页，共45页。
[互动探究] 本例(2)条件不变，求 xy 的最小值． 解析 ∵x＞0，y＞0，则 5xy＝x＋3y≥2 x·3y， ∴xy≥1225，当且仅当 x＝3y 时取等号． ∴xy 的最小值为1225.
三、算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab， 基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数．
第3页，共45页。
四、利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则：
1．如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 是 2 p．(简记：积定和最小)
第27页，共45页。
[跟踪训练] 2．(2014·云南省检测)某投资公司年初用98万元购置了一套生
产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的各种配套费 用第一年需要支出12万元，第二年需要支出16万元，第三年 需要支出20万元，……，每年都比上一年增加支出4万元， 而每年的生产收入都为50万元．假设这套生产设备投入使用 n年，n∈N*，生产成本等于生产设备购置费与这n年生产产 品相关的各种配套费用的和，生产总利润f(n)等于这n年的生 产收入与生产成本的差．请你根据这些信息解决下列问题．
第17页，共45页。
[规律方法] 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或 积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一 种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的 表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一 个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等 号成立的条件．
∴m1 ＋n2＝(m1 ＋n2)·(2m＋n) ＝4＋mn ＋4nm≥4＋2 mn ×4nm＝8， 当且仅当mn ＝4nm，即 n＝2m 时等号成立． 由 2m＋n＝1，也就是说 m＝14，n＝12时等号成立． 答案 8
第16页，共45页。
[互动探究] 本例(2)条件不变，求 xy 的最小值． 解析 ∵x＞0，y＞0，则 5xy＝x＋3y≥2 x·3y， ∴xy≥1225，当且仅当 x＝3y 时取等号． ∴xy 的最小值为1225.
三、算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab， 基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数．
第3页，共45页。
四、利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则：
1．如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 是 2 p．(简记：积定和最小)
第27页，共45页。
[跟踪训练] 2．(2014·云南省检测)某投资公司年初用98万元购置了一套生
产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的各种配套费 用第一年需要支出12万元，第二年需要支出16万元，第三年 需要支出20万元，……，每年都比上一年增加支出4万元， 而每年的生产收入都为50万元．假设这套生产设备投入使用 n年，n∈N*，生产成本等于生产设备购置费与这n年生产产 品相关的各种配套费用的和，生产总利润f(n)等于这n年的生 产收入与生产成本的差．请你根据这些信息解决下列问题．
第17页，共45页。
[规律方法] 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或 积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一 种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的 表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一 个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等 号成立的条件．
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学理一轮复习课件：第2章第4节函数的奇偶性及周期性学习资料
(2)设偶函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(2)＝0，则不等式
f（x）＋f（－x）
x
>0
的解集为
()
A．(－2，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
[听课记录] ∵f(x)为偶函数， ∴f（x）＋xf（－x）＝2f（xx）>0. ∴xf(x)>0. ∴xf（>0x，）>0或xf（<0x，）<0. 又 f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 故 x∈(0，2)或 x∈(－∞，－2)． 答案 B
()
A．奇函数
B．偶函数
C．增函数
D．周期函数
D [当x∈[0，1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知
f(x)为周期函数．故选D.]
2．(2013·湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)
＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于
()
A．4
B．3
C．2
D．1
B [∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
答案 0
(2)(2014·晥南八校联考)已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2 ＋ 2x(x≥0) ， 若 f(3 － a2)>f(2a) ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________． 解析 因为f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数， 又因为f(x)是R上的奇函数， 所以函数f(x)是R上的增函数， 要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a，解得－3<a<1. 答案 (－3，1)
[规律方法] 函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式． 利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数． 常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒 等式，由系数的对等性可得知字母的值． (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区 间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调 性相反．
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：选修4-4-第1节-坐标系
答案 2
第15页，共48页。
[关键要点点拨]
1 ． 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 一 点 P(x ， y) 在 伸 缩 变 换
x′＝λ·x，λ>0 y′＝u·y，u>0
的作用下对应到点 P′(x′，y′)．
2．极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，
特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
第36页，共48页。
[跟踪训练] 3．(2014·海口市调研)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为
ρ＝2，ρ2－2 2ρcosθ－4π＝2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
第37页，共48页。
解析 (1)ρ＝2⇒ρ2＝4， 所以 x2＋y2＝4. 因为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2， 所以 ρ2－2 2ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2. 所以 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
第13页，共48页。
解得xy＝＝－1，1， 故交点(－1,1)的极坐标为 2，34π.
答案
2，34π
第14页，共48页。
5．在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到直线 ρsinθ＋π4＝2 2 的距离为________． 解析 注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2＝4x，圆 心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的直角坐标方程是 x ＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋02－4|＝ 2.
第19页，共48页。
∴y＝2μsin4λx＋π4.
与 y＝sin2x＋π4对比知，2μ4＝ λ＝12. ， ∴μ＝2，λ＝21. 所以所求伸缩变换为x′＝12x，
第15页，共48页。
[关键要点点拨]
1 ． 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 一 点 P(x ， y) 在 伸 缩 变 换
x′＝λ·x，λ>0 y′＝u·y，u>0
的作用下对应到点 P′(x′，y′)．
2．极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，
特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
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[跟踪训练] 3．(2014·海口市调研)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为
ρ＝2，ρ2－2 2ρcosθ－4π＝2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
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解析 (1)ρ＝2⇒ρ2＝4， 所以 x2＋y2＝4. 因为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2， 所以 ρ2－2 2ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2. 所以 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
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解得xy＝＝－1，1， 故交点(－1,1)的极坐标为 2，34π.
答案
2，34π
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5．在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到直线 ρsinθ＋π4＝2 2 的距离为________． 解析 注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2＝4x，圆 心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的直角坐标方程是 x ＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于|2＋02－4|＝ 2.
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∴y＝2μsin4λx＋π4.
与 y＝sin2x＋π4对比知，2μ4＝ λ＝12. ， ∴μ＝2，λ＝21. 所以所求伸缩变换为x′＝12x，
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第8章-第5节-椭圆
5－m＞0， C [由方程表示椭圆知m＋3＞0，
5－m≠m＋3，
解得－3＜m＜5 且 m≠1.]
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3．(2012·淮南五校联考)椭圆x92＋4＋y2 k＝1 的离心率为45，则 k 的值
为
A．－21
B．21
()
C．－1295或 21
D.1295或 21
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C [若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k， 由ac＝45，即 53－k＝54，得 k＝－1295； 若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5， 由ac＝45，即 4k－＋5k＝54，解得 k＝21.]
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[跟踪训练]
2．(1)(2014·合肥一中最后冲刺)已知点 F1，F2 是椭圆 x2＋2y2＝2 的
两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|P→F1＋P→F2|的最小 值是( )
A．0
B．1
C．2
D．2 2
C [由椭圆 x2＋2y2＝2，可得x22＋y2＝1，则 c＝1.
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因为 A(－ 3，0)，B( 3，0)， 所以A→C·D→B＋A→D·C→B＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3， y2)·( 3－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋22k＋2＋31k22. 由已知得 6＋22k＋2＋3k122＝8，解得 k＝± 2.
(ⅰ)求O→A·O→B的最值； (ⅱ)求证：四边形 ABCD 的面积为定值． 解析 (1)由题意 e＝ac＝ 22，a42＋b22＝1.又 a2＝b2＋c2，解得 a2＝8， b2＝4，椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.