数学分析中辅助函数的构造及其作用
【最新精选】辅助函数法的构造及应用
浅析辅助函数的构造及应用陈小亘(湛江师范学院信息科学与技术学院 广东 湛江524048)摘要：本文阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原则，并介绍几种较为典型的构造辅助函数的方法应用.关键词：辅助函数；原函数法；参数变易法；常数k 值法中图分类号：O13;O17;O172;O174;O174.4 文献标识码： A1 引言辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧.如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手.2 辅助函数的基本特点及构造原则所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结.辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键.如何构造辅助函数？事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则.这是因为辅助函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助函数的第一原则是：将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成. 其次，将复杂化为简单.一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形,由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的.再次，利用几何特征.在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造，然后加以证明.本文给出几种常用构造辅助函数的方法应用. 3 几种构造辅助函数的方法应用3.1 原函数法 (亦称积分法或逆推法)原函数法是指从所要证明的结论出发,如欲证0)(='ξF ，则可通过倒推，分析了原函数)(x F 的形式，从而构造出辅助函数的方法.这一方法适用于“证明至少存在一点ξ，使得 关于ξ及其函数的代数式成立”这类命题的证明.构造辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；第三步：用观察法或积分法求出原函数，为方便积分常数常常取为零；第四步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F .例3.1 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()()()(====b g a g b f a f ，0)(≠x g ,0)(≠''x g ，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 分析：令x =ξ，则)()()()(ξξξξg f g f ''''=⇒)()()()(x g x f x g x f ''''= ⇒)()()()(x f x g x g x f ''=''⇒dt t g t f dt t g t f xx o ⎰⎰''=''0)()()()(⇒dt t g t f x g x f dt t g t f x g x f xx o ⎰⎰''-'=''-'0)()()()()()()()( ⇒)()()()(x g x f x g x f '='⇒0)()()()(='-'x g x f x g x f .证明：令x =ξ，=)(x F )()()()(x g x f x g x f '-'，依条件，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b F a F ，由罗尔中值定理可知，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξF ，即 0)()()()(='-'ξξξξg f g f . 由于0)(≠ξg ,0)(≠''ξg ，故)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导，且0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--.3.2 参数变易法参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量x ,从而构造出相应的辅助函数的方法. 命题的证明思路：第一步：将命题中的某一参数(a 或b )换成x ；第二步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F ；第三步：根据有关定理完成命题的证明.例3.2 设)(),(t g t f 是在],[b a 上连续增加函数，0,>b a ，证明：⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()( 证明：把上式中的b 换成x ，移项，然后作辅助函数 ⎰⎰⎰--=x ax a xa dt t g t f a x dt t g dt t f x F )()()()()()(. 由于)()()()()()()()()()(x g x f a x dt t g t f dt t f x g dt t g x f x F x a x a x a ---+='⎰⎰⎰ ))()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰--+=xa x a x ax a dt x g x f dt t g t f dt t f x g dt t g x f ⎰---=xa dt t g x g t f x f )]()()][()([. 又)(),(t g t f 均为连续增加函数，因此，0)(<'x F ，)(x F 为减少函数.0)()(=≤a Fb F . 即0)()()()()(≤--⎰⎰⎰ba b a ba dt t g t f ab dt t g dt t f . 所以⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()(. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果)(x f 是在],[b a 上连续函数，且0)(>x f ，则2)()(1)(a b dx x f dx x f b a b a -≥⎰⎰. 3.3 泰勒公式法泰勒公式法是指利用泰勒公式来构造辅助函数的方法. 这一方法适用于“含有被积函数)(x f 有二阶或二阶以上连续导数”这类命题的证明.命题的证明思路：第一步：令辅助函数⎰=xa dt t f x F )()(；第二步：将)(x F 在所需点处进行泰勒展开；第三步：对泰勒余项作适当处理(可考虑用介值定理).例 3.3设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得⎰ba dx x f )(=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ) 证明：令⎰=xa dt t f x F )()(，则有0)(=a F ，)()(x f x F ='，)()(x f x F '=''，)()(x f x F ''='''，)(x F 在0x 2b a +=处的二阶泰勒公式为 2)2)(2(!21)2)(2()2()(b a x b a F b a x b a F b a F x F +-+''++-+'++=+3)2)((!31b a x F +-'''ξ F =)2(b a ++f )2(b a +-x (2b a +）f '+!21)2(b a +-x (2b a +2)+)(!31ξf ''-x (2b a +3) 其中ξ在x 与2b a +之间. 分别将b x =，a x =代入上式，并相减，则得 2)()()(241)2()()()(213ξξf f a b b a f a b a F b F +''-++-=-， 其中1ξ，2ξ分别在2b a +与b ，a 与2b a +之间. 不妨设)()(21ξξf f ''≤''，则2)()()(211ξξξf f f ''+''≤'')(2ξf ''≤，考虑到)(x f ''的连续性及介值定理，可知在1ξ，2ξ之间至少存在一个),(b a ∈ξ使2)()()(21ξξξf f f ''+''=''. 故 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ). 3.4常数k 值法在要证明的命题中，把常数分离，然后用以下步骤求辅助函数：第一步：将常数部分记作k ；第二步：恒等变形,使等式一端为a 的代数式，另一端为b 的代数式；第三步：分析关于端点的表达式是否为对称式，若果是，只要把端点a 改成x ，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.这样的方法就是常数k 值法.例3.4 设)(x f ''在],[b a 上存在，b c a <<，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)(21))(()())(()())(()(ξf b c a c c f c b a b b f c a b a a f ''=--+--+--. 分析：令k b c a c c f c b a b b f c a b a a f =--+--+--))(()())(()())(()(. ⇒))()(()()()()()()(c b c a b a k c f b a b f a c a f c b ---=-+-+-，这是关于端点c b a ,,的轮换对称式，令x b =(可以令x a =或x c =)，于是))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=.证明：令))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=,则)(x F 在],[],,[b c c a 上满足罗尔定理，于是分别存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ使得0)()(21='='ξξF F ，又))(())(()()()()()(c a x a k c x c a k x f a c c f a f x F -----+'-+-='.)(2)()()(c a k x f a c x F -+''-=''. 由罗尔中值定理，至少存在),(),(21b a ⊂∈ξξξ，使得0)(=''ξF ，即0)(2)()(=-+''-c a k f a c ξ. 从而)(21ξf k ''=. 命题得证. 3.5 微分方程法微分方程法是指通过求一个常微分方程的通解而构造辅助函数的方法.构造出辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：移项使等式一边为零，得一个常微分方程；第三步：求得常微分方程的通解，在通解中的常数令为零可得辅助函数.例3.5 设函数)(x f 在]1,0[上可导，且满足关系 )1()(2210f dx x xf ⎰=. 证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 0)()(=+'ξξξf f .分析：令x =ξ，0)()(=+'ξξξf f ⇒0)()(=+'x x f x f ⇒xx f x f 1)()(-='，积分得c x x f ln ln )(ln +-=⇒xc x f =)(⇒c x xf =)(. (令0=c ). 令)()(x xf x F =. 证明：由条件知)()(x xf x F =在]1,0[上连续，在)1,0(可导. 于是由积分中值定理，至少存在一点),0(21∈η，使得 )()(2)(2)1(210210ηηηηf dx f dx x xf f ⎰⎰===.可见)()()1()1(ηηηf F f F ===. 对)()(x xf x F =，由罗尔中值定理，至少存在一点)1,(ηξ∈，使得0)(=ξF ，即0)()(='+ξξξf f . 也就是0)()(=+'ξξξf f .总之，构造辅助函数有许多方法(见[1],[2],[3],[4],[5],[6]). 对于不同的命题，我们必须根据实际情况灵活地选择不同的构造辅助函数的方法. 有时，对于一个命题，可以同时利用不同的方法来完成命题的证明.这就要求我们在教与学的过程中不断去探索新的方法.参考文献:[1 ] 同济大学. 高等数学(第五版) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2 ] 刘玉琏,付沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3 ] 龚冬保. 高等数学典型题解法、技巧、注释[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 2000.[4 ] 陈文灯. 考研数复习指南[M] . 北京: 世界图书出版公司,2009.[5 ] 李君士. 两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[ J ]. 数学的实践与认识, 2004, 34 (10) : 165 - 169.[6 ] 郭乔. 如何作辅助函数解题[J ]. 高等数学研究, 2002, 3 (5) , 48- 49.A Brief of the Construct Method and Its Application for Auxiliary FunctionChen Xiaogen(School of Information Science and Technology , Zhanjiang Normal College Zhanjiang Guangdong 524048) Abstract: This paper elaborate the basic characteristic of the auxiliary function and the principle of coustructing the auxiliary function, meanwhile, introduce the several typical applications of methods for coustructing the auxiliary function.Key words: Auxiliary function; Primary function mothod; the method of variation of parameters; Constant -k- value methnod附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。
辅助函数在微分中值问题中的构造及应用
辅助函数在微分中值问题中的构造及应用学生姓名：XXX(XXX)指导老师：XXX摘要：构造辅助函数是解决微分中值问题的一种重要途径.快速而又准确的构造相应的辅助函数是解决当前微分中值问题的关键.本文给出了几种辅助函数的构造方法：积分法，常数k值法，原函数法，微分方程法；并且举出具体例子加以说明. 关键词：辅助函数；微分中值定理Construction and Application of the Auxiliary Function inDifferential Mean Value ProblemsStudent：X XXInstructor：X XXAbstract：The construction of auxiliary function is an important way to solve the differential median problem. The key to solve current differential median problem is construct the auxiliary function quickly and accurately. This paper presents several methods of constructing auxiliary function: Integral method, The value of the constant K method, The original function method, The method of differential equation; And shows some specific examples to explain how to constructing.Key Word: Auxiliary function;Differential median theorem目录1 引言 (1)2 数学分析中的三种微分中值定理 (1)3 构造辅助函数的四种方法 (3)3.1 积分法 (3)3.2 常数k值法 (5)3.3 原函数法 (6)3.4 微分方程法 (8)4 结论 (10)参考文献 (12)致谢 (12)1 引言微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础.所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题.我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题.这部分内容理论性强，抽象程度高，教学过程中又容易照本宣科, 导致学生学习兴趣不大, 难于理解和应用.究其主要原因是中值定理证明过程中要借用到的辅助函数, 学生对辅助函数的由来不知其然, 因而辅助函数的引入一直是微分中值定理教学上的一个难点.辅助函数的构造有很大技巧性和灵活性，一般说来，应先分析命题的条件和结论，正确选择所应用的定理，然后将欲证的等式或不等式变形，将其视为对辅助函数应用定理后的结果，并作为构造辅助函数的主要依据，即: 分析条件或结论→选择定理→构造辅助函数→得出结论.根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数K 值法，原函数法，微分方程法等.下面我们就通过几个具体例子来寻求构造辅助函数的常用方法.2 数学分析中的三种微分中值定理罗尔定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导；3) )()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点c ,使0)(='c f .几何意义 在闭区间[]b a ,上有连续曲线)(x f y =,曲线上每一点都存在切线,在闭区间[]b a ,的两个端点a 与b 的函数值相等,即)()(b f a f =,则线上至少有一点,过该点的切线平行x 轴,如图1.图1拉格朗日定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点c ,使ab a f b fc f --=')()()(. 几何意义 在∆ABP 中，αtan )()(=--ab a f b f , 其中α是割线AB 与x 轴的交角，即a b a f b f --)()(是通过曲线)(x f y =上二点A ))(,(a f a 与B ))(,(b f b 的割线斜率.拉格朗日定理的几何意义是:若闭区间[]b a ,上有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点M ))(,(c f c ,过点M 的切线平行于割线AB.如图2.图2柯西中值定理 若函数)(x f 与)(x g 满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,且),(b a x ∈∀，有0)(≠'x g ，则在),(b a 内至少存在一点c ,使)()()()()()(a g b g a f b f c g c f --=''. 几何意义 若令)(x f u =,)(x g v =，这个形式可理解为参数方程，而)()()()(a g b g a f b f --则是连接参数曲线的端点斜率，)()(c g c f ''表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦.几个微分中值定理之间的关系 我们不难看出，当)()(b f a f =时，拉格朗日定理就成为罗尔定理，即罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况.拉格朗日定理是微分学最重要的定理之一,也称微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.在柯西中值定理中，当x x g =)(时，1)(='x g ，a a g =)(，b b g =)(，那么柯西中值定理也就成为拉格朗日定理，即拉格朗日定理是柯西中值定理的特殊情况.正确把握中值定理之间的关系，才能更好的处理微分中值问题.3 构造辅助函数的四种方法3.1 积分法在一些问题中,要借助积分法来构造出符合题设要求且满足微分中值定理条件的辅助函数.具体方法是把欲证结论中的ξ换成x ，将替换后的等式变形为易于积分的形式，再两边积分解出C ，由此可构造出相应的辅助函数.例1 设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且0)1()0(==f f ，证明存在)1,0(∈ξ，使得ξξξ-'=''1)(2)(f f . 分析：在结论中用x 替换ξ，有xx f x f -'=''1)(2)(， 将其变形为易于积分的形式： xx f x f -='''12)()(， 两边积分：x xx x f x f d 12d )()(⎰⎰-='''， 即 C x x f ln 1ln 2)(ln +--=',解得)()1(2x f x C '-=.证明：设辅助函数)()1()(F 2x f x x '-=.因为)(x f 在[]1,0上二阶可导，所以)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，故满足罗尔定理条件,所以存在)1,0(∈η使0)(='ηf .又在)1,(η内，0)()(1)F(2='-=ηηηf ,0)1()11()1F(2='-=f ,)(F x 满足罗尔定理条件，所以存在)1,(ηξ∈，使0)()1()()1(2)(F 2=''-+'--='ξξξξξf f ，即ξξξ-'=''1)(2)(f f . 例2 设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上二阶可导，且)()()()(b g a g b f a f ===，证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''=''.分析：将要证的式子移项、通分，使右端为零，得0)()()(=''''ξξξg g f ，再将ξ换为x 得0)()()()(=''-''x g x f x g x f .令)()()()()(F x g x f x g x f x ''-''=',积分（积分常数C 取0）得辅助函数：[])()()()(d )()()()()(F x g x f x f x g x x g x f x g x f x '-'=''-''=⎰.证明：令辅助函数为)()()()()(F x g x f x f x g x '-'=，则易知)(F x 在[]b a ,上可导，且0F(b))F(==a ，由罗尔定理得，在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(F ='ξ，即)()()()(ξξξξg f g f ''=''.3.2 常数k 值法在构造辅助函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，也就是说常数部分可以分离出来，那么通常采用常数K 值法来寻求构造辅助函数.其具体方法是：将题设的结论变形，使其常数部分分离出来并令其为k ，而后通过恒等变形，使等式一端为a 及)(a f 所构成的代数式，另一端b 及)(b f 所构成的代数式，将所证等式中的端点值（a 或b ）改为变量x ，移项即为辅助函数)F(x ，再用中值定理或待定系数法等方法确定k .例1 设0>a ，0>b 。
辅助函数的构造及应用
!! 原函数积分法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过观察 分 析 ! 做积分找出适当的原函数作为辅助函 数! 将所要证明的结论中的2看成自变量 " 将含 2的因式等价 移往等式的同一侧 ! 求出其一族原 函 数 ! 令积分常数为零! 找 出所需辅助函数 B# " ’$ 例 !! 若函 数 S# 在闭区间& ’上 连 ’$满 足 下 列 条 件 % ;! F 续! 在开区间 # $内可导 ! 则在开区间# $内 至 少 存 在 一 ;! F ;! F #$ #$ 点 2! 使S $, S F <S ; " A# 2 F<; # $ F ;$ <S# 分析 ! 结论恒等变形为 S $ 将2 看 WS A# , %" 2 F<; $ F ;$ <S# S# 作 自变量 ! 在& 上做积分得 % # %! ’’ ’$ ’ ,E" < S# F<; $ F ;$ ! <S# S# " 令E , %! 令 B# E 为常数 $ ’$, S# ’$ ’ 验证 < F<; 易 知 B# 在& ’ 上连续 ! 在# $ 内可导且 B# $ " ’$ ;! F ;! F ;$ F , B# 即在开区间 # $内 B# ’$在该区间上满足 ( X 8 8 I 中值定理 ! ;! F #$ #$ 至 少存在一点2! 使S $, S F <S ; " 则 B# A# ’$即为所需 2 F<; 辅助函数 "
微积分中中值定理的证明应用是一个难点,构造辅助函数是证题常用的手段之一,本文主要介绍构造辅助函数的三种方法:作差法、观察法和不定积分法.
浅谈辅助函数的构造及其应用
浅谈辅助函数的构造及其应用[摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性．[关键词] 中值定理；辅助函数；应用一、 辅助函数方法的构造利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法．1“按图索骥”法例1 证明21()>+n n y x ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2()1,,0,0>≠>>n y x y x证明 因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ， 由于'f()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当y x y x ≠>>,0,0时，有()()⎪⎭⎫⎝⎛+>+22y x f y f x f 即 ()nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+>+2212“逆向思维”法例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ⎰=2121，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()()'f f θθθ=-．证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．将()()'f f θθθ=-变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ''f f x xf x +==可考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F因为()()dx x xf f ⎰=21021，由积分中值定理可知，至少存在一点⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0ξ，使得()().1ξξf f =而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()()θθθf f ='3“图象”法例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及10≤≤t ，有证明 因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中21121,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有()21,x x x x f y ≤≤≥即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211， 即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()310110161⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰dt t f dz z f y f x f dy dx证明 将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()⎰=xdt t f x F 0则有 ()()()()()x f x F F dt t f F ===⎰1',00,1，即()x F 是()x f 的原函数()()()()()()dy z F y f dx x f dz z f y f x f dy dx xy x⎰⎰⎰⎰⎰=101101010=()()[]()()()[]()[]()31033210611610161121⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-⎰⎰dt t f F F F x dF x F F 5“旁征博引”法例5 证明对任意的数c b a ,,有52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc证明 这一类问题找辅助函数最困难，因为所求问题与辅助函数表面上的联系不多，须见多识广，经验丰富．因为c b a ,,是正数，所以可令222,,z c y b x a ===，则不等式变为5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x ，将该不等式两边同时取对数，有5222222527ln ln 3ln ln ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++≤++z y x z y x ，故考虑作辅助函数，()z y x z y x F ln 3ln ln ,,++=，我们首先求函数()z y x F ,,在球面22225R z y x =++上的极大值()0,0,0>>>z y x ，解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=+==+==+=05023'021'021'2222R z y x z z F y yF x x F zy x λλλ 得R z R y R x 3,,===，所以()z y x F ,,的极大值是()533ln 3ln 3ln ln R R R R =++即 25225353333ln ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=≤zy x R xyz 两边平方得 5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x令 c z b y a x ===222,,，即得52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc6 “几何变形（面积）”法例6 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明：至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -=-ξ'证明：设曲线()x f 上的动点()()x f x M ,，则以M ，A ，B 为顶点的三角形面积()()()()11121b f b a f a x f xx S ±= 可取辅助函数为：()()()()111b f ba f ax f xx G = 显然 ()()()x G b G a G ,0==在[]b a ,上满足罗尔定理条件，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0'=ξG ，()()()()a b f a f b f -=-ξ'综上所述，作辅助函数是求解数学问题的方法之一，有时可以利用逆向思维法，几何法，图象法等可构造辅助函数，从而使问题迎刃而解．二、辅助函数在数学解题中的应用辅助函数法是数学分析中解决问题的一种重要方法．通过作辅助函数，不仅反映了事物内部的数量特征和制约关系，揭示了其内在的联系，而且在处理和解决问题时常用此法，并在现代数学理论中发挥着重要作用．数学分析中许多理论问题的解决都涉及到作辅助函数的方法．某些很复杂的问题构造一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单．具体体现在： （1） 微分中值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得到了完满的解决． （2） 定积分的基本公式,牛顿—莱布尼兹公式()()()()⎰-==ba b aa Fb F x F dx x f （其中()()x f x F ='的证明用到了辅助函数即积分上限函数()()[]b a x dt t f x xa,,∈=⎰φ）．（3） 多元函数求条件极值用到了辅助函数即拉格朗日乘数法，通过拉格朗日乘数法将多元函数的条件极值问题转化为多元函数的普通极值问题．（4） 多元函数的泰勒公式的证明用到了辅助函数通过构造辅助函数将多元函数问题转化为一元函数问题．（5） 常微分方程中的常数变易实质上也是引入了辅助函数，使用权一阶微分方程的解得以实现．由此可见，辅助函数在数学分析上的证明和计算中发挥着十分重大的作用．利用辅助函数来解决问题要求主体具有良好的知识结构和发散性的直觉思维能力，并要求主体具有广泛的联想能力．如对微分中值定理当我们弄清了命题的几何背景，以及拉格朗日定理与洛尔定理的关系，同时认识到柯西定理只不过是拉格朗日定理的不同表达之后，就会联想到要作辅助函数，从而使定理得以证明．利用辅助函数的两种方法：几何推导法和代数分析法．下面以拉格朗日定理为例加以说明：从几何推导法着手给出了辅助函数()x φ，在此不再叙述；现以代数分析法入手给出辅助函数()x φ．分析：要使()()()a b a f b f x f --='，只须()()()0'=---ab a f b f x f ，从而证明拉格朗日定理就归结为寻找辅助函数()x φ，使()x φ满足洛尔定理的条件，并且()=ξφ'()()()ab a f b f f ---ξ'．拉格朗日定理证明的关键就是找一个满足洛尔定理的条件的函数()x φ，使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'．而要使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'，只须()=x 'φ()()()a b a f b f x f ---'，从而得到辅助函数的一般表达()=x φ()()()C x ab a f b f x f +---（其中C 是任意常数），此时只要()x f 满足垃格朗日的条件，()x φ就满足洛尔定理的条件，从而定理得证，而且对于C 的每一个具体的数值，就得到一个具体的辅助函数，并对应一个具体的证法．辅助函数方法实质就是当遇到实际问题时，设法利用问题来列出函数关过对函数问题的研究使问题得以解决的一种数学思想方法．在处理和解决问题时构造一个适当的辅助函数，往往使问题的解决变得非常简单．利用辅助函数解决问题的一般方法是直接依据问题的特点，构造与之相适应的函数关系式，通过研究函数，使问题得以解决．1 利用辅助函数求极限在求离散型变量的极限时往往通过构造辅助函数，使离散变更连续化，然后利用求函数极限的方法，使离散型的变量极限得以解决．例1 求n n n ∞→lim解:作辅助函数()x x x f 1=,则()xx ex f ln =()1lim lim 01limln limln =====∴+∞←∞→=+∞→+∞→e eeex f xxx xx x x x x故n n n ∞→lim = =()1lim =∞→n f n2利用辅助函数证明不等式证明不等式()()[]b a x x g x f ,,∈≥，只要作辅助函数()()()x g x f x F -=，这时证明不等式的问题就归结为证明()x F 在[]b a ,最小值大于等于零的问题．例2 (柯西—舒瓦茨不等式)设()x f 和()x g 在区间[]b a ,上连续，证明：()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析一：由于定积分只与积分区间和被积函数有关以及定积分的定义，易知给定间上的定积分是一个常数，不妨令()()()().,,22dx x g C dx x g x f B dx x fA ba b a ba⎰⎰⎰===则命题转换为证,2AC B ≤联想到一元二次函数的判别式，利用化归思想，则可构造函数：()()()[]dx x g t x f t F ba2⎰+=()()()()02222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f t dx x ftba b a ba因为对任意的实数t ，关于它的上述类型的一元二次函数均肺腑，所以判别式.0≤∆即()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析二：欲证()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，只需要证明()()()()0222≤⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰dx x g dx x fdx x g x f ba b ab a而()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222若把上式视为某个函数()x F 在b a ,两点的函数值的大小之比较，即证当a b <时()()b F a F >，如果可以证明函数()x F 在[]b a ,上是单调递减函数，则命题得证．证明：作辅助函数()x F =()()()()dt t g dt t fdt t g t f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，依题意易知函数()x F 在[]b a ,上可导，且 ()()()()()⎰-=xax fdt t g t f x g x f x F 2)(2'()()()⎰⎰-x a xadt t fx g dt t g 222()()()()()()()()⎰⎰⎰--=x axaxa dt t f x g dt t g x f dt t g t f x g x f 22222()()()()()()()()[]⎰--=xa dt t f x g t g x ft g t f x g x f 22222()()()()[]⎰≤+-=xa dt t f x g t g x f 02故函数()x F 在[]b a ,上单调递减，因此，当a b <时，()()b F a F >，有()()()()222b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()2220b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰命题得证． 注：在知道被积函数连续的条件下，积分不等式的证明用构造辅助函数的方法更为简洁．例3 求证 ()()0,1ln >+>x x x证明：作辅助函数()()x x x F +-=1ln ，则()xx F +-=111' 0>x 时，()0'>x F ，即当0>x 时()x F 是增函数，而()00=F()()0,0>>∴x x F故当0>x 时，()x x +>1ln 3 利用辅助函数讨论方程的根解方程()0=x F 实质上就是求函数()x f 的零点，关于函数零点的问题一般是利用连续函的介值性及微分中值定理来解决． 例4 设()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导求证：在()b a ,内至少存在一个ξ，使()()()()ξξξ'f f ab a af b bf +=--分析：令()()k ab a af b bf =--，因此，()()()()()ka a af kb b bf a b k a af b bf -=--=-,，此为对称式，且a 与b 互换等式不变．所以，对此类型的问题作辅助函数为()()kx x xf x F -= 证明：令()()()()x ab a af b bf x xf x F ---=（由分析得），显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导．又因为()()()(),0=---=a a b a af b bf a af a F ()()()()0=---=b ab a af b bf b bf b F ．所以()()0==b F a F ．因此，在[]b a ,上满足罗尔定理，于是存在一个ξ，()b a ,∈ξ，使(),0'=ξF ()()()()0'=---+ab a af b bf f f ξξξ所以，()()()()x a b a af b bf f f --=+ξξξ'，证毕．4 利用辅助函数计算积分有时计算积分确定被积的原函数是十分困难的，若能引如适当的辅助函数，困难就解决了．例5 计算()⎰++=102,11ln dx x x I 解:引入辅助函数()()120ln 11x I t dx x +=+⎰,则()1I I =()00I =，且()()211ln ,xx t x f ++=，及()()()tx x x t x f t ++=11,'2，在[]10,10≤≤≤≤t x 上连续()t I ∴满足积分号下求导数条件 ()()()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=++=∴12242ln 211ln 1111't t t dx tx x xt I π ()()10'ln 214I t dt I π∴=-⎰而()()()10'10,I t dt I I =-⎰故()2ln 81π==I I同样利用辅助函数不难计算⎰+∞sin dx xx，只要引入辅助函数()⎰+∞-=0sin dx x x e y I yx，即可计算得出2sin 0π=⎰+∞dx x x5 利用辅助函数计算多元函数的极值多元函数的条件极值问题在数学分析教材中以作了较详细的叙述，在此不在重述，此类问题只要引入拉格朗日函数就可以得到完满的解决．此外在实际经济活动、操作、经营和决策者经常要思考怎样才能以最低成本，最短时间获得最大经济效益，这也属于数学上的最优化问题，最优化问题的解决也是通过构造辅助函数，把最优化问题归结为求函数的最值问题．综上所述，全面掌握，深刻领会辅助函数方法，无论在理论方面还是应用方面，都具有重要的意义．参考文献：[1] 刘玉琏、傅沛仁.数学分析[M].北京:高教出版社,1992.[2] 翟连林、姚正安.数学分析方法论[M].北京:农业大学出版社,1992[3] 郭乔 .如何作辅助函数解题[J].西安:高等数学研究,2002,3(5):48-49Talking About the Construction of AuxiliaryFunction and Its ApplicationAbsract: On the basis of studying and analyzing mathematical proposition,through proving a few mathematical problems,some methods about construction of auxiliary are proposed.This paper discusses the application of auxiliary function in the process of proving and the importance of auxiliary function in mathematical analysis and extension of its application.Key words: auxiliary function ; application ;theorem of mean。
辅助函数在数学分析解题中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２８数学学习与研究㊀２０２１ ２９辅助函数在数学分析解题中的应用辅助函数在数学分析解题中的应用Һ童雷雷㊀王良晨㊀（重庆邮电大学理学院，重庆㊀４０００６５）㊀㊀ʌ摘要ɔ构造辅助函数是数学中常用的解题技巧之一，在解答一些条件与结论的逻辑关系并不直接的问题时起着重要的作用．在本文中，我们主要归纳总结几类需要通过构造辅助函数解答的题型，并针对相应的题型介绍一些辅助函数的构造方法．ʌ关键词ɔ辅助函数；微分中值定理；不等式证明；计算极限ʌ基金项目ɔ重庆邮电大学博士启动基金（Ａ２０１８－１２８）；重庆市教委科学技术研究项目（ＫＪＱＮ２０２０００６１８）；重庆邮电大学教育教学改革重点项目（ＸＪＧ１９１０５）数学分析是数学专业的基础课程，内容比较抽象，习题解答的技巧性较强，而函数思想在数学分析解题中发挥着重要作用，尤其是辅助函数的构造，往往能把相对复杂的问题变得简单，适用于解决一些不易直接从条件推导出结论的题目，如闭区间上连续函数有界性㊁介值定理的证明，某些区间上函数一致连续性的证明，方程组根的存在性证明，微分中值定理㊁积分中值定理的证明，极限㊁定积分的计算，等式或不等式的证明，条件极值等等．然而，辅助函数的构造技巧性比较强，又没有固定的构造方法，其构造过程需充分利用猜想㊁归纳㊁类比㊁化归思想㊁逆向思维等数学思想，针对不同的题目，是否需要构造辅助函数以及构造什么样的辅助函数就成为解题的难点和关键．因此，归纳一些适合通过构造辅助函数解答的题型，让学生掌握一些构造辅助函数的方法和技巧，利于学生打开解题的思路，节约解题时间，也能为数学专业老师备课提供一些帮助．在本文中，我们将归纳总结几类需要构造辅助函数解答的题型，并针对相应的题型介绍一些辅助函数的构造方法．一㊁涉及微分中值定理的题型在一些中值存在性问题的证明题中，题目给出的条件与需要证明的结论之间没有直接的逻辑关系，直接利用题目给出的条件，不能或不易得出结论，这就需要借助已有知识，构造一个从未知到已知的桥梁，即尝试通过构造辅助函数并结合罗尔定理㊁拉格朗日中值定理或柯西中值定理等理论工具进行解答．例１［１］㊀假设ｆ（ｘ）在［０，π／２］上具有一阶连续导数，在（０，π／２）上二阶可导，且满足ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝３，ｆ（π／２）＝１．证明：存在ξɪ（０，π／２），使得ｆᶄ（ξ）＋ｆᵡ（ξ）ｔａｎξ＝０．证明：令Ｆ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ）㊃ｅʏ１ｔａｎｔｄｔ＝ｆᶄ（ｘ）ｓｉｎｘ，则Ｆ（０）＝ｆᶄ（０）ｓｉｎ０＝０．由于ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝３，由连续函数的介值定理知存在αɪ（０，１），使得ｆ（α）＝１．又由于ｆ（π／２）＝１，由罗尔定理知存在ηɪ（α，π／２）使得ｆᶄ（η）＝０，即Ｆ（η）＝０．所以，Ｆ（ｘ）在［０，η］上满足罗尔定理的条件，故存在ξɪ（０，η）⊂（０，π／２），使得Ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ξ）ｃｏｓξ＋ｆᵡ（ξ）ｓｉｎξ＝０两边同除ｃｏｓξ，即得证．例２［２］㊀函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）上可导且ｆᶄ（ｘ）ʂ０．证明：存在ξ，ηɪ（ａ，ｂ）使ｆᶄ（ξ）ｆᶄ（η）＝ｅｂ－ｅａｂ－ａ㊃ｅ－η．分析：结论可改写为ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆᶄ（η）ｅη，由拉格朗日中值定理可知ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ），从而可知ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆᶄ（η）ｅη，该结论可由柯西中值定理得到．证明：设ｇ（ｘ）＝ｅｘ．因函数ｆ（ｘ）满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在ξɪ（ａ，ｂ），使ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）．由于ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足柯西中值定理的条件，故存在ηɪ（ａ，ｂ）使得ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）＝ｆᶄ（η）ｇᶄ（η）＝ｆᶄ（η）ｅη．总结：需要利用微分中值定理解答的题目类型，一般在构造辅助函数的时候可以选用解微分方程的方法或利用逆向思维法找到原函数．如果结论中需要证明的是形如ｆᶄ（ξ）＋ｇ（ξ）ｆ（ξ）＝０的形式，则在构造函数的时候，我们将其中的ξ改为ｘ，即得ｆᶄ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）＝０．解上述微分方程，可知ｆ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ＝Ｃ．对于这类题型，我们可做辅助函数如下：Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ＋Ｃ，再根据题目条件和微分中值定理的条件确定常数Ｃ的取值．如果结论中需要证明的是形如ｆᵡ（ξ）＋ｇ（ξ）ｆᶄ（ξ）＝０的形式，则可通过解类似的微分方程得到ｆᶄ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ＝Ｃ，从而可构造辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ．类似地，如果结论是形如ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝０的形式，我们可将ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ记为ｈ（ｘ），从而可构造函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ㊃ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ．更一般地，如果结论是形如ｆᶄ（ｘ）＋ｐ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｑ（ｘ）＝０的形式，我们可以通过解这个微分方程得到原函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅʏｐ（ｘ）ｄｘ＋ʏｑ（ｘ）㊃ｅʏｐ（ｘ）ｄｘ()ｄｘ．若结论中需要证明的是形如ｆ（ξ）／ｇ（ξ）＝ｆᵡ（ξ）／ｇᵡ（ξ）的形式，则我们可将结论进行变形，得到ｆ（ξ）ｇᵡ（ξ）－ｆᵡ（ξ）ｇ（ξ）＝０，从而得其原函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）－ｆᶄ（ｘ）ｇ（ｘ），即为要构造的辅助函数．对于需要利用柯西中值定理解答的题目，在构造辅助. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２９㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２９函数的时候需要格外注意观察结论的形式，通过逆序思维构造辅助函数．如果结论中含有函数的高阶导数（二阶㊁三阶或更高阶导数）时，我们还可以考虑用泰勒公式构造辅助函数．二㊁涉及一些不等式证明或者方程根的存在性问题的题型在处理一些不等式证明相关的习题时，需适当地将不等式移项，通过构造辅助函数，利用函数的单调性㊁拉格朗日中值定理或函数的凸凹性，比较不等式两边的大小，证明不等式．此外，通过构造辅助函数也能证明某些等式成立．例３［３］㊀若ｐ＞１，证明：对于任一ｘɪ［０，１］，有ｘｐ＋（１－ｘ）ｐȡ１２ｐ－１．证明：设Ｆ（ｘ）＝ｘｐ＋（１－ｘ）ｐ，则Ｆᶄ（ｘ）＝ｐｘｐ－１－ｐ（１－ｘ）ｐ－１＝ｐｘｐ－１－（１－ｘ）ｐ－１[]．当ｘ＜１／２时，Ｆᶄ（ｘ）＜０．当ｘ＞１／２时，Ｆᶄ（ｘ）＞０．当ｘ＝１／２时，Ｆᶄ（ｘ）＝０．从而，可知Ｆ（ｘ）在ｘ＝１／２处取得极小值，即Ｆ（ｘ）＝ｘｐ＋（１－ｘ）ｐȡＦ（１／２）＝１２ｐ－１．在证明方程组根的存在性问题时，也常通过构造辅助函数，利用连续函数的介值定理或罗尔定理证明解的存在性．例４［３］㊀当ａ０ｎ＋１＋ａ１ｎ＋ ＋ａｎ－１２＋ａｎ＝０时，证明：方程ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ ＋ａｎ＝０在（０，１）上至少有一个实根．证明：令Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ａ０ｔｎ＋ａ１ｔｎ－１＋ ＋ａｎ()ｄｔ，则Ｆ（ｘ）＝ａ０ｎ＋１ｘｎ＋１＋ａ１ｎｘｎ＋ ＋ａｎ－１２ｘ２＋ａｎｘ．显然Ｆ（０）＝Ｆ（１）＝０，由罗尔定理，在（０，１）上至少有一点ξ，使得Ｆᶄ（ξ）＝０，即Ｆᶄ（ｘ）＝ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ ＋ａｎ＝０在（０，１）上至少有一个根ξ．三㊁通过构造辅助函数，补充连续性条件在运用已学知识解答题目的过程中，会遇到缺少某个条件的情况，比如利用含参变量积分的性质计算某些极限或积分问题时，要求含参变量积分的被积函数连续或要求被积函数的导函数连续（若是参变量反常积分，还需再加上一致收敛的条件），此时积分运算与极限运算㊁求导运算可交换．利用这些性质解答一些积分或极限问题时，需严谨地验证这些条件是否满足，如果不满足，我们要构造一个既能满足所缺条件又与所证结论相联系的辅助函数．例５［４］㊀求极限ｌｉｍｙң０＋ʏ１０１１＋（１＋ｘｙ）１ｙｄｘ．解：构造辅助函数ｆ（ｘ，ｙ）＝１１＋（１＋ｘｙ）１ｙ，㊀０ɤｘɤ１，０＜ｙɤ１，１１＋ｅｘ，０ɤｘɤ１，ｙ＝０．ìîíïïïï因为对任意的ｘɪ［０，１］有ｌｉｍｙң０＋１１＋（１＋ｘｙ）１ｙ＝１１＋ｅｘ所以ｆ（ｘ，ｙ）在［０，１］ˑ［０，１］上连续．从而ʏ１０ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＝ʏ１０１１＋（１＋ｘｙ）１ｙｄｘ在［０，１］上连续，极限运算与积分运算可进行交换，因此ｌｉｍｙң０＋ʏ１０１１＋（１＋ｘｙ）１ｙｄｘ＝ʏ１０ｌｉｍｙң０＋１１＋（１＋ｘｙ）１ｙæèçöø÷ｄｘ＝ʏ１０１１＋ｅｘｄｘ＝ｌｎ２ｅ１＋ｅ．在利用所学定理或已有的结论解答某些题目时，需严谨地验证这些定理或结论所应满足的条件，当某些条件缺失时，需通过辅助函数补充．类似的构造辅助函数的方法也适用于推广的罗尔中值定理的证明．例６［５］㊀若函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上可导且ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ），证明：至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆᶄ（ξ）＝０．证明：构造辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｆａ＋()，ｘ＝ａ，ｆ（ｘ），ａ＜ｘ＜ｂ，ｆｂ－()，ｘ＝ｂ，{则Ｆ（ｘ）满足罗尔定理的条件，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ξ）＝０．结束语现有的许多教材，在通过构造辅助函数进行解题时，通常会直接给出辅助函数．由于数学题型多变，学生常常把握不住辅助函数的具体构造方法和经验，对于哪些类型的题目适合通过构造辅助函数来求解，常常也会模糊不清的，不能很好地将所学知识进行融合，长此以往，学生渐渐会失去学习的信心和兴趣．因此，高校教师需要调整或改进教学方法，在讲授相关知识点时，积极引导和帮助学生建立知识的衔接，注意整理不同辅助函数的构造方法，学会总结解题技巧，积累解题经验．通过构造辅助函数解题，既能使学生更好地熟悉和掌握所学知识，又利于打开解题思路，提高解题能力，还能培养良好的观察能力及严谨的思维能力，提高学习效率．ʌ参考文献ɔ［１］张宇．高等数学１８讲［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１７．［２］张天德，蒋晓芸．吉米多维奇高等数学习题精选精解（第二版）［Ｍ］．济南：山东科技技术出版社，２０１９．［３］钱吉林，郭金海，熊骏．数学分析解题精粹（第三版）［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２０１９．［４］李克典，马云苓．数学分析选讲［Ｍ］．厦门：厦门大学出版社，２００６．［５］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．. All Rights Reserved.。
辅助函数在数学分析中的重要性
辅助函数在数学分析中的重要性数学分析是数学专业的一门重要的基础课程，这门课程学习的好坏，直接影响到其它后续课程的学习。
而检查这门课程掌握的程度主要是对概念的理解、对定理的应用，其中重要的手段之一就是研究命题的证明。
证明命题的方法很多，通过构造辅助函数使某些命題得到简捷而明了的证明，就是一个很好的方法。
在数学分析中，拉格朗日中值定理、柯西中值定理、不等式与恒等式的证明、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的。
同样柯西中值定理的证明也是通过构造辅助函数而得证的。
辅助函数方法是数学分析中解决问题的一种重要方法，在证明和计算过程中，有些问题直接去做往往很困难，而构造适当的辅助函数去进行证明和计算往往可以化难为易，使问题迎刃而解。
（一）辅助函数的基本特点第一，辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。
第二，同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题。
第三，表面上看构造辅助函数的思路较宽广，实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易。
因此，构造最恰当的辅助函数是解题的关键。
数学分析中许多理论问题的解决都涉及到构造辅助函数的方法。
某些很复杂的问题构造了一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单。
具体体现在：（1）微分中值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得到了完美的解决。
由此可见，辅助函数在数学分析中的证明和计算中发挥着十分重大的作用。
二、辅助函数在数学分析中的应用（一）辅助函数在微分中值定理中的应用微分中值定理是微分学中的基本定理之一，而其证明往往需要构造辅助函数，是微积分教学的重点之一，也是教学中的难点。
因此，研究辅助函数的构造方法对于我们学习和掌握微分中值定理来说是十分必要的。
（二）辅助函数在判别方程根的存在性中的应用解方程，实质上就是求函数的零点。
构造辅助函数在高等数学中的应用
６ ７ ４ １ ０ ０ ）
分析： 问题仅在于 构造一个辅 助函数ｆ （ ｘ ） ： ａ 。 ｘ ＿ ａ ＿ Ｉ ＿ ｘ ＋
…
＋
ａ
ｎ ，
＿
对其在 ［ ０ ， １ ］ 上使 用 罗尔 定 理 ．
ａ
ｎ
ｌ ２ 证 明： 设ｆ （ ｘ ） ＝ ａ ０ ｘ ＋ａ ｘ ＋． ． ，
ｎ＋ｌ
Ｘ
， 在［ ， ｂ ］ ｌ －
Ｘ —
ｂ ａ
应 用 柯 西 中值 定 理 ．
证明 ： 设ｆ （ ｘ ） ：ｌ ｎ （ ｘ ） ： 一 １ ￣ ｘ ｇ
＿
，
，
显然ｆ （ ） ’ ｇ （ ｘ ） 在［ ａ ， ｂ ］ 上 满
足 柯 西 中值 定 理 的 条 件 ， 所以∈ ∈（ ａ ＇ ｂ ） 存 在 使 得
，
显然ｆ （ ０ ） ＝ ｆ （ １ ） ＝ ０； 且ｆ
２
ｎ 十１
（ ｘ ） 在［ ０ ， １ ］ 上连 续 ， （ ０ ， １ ） 上可导 ， 由罗尔定理知 ， 至少存在Ｘ
∈ （ ０ ， １ ） ， 使得ｆ ， （ ｘ ｏ ） ＝ ｏ ， ￣ ０ ａ ｏ ＋ ａ １ ｘ ０ ＋ … ＋ ａ ｘ ： ＝ ０ ．
要 构造 怎样 的一 个 辅 助 函 数 ． 对 其 应 用 中 值 定理 ．
要 凑 出ｆ （ ｂ ） 一 ｆ （ ａ ） 的形式 ， 把 等式ｂ ｌ ｎ ａ — ａ ｌ ｎ ｂ ＝ （ ｂ — ａ ） （ １ ｎ ∈ 一 １ ）
ｌ ｎ ｂ ｌ ｎ ａ
把∈ 换 成 ｘ） ．
变形为— ｂ ＿
综上所 述 ， 方程ｘ ＝ ａ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ｂ （ ａ ＞ ０， ｂ ＞ ０） 至少有 一个正根 ， 并 且它不超过ａ ＋ ｂ ． 对于具体的方程或含ｎ 的 等式 ． 若 构 造 的 函数 经 验 证 不 符
辅助函数的构造
4ax3 3bx2 2cx （a b c） 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个根.
分析： 上述两个方程的左端构成的函数 g( x ) 在所给的
闭区间上都是连续，在开区间内可导的. 但例 2 中 g(0) g(a b) b a[1 sin( a b)] 0 ，
例 4：设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 证明：在 (a , b) 内至少存在一个 ，使
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba
------------------------------------------bf ( b ) a f ( a ) [ xf ( x ) ] 【分析】即证 ba
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k， 【分析】令 ba
显然，这是一个对称式( a 与 b 互换等式不变)
故作辅助函数 F ( x ) xf ( x ) kx xf ( x )
由零点定理：至少存在一点 (0, a b ) ，
使得 F ( ) 0 ；
由(1)、(2)即知 是方程 x a sin x b 0 ( a , b 0 ) 在 ( 0, a b] 上的正根.
4 3 2 F ( x ) ax bx cx (a b c) x , 例 3 证明：设
(3) 分析关于端点的代数表达式是否为对称式或轮换对称式，
若是，只要把端点的 a 改成
x ，相应的函数值 f (a ) 改成
构造辅助函数
则 在 上满足罗尔定理三个条件，于是分别存在 ， 使得 .
又
从而可知 在 上满足罗尔定理三个条件，故存在 使 即
.
亦即
将常数k值法进行总结并归纳出下面一般性结论：
（1）常数 值法适用于欲证结论为：至少存在一点 ，使得 及其代数式的命题.
（2）常数 值法构造辅助函数的步骤为：
①将欲证等式中常数部分分离出来并令为 .
例一：设函数 在 上连续，在 内可导，证明在 内至少存在一点 ，使得
.
分析：令
，
则
，
为一个关于 与 的对称式。故可取
.
证明：令
则 在 上连续，在 内可导，又 从而 在 上满足罗尔定理，于是存在一个 ，使得 ，即
亦即
.
例二：设 在 上存在， 试证明存在 ，使得
.
分析：令
于是有
,
上式为关于 三点的轮换对称式令 则得
③用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为0,
④移项使等式一边为0，另一边即为所求辅助函数 .
（2）拉氏中值定理证明中辅助函数的构造：在拉氏中值定理的结论
，
中令： 则有
两边积分得
，
取 ,得
，
移项得
，
故
，
为所求辅助函数.
(3)柯西中值定理证明中辅助函数的构造.在柯西中值定理的结论中
摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。
关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理
Constructingauxiliary functiontoprovedifferential
微分中值定理中辅助函数的构造法与应用
定 ，将其归结 为厂（ ） ＝
（ ），
即 ２ ，’（ ）＝ （ｂ＋０）厂（ ）． 在 （口，６）中 ，有 解 ＝ 对 方 程 两边 与 相 关 积 分 ，即
Ｉ一 厂（ ）２ｘｄｘ＝（ｂ＋ｏ）一Ｉ厂 （ ）
，
厂（ ）（ｂ 一ｏ ）＝ （ｂ＋ｏ）（－厂（ｂ）－ｆ（ｏ））．
堑学 学 习 与研 究 ２０１８．３
然 有 ｏ’１
＝
．
证明 令 删 有
＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
等式两边同时关于 积分 ，得
／ ｄｘ＝／ ｄｘ＝一／
ｄｘ，
叫 ＝一』 ，
ｎｌｎ Ｉ，（ ）ｌ＝一Ｉｎ Ｉ，（１一 ）Ｉ＋ｃ， 因此 ，１ｎ ｌ，（ ）Ｉ“＋ｌｎ ｌ厂（１一 ）Ｉ：ｃ， Ｉ，（ ） ｌ·Ｉ，（１一 ）Ｉ＝ ｅ ＝ｃ， ［，（ ）］ １一 ）＝±ｃ＝Ｃ． 此时 ，令 ｒ（ｘ）＝ ［，（ ）］ （１一 ），由于在 闭区间［０，１］ 上 ）连续 ，在 开 区间 （０，１）上 ，（ ）可导 ，并且 ｒ（ｏ）＝ ［ ０）］ １—０）＝Ｉｆ（１）］ １—１）＝Ｏ，根据罗尔定 理 ，则 有一个 属于 （０，１），使 Ｆ （ ）＝ ）］ 一 （ ），（１一 ）＝ ）］ （１一 ）：０， 而 属 于 （０，１） ）≠ ０ ）≠ ０，根 据上 式 ，可 以同
一 、 原 函 数 法 在 求解 极值问题时 ，微分 中值定理 的应用非 常有效 ，通 常情 况 下 ，某 个 函数 的 导 函数 的 零 点 为需 要 验 证 的 结 论 ，此 时 构 造 辅 助 函数 就 可 以 选 择 不 定 积 分 ，将 原 函数 反 求 出来 ， 具体步 骤如下所述 ： （１）用 来 替 换 需 要 证 明 的 结 论 中 的 或 Ｘ０； （２）利用恒等变换 ，将结论 向易积分 的形式进行转化 ； （３）基 于对观察法或凑微分法 的运用 ，将原函数求解出 来 ，如果题 目需要 ，等式 的两 端还可 以乘 非零 的积分 因子 ， 通常情况下 ，为 了求解方便 ，积分常数可以取为零 ； （４）移项 ，让等式一边变 为零 ，如此一来 ，非零 一边的式 子 就 成 为 辅 助 函数 ．
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数学分析中辅助函数的构造及其作用
作者：杨云苏
来源：《课程教育研究·中》2013年第10期
【摘要】本文主要论述了在数学分析中如何构造辅助函数及辅助函数在数学分析中的应用，从而有助于提高学生分析问题与解决问题的能力。
【关键词】辅助函数构造应用
【基金项目】江西省教育厅（JXJG-12-15-11）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0158-02
在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析，综合运用数学基本概念和原理，经过深入的思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造函数法。
构造函数的方法内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想。
使用构造函数法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了。
1.数学分析中如何构造辅助函数
1.1 辅助函数的基本特点
a.辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。
b.同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题（不唯一）。
c.表面上看构造辅助函数的思路较宽广（因为不止一个），实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易（可比较性），因此，构造最恰当的辅助函数是解题的关键。
1.2 构造辅助函数的基本方法
1.2.1 联想分析
要构造一个与所学结果有关的辅助函数，而后再运用已知条件及有关概念，推理得出所要证明的结果，通常是先从一个愿望出发，联想起某种曾经用过的方法、手段、而后借助于这些方法、手段去接近目标，或者再从这些方法和手段出发又去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直至达到我们能力所及的起点或把问题归结到一个明显成立的结论为止，因此，联想是我们构造辅助函数的关键。
例1 已知x>0，证明x-■x2
这是一个含有变量不等式的证明，可以考虑通过移项将不等式化为大于0（或小于0）的形式，然后直接构造辅助函数F（x）通过F′（x）在（a，b）上恒正（或负），知F（x）>F （a）（或F（x）F（x′）（或F（x）
1.2.2 对比分析
运用所学过的相关知识如定积分的定义；定积分计算中的矩形法、梯形法等，结合具体问题进行分析对比，构造辅助函数。
例2 ■[■+■+…+■]。
这是一个和式的极限，该和式又不能直接求和化简，因而一般方法行不通，由定积分定义求和，定积分也是一个和式的极限，我们将和式的极限与定积分的定义式进行对比：
■f（x）dx=■■f（ξ）△xi
■[■+■+…+■]=■■■
=■■■·■
对比后之后我们不难发现需要构造的辅助函数为f（x）=■，[0，1]
解：
■[■+■+…+■]
=■■■=■■■·■=■■dx=ln（1+x）|■■=ln2
1.2.3 综合分析
有些命题通过分析，解题中确需构造辅助函数，但上述两种方法都无从下手，这时就需要逆推分析或双推分析（指由条件和结论同时进行推理分析，以期得出某个相同的中间命题），先得出要构造的辅助函数的一些特征（性质），然后再根据这些性质构造辅助函数，即使较为复杂的问题，同样也能构造出恰当的辅助函数。
例3 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导（0
此结论中涉及两点，因此需要应用微分中值定理，且只用拉格朗日中值定理还不够，还需要用柯西中值定理，为此只有一个函数f（x）还不行，还需再构造一个函数g（x），假设g （x）已确定，且满足柯西中值定理的条件，则（a，b）在上至少存在一点η，使得
■=■ （1）
又因为f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在（a，b）上至少存在一点ξ，使得
f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）（2）
由（1），（2）知：
f′（ξ）=■f′（η），ξ，η∈（a，b）
这与欲证结论进行对照不难发现需构造的函数g（x）需具有如下性质：
g′（x）=x，g（a）=0，g（b）=■（或g（b）-g（a）=■）
如果对变上限的积分较熟悉，自然就会想到：g（x）=■tdt，x∈[a，b]
证：设辅助函数g（x）=■tdt，x∈[a，b]
则g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且g′（x）=x≠0，g（b）-g（a）=■（b2-a2）
由柯西中值定理知：？埚η∈（a，b），使得■=■=■
所以η（f（b）-f（a））=f′（η）·（g（b）-g（a））=f′（η）·■（b2-a2）
又因为f（x）在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以？埚ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）
代入上式得η·f′（ξ）·（b-a）=f′（η）·■（b2-a2），故f′（ξ）=■f′（η）。
总之，辅助函数离不开分析，推理和联想，恰当的构思、巧妙的假设、充分的推理论证是每个研究数学分析的人们所不可缺少的数学修养和素质。
2.构造辅助函数在数学分析中几个方面的应用
2.1 辅助函数在讨论根的存在性问题中的应用
例4 证明：设函数f（x）在[0，2a]上连续，且f（0）=f（2a），则在[0，a]上至少有一点，使f（x）=f（x+a）。
证：令F（x）=f（x）-f（x+a），则因为f（x）在[0，2a]上连续，f（x+a）在[0，a]上连续，所以f（x）在[0，a]上连续。
由于F（0）=f（0）-f（a），
F（a）=f（a）-f（2a）=-[f（0）-f（a）]，
故若f（0）-f（a）=0，则f（a）=f（0）=f（2a），即当x=a时，有f（x）=f（x+a）。
若f（0）-f（a）≠0，则F（0）F（a）
2.2 辅助函数在应用微分中值定理证题中的应用
微分中值定理主要是指三大微分中值定理，即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
解决这类相关命题的问题，构造恰当的辅助函数是关键。
在前面综合分析中的例3，我们已经利用构造辅助函数解决了一些微分中值定理相关的命题。
2.3 辅助函数在不等式证明中的应用
在不等式证明的问题中，构造恰当的辅助函数是关键，可以将不等式通过恒等变形，将结论转化为容易消除导数符号的形式。
作辅助函数的目的是化未知为已知、化难为易、化繁为简。
在数学分析的教学过程中，有意识地培养学生掌握构造法并且能够运用构造函数法来解决问题，有助于他们加深和概括所学知识、拓宽视野、培养学生良好的逻辑思维能力。
参考文献：
[1]孙清华等. 工程数学分析习题与例题解析[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2002.
[2]陈国干. 高等数学中如何构造辅助函数[J]. 江苏广播电视大学学报，1996，10（2）：27-28.
[3]王建平等. 构造辅助函数在高等数学中的应用[J]. 河南教育学院学报（自然科学版），2004，13（1）：17-19.
[4]郭乔.如何作辅助函数解题[J].西安：高等数学研究，2002，3（5）：48-49.。