2020版中考数学 第一部分 基础知识过关 第四章 第16讲 等腰三角形与证明精练

第16讲等腰三角形与证明
A组基础题组
一、选择题
1.下列命题错误的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2.如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )
A.(1,1)
B.(,1)
C.(,)
D.(1,)
3.平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )
A.5
B.6
C.7
D.8
4.(2017滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为( )
A.40°
B.36°
C.30°
D.25°
二、填空题
5.如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,∠E=30°,则BC= .
三、解答题
6.(2017肥城模拟)已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC 于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.
(1)求证:BF=AC;
(2)求证:CE=BF.
7.(2018淄博)(1)操作发现:如图1,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是;位置关系是;
(2)类比思考:
如图2,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由;
(3)深入研究:
如图3,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给予证明.
B组提升题组
一、选择题
1.已知直线y=-x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-(x-)2+4上,能使
△ABP为等腰三角形的点P的个数是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
二、填空题
2.(2017泰安宁阳模拟)“在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行”这个命题的条件是,结论是,
它是一个命题.
3.有一面积为5的等腰三角形,它的一个内角是30°,则以它的腰长为边长的正方形的面积为.
三、解答题
4.动手操作题:如图,在一张长为7 cm,宽为5 cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4 cm 的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),求剪下的等腰三角形的面积.
第16讲等腰三角形与证明
A组基础题组
一、选择题
1.C
2.D
3.A 如图,
①当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即
O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;②当AB=BC时,以点B为圆心,AB 长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;③当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.
4.B 根据题目中给定的条件,可以判定△ADC、△ABD和△ABC均为等腰三角形,设∠C=x°,则∠B=x°,∴∠ADB=2x°(三角形中两内角和为等于第三个角的外角),∴∠BAD=2x°,根据三角形内角和180°,解得x=36°,所以答案为B.
二、填空题
5.答案 2
解析∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,BA=BC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠E=30°,BD⊥AC,
∴∠BDC=90°,
∴BC=2DC.
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠CDE=∠E=30°,
∴CD=CE=1,
∴BC=2CD=2.
故答案为2.
三、解答题
6.证明(1)∵CD⊥AB,∠ABC=45°,
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.
∵∠DBF=90°-∠BFD,
∠DCA=90°-∠EFC,
且∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.
在Rt△DFB和Rt△DAC中,
∴Rt△DFB≌Rt△DAC(ASA),
∴BF=AC.
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
在Rt△BEA和Rt△BEC中,
∴Rt△BEA≌Rt△BEC(ASA).
∴CE=AE=AC.
由(1)知BF=AC,
∴CE=BF.
7.解析(1)MG=NG;MG⊥NG,
连接BE,CD相交于H,
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形, ∴AB=AD,AC=AE,AB=AC,
∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠CAD=∠BAE,
∴△ACD≌△AEB(SAS),
∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°,∴∠BHD=90°,
∴CD⊥BE,
∵点M,G分别是BD,BC的中点,
∴MG CD,
同理:NG BE,
∴MG=NG,MG⊥NG,
故答案为MG=NG,MG⊥NG.
(2)成立,理由如下:
连接CD,BE,相交于H,
同(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG.
(3)等腰直角三角形.
连接EB,DC并延长,使其相交于H,
∵M,N,G分别是BD,CE,BC的中点,
∴MG∥CD,MG=CD,NG∥BE,NG=BE,
同(1)的方法得,△ABE≌△ADC,
∴∠AEB=∠ACD,BE=DC,
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°,MG =NG,
∴∠DHE=90°,
∴MG⊥NG.
B组提升题组
一、选择题
1.A 以点B为圆心,线段AB长为半径作圆,交抛物线于点C、M、N,连接AC、BC,如图所示.
令一次函数y=-x+3中x=0,则y=3,
∴点A的坐标为(0,3).
令一次函数y=-x+3中y=0,
即-x+3=0,解得x=.
∴点B的坐标为(,0).∴AB=2.
由题意知抛物线的对称轴为x=,
∴点C的坐标为(2,3),
∴AC=2=AB=BC,
∴△ABC为等边三角形.
令y=-(x-)2+4中y=0,
即-(x-)2+4=0,
解得x=-或x=3.
∴点M的坐标为(-,0),点N的坐标为(3,0).
△ABP为等腰三角形分三种情况:
①当AB=BP时,以B点为圆心,AB的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M、N三点;
②当AB=AP时,以A点为圆心,AB的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M两点;
③当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,与抛物线交于C、M两点.
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数是3.故选A.
二、填空题
2.答案同一平面内两直线垂直于同一条直线;这两条直线平行;真
3.答案20或20
解析在等腰△ABC中,设AB=AC=x.当顶角∠A=30°时,如图1,作C D⊥AB,垂足为D. ∵sin 30°==,
∴CD=x,∴·x·x=5,
∴x2=20,
即以它的腰长为边长的正方形的面积为20;
当底角∠B=∠ACB=30°时,如图2,作CD⊥BA,交BA的延长线于D.
∵∠DAC=∠B+∠ACB=60°,
∴sin 60°==,∴CD=x,
∴·x·x=5,
∴x2=20,即以它的腰长为边长的正方形的面积为20.
综上,以它的腰长为边长的正方形的面积为20或20.
三、解答题
4.解析分三种情况计算:
(1)当AE=AF=4 cm时,如图1:
∴S△AEF=AE·AF=×4×4=8(cm2);
(2)当AE=EF=4 cm时,如图2:
则BE=5-4=1 cm,
BF=== cm,
∴S△AEF=·AE·BF=×4×=2(cm2);
(3)当AE=EF=4 cm时,如图3:
则DE=7-4=3 cm,
DF=== cm,
∴S△AEF=AE·DF=×4×=2(cm2).
故剪下的等腰三角形的面积为8 cm2或2 cm2或2 cm2.。