高考数学选择题的解题策略
高考数学选择题的解题策略
数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高，即使今年江苏试题的题量发生了一些变化，选择题由原来的12题改为10题，但其分值仍占到试卷总分的三分之一。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。
解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。
高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。
（一）数学选择题的解题方法
1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。
例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为 （ ）
125
27.12536.12554.12581.D C B A 解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。
125
27)106(104)106(333223=?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。
例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9
2
y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ）
A ．11
B ．10
C ．9
D ．16
解析：由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a=8,|BF 1|+|BF 2|=2a=8，两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入，得|AF 1|+|BF 1|＝11，故选A 。
例4、已知log (2)a y ax =-在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（0，2）
D ．[2，+∞）
解析：∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数，∵ log (2)a y ax =-在[0，1]上是减函数。
∴a>1，且2-a>0，∴1 2、特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。 （1）特殊值 例5、若sin α>tan α>cot α(24παπ<<-)，则α∈（ ） A ．(2π-，4π-) B ．（4π-，0） C ．（0，4π） D ．（4π，2 π） 解析：因24παπ<<-，取α=－6 π代入sin α>tan α>cot α，满足条件式，则排除A 、C 、D ，故选B 。 例6、一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为（ ） A ．－24 B ．84 C ．72 D ．36 解析：结论中不含n ，故本题结论的正确性与n 取值无关，可对n 取特殊值，如n=1，此时a 1=48,a 2=S 2－S 1=12，a 3=a 1+2d= －24，所以前3n 项和为36，故选D 。 （2）特殊函数 例7、如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（ ） A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5 解析：构造特殊函数f(x)=3 5x ，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间[－7，－3]上是增函数，且最大值为f(-3)=-5，故选C 。 例8、定义在R 上的奇函数f(x)为减函数，设a+b ≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正确的不等式序号是（ ） A ．①②④ B ．①④ C ．②④ D ．①③ 解析：取f(x)= －x ，逐项检查可知①④正确。故选B 。 （3）特殊数列 例9、已知等差数列{}n a 满足121010a a a ++???+=，则有 （ ） A 、11010a a +> B 、21020a a +< C 、3990a a += D 、5151a = 解析：取满足题意的特殊数列0n a =，则3990a a +=，故选C 。 （4）特殊位置 例10、过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+q p 11 （ ） A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、 a 4 解析：考虑特殊位置PQ ⊥OP 时，1||||2PF FQ a ==，所以11224a a a p q +=+=，故选C 。 例11、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是 ( ) 解析：取2H h = ，由图象可知，此时注水量V 大于容器容积的12 ，故选B 。 （5）特殊点 例12、设函数()2(0)f x x x =+≥，则其反函数)(1x f -的图像是 （ ） A 、 B 、 C 、 D 、 解析：由函数()2(0)f x x x =+≥，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2,0) 及(4,4)都应在反函数f －1(x)的图像上，观察得A 、C 。又因反函数f －1(x)的定义域为{|2}x x ≥， 故选C 。 （6）特殊方程 例13、双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos 2α等于（ ） A ．e B ．e 2 C ．e 1 D ．21e 解析：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。 取双曲线方程为42x －12y =1，易得离心率e=25,cos 2α=5 2，故选C 。 （7）特殊模型 例14、如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么 x y 的最大值是（ ） A ．21 B ． 33 C ．2 3 D ．3 解析：题中x y 可写成00--x y 。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=1212x x y y --，可将问题看成圆(x －2)2+y 2=3上的点与坐标原点O 连线的斜率的最大值，即得D 。 3、图解法：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性， 再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思 想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形 结合思想解决，既简捷又迅速。 例15、已知α、β都是第二象限角，且cos α>cos β，则（ ） A ．α<β B ．sin α>sin β C ．tan α>tan β D ．cot α 解析：在第二象限角内通过余弦函数线cos α>cos β找出α、 β的终边位置关系，再作出判断， 得B 。 例16、已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜a ＋3b |= （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 解析：如图，a ＋3b ＝OB ，在OAB ?中，||1,||3,120,OA AB OAB ==∠=∴由余弦定理得｜a ＋3b |=｜OB ｜＝13，故选C 。 例17、已知{a n }是等差数列，a 1=-9,S 3=S 7,那么使其前n 项和S n 最小的n 是（ ） O A B ＋3 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：等差数列的前n 项和S n =2d n 2+(a 1-2d )n 可表示 为过原点的抛物线，又本题中a 1=-9<0, S 3=S 7,可表示如图， 由图可知，n=5273=+,是抛物线的对称轴，所以n=5是抛 物线的对称轴，所以n=5时S n 最小，故选B 。 4、验证法：就是将选择支中给出的答案或其特殊值， 代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。 例18、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0—9和字母A —F 共16十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ） A.6E B.72 C.5F D.BO 解析：采用代入检验法，A ×B 用十进制数表示为1×11=110,而 6E 用十进制数表示为6×16＋14=110；72用十进制数表示为7×16＋2=114 5F 用十进制数表示为5×16＋15=105；B0用十进制数表示为11×16＋0=176，故选A 。 例19、方程lg 3x x +=的解0x ∈ ( ) A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞） 解析：若(0,1)x ∈，则lg 0x <，则lg 1x x +<；若(1,2)x ∈，则0lg 1x <<，则1lg 3x x <+<；若(2,3)x ∈，则0lg 1x <<，则2lg 4x x <+<；若3,lg 0x x >>,则lg 3x x +>，故选C 。 5、筛选法（也叫排除法、淘汰法）：就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确。 例20、若x 为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx 的值域是（ ） A ．（1，2] B ．（0，23] C ．[21，22] D ．（21，22] 解析：因x 为三角形中的最小内角，故(0,]3x π ∈， 由此可得y=sinx+cosx>1，排除B,C,D ，故应选A 。 例21、原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（ ） A ．不会提高70% B ．会高于70%，但不会高于90% C ．不会低于10% D ．高于30%，但低于100% 解析：取x ＝4，y ＝0.33 - 0.360.36·100%≈－8.3%，排除C 、D ；取x ＝30，y ＝ 3.19 - 1.81.8· 100%≈77.2%，排除A ，故选B 。 例22、给定四条曲线：①252 2=+y x ，②14922=+y x ，③1422=+y x ，④14 22 =+y x ,其中与直线05=-+y x 仅有一个交点的曲线是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 解析：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合 3 5 7 O n 条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线14922=+y x 是相交的，因为直线上的点)0,5(在椭圆内，对照选项故选D 。 6、分析法：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。 （1）特征分析法——根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。 例23、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线 表示它们有网线相联，连线标的数字表示该段网线单位时 间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传送信 息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时间内 传递的最大信息量为（ ） A ．26 B ．24 C ．20 D ．19 解析：题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支要 以最小值来计算，否则无法同时传送，则总数为3+4+6+6=19，故选D 。 例24、设球的半径为R, P 、Q 是球面上北纬600圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是2R π，则这两点的球面距离是 （ ） A 、R 3 B 、22R π C 、3R π D 、2 R π 解析：因纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除A 、B 、D ，故选C 。 例25、已知)2(524cos ,53sin πθπθθ<<+-=+-= m m m m ，则2 tan θ等于 （ ） A 、m m --93 B 、|93|m m -- C 、31 D 、5 解析：由于受条件sin 2θ+cos 2θ=1的制约，故m 为一确定的值，于是sin θ,cos θ的值应与m 的值无关，进而推知tan 2θ的值与m 无关，又2π<θ<π，4π<2θ<2 π,∴tan 2θ>1，故选D 。 （2）逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支的方法，称为逻辑分析法。 例26、设a,b 是满足ab<0的实数，那么 （ ） A ．|a+b|>|a －b| B ．|a+b|<|a －b| C ．|a －b|<|a|－|b| D ．|a －b|<|a|+|b| 解析：∵A ，B 是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C ，D 。又由ab<0，可令a=1,b= －1，代入知B 为真，故选B 。 例27、ABC ?的三边,,a b c 满足等式cos cos cos a A b B c C +=，则此三角形必是（） A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以b 为斜边的直角三角形 C 、等边三角形 D 、其它三角形 解析：在题设条件中的等式是关于,a A 与,b B 的对称式，因此选项在A 、B 为等价命题都被淘汰，若选项C 正确，则有111222+=，即112 =，从而C 被淘汰，故选D 。 7、估算法：就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。 例28、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03年某地区农民人均收入为3150元（其中工资源共享性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自04年起的5年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收入每年增加160元。根据以上数据，08年该地区人均收入介于 （ ） （A ）4200元~4400元 （B ）4400元~4460元 （C ）4460元~4800元 （D ）4800元~5000元 解析：08年农民工次性人均收入为：5122551800(10.06)1800(10.060.06C C +≈+?+? 1800(10.30.036)=++1800 1.336=?2405≈ 又08年农民其它人均收入为1350+1605?=2150 故08年农民人均总收入约为2405+2150=4555（元）。故选B 。 说明：1、解选择题的方法很多，上面仅列举了几种常用的方法，这里由于限于篇幅，其它方法不再一一举例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合起来进行解题，会使题目求解过程简单化。 2、对于选择题一定要小题小做，小题巧做，切忌小题大做。“不择手段，多快好省”是解选择题的基本宗旨。