高考数学模拟试题(一)

2014年江苏高考数学模拟试题（一）

数学Ⅰ 必做题部分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．

上．

． 1．已知集合{}0,1A =，集合{}1,0,B x =-, 且A B ?，则实数x 的值为． 1．答案：1，解析：根据子集的定义知x 的值为1．

2．已知复数(1)(1)i bi +?+为纯虚数，则实数b 的值为．

2．答案：1，解析：(1)(1)(1)(1)i bi b b i +?+=-++ ，(1)(1)i bi +?+是纯虚数，10b ∴-=，且10b +≠ ，1b ∴=．

3．一个算法的流程图如下图所示，则输出s 的结果为．

3．答案：11，解析：第一次循环后，3Y =，第二次循环后，5Y =，第三次循环后，7Y =，???，所以输出11Y =．

4．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分情况的茎叶图，则甲、乙得分的中位数分别是,a b ，则a b += ．

4．答案：57.5，解析：由茎叶图知甲的中位数为32a =，乙的中位数为25.5a =，

．57.5a b ∴+=． 5．一口袋中放有质地、大小完全相同的6个球，编号分别为1，2，3，4，5，6，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是．

5．答案：56

，解析：设“编号不相同”为事件B ，则“编号相同”为其对立事件B ，事件B 包含的基本事件为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），61()366

P B ==，所以 15()1()166P B P B =-=-

=，编号不同的概率为56

． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A c

B b

，则角A 的大小为． 6．答案：π3，解析：tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C B b B A B +=?+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=

， ∴

sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=

， ∴1cos 2A =．∵0πA <<，∴π

A =． 7．已知质点P 在半径为10cm 的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是1rad/s ，设(10,0)A 为起始点，记点P 在y 轴上的射影为M ，则10π秒

I←1 WhileI ＜6 Y ←2I+1 I←I+2 EndWhile PrintY

y A

M P

时点M 的速度是 cm/s ．

7．答案：10，解析：运动t s 后，(10cos ,10sin ),P t t 则M 的位移()10sin S t t =，10cos v S t '∴==，

则10π秒时点M 的速度是10cm/s ．瞬时变化率就是导数是解题的关键． 8．如图，设椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>长轴为AB ，短轴为CD ，E 是椭圆弧

BD 上的一点，AE 交CD 于K ，CE 交AB 于L ，则2

EK EL AK CL ????

+ ? ?????

的值

为 . 8．答案：1，解析：利用投影将斜距离之比转化为水平的距离或竖直的距离之比，将线段之比转化为坐标的绝对值之比，体现坐标法解决问题的思想.如图所示，设点00(,)E x y ，过点E 分别向x 、y 轴引垂线，垂足分别为N 、M ，由△MKE ∽△OKA ，故

0x EK ME AK AO a ==，同理0

y EL CL b

，则2

220022x y EK EL AK CL a b ????

+=+ ? ?????

，又点00(,)E x y 在椭圆上，故有22

00221x y a b +=，即

1EK EL AK CL ????

+= ? ?????

. 9．各项均为正数的等比数列

{}

n a 满足1764,8a a a ==，若函数

231012310()f x a x a x a x a x =+++

+的导数为()f x '，则1

()2

f '的值为．

9．答案：

554

，解析：由等比数列的性质知2

4174a a a ==，又因为各项均为正数，所以42a =．因为68a =，所以112,4

q a ==，所以3

2-=n n a ，又

91210()210f x a a x a x '=+++，其通项公式为1n n na x -，将21=x 代入得11

n n na x n -=，

所以1155

()(1210)244

f '=+++=．

10．已知ABC ?的三边,,a b c 满足1349c b a ≤≤≤≤≤≤，则ABC ?的面积S 最大值为．

10．答案：6，解析： 11sin 34sin 90622

S bc A =≤???=，

当222

4,3,b c a b c ===+时，等号取得，

即当5,4,3a b c ===时，ABC ?的面积S 的最大值为6．

11．用[]x 表示不超过x 的最大整数．已知()[]f x x x =+的定义域为[1,1)-，则函数()f x 的值域为．

11．答案：[2,1)[0,1)--，解析：根据[]x 的定义分类讨论．当[1,0)x ∈-时，1y x =-，21y -≤<-；当[0,1)x ∈时，y x =，01y ≤<；所以函数()f x 的值域为[2,1)[0,1)--． 12．已知点G 、H 分别为ABC ?的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若4,6AC AB ==，则HG BC ?的值为． 12．答案：203-

，解析：1

()()()3HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB ?=-?=?=+?- 22120

()33

AC AB =-=-

．另解：注意到题中的ABC ?形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案．

13．设,x y 是正实数，且1x y +=，则22

x y x y +++的最小值是． 13．答案：

，解析：设2x s +=，1y t +=，则4s t +=．所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t --+=-++-+41

()()6s t s t

=+++-． 41()2s t =+-．因为41141149

()()(5)444t s s t s t s t s t +=++=++≥，等号当且仅当4,4t s s t s t =+=取得，84,33s t ==，即当且仅当21

,33x y ==时，

2221x y x y +++的取得最小值1

．

D 1

14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC +=的点P 的个数为．

14．解析：方法1：利用椭圆的定义．一方面点P 在以1,A C 为焦点，长轴长为2的椭圆上；另一方面，P 可能在AB ，AD ，1AA ，11C B ，11C D ，1C C 上，或者在

111111,,,,,BB DD CD A B BC A D 上．

因为1122BA BC +=+>，故点B 在以,A C 为焦点，长轴长为2的椭圆外，所以椭圆必与线段AB 相交，同理在AD ，1AA ，11C B ，11C D ，1C C 上各有一点满足条件．又若点P 在1BB 上，则2

11112PA PC BP B P +=+++>．

故1BB 上不存在满足条件的点P ，同理11111,,,,DD CD A B BC A D 上不存在满足条件的点P ．故满足题设条件的点P 的个数为6．

方法2：若P 在AB 上，设AP x =，有2

1(1)(2)2,PA PC x x +=+-+=解得1

x =．故AB 上有一点P （AB 的中点）满足条件．

同理在AD ，1AA ，11C B ，11C D ，1C C 上各有一点满足条件．又若点P 在1BB 上，则2

11112PA PC BP B P +=+++>．

故1BB 上不存在满足条件的点P ，同理11111,,,,DD CD A B BC A D 上不存在满足条件的点P ．故满足题设条件的点P 的个数为6．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图2，点P 在ABC ?内，23AB CP BC ===, ,

πP B ∠+∠=，记B α∠=．

（1）试用α表示AP 的长；

（2）求四边形ABCP 的面积的最大值，并求出此时α的值．

15．解：（1）△ABC 与△APC 中，由余弦定理得，22223223cos AC α=+-??， ①

()222222cos AC AP AP α=+-??π-，

②

由①②得()24cos 12cos 90 0 AP AP ααα++-=∈π，

，，解得34cos AP α=-；（2）()()1123sin 2sin 0 22ABC APC S S S AP ααα??=-=??-??π-∈π,

，由（1）得4sin cos S αα=?2sin2 α=，()0 α∈π，

，所以当4απ=时，max 2S =．

16．（本小题满分14分）已知PA ⊥菱形ABCD 所在平面，点E 、F 分别为线段BC 、PA 的中点．（1）求证：BD PC ⊥；（2）求证：BF ∥平面PDE ．

16．证明：（1）PA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，

PA BD ∴⊥，

又

ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，

又,PA AC ?平面PAC ，PA

AC A =，

BD ∴⊥平面PAC ，

又PC ?平面PAC ， ∴BD PC ⊥．

（2）取线段PD 的中点G ，连结,EG FG ，则FG ∥AD ，且12FG AD =

，又BE ∥AD ，且1

BE AD =， FG ∴∥BE ，FG BE =，∴四边形BEGF 是平行四边形，

BF ∴∥EG ，

又BF ?平面PDE ，EG ?平面PDE ，

BF ∴∥平面PDE ．

17．（本小题满分14分）某商场分别投入x万元，经销甲、乙两种商品，可分别获得利润

y、2

y万元，利润曲线分别为

C：

y m a b

?+，

C：

y cx，其中,,,

m a b c都为常数．如图所示：

（1）分别求函数

y、

y的解析式；高考资源网

（2）若该商场一共投资12万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最小值．

（可能要用的数ln20.7

≈）

17．解（1）由函数

y m a b

?+过点

525

(0,0),(2,),(4,)

1616

可得

m b

m a b

?+=

，可得

，

4848

∴=?-

由函数

y cx过点7

(3,)

可得

c=，

y x

∴

（2）设该商场经销甲商品投入x万元，乙商品投入12x

-万元，该商场所获利润为y万元

则

55757331

2(12)2

484812481248

x x

y y y x x

=+=?-+-=?-+

5757777

2ln222

48124810129612

x x x

y'=?-=??-=?-

令0y '=可得3x =，（11分）y '在(0,3)单调递增，

∴当(0,3),0,x y '∈，y 在(3,)+∞单调递增，

当3x =时，利润y 有最小值

287

48．答：该商场所获利润的最小值

287

． 18．（本小题满分16分）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆22

2:(4)4C x y -+=．

（1）过圆心1C 作倾斜角为θ的直线l 交圆2C 于,A B 两点，且A 为1C B 的中点，求sin θ；（2）过点(,1)P m 引圆2C 的两条割线1l 和2l ，直线1l 和2l 被圆2C 截得的弦的中点分别为

,M N .试问过点2,,,P M N C 的圆是否过定点（异于点2C ）？若过定点，求出该定点；若不

过定点，说明理由；

（3）过圆2C 上任一点00(,)Q x y 作圆1C 的两条切线，设两切线分别与y 轴交于点S 和T ，求线段ST 长度的取值范围．

18．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，则圆心2C 到直线l

的距离d =

设AB 的中点为R

，则11123AR AB C R ==

== 则2

118d =

，所以在12Rt C RC ?

中，212sin 520

C R d C C θ===．（2）依题意，过点2,,,P M N C 的圆即为以2PC 为直径的圆，

所以(4)()(1)(0)0x x m y y --+--=，即2

(4)40x m x m y y -+++-= 整理成关于实数m 的等式2

2(4)40x m x x y y -+-+-=恒成立

则22

x x x y y -=??

-+-=?，所以40x y =??

=?或4

x y =??=?

即存在定点(4,1).

（3）设过00(,)Q x y 的直线与圆1C 切线，

则1d =

=，即

2200()1k kx y k +-=+，

整理成关于k 的方程222

000000(2)(22)10x x k y x y k y +-++-=，（☆）判别式22222

000000000(22)4(1)(2)448y x y y x x x y x ?=+--+=++，

所以00k =

直线00()y y k x x -=-与y 轴的交点为00(0,)y kx -，

不妨设010(0,)S y k x -，020(0,)T y k x -，则210||ST k k x =-．而12,k k 是（☆）方程的两根，

则2100||ST k k x =-=

，又22

00(4)4x y -+=，

所以000ST =

=．

(t t =∈

，则2

51616t ST t t t

==++，考察关于t

的函数16

()([2,f t t t t

∈，函数()f t 在区间[]2.4是单调递减，在区

间4,??上单调递增，所以max (())10f t =，min (())8f t =．

所以4ST ∈?

．

19．（本小题满分16分）数列{}n a 满足

,2,021==a a ,,3,2,1,2

sin 4)2cos 1(22

2 =++=+n n a n a n n π

π （1）求3456,,,a a a a ；（2）设1321k k S a a a -=+++，k k a a a T 242+++= ，分别求,k k S T 关于k 的表达式；

（3）设22k

k k

S W T =

+，求使1>k W 的所有k 的值，并说明理由． 19．解：（1）∵2,021==a a ，∴42

sin 4)2

cos

1(2

3=++=π

a a ，

422sin 4)22cos 1(222

4=++=ππa a ，225333(1cos )4sin 822a a ππ

=++=， 226444(1cos )4sin 822

a a ππ

=++=．

（2）当)(12*

N k k n ∈-=时，

2sin 4)212cos 1(122122

12+=-+-+=--+k k k a k a k a ππ， ∴{}12-k a 是以0为首项，4为公差的等差数列，则)1(412-=-k a k ，当)(2*

N k k n ∈=时，

k k k a k

a k a 2222

2222

2sin 4)22cos 1(=++=+ππ， ∴{}k a 2是以2为首项，2为公比的等比数列，则k

k a 22=，

∴{}n a 的通项公式为???

??∈=∈-=-=)(2,2)(12),1(2*2*N k k n N k k n n a n n ．

)1(2)1(4401231-=-+++=+++=-k k k a a a S k k ， 2222212242-=+++=+++=+k k k k a a a T ，

（3）1

)

1(2)1(422-+-=-=+=

k k k k k k k k k T S W ，于是16

,45,23,23,1,0654321====

==W W W W W W ．下面证明：当6≥k 时，1

-+k k k k k W W 2)1(102

)

3(2)1(1<-=--k

k k k k k ，即k k W W <+1，又16k W 的k 的值为5,4,3．

20．（本题满分16分）已知函数||)(3

a x ax x f -+=（R a ∈）．

（1）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增？请说

明理由；

（2）若10<

（3）求证：对任意的实数a ，存在0x ，恒有0)(0≠x f ，并求出符合该特征的0x 的取值范围．

令a x ax x g +-=3)(（a x <），a x ax x h -+=3

)(（a x >），

13)(2-='ax x g ，13)(2+='ax x h ，

131≥a ，此时)(x f 在],1[a -上单调减，在]1,[a 上单调增，则在]1,1[-上1)1()1()(max ==-=f f x f ；

上单调减，在]1,[a 上单调增，由于)1()1()31

(f f a

f =->-

，则在]1,1[-上a

a a f x f 3132)31()(max +=-

=； ③当1313

,1[a --上单调增，在]31,31[a a -

上单调减，在],31

[a a

-上单调增，在]1,[a 上单调增，则在]1,1[-上a a a f x f 31

32)31()(max +=-=；综合①②③有当3

0≤

=．（3） ①当0=a 时，||)(x x f =，方程0||)(==x x f 只有0根；

②当0>a 时，方程0||)(3

=-+=a x ax x f 没有0根和正根，

=-+=a x ax x f 没有0根和负根，当0 x 时，a x ax x f -+=3)(，由方程0)(3

???<--=>x x x a x ，得1>x ；综上可知，对任意的实数a ，存在]1,0()0,1[0 -∈x ，恒有0)(0≠x f ．

数学附加题

21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题．．．．纸指定区域内．．．．．．

作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲

如图，PA 切⊙O 于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引割线交⊙O 于B 、C 两点．求证: DPB DCP ∠=∠． A ．证明：因为PA 与圆相切于A ，所以2DA DB DC =?，因为D 为PA 中点，所以DP =DA ，

所以DP 2

=DB ·DC ，即PD DB DC PD

= ．

因为BDP PDC ∠=∠，所以BDP ?∽PDC ?，所以DPB DCP ∠=∠． B ．选修4—2：矩阵与变换

已知1 0 4 31 2 4 1-????

=????-????

B , 求矩阵B . B ．解：设 , a b c d ??=????B 则1 0

1 2

2 2a b a c b d ????=????++????

??+=-=-??解得故B C ．选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l

的参数方程为,1x y t ?=??=+??

的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是

d =

因为)4

+π

当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z )，即3π

2π(4k k θ=-∈Z )时，d 取得最大值．

==θθ．综上，点M

的极坐标为7π

或点M

的直角坐标为(时，该点到直线l 的距离最大．

D ．选修4—5：不等式选讲设函数()f x =

．

（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；

（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围． D ．解：（1）由题设知：1250x x ++--≥，如图，在同一坐标系中作出函数12y x x =++- 和5y =的图象（如图所示）,知定义域为(]

[),23,-∞-+∞.

（2）由题设知，当x R ∈时，恒有120x x a ++-+≥，

即12x x a ++-≥- 由（1

）123x x ++-

≥，∴ 3,a

a -≤∴.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．．．

作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．求证：对于任意的正整数

n ，

(2n

s N *∈. 22．解：由二项式定理可知， 0

-=+?-=， ∴令,a s s N *=∈，则必有1b s =-． ∴(2n +s N *∈．注：本题也可用数学归纳法证明，证明正确的也给相应的分数．

23．已知抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 在抛物线C 上，设以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交准线l 于,M N 两点．

（1）若90MFN ∠=?，且AMN ?的面积为24，求p 的值；

（2）若,,A F M 三点共线于直线m ，设直线m 与抛物线C 的另一个交点为B ，记A 和B 两

点间的距离为()f p ，求()f p 关于p 的表达式．

23．解：（1）由对称性可知，MFN ?为等腰直角三角形，则斜边2MN p =，且点A 到准线l

?=?=2p =．（2）由对称性可设2000(,)(0)2y A y y p >，,02p F ??

???

．由点A ，M 关于点F 对称，得2

00,2y M p y p ??-- ???