三角形定理
三角形有关定理总结
三角形有关定理总结三角形有关定理总结如下：1.中线定理：设△ABC的边BC中点为P，则有AB2+AC2=2（AP2+BP2）2.垂线定理：在△ABC中，边AB上的高为CD，则有AC2-AD2=BC2-BD23.角平分线定理：在△ABC中，AD平分∠BAC，则有BD/DC=AB/AC4.斯特瓦尔特定理：在△ABC中，D为边BC上一点，则有AB2×DC+AC2×BD-AD2×BC=BC×DC×BD5.射影定理：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则CD2=AD×DB，BC2=BD×BA，AC2=AD×AB6.梅涅劳斯定理：设△ABC的三边AB、BC、CA或延长线和一条不经过它们任意顶点的直线的交点分别为P、Q、R，则有(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 7.塞瓦定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，且AX、BY、CZ所在直线交于一点，则有(AZ/ZB)×(BX/XC)×(CY/YA)=18.西姆松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足为D、E、F，则D、E、F共线9.燕尾定理：两个有公共边的三角形ABC和ABD，AB与CD交于点M，则△ABC的面积：△ABD的面积=CM∶DM10.正弦定理：已知△ABC三个顶点A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，外接圆半径为R，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R11.张角定理：在△ABC中，D是BC上的一点，则有sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD1/ 1。
三角形性质和判定定理
三角形性质和判定定理三角形是平面几何中最基本的图形之一，具有丰富的性质和判定定理。
本文将对三角形的性质和判定定理进行论述，探究其数学本质和应用。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每条线段都是连接两个非共线点的直线段。
三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等各种类型。
2. 三角形的性质2.1 三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，可以得出以下等式：A + B + C = 180度。
2.2 三角形的外角性质三角形的外角等于其余两个内角的和。
如果外角为θ，则有：θ = A + B 或θ = B + C 或θ = A + C。
2.3 三角形的边长关系三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
设三角形的三个边分别为a、b、c，则有以下不等式成立：a + b > c，a + c > b，b+ c > a；a - b < c，a - c < b，b - c < a。
三角形的内角与其对边之间存在一定的关系。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，对边分别为a、b、c，则有以下关系成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 三角形的判定定理3.1 三边长度判定定理如果三角形的三边长度分别为a、b、c，满足a + b > c，a + c > b，b +c > a，则可以构成一个三角形。
3.2 两边夹角与第三边关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角为θ，则可以根据余弦定理判断第三边的长度。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 -2abcosθ。
3.3 两边夹角与第三边夹角关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角分别为A、B，则可以根据正弦定理判断第三边夹角的大小。
正弦定理表达式为：sinC/a = sinA/b = sinB/c。
三角形外角定律
三角形外角定理
三角形外角定理：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°。
三角形内角和定理：三角形的内角和等于18 0°。
也可以用全称命题表示为：∀△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。
任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°。
三角形外角的性质
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；
2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；
3、三角形的外角和为360°。
三角形面积定理大全
角形面积定理大全
三角形面积定理有多种，以下是一些常见的三角形面积定理：
1.三角形面积等于基与高的乘积的一半，即S=1/2基高。
2.三角形面积等于任意两边乘积的一半，即S=1/2a b。
3.三角形面积等于两角夹边乘积的一半，即S=1/2A B。
4.三角形面积等于底边乘积的一半再除以2，即S=1/4a b。
5.三角形面积等于各边长的平方和的一半，即S=1/2*(a^2+b^2+c^2)。
6.等边三角形的面积等于边长的平方乘以4分之根号3，即S=√3/4*a^2。
7.等腰三角形的面积等于底边长度乘以高再除以2，即S=1/2a h。
8.直角三角形的面积等于两条直角边的平方和除以2，即S=(a×b)/2。
以上就是三角形面积定理的一部分，希望能对你有所帮助。
三角形面积定理大全
三角形面积定理大全三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形面积定理则是求解三角形面积的基本定理。
本文将全面介绍三角形的面积定理，包括海伦公式、高度定理、魔术三角公式等。
一、海伦公式（Heron's Formula）海伦公式是由希腊数学家海伦提出的，用来计算任意三角形的面积。
给定三角形的三条边长分别为a、b、c，则根据海伦公式，三角形的面积S可由以下公式计算：S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]其中，s为半周长，即s = (a + b + c)/2海伦公式不仅可以求解一般三角形的面积，也适用于等腰三角形和等边三角形。
二、高度定理（Height Formula）高度定理是另一种计算三角形面积的公式，它基于三角形的底边和高的关系。
对于任意三角形，其底边为a，对应的高为h，则根据高度定理，三角形的面积S可以由以下公式计算：S = 1/2 * a * h高度定理适用于所有三角形，无论是否为直角三角形。
三、魔术三角公式（Magic Triangle Formula）魔术三角公式是一种特殊的三角形面积计算公式，适用于直角三角形。
它利用直角三角形的斜边、其中一条直角边以及斜边与高的关系来求解面积。
给定直角三角形的斜边为c，直角边为a，高为h，则根据魔术三角公式，三角形的面积S可由以下公式计算：S = 1/2 * a * h = 1/2 * c^2魔术三角公式可以简化直角三角形面积计算的步骤，特别适用于只知道斜边和一条直角边的情况。
四、正弦定理（Sine Rule）正弦定理是用来解决三角形面积计算中的侧边和角度的关系。
对于任意三角形，已知任意两边之间的夹角θ及其对应的边长a和b，则根据正弦定理，三角形的面积S可以由以下公式计算：S = 1/2 * a * b * sin(θ)正弦定理常用于已知两边和夹角的情况下求解三角形的面积。
五、余弦定理（Cosine Rule）余弦定理是一种可以解决三角形面积计算中的三边和角度的关系的公式。
数学三角形公式
数学三角形公式一、正弦定理正弦定理是三角形中的重要定理之一，用于求解三角形的边长和角度大小关系。
根据正弦定理，对于任意三角形ABC，有以下公式：sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c其中，A、B、C分别表示三角形ABC的内角，a、b、c分别表示对应的边长。
例如，已知三角形的两个角和一个边长，我们可以利用正弦定理求解另外两个边长。
假设已知三角形ABC的内角A、B，以及边长c，则可以根据正弦定理推导出以下公式：a = c * sin(A) / sin(C)b =c * sin(B) / sin(C)二、余弦定理余弦定理也是求解三角形的边长和角度大小关系的重要定理之一。
根据余弦定理，对于任意三角形ABC，有以下公式：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，C表示三角形ABC的内角，a、b、c分别表示对应的边长。
余弦定理可以用于求解三角形的边长和角度大小关系。
例如，已知三角形的两个边长和一个夹角，我们可以利用余弦定理求解另外一个边长或者另外两个角度。
假设已知三角形ABC的边长a、b和夹角C，则可以根据余弦定理推导出以下公式：c = sqrt(a^2 + b^2 - 2ab * cos(C))A = acos((b^2 + c^2 - a^2) / (2bc))B = acos((a^2 + c^2 - b^2) / (2ac))三、正切定理正切定理是另外一个求解三角形的边长和角度大小关系的定理。
根据正切定理，对于任意三角形ABC，有以下公式：tan(A) = a / htan(B) = b / htan(C) = c / h其中，A、B、C表示三角形ABC的内角，a、b、c表示对应的边长，h表示三角形ABC对应内角的高。
正切定理可以用于求解三角形的边长和角度大小关系。
例如，已知三角形的一个角和对应的高，我们可以利用正切定理求解另外两个边长。
假设已知三角形ABC的内角A和对应的高h，则可以根据正切定理推导出以下公式：a = h * tan(A)b = h * tan(B)四、角平分线定理角平分线定理是三角形中的另外一个重要定理，用于求解三角形的边长和角度大小关系。
三角形的所有定理
三角形的所有定理
1.三角形内角和定理：任何一个三角形的内角和为180度。
2.内角定理：一个三角形的任何一个内角都小于两个锐角之和，大于任何一个钝角。
3.外角定理：一个三角形的任何一个外角都等于它不相邻的两个内角之和。
4.等腰三角形定理：一个三角形如果有两个相等的角，则这个三角形就是等腰三角形，其对边也相等。
5.直角三角形定理：一个三角形如果有一个角是90度，则这个三角形就是直角三角形。
6.等边三角形定理：一个三角形如果三个角都相等，则这个三角形就是等边三角形，其三边也相等。
7.法拉第定理：一个三角形的内心到三个顶点的距离的乘积等于选择不同两点时的外心到这两点距离的积。
8. 海龙公式：给定三角形的三边a、b、c，其面积S=sqrt(s(s-
a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长。
9.三角形的正弦定理：在一个三角形中，任何一条边的长度与其所对的角的正弦值成比例。
10.三角形的余弦定理：在一个三角形中，任何一条边的平方等于其它两边平方和减去这两边的积与这条边的余弦值成积。
解三角形常用定理及公式
解三⾓形常⽤定理及公式正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同⼀个三⾓形中是恒量，R是此三⾓形外接圆的半径）。
变形公式（1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c（3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC注：勾股定理其实是余弦定理的⼀种特殊情况。
变形公式cosC=(a2+b2-c2)/2abcosB=(a2+c2-b2)/2accosA=(c2+b2-a2)/2bc海伦-秦九韶公式p=(a+b+c)/2（公式⾥的p为半周长）假设有⼀个三⾓形，边长分别为a、b、c，三⾓形的⾯积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ⾼中数学基本不⽤。
已知三条中线求⾯积⽅法⼀：已知三条中线Ma,Mb,Mc，则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ；⽅法⼆：已知三边a，b，c ；则S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a+b+c)/2 ；解三⾓形知识点汇总1．正弦定理：在⼀个三⾓形中,各边和它的所对⾓的正弦的⽐相等.形式⼀：?(解三⾓形的重要⼯具)形式⼆： (边化正弦)形式三：（⽐的性质）形式四：（正弦化边）2.余弦定理：三⾓形任何⼀边的平⽅等于其他两边的平⽅的和减去这两边与它们夹⾓的余弦的积的两倍.形式⼀：形式⼆：?3．（1）两类正弦定理解三⾓形的问题：1、已知两⾓和任意⼀边，求其他的两边及⼀⾓.2、已知两⾓和其中⼀边的对⾓，求其他边⾓.（2）两类余弦定理解三⾓形的问题：1、已知三边求三⾓.2、已知两边和他们的夹⾓，求第三边和其他两⾓.4．判断三⾓解时，可以利⽤如下原理：5. 三⾓形⾯积公式：设?则在三⾓形中⼤边对⼤⾓，反之亦然.6. 判定三⾓形形状时，可利⽤正余弦定理实现边⾓转化，统⼀成边的形式或⾓的形式.7．解题中利⽤ABC?中ABC????，以及由此推得的⼀些基本关系式x进⾏三⾓变换的运算，如：8. 诱导公式和三⾓恒等变换在三⾓函数中总是最基础的.。
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三角形定理1过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85 (3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA)92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交d﹤r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d﹥r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离d﹥R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)④两圆内切d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a/4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 144弧长计算公式：L=n∏R/180145扇形面积公式：S扇形=n∏R/360=LR/2146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)。