角的认识和表示方法
角的认识认识角的基本概念和表示方法
角的认识认识角的基本概念和表示方法角的认识：认识角的基本概念和表示方法角是几何学中一个重要的概念，在学习几何学时我们经常会遇到和使用角的概念和表示方法。
在本文中，我们将深入探讨角的基本概念，介绍角的表示方法，并探讨角度的重要性及其应用。
一、角的基本概念角是由两条射线（也称为边）共享一个起点而形成的形状。
我们通常将起点称为角的顶点，两条射线则为角的边。
角的大小可以通过来自角的两条边的夹角来衡量。
根据角度的大小，角可以分为不同的类型。
当角的大小为90度时，我们将其称为直角。
小于90度的角称为锐角，而大于90度并且小于180度的角则称为钝角。
此外，角还可以被视为零度或360度的整数倍，我们将其称为相应的零角或圆角。
二、角的表示方法在几何学中，我们一般用特定的符号和记法来表示角。
以下是角的主要表示方法：1. 度数表示法：角的大小可以用度数表示，一个完整的圆可以分为360度。
例如，一个直角为90度，一个锐角为60度，一个钝角为120度。
2. 弧度表示法：角的大小也可以用弧度表示。
弧度是一个计量单位，用于衡量角的大小。
一个完整的圆对应的弧度为2π（或360度）。
常见角度的弧度表示如下：直角为π/2，锐角为π/3，钝角为2π/3。
3. 三角函数：三角函数是一种常用的角表示方法。
常见的三角函数包括正弦、余弦和正切。
我们可以通过这些函数计算角的数值。
三、角度在几何学中的重要性及应用角是几何学中的基本概念，它在理解和解决各种几何问题时起着重要的作用。
以下是角的一些重要应用：1. 平面几何：角的概念与平面几何密切相关。
通过了解角的性质，我们可以解决各种涉及线段、射线和平面的几何问题。
2. 三角学：角的概念是三角学的基础。
三角函数的定义和计算都涉及角的概念，例如正弦定理和余弦定理。
3. 物理学：角的概念在物理学中也具有重要意义。
例如，在力学中，我们常常使用角度来描述物体的旋转状态。
4. 工程学：角的概念在工程学中广泛应用。
二年级数学上册角的认识
二年级数学上册角的认识一、角的初步认识。
1. 角的定义。
- 角是由一个顶点和两条边组成的图形。
例如，我们的三角板上就有角。
在生活中，像打开的剪刀，它的两片刀刃相交的地方就是一个顶点，刀刃就是角的两条边。
2. 角的各部分名称。
- 顶点：角的两条边相交的这个点就叫做顶点。
可以用一个点来表示，通常用字母“O”等表示。
- 边：角的两条直直的线叫做边。
可以分别用两条射线来表示，如边OA和边OB。
3. 角的表示方法。
- 用一个大写字母表示角，这个大写字母要写在顶点处，如∠O。
不过这种方法要在顶点处只有一个角的时候才能用。
- 用三个大写字母表示角，中间的字母是顶点，如∠AOB，这里O是顶点，A和B 是角的两条边上的点。
- 用数字表示角，在角内标上数字，如∠1、∠2等。
- 用希腊字母表示角，如∠α、∠β等。
4. 角的大小比较。
- 角的大小与两条边张开的程度有关，张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。
角的大小与边的长短没有关系。
- 比较角的大小的方法：- 叠合法：把两个角的顶点和一条边重合，看另一条边的位置。
如果另一条边也重合，说明两个角相等；如果另一条边在里面，这个角就小；如果另一条边在外面，这个角就大。
- 观察法：直接观察角的两条边张开的程度来比较大小。
5. 直角的认识。
- 直角是一种特殊的角，它的两条边互相垂直。
在三角板上有一个角是直角，我们可以用三角板上的直角去判断其他角是不是直角。
- 直角的表示方法：可以用“Rt∠”表示直角，如Rt∠AOB表示∠AOB是直角。
- 用三角板判断直角的方法：将三角板上的直角顶点和要判断的角的顶点重合，一条直角边和要判断的角的一条边重合，如果另一条边也重合，那么这个角就是直角。
6. 锐角和钝角的认识。
- 锐角：比直角小的角叫做锐角。
锐角的两条边张开的程度比直角小。
- 钝角：比直角大而比平角小的角叫做钝角。
钝角的两条边张开的程度比直角大。
7. 数角的个数。
- 在一个图形中数角的个数时，可以按照一定的顺序数。
4.3.1 角的概念
B
C
解：∠ABE；∠ABC；∠CBE
(3)图中共有几个角. 还有∠AEB和∠CEB
解：共7个角
4. 请你把图中用数字表示的角改为用字母表
示的角.
解：∠1=∠BAC；
D
∠2பைடு நூலகம்∠B；
∠3=∠C；
A4
∠4=∠CAD；
1
2 B
3 C
5.（1）以点O为端点引2条射线，此时图 中共有多少个角？怎样表示？
A
O
角的表示 方法
用一个数字表示 用一个希腊字母表示
课后作业
完成以下各题 (1)写出图中能用一个字 母表示的角;
E
解：∠B；∠D 从一点引出两条射线
(2)写出图中以A为顶点的角;
A
D
从A点引出4条射线： 4×(4-1)/2=6
解：∠BAC；∠BAD；∠BAE(平角)；
∠CAD；∠CAE；∠DAE. B
CB
CB
CB
C
∠ABC
∠CAB
∠ACB
∠B
∠A
（ √）
（× ） （× ） （√ ） （× ）
2. 下面表示∠DEF的图是(（3）)
D
E
D
D
E
E
F
（1）
D
FE
F
（2）
（3）
F
E
（4）
3. 完成已下各题
(1)写出图中能用一个字母表示的角；
A
从一点引出两条射线所形成的角：
E
解：∠A；∠C (2)写出图中以B为顶点的角；
(3)图中共有几个角？
C
从C点引出3条射线： 3×(3-1)/2=3；
图中共有四个角的顶点：A、B、C、D
七年级数学 第12讲 角的认识(解析版)
第12讲角的认识1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2.认识钟面角、方位角，并掌握其运算；3.掌握运用尺规作已知角，相等角等。
知识点1：角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1图2注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．知识点2：角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．知识点3：钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．知识点4：方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．考点1：度分秒的换算例1.（2022秋•榆阳区校级期末）若∠α＝5.15°，则∠α用度、分、秒表示为（）A．5°15'B．5°1′5″C．5°9′D．5°30′【答案】C【解答】解：∠α＝5.15°＝5°+0.15×60′＝5°+9′＝5°9′．故选：C．【变式1-1】（2022秋•绥德县期末）20°13'12″化为用度表示是（）A．20.12°B．20.2°C．20.20°D．20.22°【答案】D【解答】解：20°13'12″＝20.22°．故选：D．【变式1-2】（2022秋•汉寿县期末）将30.24°用度、分、秒表示为（）A．30°12′24″B．30°14′24″C．30°14′25″D．30°15′28″【答案】B【解答】解：30.24°＝30°+（0.24×60）'＝30°14'+（0.4×60）''＝30°14'24''，故选：B．【变式1-3】（2022秋•高碑店市期末）已知∠1＝38°36'，∠2＝38.36°，∠3＝38.6°，则下列说法正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠3C．∠2＝∠3D．∠1，∠2，∠3互不相等【答案】B【解答】解：∵1°＝60′，∴36′＝0.6°，∴∠1＝38°36'＝38.6°，∵∠3＝38.6°，∴∠1＝∠3，故选：B．考点2：角的概念和表示例2.（2022秋•河东区期末）下列图形中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、能用∠1，∠ACB表示，不能用∠C表示，故选项不符合题意；B、能用∠1，∠ACB表示，不能用∠C表示同一个角，故选项不符合题意；C、能用∠1，∠ACB，∠C表示同一个角，故选项符合题意；D、∠1和∠ACB表示不同的角，故选项不符合题意；故选：C．【变式2-1】（2022秋•河池期末）如图，下列说法正确的是（）A．∠1与∠BOC表示同一个角B．∠1＝∠2C．∠2与∠AOB表示同一个角D．图中只有两个角，即∠1和∠2【答案】A【解答】解：A．∠1与∠BOC表示同一个角，该选项正确，故符合题意；B．∠1＝∠2不一定成立，该选项错误，故不符合题意；C．∠2与∠AOC表示同一个角，该选项错误，故不符合题意；D．图中有三个角，分别为∠1、∠2和∠AOB，该选项错误，故不符合题意．故选：A．【变式2-2】（2022秋•曲靖期末）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据角的概念，选项A可以用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角，故选：A．【变式2-3】（2022秋•吉安期末）拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为（）A．100°B．10°C．1°D．不能确定，视放大镜的距离而定【答案】C【解答】解：放大镜只能放大物体的大小，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的，所以，拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角仍为1°．故选：C．考点3：作图-基本作图例3.（2023春•和平区月考）已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠DCB，使得∠DCB＝∠AOB．要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法（说明：作出一个即可）．【答案】见解答．【解答】解：如图：∠DCB即为所求．【变式3-1】（2023春•云岩区校级期中）尺规作图：如图，已知∠α，请你利用尺规作图作∠AOB，使∠AOB＝∠α．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【解答】解：如图所示：【变式3-2】（2023春•连平县期中）如图（1）利用尺规作∠CED，使得∠CED＝∠A．（不写作法，保留作图痕迹）．（2）判断直线DE与AB的位置关系：平行或相交．【答案】（1）见解答；（2）平行或相交．【解答】解：（1）如图1，如图2；（2）如图1，∵∠CED＝∠A，∴DE∥AB，；如图2，DE与AB相交．故答案为平行或相交．【变式3-3】（2023春•惠来县期中）如图，已知∠AOB，点P是OB边上的一点．在∠AOB的内部，求作∠BPC使∠BPC＝∠AOB．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解答．【解答】解：如图，∠BPC为所作．考点4：钟面角例4.（2022秋•叙州区期末）如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为（）A．50°B．45°C．42.5°D．40°【答案】B【解答】解：由题意得：1.5×30°＝45°，故选：B．【变式4-1】（2022秋•通道县期末）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的角度是135°．【答案】135°．【解答】解：∵钟表圆盘为360°，一共有12个间隔，∴每个间隔为360°÷12＝30°，∵1时30分之间有4.5个间隔，∴钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的角度是4.5×30°＝135°．故答案为：135°．【变式4-2】（2022秋•绥宁县期末）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．【答案】60°．【解答】解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，∴钟表上10点整时，时针与分针之间是2个大格，所成的角是2×30°＝60°．故答案为：60°考点5：方位角例5.（2022秋•澄迈县期末）如图，以点O为观测点，点A在点O北偏东20°30′的方向上，点B 在点O南偏西50°的方向上，则∠AOB的度数是（）A．70°30′B．150°C．150°30′D．160°30′【答案】C【解答】解：如图：由题意得：∠AOC＝20°30′，∠BOD＝40°，∠COD＝90°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠BOD＝20°30′+90°+40°＝150°30′，故选：C．【变式5-1】（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东30°30'方向，轮船B在灯塔P的南偏东70°20'方向，则∠APB的度数是（）A．60°30'B．18°40'C．79°10'D．80°10'【答案】C【解答】解：如图：由题意得：∠APC＝30°30′，∠DPB＝70°20'，∴∠APB＝180°﹣∠APC﹣∠DPB＝179°60′﹣（30°30′+70°20′）＝179°60′﹣100°50′＝79°10′，故选：C．【变式5-2】（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向B．南偏东20°方向C．北偏西20°方向D．北偏东70°方向【答案】D【解答】解：如图：由题意得：∠ABC＝70°，AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB＝70°，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向，故选：D．【变式5-3】（2022秋•高碑店市期末）如图，点A在点O的北偏东28°方向，点B在点O的东偏南45°方向，∠AOB＝107°．【答案】北偏东28°；107．【解答】解：如图：点A在点O的北偏东28°方向，点B在点O的东偏南45°方向，∠AOB＝90°﹣28°+45°＝107°，故答案为：北偏东28°；107．1．（2022•聊城）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）A．∠BAQ＝40°B．DE＝BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°【答案】见试题解答内容【解答】解：A．由作图可知，AQ平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝40°，故选项A正确，不符合题意；B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝30°，∴DE＝BD，故选项B正确，不符合题意；C．∵∠B＝30°，∠BAP＝40°，∴∠AFC＝70°，∵∠C＝70°，∴AF＝AC，故选项C正确，不符合题意；D．∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°，∴∠EQF＝20°；故选项D错误，符合题意．故选：D．2．（2022•百色）如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B＝45°B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD 【答案】A【解答】解：由作图痕迹得CD垂直平分AB，AE＝BE，AC＝BC，AB⊥CD．所以A选项不一定成立，B、C、D选项成立．故选：A．3．（2022•舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，故选：D．4．（2022秋•定州市期末）如图，下列说法中不正确的是（）A．∠1与∠AOB是同一个角B．∠α与∠COB是同一个角C．∠AOC可以用∠O来表示D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC【答案】C【解答】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，正确，故A不符合题意；B、∠α与∠COB是同一个角，正确，故B不符合题意；C、在角的顶点处只有一个角时，才能用一个大写字母表示角，∠AOC不可以用∠O表示，故C符合题意；D、图中共有三个角，∠AOB，∠BOC，∠AOC，正确，故D不符合题意．故选：C．5．（2023•岳阳）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC ＝30°．【答案】30．【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠AOB＝＝30°．故答案为：30．6．（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB 的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝90°．【答案】90．【解答】解：如图：由题意得：∠APC＝34°，∠BPC＝56°，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，故答案为：90．7.（2022•陕西）如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解答过程．【解答】解：如图，射线CP即为所求．1．（2023•临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（）A．50°B．80°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．故选：C．2．（2023春•莱西市期中）如图，B，D，C三点在直线l上，点A在直线l外，下列说法正确的是（）A．直线BD和直线CD表示的是同一条直线B．射线BD和射线CD表示的是同一条射线C．∠A和∠BAD表示的是同一个角D．∠1和∠B表示的是同一个角【答案】A【解答】解：A、直线BD和直线CD表示的是同一条直线正确，故A正确；B、射线BD和射线CD的端点不同，表示的是不同射线，故B不正确；C、点A处共三个角，不能将某个角表示成∠A，故C不正确；D、点B处有两个小于180°的角，不能将某个角表示成∠B，故D不正确；故选：A．3．（2023春•潍坊期中）图中能用一个大写字母表示的角有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：可以只用一个大写字母表示的角有∠A，∠B．故选：B．4．（2023•西和县一模）8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）A．55°B．60°C．75°D．80°【答案】C【解答】解：由题意知，2.5×30°＝75°，∴8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为75°，故选：C．5．（2022秋•焦作期末）下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、可以一个字母表示，故此选项正确B、必须三个字母表示，故此选项错误；C、必须三个字母表示，故此选项错误；D、必须三个字母表示，故此选项错误；．故选：A．6．（2022秋•嵩县期末）如图，下列说法中正确的是（）A．OA的方向是北偏东30°B．OB的方向是北偏西60°C．OC的方向是南偏西15°D．OC的方向是南偏西75°【答案】D【解答】解：由方向角的定义可知，OA的方向是北偏东90°﹣30°＝60°，因此选项A不符合题意；OB的方向是北偏西90°﹣60°＝30°，因此选项B不符合题意；OC的方向是南偏西90°﹣15°＝75°，因此选项C不符合题意；选项D符合题意；故选：D．7．（2022秋•迁安市期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，则∠2的度数是（）A．27°40′B．62°20′C．57°40′D．58°20【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，∴∠EAC＝32°20′，∵∠EAD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；故选：C．8．（2022秋•金台区校级期末）下列说法中正确的是（）A．射线AB与射线BA是同一条射线B．两条射线组成的图形叫做角C．各边都相等的多边形是正多边形D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离【答案】D【解答】解：A、射线AB与射线BA不是同一条射线，故此选项错误；B、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误；C、各边都相等、各角都相等的多边形是正多边形，故此选项错误；D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故此选项正确．故选：D．9．（2022秋•六盘水期末）12点15分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）A．90°B．67.5°C．82.5°D．60°【答案】C【解答】解：12点15分，时针与分针相距2+＝份，12点15分，时针与分针夹角是30°×＝82.5°，故选：C．10．（2022秋•达川区校级期末）如图，AB是直线，O是直线上一点，OC、OD是两条射线，则图中小于平角的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解答】解：图中小于平角的角有：∠AOC，∠COD，∠BOD，∠AOD，∠COB，共5个．故选：C．11．（2022秋•娄星区期末）把8.32°用度、分、秒表示正确的是（）A．8°3′2″B．8°30′20″C．8°18′12″D．8°19′12″【答案】D【解答】解：0.32°＝（0.32×60）′＝19.2′，0.2′＝（0.2×60）″＝12″，∴8.32°＝8°19′12″，故选：D．12．（2023春•东平县期中）请计算13.17°＝13°10′12″．【答案】13；10；12．【解答】解：∵1°＝60′，∴0.17°＝10.2′，∵1′＝60″，∴0.2′＝12″∴13.17°＝13°10′12″故答案为：13；10；12．13．（2022秋•汉川市期末）如图，钟表的时针与分针所成角的度数为135°．【答案】135°．【解答】解：，即图中钟表的时针与分针所成角的度数为135°．故答案为：135°．14．（2023春•光明区校级期中）如图，一航班沿北偏东60°方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西45°方向，则其改变航向时∠α的度数为75°．【答案】75°．【解答】解：如图，由题意得∠EAC＝60°，∠CBF＝45°，AE∥BF，∴∠AFB＝∠EAC＝60°，∵∠α+∠CBF+∠CFB＝180°，∴∠α＝180°﹣（∠CBF+∠CFB）＝180°﹣（60°+45°）＝180°﹣105°＝75°，故答案为：75°．15．（2023春•禅城区校级月考）如图，已知∠DCE，∠AOB，利用尺规作图比较它们的大小（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析．【解答】解：如图，由图知，点A′在∠AOB的内部，所以∠AOB＞∠DCE．16．（2023•未央区校级一模）如图，△ABC中，用尺规作图法作∠ABD＝∠C，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不用写作法）【答案】作图见解析部分．【解答】解：如图，射线BD即为所求．17．（2023春•寿阳县期中）已知∠α、∠β，求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α+∠β（保留作图痕迹）．【答案】见试题解答内容【解答】解：。
七年级数学---角的认识
角角：由一点引出两条射线形成的图形叫做角。
这两条射线叫做角的。
这一点叫做角的。
角也可看作是由一条射线绕它端点旋转而成的。
角的表示方法：（1）用三个大写英文字母表示；（2）用一个大写英文字母表示；（3）用阿拉伯数字表示；（4）用小写希腊字母表示。
角的度量单位：1度记作1º,1分记作1¹,1秒记作1¹¹.角的表示方法：①用三个大写字母表示:如∠AOB②用一个大写字母表示:如∠O（只适用单独一个角）③用弧线加数字来表示: 如∠1④用弧线加希腊字母来表示:如∠a角的度量单位的换算：1° = 1′ = 1周角= 1平角=平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫做钝角.它们之间的关系是：1周角=2平角=4直角=360º1平角=2直角=180º 1直角=90º换算方法：（1）把高级单位转化为低级单位要乘进率；（2）把低级单位转化成高级单位要除以进率；（3）转化时必须逐级进行，越级转化容易出错。
角的平分线：余角和补角：余角：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角。
补角：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个的补角。
余角和补角的性质1、同角或等角的余角相等。
2、同角或等角的补角相等。
例1、把一个周角7等分,每一份是多少（精确到分）例2、19°36′= °56°37′= °38°15′和38.5°一样大吗？例3、⑴150°20′25″+ 11°39′35″⑵90°21′16″－26°10′6″⑶12°5′×6⑷16°18′÷3例4、如图：AOB是一条直线，∠AOC=900，∠D OE=900，写出∠AOD、∠C OD、∠AOC、∠AOB、∠B OD中某些角之间的两个等量关系。
北师大版(2024)数学七年级上册 4.2.1 角的认识 课件(共23张PPT)
情境引入
在小学我们学习过角，请说说你对角的认识。你能在图4-16中找到角吗？
图4-16
获取新知
探究点1：角、平角、周角的概念
角由两条具有公共端点的射线组成(如图4-17)。 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的(如图4-18)。
A
边
顶点
O
边
B
图4-17
图4-18
角的大小与边 的长短无关。
文化馆 幼儿园
图书馆
游乐园 超市
课堂小结
这节课，你有什么收获？
课堂小结
角的定义
有公共端点的两条射线组成的图形 一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
平角、周角的 定义
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角。
角
用三个大写字母或一个大写字母表示
B C
A
图4-21
D
解：（1）∠BAC,∠BAD和∠CAD
(2)∵以点A为顶点的角有3个 ∴∠BAC，∠BAD和∠CAD不能用∠A来表示
例题讲解
例2 下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠0三种方 法表示同一个角的是( D )
[解析]A、图中的∠AOB 不能用∠0 表示，故本选项错误; B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误; C、图中的∠1 和∠AOB 不是表示同一个角，故本选项错误; D、图中∠1、∠AOB、∠O 表示同一个角，故本选项正确;
角的表示方法 用一个数字加弧线表示
用一个小写希腊字母加弧线表示
角的度量 方位角
度、分、秒 1°=60′，1′=60″
课堂小结
这节课，你有什么困惑？
角的认识与分类
角的认识与分类角是几何学中常见的概念，它是由两条射线共同分割出的一个区域，我们可以通过角的大小和位置来进行分类和认识。
本文将介绍角的概念、角的大小以及常见的角的分类方法。
一、角的概念角是由两条射线共同分割出的一个区域，其中一条射线称为角的边，另一条射线称为角的顶点。
可以将角表示为∠ABC，其中A为角的顶点，B、C为角的边。
二、角的大小角的大小通常用度来表示，符号为°。
一个完整的圆周有360°，因此角的大小也不会超过360°。
根据角的大小，我们可以将角分为以下几种类型：1. 零角（0°）：两条射线重合，没有分割出任何区域。
2. 锐角（小于90°）：角的两个边在射线的同侧，形成一个尖角。
3. 直角（90°）：角的两个边与射线形成一个直角，相互垂直。
4. 钝角（大于90°小于180°）：角的两个边在射线的异侧，形成一个开口向外的角。
5. 平角（180°）：角的两个边与射线形成一条直线，相互平行。
三、角的分类方法除了按照角的大小分类外，角还可以按照其他特征进行分类。
1. 锐角、直角和钝角是根据角的大小分类的，它们是角的基本分类。
2. 锐角可以进一步分为锐钝角和锐直角。
3. 钝角可以进一步分为钝直角和钝钝角。
4. 正角：小于180°的角，且是锐角或直角。
5. 负角：大于180°小于360°的角。
除了以上基本的角的分类方法外，角还可以根据角的位置进行分类，如内角、外角、相邻角、对顶角等。
这些分类方法可以帮助我们更好地理解角的相关性质和应用。
四、结语通过学习角的概念和分类，我们可以更好地认识和理解角的性质。
角在几何学中有着广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
在实际应用中，我们可以通过角的大小和位置关系进行判断和推理，进一步拓展了几何学的应用范围。
总结起来，角是由两条射线所夹的区域，可以通过大小和位置进行分类。
四年级数学上册角的认识
四年级数学上册角的认识一、角的定义。
1. 静态定义。
- 由一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
例如，我们可以想象一个尖尖的房顶，房顶的顶点就是角的顶点，从顶点延伸出去的两条边就像两条射线。
2. 动态定义。
- 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
射线旋转时经过的平面部分是角的内部。
二、角的表示方法。
1. 用三个大写字母表示。
- 如∠AOB，其中O是角的顶点，A、B分别是角的两条边上的点，顶点字母必须写在中间。
2. 用一个大写字母表示。
- 当这个角的顶点处只有一个角时，可以用顶点的大写字母来表示这个角，如∠O。
但如果顶点处不止一个角时，就不能用这种方法，以免混淆。
3. 用数字表示。
- 在角的内部靠近顶点处画一弧线，标上数字，如∠1。
4. 用小写希腊字母表示。
- 同样在角的内部靠近顶点处画一弧线，标上小写希腊字母，如∠α。
三、角的度量单位。
1. 度、分、秒。
- 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
- 它们之间的换算关系是：1° = 60′，1′=60″。
例如，如果一个角是30度30分，换算成度就是30.5度（因为30分等于0.5度，30÷60 = 0.5）。
四、角的分类。
1. 锐角。
- 大于0°而小于90°的角叫做锐角。
像三角板中的较小的角就是锐角，例如30°、45°、60°的角都是锐角。
2. 直角。
- 等于90°的角叫做直角。
在长方形和正方形的四个角都是直角。
3. 钝角。
- 大于90°而小于180°的角叫做钝角。
例如120°、150°的角都是钝角。
4. 平角。
- 等于180°的角叫做平角。
角的认识
【解析】(1)∠B，∠C.
(2)∠1或∠CAD，∠2或∠DAB，∠CAB.
(3)∠C，∠1，∠2，∠CAB，∠B，∠3，∠4.
一、选择题： 1.下列语句正确的是（ D ） A.两条直线相交，组成的图形叫做角 B.两条有公共端点的线段组成的图形叫角 C.两条有公共点的射线组成的图形叫角 D.从同一点引出的两条射线组成的图形叫角 2.下列说法正确的是（ D ） A.平角是一条直线 B.一条射线是一个周角 C.两条射线组成的图形叫做角 D.两边成一直线的角是平角
C.角的两边是射线，所以角不可以度量
D.角的大小与这个角的两边长短无关
5．下列关于角的说法正确的个数有（ A ）. ①角是由两条射线组成的图形； ②角的边越长， 角越大； ③在角一边延长线上取一点 D；④角可以看作由一条射 线绕着它的端点旋转而形成的图形. A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2
可得锐角
2 1 n n 个 2
பைடு நூலகம்
生活中的角
角的两种定义 (静和动)
我的收获……
角的四种表示方法
(顶点要写在中间)
(一个字母表示如∠B)
生活中的实际问题
观察,探究 抽象,概括
数学问题
角也可以看做一条射线绕端点旋转所 组成的图形。
【角的概念的两种表述】 射线 组成的图形，其中 (1)角是有公共端点的两条_____ 顶点 ，_________ 两条射线是角的边. 公共端点是角的_____ 射线 绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角是由一条_____
【直角、平角、周角的概念】
【探究1】图中有几个小于平角的角？请分 别表示出来。
B
∠DAC, ∠BAD, ∠BAC,
四年级数学角的内容
四年级数学角的知识点总结归纳一、角的认识1. 角的定义：角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
这个共享的点被称为角的顶点，两条射线被称为角的边。
例子：当我们打开一本书时，书的两个边缘形成的就是一个角。
书的顶点就是角的顶点，两条边缘就是角的边。
2. 角的种类：根据角的大小，我们可以将角分为以下几种：（1）锐角：角的度数小于90度。
例如，30度、60度、80度等都是锐角。
（2）直角：角的度数等于90度。
例如，当我们打开一个直角的书或者一个直角的三角形时，我们都会看到一个直角。
（3）钝角：角的度数大于90度但小于180度。
例如，100度、120度、150度等都是钝角。
（4）平角：角的度数等于180度。
例如，当我们把一条直线对折时，形成的两个角都是平角。
（5）周角：角的度数等于360度。
例如，一个完整的圆的周角就是360度。
3. 角的表示方法：我们通常使用一个小弧线和一个数字来表示角。
小弧线标在角的顶点上，数字表示角的大小（以度为单位）。
如果角有一个特定的名称，那么我们会把名称写在小弧线的旁边。
例子：如果有一个角A，其大小为45度，那么我们可以表示为∠A = 45°。
二、角的度量1. 角度的度量单位：角度的大小是用“度”来度量的，用符号“°”表示。
2. 量角器的使用：量角器是用来测量角的大小的工具。
使用量角器时，我们应该把量角器的中心点与角的顶点对齐，量角器的一条0°刻度线与角的一条边对齐，然后读取另一条边所对应的刻度，这就是角的大小。
例子：如果我们想要测量一个角的大小，我们可以把这个角放在量角器上，使得角的顶点与量角器的中心点对齐，角的一条边与量角器的0°刻度线对齐。
然后，我们就可以读取角的另一条边所对应的刻度，这个刻度就是这个角的大小。
三、角的性质1. 角的大小与边的长短无关：无论角的边有多长或多短，只要角的开口大小不变，角的大小就不会改变。
例子：假设我们有一个30°的角，如果我们延长这个角的边，角的大小仍然是30°，不会因为我们延长了边而改变。
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角的认识和表示方法
一、角的认识和表示方法
1、角的有关概念
（1）角的概念
①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
②角也可以看做由一条射线绕着它的端点转动而构成的图形，把初始边线的射线叫做始边，中止边线的射线叫做终边。
（2）平角、周角
平角和周角
射线$oa$绕点$o$旋转，当终止位置$ob$和起始位置$oa$成一条直线时，所成的角叫做平角。
当起始射线$oa$又回到起始位置时，所成的角叫做周角。
其中，1平角=180°，1周角=360°，所以1周角=2平角=4直角。
2、角的表示方法
射线$oa$绕点$o$转动，中止边线为$ob$。
（1）用三个大写字母表示：$∠aob$或$∠boa$。
适用范围：任何情况都适用于，则表示顶点的字母必须写下在中间。
（2）用一个大写字母表示：$∠o$。
适用范围：以这一点为顶点的角只有一个。
（3）用数字或希腊字母表示：$∠1$或$∠α$。
适用范围：任何情况都适用于，在紧邻顶点处加之弧线，则表示出角的范围，并附以数字或小写希腊字母。
识别角的个数，可以先以某一射线为始边，按一定顺序（顺时针方向或逆时针方向）数出角的个数，然后依次以后面的射线为始边数出角的个数。
从某点出发引出$n$条射线能组成$(n-1)+$$(n-2)+$$(n-3)+$$\cdots+$$3+2$$+1=$$\frac{n(n-1)}{2}$个角。
3、角的分类
锐角：$0°<α<90°$。
直角：$α=90°$。
钝角：$90°<α<180°$。
平角：$α=180°$。
周角：$α=360°$。
锐角<直角<钝角<平角<周角。
4、角的单位及角度制
（1）度量仪器：量角器。
（2）度量单位：度、分、秒。
把一个周角360等分后，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分后，每一份叫作1分的角，记作$1'$；把1分的角60等分后，每一份叫作1秒的角，记作$1″$。
即为$1°=60′$，$1′=60″$，$1′=$$\left(\frac{1}{60}\right)°$，
$1″=$$\left(\frac{1}{60}\right)′$。
5、角的比较与运算
（1）角的比较
度量法：比较角的大小，可先用量角器分别量出每个角的度数，然后按照度数来比较
角的大小。
砌合法：把两角砌合在一起比较大小。
用这种方法比较两个角的大小，一定必须并使
两个角的顶点及一边重合，另一边落到重合这条边的同侧。
（2）角的平分线
通常地，从一个角的顶点启程，把这个角分为两个成正比的角的射线，叫作这个角的
平分线。
6、余角和补角
（1）余角
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。
（2）余角的性质
同角（等角）的余角相等。
（3）补角
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
（4）补角的性质
同角（等角）的补角相等。
7、方位角和方向角
（1）方位角
从正北方向顺时针转回至目标方向线的水平角，叫作方位角。
值域范围为0°至360°，比如说正东方向就是方位角为90°，正西方向就是方位角为270°。
（2）方向角
方向角指的就是使用某坐标轴方向做为标准方向所确认的方位角。
有时，方向角从正北或正南方向至目标方向所构成的大于90°的角。
二、角的认识的相关例题
以下观点恰当的就是___
a．一个锐角的余角比这个角的补角小90°
b．如果一个角存有补角，那么这个角必是钝角
c．若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1、∠2、∠3互为补角
d．如果$∠α$和$∠β$互为余角，$∠β$与$∠θ$互为余角，那么$∠α$与
$∠θ$互为余角
答案：a
解析：a．锐角的余角比这个角的补角大90°，所以a选项恰当；b．90°的补角为90°，所以b选项错误；c．当两个角的和为180°，则这两个角优势互补，所以c选项错误；d．如果$∠α$和$∠β$互为余角，$∠β$与$∠θ$互为余角，那么$∠α$与
$∠θ$成正比，所以d选项错误。
故挑选a。