卡门方程
边界层理论基础-卡门积分式
(1) (δ) (δ) (1)
(δ2) (δ) (1/δ)
由上述两式的数量级分析可知， 由上述两式的数量级分析可知 ， x 方向各 项数量级为1 方向各项数量级为δ 项数量级为1，而y方向各项数量级为δ。 δ<<1 方向可忽略不记， 因δ<<1，故y方向可忽略不记，于是可得 普兰德边界层方程： 普兰德边界层方程：
可以推知，在壁面附近， 可以推知，在壁面附近，必然存在这样一 层流体，其与流向垂直的方向上的速度梯 垂直的方向上的 层流体，其与流向垂直的方向上的速度梯 很大，所以在这层流体中， 度很大，所以在这层流体中，绝对不能忽 粘滞力的作用 这样一层流体就称为边 的作用， 略粘滞力的作用，这样一层流体就称为边 界层。 界层。 边界层厚度是与Re 数值相关的 。 Re 越大 ， 边界层厚度是与 R 数值相关的。 越大， 厚度愈薄。 厚度愈薄。 在边界层之外的区域可忽略粘性力的作用， 在边界层之外的区域可忽略粘性力的作用， 视为理想流体。 视为理想流体。这种将流体流过物体壁面的 问题分成两部分处理的办法， 问题分成两部分处理的办法，已被证明在流 体力学领域具有十分重要的意义 。
该学说成为流体力学中最重要的学说之一， 该学说成为流体力学中最重要的学说之一 ， 也是传递过程领域中的重要学说， 因为在 也是传递过程领域中的重要学说 ， 传热和传质中也存在相应的边界层。 传热和传质中也存在相应的边界层。 第一节 边界层概念 1904年Plandt提出边界层的概念。 1904年Plandt提出边界层的概念。 提出边界层的概念 当实际流体沿固体壁面流动时， 当实际流体沿固体壁面流动时，只要流体 能润湿壁面， 能润湿壁面，则紧贴壁面的一层极薄的流 将附着在壁面上不滑脱， 体，将附着在壁面上不滑脱，即该层流体 的速度为零。 的速度为零。
矿业工程用偏微分方程_解释说明
矿业工程用偏微分方程解释说明1. 引言1.1 概述在现代矿业工程领域中，偏微分方程是一种重要的数学工具和理论基础。
偏微分方程可以描述和解释许多与矿业工程相关的问题，例如地质勘探、采矿过程以及环境保护等方面的挑战。
本文将详细探讨偏微分方程在矿业工程中的应用，并通过案例分析来展示其实际价值。
1.2 文章结构本文将分为五个主要部分。
首先是引言部分，介绍文章的背景、目的和结构。
接下来是矿业工程简介，包括对矿业工程概念和背景的介绍，以及阐述其在经济和社会发展中的重要性。
然后是偏微分方程在矿业工程中的应用，包括基本概念和地质勘探、采矿过程中应用的具体案例。
第四部分将通过三个案例来详细说明偏微分方程在实际问题中的应用情况。
最后一部分是结论部分，总结全文内容并对未来偏微分方程在矿业工程领域的发展提出展望。
1.3 目的本文的目标是探讨偏微分方程在矿业工程中的应用，并通过案例分析来展示其实际价值。
通过深入了解和分析偏微分方程在地质勘探、采矿过程以及环境保护等方面的应用情况，我们可以更好地理解和解决在矿业工程中面临的问题和挑战。
同时，本文还将评估偏微分方程方法在矿业工程中的优势和局限性，并对未来发展提出一些建议和展望。
通过这样的研究，我们可以推动矿业工程领域的创新和进步，为可持续发展做出贡献。
2. 矿业工程简介2.1 矿业工程概念和背景矿业工程是一门涉及矿产资源的开采、加工和利用的学科。
它包括对地下矿藏进行勘探与评估，设计矿山开采方案，开发和维护采矿设施以及管理和监控矿产资源的整个过程。
作为一个综合性学科，它结合了地质学、土木工程、机械工程、环境工程和经济学等多个领域的知识。
2.2 矿业工程的重要性矿业工程在现代社会中扮演着至关重要的角色。
几乎所有的生活物资和能源都依赖于矿产品的开采与加工。
从建筑材料到电子器件，再到能源供应，都需要大量的石油、天然气、金属矿产等资源支持。
因此，矿业工程对于社会经济发展以及人类生产生活水平的提高具有举足轻重的意义。
流体流动-第七次课
常见局部阻力系数的求法： 常见局部阻力系数的求法：
1). 突扩管和突缩管 突扩管
ζ = f (
A小 A大
) = (1 −
A小 A大
)2
2). 进口和出口 进口：容器进入管道，突缩。 进口：容器进入管道，突缩。A小/A大≈0，λ=0.5 出口：管道进入容器，突扩。 出口：管道进入容器，突扩。A小/A大≈0，λ=1.0
2
简单管路流体的能量损失具有加和性。 简单管路流体的能量损失具有加和性。
2、简单管路计算 、
流量q 已知管径d、管长l、流量qV，求管路系统的能量损 失和输送功率。 失和输送功率。
已知管径d、管长l、管路系统的能量损失Σhf，求 流量q 或流速u 流量qV或流速u。 流量q 已知管长l、流量qV、管路系统的能量损失Σhf，求 管径d。
4.2 当量长度法
hf = λ ⋅
le d
⋅
u2 2
le为当量长度。 将流体流经管件时，所产生的局部阻力折 为当量长度。 将流体流经管件时，
的直管所产生的阻力。 合成相当于流经长度为le的直管所产生的阻力。
le由实验确定，可查表。 由实验确定，可查表。
五、 管道总阻力
∑h
f
= ∑ h f直 + ∑ h f局
并联和分支管路称为复杂管路。 并联和分支管路称为复杂管路。
A A B C B
并联管路
分支管路
1、 并联管路 、
V
A
1 B 2
qV=qV1+qV2
∑hfAB= ∑hf1 =∑hf2 （各支管单位质量流体阻 力损失相等） 力损失相等） 证明
zA +
zA +
pA ρg
工程中的数学方法 冯卡门
工程中的数学方法冯卡门（实用版5篇）目录（篇1）1.冯·卡门方程的概述2.冯·卡门方程的应用3.冯·卡门方程的求解方法正文（篇1）一、冯·卡门方程的概述冯·卡门方程是一个模拟平板变形的四阶椭圆型非线性偏微分方程组，由匈牙利数学家冯·卡门（Von Kármán）于 20 世纪 30 年代提出。
该方程组描述了平板在受外力作用下的弯曲变形现象，包括了线性和非线性项，因此其求解过程较为复杂。
二、冯·卡门方程的应用冯·卡门方程在工程领域中具有广泛的应用，尤其在航空航天、土木工程和机械工程等领域。
以下列举几个典型的应用场景：1.航空航天领域：在飞机翼的设计中，由于翼型截面的变化会导致气流的变化，进而影响飞机的稳定性和性能，因此需要通过求解冯·卡门方程来精确计算翼型截面的变形。
2.土木工程领域：在建筑结构中，梁、板等构件在受力情况下容易发生弯曲变形，通过冯·卡门方程可以分析和预测这些变形，从而保证结构的稳定性和安全性。
3.机械工程领域：在机械设备的设计中，如叶片、齿轮等部件在受力情况下的变形分析，也可以通过冯·卡门方程来进行精确计算。
三、冯·卡门方程的求解方法由于冯·卡门方程是一个非线性偏微分方程组，其求解过程较为复杂。
常用的求解方法包括：1.解析法：对于简单的几何形状和受力情况，可以通过解析法求解冯·卡门方程。
2.数值法：对于复杂的受力情况和几何形状，通常采用数值法求解冯·卡门方程，如有限元法、有限差分法等。
3.变分法：通过引入适当的变量和约束条件，将冯·卡门方程转化为一个变分问题，进而利用变分法求解。
目录（篇2）1.冯·卡门方程的概述2.冯·卡门方程的应用背景3.冯·卡门方程的求解方法4.冯·卡门方程在工程中的具体应用5.总结正文（篇2）冯·卡门方程是一种模拟平板变形的四阶椭圆型非线性偏微分方程组，由匈牙利数学家冯·卡门（Von Kármán）于 20 世纪 30 年代提出。
kar man 方程
Karman方程1. Karman方程的基本概念与历史背景1.1 Karman方程的定义：1.1.1 流体力学中的关键方程：解释Karman方程在流体力学领域中的基础地位，是描述流动中速度分布的一种重要方程。
1.1.2 数学形式与表达：深入分析Karman方程的数学形式，探讨其在流体动力学研究中的实际应用。
1.2 Karman方程的历史渊源：1.2.1 Theodore von Karman的贡献：回顾Karman方程得名于数学家Theodore von Karman，解释他在流体力学领域的研究成果。
1.2.2 方程的演化：追溯Karman方程的发展历程，包括其最初提出的背景和后续研究的重要进展。
1.3 应用领域与重要性：1.3.1 航空航天工程中的应用：分析Karman方程在航空航天工程中的应用，如翼型设计和飞行器性能分析。
1.3.2 涡街与涡激振动：探讨Karman方程在涡街与涡激振动研究中的重要性，以及其在工程实践中的实际应用。
2. Karman方程的数学推导与物理解释2.1 数学推导与方程形式：2.1.1 基本假设与方程起源：详细说明Karman方程的数学推导所基于的基本假设，以及其起源和背后的物理原理。
2.1.2 方程的不同形式：探讨Karman方程的不同形式，以及这些形式在特定条件下的适用性。
2.2 物理参数的解释：2.2.1 Reynolds数与流体特性：解释Reynolds数在Karman 方程中的角色，以及其对流体行为的影响。
2.2.2 边界层与流动稳定性：探讨Karman方程中的边界层概念，以及其与流动稳定性的关系。
2.3 边界条件与流场特性：2.3.1 边界条件的制定：详述Karman方程中的边界条件，解释这些条件对流场特性的影响。
2.3.2 流场分离与重新附着：探讨Karman方程中涉及的流场分离和重新附着现象，以及其在流体力学研究中的重要性。
3. Karman方程的实验验证与工程应用3.1 实验方法与数据收集：3.1.1 风洞实验：介绍使用风洞进行Karman方程实验的方法，以及在实验中如何收集流场数据。
卡门方程
一般情况下,边界层方程无解析解.目前,常用3种方法得到边界层方程的近似解:相似性解,动量积分方程方法,CFD(计算流体力学).几个基本定义:边界层的位移厚度:相比较无粘流,由于边界层的存在使自由流流线向外推移的距离(形象的说:对于无粘流动,由于边界层的存在,好像使物体增加了该厚度,而流量保持不变):同样,粘性引起动量的损失,也可以定义一动量损失厚度或简称动量厚度,它表示由于边界层的存在损失了该厚度的自由流流体的动量流率:由于边界层方程与NS方程相比作了一定的简化,既没有能使原方程线化也没有能使它降阶,所以在1904年发表后的几年内并没有有效的应用.直到1908年平板边界层精确解的发现,得到了阻力与来流速度的3/2幂成正比的规律.这是在流体力学发展史上,首次能够用理论方法准确地计算大雷诺数绕流问题的摩擦阻力,因此平板边界层解在边界层理论中具有特殊重要的意义.边界层相似解法的理论依据:由无量刚边界层方程可知,方程中不含Re数,也就是说其解不依赖Re数,所以对于两个不同Re数,但具有相同无量刚边界条件的流动,在边界层内流场图像应满足一个相似变换关系.这个原则称为Re数相似原理.第四章边界层理论4,边界层方程的近似解边界层相似解法的典范:Blasius解:研究均匀定常来流沿无穷长平板的流动:由于边界层很薄,外部势流区中速度处处近似等于来流速度U=Ue,势流区的压力在x方向上的梯度为零,边界层方程为:边界条件以边界层厚度为特征量,引入无量纲坐标假定无量纲流向速度由无量纲变量唯一确定,即相应的流函数是由此可以得到相应的法向速度其中.将以上速度表达式带入边界层方程后,整理得到这是一个关于f的三阶非线性常微分方程,这就是著名的Blasius方程,其边界条件为:很多人提出过不同的Blasius方程解法,至今仍有人研究.现在一般使用泰勒级数展开解法右图为Blasius方程的解.知道了边界层内的速度分布,就可以计算出所需要的其它量,如磨擦阻力,边界层厚度,涡量等边界层重要特性.目前只有少量流动可以用的边界层相似解法,大量的流动是非相似的.第四章边界层理论4,边界层方程的近似解动量积分方程方法其基本思想是利用边界条件先给出边界层内用未知单参数表示的近似速度剖面,再利用建立起来的积分关系确定该参数沿流向的变化,从而求出整个问题的解.该方法的基础是卡门动量积分关系式动量积分法是将引人了薄剪切层近似的动量方程,能量方程以及连续方程分别沿剪切层厚度方向积分,把这些二维偏微分方程变为关于某些典型参数的常微分方程,再利用一些通过实验建立的经验关系式,最后解出这些典型参数沿流向的变化.这一方法最早是由冯·卡门于1921年引人的,他得出了著名的动量积分方程.1958年,赫德(Head)对连续方程积分引入了裹入方程(entrainment),这些方程不仅可用于近似计算,也可用于定性分析.目前,能量积分方程用得很少,不拟进一步讨论.动量积分方程边界层动量积分关系式是由Karman1921导出的，对近似求解边界层特性具有重要作用。
传热和传质基本原理 第四章 三传类比
4.2.2 柯尔本类似律
雷诺类似律或忽略了层流底层的存在，普朗特正 对此进行改进，推导出普朗特类似律：
冯卡门认为紊流核心与层流底层之间还存在一个 过渡层，于是又推导出了卡门类似律：
契尔顿和柯尔本根据许多层流和紊流传质的实验结果， 在1933年和1934年，得出：
简明适用，引入了流体的 重要物性Sc数。
24
根据薄膜理论，通过静止气层扩散过程的传质系数可定义为：
25
在紧贴壁面处，湍动渐渐消失，分子扩散起主导 作用，在湍流核心区，湍流扩散起主导，传质系 数与扩散系数成下列关系
另外，δ的数值决定于流体的流动状态，即雷诺 数。
26
4.4.2
同一表面上传质过程对传热过程的影响
设有一股温度为t2 的流体流经温度为t1的壁面。传递过程 中，组分A、B从壁面向流体主流方向进行传递，传递速 率分别为NA、NB。可以认为在靠近壁面处有一层滞留薄 层，假设其厚度为y0 ，求壁面与流体之间的热交换量。
边界层厚度
1904年普朗特首先提出
39
4.5.1 边界层理论的基本概念
边界层的定义
流体在绕过固体壁面流动时，紧 靠固体壁面形成速度梯度较大的 流体薄层称为流动边界层 流速相当于主流区速度的0.99处到固 体壁面间的距离定义为边界层的厚度
边界层的形成与特点
Re x 2 10 5
vl Re
以此两式计算管内流动质交换系数结果很接近。
17
18
紊流
19
例题： 试计算空气沿水面流动时的对流质交换系数hm和每 小时从水面上蒸发的水量。已知空气的流速 u=3m/s，沿气流方向的水面长度l=0.3m，水面的温 度为15 ℃ ，空气的温度为20 ℃ ， 空气的总压力 1.013*105Pa，其中水蒸汽分压力p2=701Pa，相当 于空气的相对湿度为30%。
钱学森的突出贡献
钱学森的突出贡献
1、钱学森在应用力学的空气动力学方面和固体力学方面都做过开拓性工作;与冯卡门合作进行的可压缩边界层的研究，揭示了这一领域的一些温度变化情况，创立了“卡门—钱近似”方程。
与郭永怀合作最早在跨声速流动问题中引入上下临界马赫数的概念。
2、参与了近程导弹、中近程导弹和中国第一颗人造地球卫星的研制，直接领导了用中近程导弹运载原子弹“两弹结合”试验，参与制定了中国近程导弹运载原子弹“两弹结合”试验，参与制定了中国第一个星际航空的发展规划，发展建立了工程控制论和系统学等。
3、1953年，在加州理工学院，钱学森正式提出“物理力学”概念，并开设了“物理力学”课程，同年编写出“物理力学”讲义，直到1962年，将相关理论技术带回国内，编著成《物理力学讲义》，由科学出版社正式出版。
4、奠定了我们导弹行业的基础，东风一号东风二号就是由钱学森教授一手负责建造的，我们现在所拥有的最具威慑力的东风系列导弹就是在钱学森教授的基础上建造出来的。
他为我们的国防事业做出了巨大的贡献。
钱学森火箭绕太阳一圈公式
钱学森火箭绕太阳一圈公式我想这是在中国的第一篇论文，虽然只有一千字左右。
钱学森的火箭理论对火箭研究具有重大意义，我很感谢钱学森，他对中国火箭事业发展作出了杰出贡献！他一生致力于我国航空航天事业的发展，在国内和国际上都有很大影响。
我希望能用自己的方式来纪念钱学森。
我们可以做一个火箭模型，让大家知道在中国是怎么做出来的，也可以用一种简单的方式来纪念这位伟大的科学家！一、火箭模型从上面的火箭模型可以看出，要想获得更好的性能，就必须了解发动机的工作原理。
在火箭发动机工作过程中，火箭内部的空气和燃料不断循环，因此我们可以用一个简单的公式来表示该循环。
其中T是每秒通过的气体体积；T≠0,否则为零；T>0,否则为负。
这个公式可以计算火箭推进剂在每个循环中消耗多少能量？由于火箭发动机不能直接喷射燃料，因此必须用燃料作为推进剂。
当燃料用尽时，发动机停止工作并返回地球。
二、太阳一圈半径为了使火箭能够飞行，必须首先要有一个可以环绕太阳的轨道，这就是我们常说的太阳。
如果火箭在地球轨道上飞得足够远（例如100公里），它就必须能够环绕太阳，否则火箭将无法到达目的地。
所以可以说在火箭上飞得越远（例如1000公里以上），绕太阳的一圈半径就越大。
那么该如何计算火箭绕一圈所需的长度呢？首先我们要知道，在任何条件下，我们绕太阳转动一圈都是有长度限制的。
所以该公式可以被看作是一个等长半径的等式。
”三、能量方程能量方程：（1）式中，（3），式中的t是火箭的长度，T是火箭的质量；m=t/4m是物体在单位时间内做功的质量；（4）k=t+4 mn是物体从一种能量状态转化为另一种能量状态产生的功。
四、卡门-钱-萨卡姆定律：火箭绕太阳公转和地球公转的能量公式是：这三个公式都有一个共同的特点：它是根据麦克斯韦方程组推导出来的。
这个公式表明，火箭从地面发射到绕太阳公转所需的能量（t），与火箭质量、轨道高度和发动机推力等因素有关。
其中，卡门（Kahmen）是一位非常有名的火箭专家。
《化工原理》公式总结
第一章 流体流动与输送机械1. 流体静力学基本方程：gh p p ρ+=022. 双液位U 型压差计的指示: )21(21ρρ-=-Rg p p )3. 伯努力方程：ρρ222212112121pu g z p u g z ++=++4. 实际流体机械能衡算方程：f W pu g z p u g z ∑+++=++ρρ222212112121+5. 雷诺数：λμρ64Re ==du 6. 范宁公式：ρρμλfp dlu u d l Wf ∆==⋅⋅=22322 7. 哈根-泊谡叶方程：232d lup f μ=∆8.局部阻力计算：流道突然扩大：2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A A ξ流产突然缩小：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2115.0A A ξ9.混合液体密度的计算：n wnB wB A wA m x x x ρρρρ+++=....1ρ液体混合物中个组分得密度，10. Kg/m 3,x--液体混合物中各组分的质量分数。
10 。
表压强=绝对压强-大气压强 真空度=大气压强-绝对压强 11. 体积流量和质量流量的关系：w s =v s ρ m 3/s kg/s 整个管横截面上的平均流速：A Vs=μ A--与流动方向垂直管道的横截面积，m 2流量与流速的关系：质量流量：μρ===A v A w G ss G 的单位为：kg/(m 2.s)12. 一般圆形管道内径：πμsv d 4=13. 管内定态流动的连续性方程：常数=====ρμρμρμA A A s w (222111)表示在定态流动系统中，流体流经各截面的质量流量不变，而流速u 随管道截面积A 及流体的密度ρ而变化。
对于不可压缩流体的连续性方程：常数=====A A A s v μμμ (2211)体积流量一定时流速与管径的平方成反比：()22121d d =μμ 14.牛顿黏性定律表达式：dy duμτ= μ为液体的黏度1Pa.s=1000cP15平板上边界层的厚度可用下式进行评估：对于滞留边界层5.0Re 64.4xx=δ 湍流边界层2.0Re 376.0xx=δ式中Re x 为以距平板前缘距离x 作为几何尺寸的雷诺数，即μxp u s x =Re ，u s 为主流区的流 速16 对于滞留流动，稳定段长度x 。
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1 p d FBC p dx dx 2 x dx
d( p ) 1 dp d Fx w dx p p dx p dx dx 整理得 dx 2 dx dx dp dx W dx dx
边界层的动量积分方程
卡门方程
推导边界层的动量积分关系式用图
边界层的动量积分方程
卡门方程
微元由边界层的横断面AB与CD以及内边界AD和外边界BC 组成。通过控制面AB、BC、CD的动量变化率等于作用在控制 面AB、BC、CD、AD上所有外力的合力。 1、通过边界层控制面在x轴方向上的动量变化率
单位时间流入x处控制面AB的动量为
2、作用在控制面上所有外力在x轴方向的合力。 作用在控制面AD上的表面力为
FAD w dx
作用在控制面AB、CD上的表面力分别为
p dx x
边界层的动量积分方程
卡门方程
作用在边界层外边界控制面BC上的表面力，因摩擦应力为零， 而压强可取B、C两点压强的平均值，于是有
m BC
v x dy dx x 0
K BC ue v x dy dx x 0
边界层的动量积分方程
卡门方程
2 K x K xdx K x K BC x vx dy dx ue x vx dy dx 0 0
边界层的动量积分方程
卡门方程
XX 2013.06
边界层的动量积分方程
卡门方程
边界层内的流体是黏性流体的运动，理论上可 以用N-S方程来研究其运动规律。但由此得到的边 界层微分方程中，非线性项仍存在，因此即使对于 外形很简单的绕流物体求解也是很复杂的，目前只 能对平板、楔形体绕流层流边界层进行理论计算求 得其解析解。但工程上遇到的很多问题，如任意翼 型的绕流问题和紊流边界层，一般来说求解比较困 难，为此人们常采用近似解法，其中应用的较为广 泛的是边界层动量积分方程解法。
边界层的动量积分方程
卡门方程
3、根据动量定理，令 K x Fx ，可得边界层动量积分方程为
dp u e - v x v x dy W x 0 dx
0
而从x+dx处控制面CD流出的质量流量为
mx mx d x v x d y v x d y d x x x 0 0
由不可压缩流体的连续性方程可知，通过CD与AB控制面质量 流量的差值应等于由BC控制面流入的质量流量，于是流入BC 控制面的质量流量与动量分别为
Kx
2 vx dy 0
从 x dx 处控制面CD流出的动量为
K x 2 2 Kx dx v x dy v x dy dx x x 0 0
边界层的动量积分方程
卡门方程
从控制面BC流入的动量采用下列求法，首先计算从 x处控制面 AB流入的质量流量 m x v x dy