线段的轴对称性
轴对称的性质
12.1 轴对称（2）教学目标：1.掌握轴对称的性质.2.了解线段垂直平分线的概念、性质定理和逆定理.教学重点：轴对称的性质和线段垂直平分线性质定理教学难点：线段垂直平分线性质逆定理.教学过程：1. 轴对称的性质思考：如图，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线MN 对称，点A ′，B ′，C ′分别是点A ，B ，C 的对称点，线段AA ′，BB ′，CC ′与直线MN有什么关系？小结：（1）经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线.2. 线段的垂直平分线的性质定理及逆定理由P32探究得出：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，点C 是垂足．点P 是直线MN 上任意一点，连结PA 、PB ．求证：PA ＝PB ．思考：反过来，如果PA ＝PB ，那么点P 是否一定在线段AB 的垂直平分线上呢？于是就有定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．3、练习P34练习1、2选用练习：1、经过线段 并且 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 .A A ′C BB ′C ′ N M3、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 .与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上.4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的 .5、如图，已知AC 垂直平分BD ，BC=6cm,BA=4cm ，则四边形ABCD的周长是 .6、下列命题正确的是（ ）A.两个图形对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B.角平分线是角的对称轴C.经过线段中点的直线是它的对称轴D.对称轴是两个对称点连线的垂直平分线7、如图，在△ABC 上，已知点D 在BC 上，且BD ＋AD ＝BC ．求证： 点D 在AC 的垂直平分线上．8、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，求AC 的长.9、如图，A 、B 、C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置.教学后记A B。
关于轴对称的知识点
关于轴对称的知识点1．轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。
【轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合。
成轴对称的两个图形一定全等。
】2．轴对称图形的定义把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
【轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定。
】3．轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的主要区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.。
4．轴对称的性质轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等。
5．线段的轴对称性①线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
②线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
【①线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。
②三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。
】6．线段的垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。
7．角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。
《轴对称》 讲义
《轴对称》讲义一、轴对称的定义如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
例如，等腰三角形、正方形、圆形都是轴对称图形。
生活中也有许多轴对称的例子，比如飞机的外形、蝴蝶的翅膀、建筑物的对称设计等等。
二、轴对称的性质1、对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、对应线段、对应角相等。
3、成轴对称的两个图形全等。
三、轴对称图形的判定一个图形如果能找到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。
四、常见的轴对称图形1、线段线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线和它本身所在的直线。
2、角角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。
3、等腰三角形等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的高线（或顶角平分线或底边的中线）所在的直线。
4、等边三角形等边三角形有三条对称轴，分别是三条边的高线所在的直线。
5、矩形矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是对边中点所连的直线。
6、菱形菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线就是对称轴。
7、正方形正方形有四条对称轴，分别是两条对角线所在的直线和对边中点所连的直线。
8、圆圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
五、作轴对称图形1、作一个图形关于某条直线对称的图形（1）确定关键点：找出原图形中的关键点，如顶点、交点等。
（2）作垂线：过关键点作对称轴的垂线。
（3）量距离：在垂线上量取与关键点到对称轴距离相等的点。
（4）依次连接：依次连接对称点，得到对称图形。
2、用坐标表示轴对称（1）点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（x，y）。
（2）点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，y）。
六、轴对称的应用1、在建筑设计中的应用许多著名的建筑都采用了轴对称的设计，如中国的故宫、印度的泰姬陵等。
这种设计不仅美观，还能使建筑物在结构上更加稳固。
2.4线段、角的轴对称性(3)
2.4 线段、角的轴对称性（3）教学目标:1．探索并掌握角平分线的性质定理和逆定理；2．能利用所学知识提出问题并能解决生活中的实际问题； 3．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据；4．经历探索角的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性． 教学重点:利用角的轴对称性探索角平分线的性质． 教学难点:理解“点在角平分线上”的证明方法． 教学过程: 开场白同学们，上节课我们充分研究了线段的轴对称性，那么另一个基本图形“角”的轴对称性又如何呢？与线段有什么异同和联系呢？下面，我们就进入今天愉快的数学探究之旅． 实践探索一：在一张薄纸上画∠AOB ，它是轴对称图形吗？如果是，对称轴在哪里？为什么？ 实践探索二如图2-23，直线OC 是∠AOB 的角平分线，如果沿直线OC 翻折，你有什么发现？角平分线是线段的对称轴吗？ 实践探索三角平分线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？如图，在∠AOB 的角平分线OC 任意取一点P ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD 与PE 相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论． 总结角平分线上的点有什么特点？ 实践探索四如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学，你有什么猜想？如图2-26，若点Q 在∠AOB 内部，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，且QD ＝QE ，点Q 在∠AOB 的角平分线上OA BCP DE 2-24OAB Q DE 2-26吗？为什么？通过上述探索，你得到了什么结论？教师利用几何画板验证．指导学生活动．练习：课本P55练习．延伸：在平面内确定一点M，使它到AB、AC的距离相等且MB＝MC．小结1．经历了画图、折纸、猜想、归纳的活动过程，探索得到了角的轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线．2．本节课我们还证明了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系，你能举例说明这种内在的联系吗？布置作业课本P58习题2.4，分析第7、8题的思路，任选1题写出过程．。
1.4线段、角的轴对称性(1)教案
教案1．4线段、角的轴对称性(1)【学习目标】：1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质.【重点难点】：线段中垂线的性质和判定【预习指导】：自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要问题1：线段是轴对称图形吗？为什么问题2线段的对称轴是什么？问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。
分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系?课堂活动活动一对折线段问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿例题：P18 例1这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？活动二用圆规找点问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线；2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿【典题选讲】：已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，.求DC的长【学习体会】：【课堂练习】：1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？2.在下图中分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连结C 、D 交OA 于M ，交OB 于N,若CD=5厘米，求ΔPMN 的周长.3、滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.C BA（ 编写者：李晓红）· BO A。
线段、角的轴对称性 教学设计
探索交流、讲练结合。
【教学过程】
一、创设情境：
B
1．同学们用纸片做过纸箭和纸飞机吗？说说你的方法；
2．试用如图所示的三角形 AOB 纸片，折一只以点 O 为箭
头的纸箭，再展开纸箭，观察折痕，你有什么发现？
O
（游戏情境，有亲切感，易引起学生对折痕的关注，进而
引起对角的轴对称性进行讨论）
A
二、探索活动：
三、例题教学： 例 2．任意画∠O，在∠O 的两边上分别截取 OA．OB，使 OA=OB，过点 A 画 OA 的垂
线，过点 B 画 OB 的垂线，这两条垂线相交于点 P，点 O 在∠APB 的平分线上吗？为什么？ 这是条件明确的说理题，要先让做猜想，再用折纸验证，或用直尺和圆规作∠APB 的平分线， 观察点 O 与∠APB 的平分线的位置，然后进行说理。
线段、角的轴对称性
【教学目标】
1．经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。 2．探索并掌握角平分线的性质。 3．在“操作――探究――归纳――说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎 推理能力。
【教学重难点】
探索并掌握角平分线的性质。判断某点是否在某个角的平分线上。
【教学方法】
活动二：课本中的“讨论”，并作图验证所得结论。
B
（1）分组讨论。从轴对称的角度来剖析角平分线和线段的垂
直平分线的类似特征；
（2）引导学生用类比的方法，猜想具有怎样性质的点在角的
Q
O
平分线上？
（3）用好课本中的图 1－20，猜想并验证所得结点，在这个角的平分线上。
问题的讨论作为学生应用所学知识解决问题的一次练习，要引起足够重视。让学生对照图 形，分析已知条件，寻找解题策略，对有困难的学生，可作适当启发，参看下图。
2、4线段、角的轴对称性八年级数学苏科版上册
A
B
C
结论：对任意三角形，存在一个点，这个点到三角形的三边距离相等； 这个点是任意两个内角的平分线的交点。
解： BP平分ABC
PD AB PF BC PD PF
CP平分ACB PE AC PF BC PE PF PD PE PF
角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上 吗？
2021
2.4 线段、角的轴对称性（3）
----线段的轴对称性
八年级上册
学习目标： 1.掌握角的轴对称性； 2.掌握角平分线的性质定理与判定定理；
重难点： 角的轴对称性、角平分线的性质的综合运用
1 复习回顾
在一张薄纸上画 ∠AOB，操作并思考：它是轴对称图形吗？ 为什么？
A O里？为什么？
A
B
C
O
PD⟂OA
PE⟂OB
∴PC=PD
DA P C
E B
如图，在 ABC中，C＝900，AD平分BAC。 若CD=6,则点D到AB的距离是_____.
A
A
E
B
DC B
DC
1、画三角形ABC; 2、画∠B，∠C的平分线，交于点P; 3、过点P作AB, AC,BC 的垂线段PD,PE,PF; 4、量出PD,PE,PF的长度； 看看，有何发现？你能证明你发现的结论吗？
3 课堂练习
P58习题2.4，8、9题
4 课堂小结
性 质 定
点在角平分线上 ←→理判 （角的内部的）点到角两边的距离相等
定 定 理
5 拓展提升
1.利用网格线作图： （1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等． （2）在射线AP上找一点Q，使QB=QC．
延伸：在平面内确定一点M，使它到AB、AC的距离相等且MB＝MC ．
2.4 线段、角的轴对称性 课件(苏科版八年级上册) (6)
A
B D C
2、如图， NM是线段AB的中垂线, 下列说法正确的有：①②③ 。 ①AB⊥MN,②AD=DB， ③MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线
M
A
D
N
B
3、如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平
分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长 。
A
1、因为
，所以AB＝AC。
B
A D
C
理由：
2、如图， NM是线段AB的中垂 线, 下列说法正确的有： 。 ①AB⊥MN,②AD=DB， ③ MN⊥AB， ④MD=DN，⑤AB是 MN的垂直平分线
M
A
D N
B
1、因为 AD为BC的中垂线 ，所以AB＝AC。 线段垂直平分线上的点与这条 理由：
第2章 图形的轴对称
2.4 线段的垂直平分线
如果一个图形沿着一条直线 对折 ，两侧的 图形能够 完全重合，这个图形就是轴对称图形。
对称轴。 折痕所在的这条直线叫做______
A
A′ B′
B C C′
把一个图形沿着某一条直线 折叠 ,如果 它能够 与另一个图形重合 ,那么就说这两个 图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴, 折叠后重合的点是对应点,叫做 对称点 。
结论
线段垂直平分线性质定理。
线段垂直平分线上点，到
这条线段个端点的距离相 等．
相等的根据之一.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段
你能说出“定理 线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点距离相等”的 逆命题吗?
组卷网
逆定理 到一条线段两个端点距离相等 的点,在这条线段的垂直平分线上.
第05讲 线段、角的轴对称性(解析版)-八年级数学
第05讲线段、角的轴对称性1、理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2、了解线段的垂直平分线和角平分线的概念，探索并掌握其性质与判定方法。
1．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C 在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE2．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．一．角平分线的性质（共15小题）1．（2022秋•邗江区期中）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．∠C的平分线一定经过点OC．点O到△ABC的三边距离一定相等D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等【分析】根据角平分线的定义与性质即可判断．【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．故选：D．【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．2．（2022秋•邗江区校级期末）∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（）A．PQ＞5B．PQ≥5C．PQ＜5D．PQ≤5【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，和角平分线的性质计算．【解答】解：∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5则P到OB的距离为5因为Q是OB上任一点，则PQ≥5故选：B．【点评】本题主要考查平分线的性质，还利用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．3．（2022秋•广陵区校级期末）如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝5，则OE的最小值为5．【分析】利用角平分线的性质即可，【解答】解：∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，OD＝5，∴O到AB的距离等于OD的长，根据垂线段最短，可知OE最小值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，利用垂线段最短是关键．4．（2022秋•广陵区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是．【分析】由角平分线的性质可求DE＝BD＝，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC，∴DE＝BD＝，∴点D到AC的距离为，故答案为．【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．5．（2022秋•通州区校级月考）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE＝2，AC＝4，则△ADC的面积是（）A．4B．6C．8D．10【分析】先根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，再利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∵DE＝2，∴DF＝2，＝AC×DF＝×4×2＝4，∴S△ADC故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．（2022秋•东台市期中）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝5，则DF的长度是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据角平分线的性质定理解答即可．【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝5，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．（2022秋•徐州期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，△ACD面积为5．【分析】过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，先利用角平分线的性质可得DE＝DF＝2，然后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝2，∴DE＝DF＝2，∵AC＝5，∴△ACD面积＝AC•DF＝×5×2＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．8．（2022秋•启东市期末）如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为200m．【分析】过D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得出DE＝DC，再求出DC的长即可．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，∵∠ACB＝90°，∴DC⊥AC，∵AD为∠CAB的平分线，∴DE＝DC，∵BC＝1000m，BD＝800m，∴DC＝BC﹣BD＝200m，∴DE＝DC＝200m，即此时这个人到AB的最短距离为200m，故答案为：200．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．9．（2022秋•句容市期末）如图，射线OQ平分∠MON，点P是射线OQ上一点，且PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离等于3．【分析】过点P作PB⊥OM，垂足为B，然后利用角平分线的性质，即可解答．【解答】解：过点P作PB⊥OM，垂足为B，∵射线OQ平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，∴PA＝PB＝3，∴点P到射线OM的距离等于3，故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）连接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，则点O到三角形三条边的距离是．【分析】（1）连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，得到OB＝OC，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论；（2）延长AO交BC于D，先证明AD垂直平分BC，由等腰三角形的性质可求BD＝6，再两次利用勾股定理可求解OA的长．【解答】（1）证明：过点O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F．∵∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O，∴OD＝OF，OE＝OF．∴OD＝OE．∴点O在∠BAC的平分线上；（2）解：延长AO交BC于D，∵AB＝AC＝5，点O在∠BAC的平分线上，∴AO⊥BC，∵AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，∴AD＝AO+OD＝2+OD，∵BD2＝AB2﹣AD2＝OB2﹣OD2，∴52﹣（2+OD）2＝42﹣OD2，∴OD＝，∴点O到三角形三条边的距离是．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形的性质以及角平分线的性质是解此题的关键．11．（2022秋•镇江期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．4B．6C．8D．10【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积．【解答】解：作EF⊥BC交BC于点F，∵CD是AB边上的高，∴CD⊥BA，∵BE平分∠ABC，∴DE＝EF，∵DE＝2，∴EF＝2，∵BC＝8，＝，∴S△BCE故选：C．【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．12．（2022秋•海安市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF＝2，＝AB×DE＝×5×2＝5，∵S△ADB∵△ABC的面积为9，∴△ADC的面积为9﹣5＝4，∴AC×DF＝4，∴AC×2＝4，∴AC＝4，故选：C．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．13．（2022秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC 于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，若AB＝8，OD＝1，则△AOB的面积为4．【分析】根据角平分线的性质得到OD＝OM＝1，再利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，∵BF平分∠ABC，OD⊥BC，OM⊥AB，∴OD＝OM＝1，∴△AOB的面积为．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线的性质，结合图形利用角平分线的性质是解题的关键．14．（2022秋•阜宁县期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC ＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是120．【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝8，再利用三角形的面＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积．积公式结合S四边形ABCD【解答】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC＝8，＝S△ABD+S△BCD，∴S四边形ABCD＝AB•DE+BC•CD，＝×12×8+×18×8，＝120．故答案为：120．【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．15．（2022秋•江都区期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．【分析】连EB、EC，根据角平分线性质得EF＝EG；根据垂直平分线的性质得EB＝EC；再根据“HL”定理证明Rt△EFB≌Rt△EGC，从而得BF＝CG．【解答】解：相等．证明如下：连EB、EC，∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，∴EF＝EG．∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，∴EB＝EC．∴Rt△EFB≌Rt△EGC，∴BF＝CG．【点评】本题考查了角平分线性质和垂直平分线的性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是解答本题的关键．二．线段垂直平分线的性质（共12小题）16．（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，BC 于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝40°．【分析】由条件可求得∠EAB＝∠EBA，∠GAC＝∠GCA，且可求得∠BAC＝110°，则可求得∠EAB+∠GAC ＝70°，再利用角的和差可求得∠EAG．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠EBA＝50°，同理∠GAC＝∠GCA＝20°，∴∠GAC+∠EAB＝20°+50°＝70°，∵∠B＝50°，∠C＝20°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣20°＝110°，∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠GAC+∠EAB）＝110°﹣70°＝40°故答案为：40°．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．17．（2022秋•句容市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长6．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝AE＝4，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EB＝AE＝4，∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝40°．【分析】连接OA，根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB＝100°，根据线段垂直平分线的性质得到AO＝BO，AO＝CO，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：连接OA，∵∠BOC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝100°，∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴AO＝BO，AO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．19．（2022秋•启东市校级期末）如图，△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是15cm．【分析】由△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，AB＝2AE，又由△ADC的周长为9cm，即可求得AC+BC的值，继而求得△ABC的周长．【解答】解：∵△ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，∴BD＝AD，AB＝2AE＝6cm，∵△ADC的周长为9cm，∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝9cm，∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝15cm．故答案为：15．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用．20．（2022秋•大丰区期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周长；（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．【分析】（1）由在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，AE＝CE，继而可得△ADE的周长＝BC；（2）由AD＝BD，AE＝CE，可求得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又由∠BAC＝128°，即可求得∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，继而求得答案．【解答】解：（1）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，又∵BC＝10，∴△ADE周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；（2）∵AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又∵∠BAC＝128°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝128°﹣52°＝76°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．21．（2022秋•广陵区校级期末）如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA＝MB，NA＝NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；（3）根据（2）的解法得到∠MAN＝90°，根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，∴MA＝MB，同理，NA＝NC，∵△AMN的周长为6，∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；（2）∵∠MON＝30°，∴∠OMN+∠ONM＝150°，∴∠BME+∠CNF＝150°，∵MA＝MB，ME⊥AB，∴∠BMA＝2∠BME，同理，∠ANC＝2∠CNF，∴∠BMA+∠ANC＝300°，∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC设MN＝x，∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，解得，x＝5，即MN＝5．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．22．（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是（）A．AB＝2CM B．EF⊥AB C．AE＝BE D．AM＝BM【分析】根据基本作图得到EF是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的概念和性质判断即可．【解答】解：由作图可知，EF是线段AB的垂直平分线，∴EF⊥AB，AE＝BE，AM＝BM，则B、C、D说法正确，不符合题意，AB与2CM的故选不确定，A错误，符合题意，故选：A．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．23．（2022秋•广陵区校级期末）如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB【分析】根据垂直平分线的判定判断即可．【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB垂直平分CD，故选：A．【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判断是解题的关键．24．（2022秋•如东县期末）如图，在△ABC中，BC＝8，∠B＝2∠C，点D为边AC的垂直平分线与边BC 的交点，且BD＝AB﹣2．（1）求证AB＝AD；（2）求CD长．【分析】（1）根据线段垂直平分线得出DC＝AD，进而利用等腰三角形的性质解答即可；（2）根据边长得出方程解答即可．【解答】（1）证明：∵点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点，∴DC＝AD，∴∠C＝∠CAD，∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝2∠C＝∠B，∴AB＝AD；（2）解：∵AB＝AD，CD＝AD，BD＝AB﹣2，BC＝8，∴CD+CD﹣2＝8，∴CD＝5．【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出DC＝AD解答．25．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，E是BC上一点，AE＝AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于点D，△ABC的周长为18cm，AC＝7cm，则DC的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．6【分析】根据已知能推出2DE+2EC＝11cm，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC周长18cm，AC＝7cm，∴AB+BC＝11cm，∴AB+BE+EC＝11cm，即2DE+2EC＝11cm，∴DE+EC＝5.5cm，∴DC＝DE+EC＝5.5cm．故选：C．【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．26．（2022秋•南京期末）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠EAG＝20°，则∠BAC＝80°或100°．【分析】当∠BAC为锐角时，如图1，设∠BAG＝α，∠CAE＝β，根据线段垂直平分线性质可得：∠ABC＝∠EAB＝20°+α，∠C＝∠CAG＝β+20°，再运用三角形内角和定理即可求得答案．当∠BAC为钝角时，如图2，根据线段垂直平分线性质可得：∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∠BAC＝∠B+20°+∠C，再结合三角形内角和定理即可求得答案．【解答】解：当∠BAC为锐角时，如图1，设∠BAG＝α，∠CAE＝β，∵∠EAG＝20°，∴∠EAB＝∠EAG+∠BAG＝20°+α，∠CAG＝∠CAE+∠EAG＝β+20°，∠BAC＝α+β+20°，∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，∴∠ABC＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴α+β+20°+20°+α+β+20°＝180°，∴α+β＝60°，∴∠BAC＝α+β+20°＝60°+20°＝80°；当∠BAC为钝角时，如图2，∵DE、FG分别垂直平分AB、AC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∴∠BAC＝∠EAB+∠EAG+∠CAG＝∠B+20°+∠C，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠B+20°+∠C+∠B+∠C＝180°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°；综上所述，∠BAC＝80°或100°．故答案为：80°或100°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．27．（2022秋•邗江区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为3cm．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到NB＝NA，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，∴NB＝NA，△BCN的周长＝BC+CN+BN＝7cm，∴BC+AC＝7cm，又AC＝4cm，∴BC＝3cm，故答案为：3．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，用直尺和圆规作ABC DBC△≌△，这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】A【分析】先利用作图痕迹可判断BA BD =，BC 平分ABD ∠，加上BC 为公共边，然后利用全等三角形的判定方法求解．【详解】解：由作图痕迹得BA BD =，BC 平分ABD ∠，∴ABC DBC ∠=∠，∵BC BC =，∴()SAS ABC DBC ≌△△．故选：A ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．2．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）已知，如图，ABC 中，48ABC ∠=︒，84ACB ∠=︒，点D 、E 分别在BA 、BC 延长线上，BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，连接AP ，则PAC ∠的度数为（）A ．45︒B ．48︒C ．60︒D ．66︒【答案】D 【分析】作PF BE ⊥于点F ，PH BD ⊥于点H ，PG AC ⊥于点G ，利用角平分线的性质得到PH PG =，进而证明AP 平分CAD ∠，利用三角形外角的性质求出CAD ∠的度数即可得到答案．【详解】解：作PF BE ⊥于点F ，PH BD ⊥于点H ，PG AC ⊥于点G ，BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，PF PH ∴=，PF PG =，PH PG ∴=，PH BD ⊥ ，PG AC ⊥，A ．30【答案】A 【分析】如图，过点E 解即可．【详解】解：如图，过点∵BD 是AC 边上的高，∴ED AC ⊥，又∵AE 平分BAC ∠，∴5EF =，∴302ABE AB EF S ⨯== 故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．4．（2022秋·江苏徐州A ．22B ．15【答案】C 【分析】由AB 的垂直平分线交求得12cm AC BC +=，继而求得答案．【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵ACE △的周长是12cm ，∴AC AE CE AC BE CE ++=++∵5cm AB AC ==，∴ABC 的周长是：AB AC ++故选：C ．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意转化思想与数形结合思想的应用．5．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在径画弧，两弧相交于点M 、N 8125AB AC BC ===，，，则△A ．20B ．17【答案】A 【分析】由垂直平分线的性质可得【详解】解：由作图的过程可知，∴BD CD =，A．6B．6【答案】D【分析】在BC上取E，使BE 【详解】解：如图，在BC上取∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，∴AP＋PQ的最小即是AP＋PEA．2的角平分线，∵AD是ABC【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形面积的应用，解此题的关键是求出DF 长和ADC 面积．二、填空题8．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在AOB ∠上，两把直尺的接触点为P ，边OA 与其中一把直尺边缘的交点为C ，点C 、P 在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC 的长度是____．【答案】3【分析】根据图形可得OP 是AOB ∠的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案；【详解】解：由题意可得，如图所示，∵PE PF =，PE OC ⊥，PF OB ⊥，∴POE POF ∠=∠，∵CP OB ∥，∴CPO POF ∠=∠，∴CPO POE ∠=∠，∴OC PC =，∵点C 、P 在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，∴523OC PC ==-=，故答案为3．【点睛】本题考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边，解题的关键是根据图形判断出角平分线．9．（2023秋·江苏盐城·八年级校考期末）如图，P 是AOB ∠的平分线OC 上一点，PD OB ⊥，PE OA ⊥，垂足分别为D ，E ，若2PD =，则PE 的长是______．【答案】2【分析】根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：∵点P 是AOB ∠的平分线OC 上一点，PD OB ⊥，PE OA ⊥，2PD =，∴2PE PD ==．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要有角的平分线上的点到角的两边的距离相等．10．（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）如图，ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，5AE =，ABD △的周长为13，则ABC 的周长为_____．【答案】23【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA DC =，210AC AE ==，根据三角形的周长公式计算，即可得到答案．【详解】解： DE 是AC 的垂直平分线，5AE =，210DA DC AC AE ∴===，，ABD △的周长为13，13AB BD AD AB BD DC AB BC ∴++=++=+=，∴ABC 的周长为：131023AB BC AC ++=+=，故答案为：23．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离【答案】4：6：5【分析】过点O 作三边的高，根据角平分线性质得到于三边之比即可得到答案．【详解】解：过点O 作OD ⊥OA 、OB 、OC 是ABC 的三条角平分线，OD OE OF ==∴，AB ，CA ，BC 的长分别为ABO S △∴：BCO S △：CAO S =△12AB 故答案为：4：6：5．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握辅助线的做法，注意数形结合思想的运用是解题关键．12．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，分别是AD 和AC 上的动点，则【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求CH 的长是解题的关键．三、解答题13．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若,BD CD BE CF ==．(1)求证：AD 平分BAC ∠；(2)请猜想+AB AC 与AE 之间的数量关系，并给予证明．【答案】(1)见解析(2)2AB AC AE +=，证明见解析【分析】（1）根据HL 证明Rt Rt DBE DCF ≌ ，得到DE DF =，再根据角平分线的判定定理，求证即可；（2）通过HL 证明Rt Rt ADE ADF ≌△△，得到AE AF =，利用线段之间的关系，求解即可．【详解】（1）证明：∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90E DFC ∠=∠=︒，在Rt DBE 和Rt DCF 中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL DBE DCF ≌△△，∴DE DF =，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴AD 平分BAC ∠．（2）解：2AB AC AE +=，证明如下：在Rt ADE △和Rt ADF 中，AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△，∴AE AF =，∴2AB AC AB AF CF AB AE BE AE +=++=++=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．14．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AB CB =，AD CD =，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE AB ⊥，OF CB ⊥，垂足分别是E ，F ，求证OE OF =；【答案】见解析【分析】已知AB CB =，AD CD =，结合BD BD =，可证ABD CBD ≅ ，得到ABD CBD ∠=∠，即BD 平分ABC ∠，结合OE AB ⊥，OF CB ⊥，即可得证OE OF =．【详解】在ABD △和CBD △中，∵AB CB =，AD CD =，BD BD =，∴(SSS)ABD CBD ≅ ，∴ABD CBD ∠=∠，∴BD 平分ABC ∠，又∵OE AB ⊥，OF CB ⊥，∴OE OF =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）已知ABC ，求作点P ，使得点P 与ABC 三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】分别作BC 、AC 边上的垂直平分线的交点即为所求．【详解】如图，点P 即为所求．【点睛】本题考查了尺规作垂线，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．16．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，校园有两条路OA 、OB ，在交叉口附近有两块宣传牌C 、D ，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P 离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P ．（请保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】分别作线段CD 的垂直平分线和AOB ∠的角平分线，它们的交点即为点P ．【详解】解；如图，点P 为所作．【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．17．（2022秋·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，AOB ∠是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合．(1)求证：OM 是AOB ∠的平分线；(2)连接CD ，判断CD 与OM 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)OM 垂直平分CD ，理由见解析【分析】（1）根据题意，得出MC MD =，再根据SSS ，得出OCM ODM △≌△，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；（2）连接CD ，交OM 于点F ，首先根据SAS ，得出COF DOF △≌△，再根据全等三角形的性质，得出DFO CFO ∠=∠，CF DF =，进而即可得出结果．【详解】（1）证明：∵移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，∴MC MD =，在OCM 和ODM △中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定，解本题的关键在理解题意，灵活运用全等三角形的判定方法证明三角形全等．一、单选题1．三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点【答案】D 【分析】根据题意可知，凳子的位置应该到三个顶点的距离相等，从而可确定答案．【详解】因为三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这样就能保证凳子到三名同学的距离相等，以保证游戏的公平，故选：D．【点睛】本题主要考查垂直平分线的应用，掌握垂直平分线的性质是关键．2．如图所示，在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AB BD ⊥于点B ，点E 是BD 的中点，连接AE ，CE ，则AE 与CE 的大小关系是（）A．AE CE<B．AE CE =C．AE CE >D．2AE CE=【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到12CE BE BD ==，再根据垂线段最短即可得出结论．【详解】解：∵90BCD ∠=︒，E 是BD 的中点，∴12CE BE BD ==．又∵AB BD ⊥于点B ，∴AE 是斜线段，BE 是垂线段．∴AE >BE ．∴AE >CE ．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，和垂线段最短的定理，正确理解并应用这些知识点是解题关键．3．到三角形三个顶点距离相等的点是（）的交点．。
第二章 轴对称图形总复习
1 l AB 第二章 轴对称图形总复习一、必备知识点1.轴对称定义：如果把一个图形沿着 后，能够 重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做 ，两个图形中的对应点叫做 。
2.轴对称图形定义：如果把一个图形沿着 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做 。
3.轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形 。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是 。
4．线段的垂直平分线定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线）5．线段的轴对称性：①线段是轴对称图形，对称轴有两条，一条是 ，另一条是 。
②性质：线段的垂直平分线上的点到 相等。
③判定：到 的点，在这条线段的 上。
结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合6．角的轴对称性：①角是 图形，对称轴是 。
②性质：角平分线上的点到 相等。
③判定：在角的内部，到 的点，在 上。
7．等腰三角形定义：有 的三角形叫等腰三角形，其中相等的边叫做腰，另一条边叫做底。
等腰三角形是 ，对称轴是 。
性质：等腰三角形 相等， 相等（简称 ）；等腰三角形的 互相重合。
（三线合一）8．判定：如果一个三角形 ，那么 （简称 ）；9．等边三角形是特殊的 ，具备 的一切性质。
除此之外，等边三角形有 ， ， 。
10．等边三角形的判定： 是等边三角形； 的三角形是等边三角形； 是等边三角形。
11.直角三角形的性质：① 直角三角形两锐角② 直角三角形斜边上的中线是斜边的 。
B AC E DO P l A B M2 二、学力检测一、选择题1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是 （ ） A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形；C ．等边三角形D ．等腰直角三角形. 4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则 ∠APE 的度数是 （ ） A ．45° B ．55°C ．60°D ．75°5. 下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ） A ．等腰三角形两底角相等B ．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C ．等腰三角形是中心对称图形D ．等腰三角形是轴对称图形6．已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ ） A ．PA+PB ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ， 则 （ ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD= （ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1 9．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离 为5，Q 是OB 上任一点，则 （ ） A ．PQ ＞5 B ．PQ≥5C ．PQ ＜5D ．PQ≤510．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为 （ ） A ．3cm 或5cm B ．3cm 或7cm C ．3cm D ．5cmB AD PO C P AEC B D3 二．填空题11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是__________． 14．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________． 15．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=72°，BD 、CE 分别是∠ABC 和∠A CB 的平分线，它们的交点为F ，则图中等腰三角形有___________个．16．（2012•梧州）如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=32°，则∠BAC= °___________．17．若D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD=BD ，AB=AC=CD ， 则∠BAC=____________．18．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________． 三．解答题19．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．A C··DOB4 20．如图：AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C ，用轴对称图形说明：CD=AB+BD ．21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm ，∠BEG=60°，求折痕EF的长．22．如图：△ABC 中，AB=AC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ，① 若△BCD 的周长为8，求BC 的长；② 若BC=4，求△BCD 的周长．ACDBBCDEA5 23．等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP=∠ACQ ，BP=CQ ，问 △APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．24. 如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB=2AD ． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）保持图1中△ABC 固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．A CBPQ。
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第一章知识点
线段及其垂直平分线
1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是线段的垂直平分线所在的直线和线段本身所在的直线（对称轴必须是直线，而不能是线段或者射线）
2.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
3.线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
4.用集合定义线段的垂直平分线：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。
角及角平分线
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴
2.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
3.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
等腰三角形
等腰三角形的性质：
1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的角平分线所在的直线。
2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
3.等腰三角形底边上的高线、中线、和顶角的角平线互相重合（简
称“三线合一”）
等腰三角形的判定：
两个边相等的三角形为等腰三角形
两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）等边三角形
定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或者叫正三角形等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形，并且有三个对称轴。
2.等边三角形的各个角为60度
等边三角形的判定：
1.三边都相等的三角形是等边三角形。
2.三个角都相等的三角形是等边三角形
3.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.直角三角形中，30度所对的边等于斜边的一半。