2008高考上海数学理科试题含答案(全word版)
2008年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）一 填空（4’×11）1.不等式|x －1|＜1的解集是2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围 是9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 二 选择（4’×4）12.组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A ．r +1n +1C r -1n -1B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1D ．n r C r -1n -113. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．5415.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）AE B 1D 1DC 1A 1 BC17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）18.(5’+10’)已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos(2x +π6)，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点 ⑴当t ＝π4时，求|MN|的值⑵求|MN|在t ∈[0,π2]时的最大值20.(3’+5’+8’)设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标⑵已知点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上⑶已知动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab ，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由AODBC19.(8’+8’)已知函数f (x )＝2x －12|x |⑴若f (x )＝2，求x 的值⑵若2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围21.(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3a n d ， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m ，a 6m+2－1m ，a 9m+2－1m 成等比数列当且仅当d ＝3m2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷参考答案（理工农医类）一、（第1题至第11题）1.(0,2)2. 2.3.1i +.4.2.6.2.7.34. 8.(1,0)(1,)-+∞ . 9.10.5,10.5a b ==. 10.1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 11.(,6)(6,)-∞-+∞ .二、（第12题至第15题） 12.D 13.C 14.B 15.D三、（第16题到第21题）16.[解]过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接CO . EF ⊥平面ABCD ，∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……4分 由题意，得1112EF CC ==. 112CF CB == ∴DF =. ……8分EF DF ⊥，∴tan EF EDF DF ∠==……10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan5. ……12分17 [解法一]设该扇形的半径为r 米，连接CO . ……2分由题意，得500CD =(米)，300DA =（米），60CDO ∠=︒ ……4分 在△CDO 中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅︒= ……6分 即，2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯= ……9分解得490044511r =≈（米） 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分[解法二]连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ， ……2分 由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=︒ ……4分 在△CDO 中，2222cos120AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒AEB 1D 1D C 1A 1 BC AOD BCA ODBCH222150030025003007002=++⨯⨯⨯=. 700AC ∴=（米）. ……6分22211cos 214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅.在直角△HAO 中，350AH =（米），11cos 14HAO ∠=， ……9分 ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分18.[解]（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. ……2分点11(,)P x y ， ……4分⋅2211|4|455x y -==.点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分 （2）设的坐标为(,)x y ，则222||(3)PA x y =-+ ……8分22(3)14x x =-+- 25124()455x =-+ ……11分 ||2x ≥， ……13分 ∴ 当125x =时，2||PA 的最小值为45，即||PA 的最小值为5. ……15分 19．解（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xxf x =-由条件可知1222xx -=，即222210x x --=解得 21x=20log (1x x >=∵∴（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022tttt t m -+-≥ 即24(21)(21)t t m -≥--，2210t->∵，2(21)t m ≥-+∴[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴故m 的取值范围是[5,)-+∞ 20．解（1）当1,2,2a b p ===时，解方程组242x y y x ⎧=⎨=⎩ 得816x y =⎧⎨=⎩ 即点Q 的坐标为(8,16)（2）【证明】由方程组21x y ab y bx ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得1x ab y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点Q 的坐标为1(,)b a a P ∵时椭圆上的点，即2214a b +=2222144()4()(1)1b b a a a-=-=∴ ，因此点Q 落在双曲线22441x y -=上（3）设Q 所在的抛物线方程为22(),0y q x c q =-≠将1(,)b Q a a 代入方程，得2212()b q c a a=-，即2222b qa qca =-当0qc =时，22b qa =，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当12qc =时，22211()24a b c c-+= ，此时点P 的轨迹落在圆上； 当102qc qc >≠且时，2221()2142a b c c c-+=，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0qc <时2221()211()42a b c qc c--=-，此时点P 的轨迹落在双曲线上；21．解（1）由题意得1,322,31,()3,3n n k a n k k Z n k +=-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩(2) 当101a <<时，211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =+，1623aa =+， 1733a a =+，, 1313113k k a a --=+，133123k k a a -=+，1313133k k aa +-=+10012345669899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++ ∴1111131(36)(6)(6)(6)33a a a a a =+++++++++ 113111(31)63333a a =++++++⨯13111(11)19823a =-+（3）当3d m =时，211a a m=+311131311333m m m a a a a a m m +-=+=-+<<+=∵， 13213m a a m m +=+∴； 11661133333m m a a a a m m m +=-+<<+=∵， 162219m a a m m +=+∴；1199122133399m m a a a a m m m +=-+<<+=∵，1923127m a a m m+=+∴211a a m -=∴，13213m a a m m +-=， 162219m a a m m +-=，1923127m a a m m+-=∴综上所述，当3d m =时，数列21a m -，321m a m +-，621m a m +-，921m a m+-是公比为13m的等比数列当31d m ≥+时，132310,m a a d m ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 1623133,3,m a a d m ++⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭1633310,,m a d a d m +++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭192333113,3,m a m d a d m m +++-⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ……15分由于3210m a m +-<，6210m a m +->，9210m a m +-> 故数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----不是等比数列所以，数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列当且仅当3d m = ……18分。
(211)2008年上海高考数学真题(文科)试卷(word解析版)
得 分 评 卷 人得 分 评 卷 人绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11<-x 的解集是 .2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a = . 3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z = . 4．若函数)(x f 的反函数为x x f21log )(=-，则=)(x f .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a += .6．若直线01=+-y ax 经过抛物线x y 42=的焦点，则实数=a . 7．若z 是实系数方程022=++p x x 的一个虚根，且2=z ，则=p .8．在平面直角坐标系中，从五个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）.9．若函数)2)(()(a bx a x x f ++= )R (∈b a 、常数是偶函数，且它的值域为(]4,∞-， 则该函数的解析式=)(x f .10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是.11．在平面直角坐标系中，点C B A 、、的坐标分别为），（10、），（24、），（62. 如果 ),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy w =取到最大值时，点P 的坐标是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分．12. 设P 是椭圆1162522=+y x 上的点. 若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于[答] ( )(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直 线l 与平面α垂直”的 [答] ( ) (A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.(C) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件. 14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( ) (A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该 圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥， 则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( )(A) . (B) . (C) . (D) . 三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．AB CD得 分 评 卷 人得 分 评 卷 人得 分 评 卷 人得 分 评 卷 人16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD -中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. [解]17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC . 小区的两个出入口设置在点A 及点C 处. 小区里有两条笔直的小路AD 、DC ，且拐弯处的转角为120°. 已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）. [解]18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2 小题满分10分．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+==6π2cos )(,2sin )(x x g x x f ，直线t x =)R (∈t 与函数)(x f 、)(x g 的图像分别交于NM 、两点. （1）当4π=t 时，求||MN 的值； （2）求||MN 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t 时的最大值.[解]（1）19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围. [解] （1）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线12:22=-yxC.（1）求双曲线C的渐近线方程；（2）已知点M的坐标为)1,0(. 设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点. 记MQMP⋅=λ. 求λ的取值范围；（3）已知点MED、、的坐标分别为)1,0()1,2()1,2(、、---，P为双曲线C上在第一象限内的点. 记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长. 试将s表示为直线l的斜率k的函数.[解]（1）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a：11=a，22=a，ra=3，23+=+nnaa（n是正整数），与数列{}nb：11=b，02=b，13-=b，04=b，nnbb=+4（n是正整数）. 记nnnababababT++++=332211.（1）若6412321=++++aaaa ，求r的值；（2）求证：当n是正整数时，nTn412-=；（3）已知0>r，且存在正整数m，使得在,,212112++mmTT，1212+mT中有4项为100. 求r的值，并指出哪4项为100.[解] (1)[证明]（2）2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海数学试卷(文史类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 解答一、（第1题至第11题）1.)2,0(.2. 2.3. +1i .4. )R (2∈x x .5.7. 6. 1-. 7. 4. 8.54. 9. 422+-x . 10. 5.10,5.10==b a . 11. ⎪⎭⎫⎝⎛5,25.二、（第12题至第15题）题 号 1213 1415代 号DCB D 三、（第16题至第21题）16．[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF . ABCD EF 平面⊥，EDF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. …… 4分 由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . …… 8分DF EF ⊥ ， 55tan ==∠∴DF EF EDF . …… 10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan . …… 12分17. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO . …… 4分 在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， …… 6分 即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+, …… 9分 解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . …… 2分 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . …… 4分 在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC 21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴700=AC （米）， …… 6分14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . …… 9分 在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ，∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分18. [解] （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=6π4π2cos 4π2sin ||MN …… 2分233π2cos1=-=. …… 5分 （2）||MN ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=6π2cos 2sin t tt t 2cos 232sin 23-=…… 8分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6π2sin 3t . …… 11分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6ππ,6π6π2t ， …… 13分 ∴ ||MN 的最大值为3. …… 15分 19. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，x x x f 212)(-=. …… 2分 由条件可知 2212=-xx ，即 012222=-⋅-xx ， 解得 212±=x . …… 6分02>x ，()21log 2+=∴x . …… 8分（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， …… 10分即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . …… 13分 ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-. …… 16分 20. [解]（1）所求渐近线方程为022,022=+=-x y x y . …… 3分 （2）设P 的坐标为()00,y x ，则Q 的坐标为()00,y x --. …… 4分 ()()1,1,0000---⋅-=⋅=y x y x MQ MP λ 12020+--=y x 22320+-=x . …… 7分20≥x,∴ λ的取值范围是(]1,-∞-. …… 9分 （3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l 的斜率⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,0k . …… 11分 由计算可得，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0k 时，22112)(k k k s +-=； 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,21k 时，22112)(k k k k k s +++=. …… 15分 s ∴表示为直线l 的斜率k 的函数是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+++≤<+-=.2221,112,210,112)(2222k k k k k k k kk s …… 16分21. [解]（1） 12321a a a a ++++)6(87)4(65)2(4321++++++++++++++=r r r rr 448+=. …… 2分 64448=+r ，∴4=r . …… 4分[证明]（2）用数学归纳法证明：当+∈Z n 时，n T n 412-=.① 当1=n 时，12T 1197531a a a a a a -+-+-=4-=，等式成立. …… 6分 ② 假设k n =时等式成立，即k T k 412-=， 那么当1+=k n 时，)1(12+k T k T 12=1112912712512312112++++++-+-+-+k k k k k k a a a a a a …… 8分)88()48()58()48()8()18(4+-++++-+++-++-=k r k k k r k k k 44--=k )1(4+-=k ，等式也成立.根据①和②可以断定：当+∈Z n 时，n T n 412-=. …… 10分 [解]（3）m T m 412-=(1≥m ).当212,112++=m m n 时，n T 14+=m ； 当412,312++=m m n 时，n T r m -+-=14； 当612,512++=m m n 时，n T r m -+=54； 当812,712++=m m n 时，r m T n --=4；当1012,912++=m m n 时，44+=m T n ；当1212,1112++=m m n 时，44--=m T n . …… 13分 14+m 是奇数，r m -+-14，r m --4，44--m 均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. …… 15分 ∴ 1004454=+=-+m r m ，解得24=m ，1=r ，此时298297294293,,,T T T T 为100. …… 18分1．不等式11x -＜的解集是 ． 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<. 2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a = ．【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素. 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 【答案】1i +【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-. 4．若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ．【答案】()2xx R ∈【解析】令2log (0),y x x =>则y R ∈且2,y x =()()2.x f x x R ∴=∈5．若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++22||||2||||cos73a b a b π=++=||7.a b ⇒+=6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 【答案】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ． 【答案】4【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z =⇒=，由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=--=8．在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）． 【答案】45【解析】由已知得 A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线, 所以五点中任选三点能构成三角形的概率为333524.5C C -= 9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，， 则该函数的解析式()f x = ．【答案】224x -+【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数，则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，，224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ．【答案】10.5,10.5a b ==【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，总体方差最小.11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ， 是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标 是 ．【答案】5,52⎛⎫⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点， 则12PF PF +等于（ ） A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直” 是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 【答案】C【解析】“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”. 14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ， 则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【答案】B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或. 15．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ．ABB ．BC C ．CD D ．DA【答案】D【解析】由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方, ∴当Q 在DA 上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点, ∴Q 组成的集合是劣弧DA .三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF .∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分由题意，得EF =111.2CC = ∵11,2CF CB DF ==∴=..8分∵ EF ⊥DF ， ∴tan 5EF EDF DF ∠==……………..10分 故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan5….12分17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060在CDO ∆中，2222cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分 解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中∴ AC =700（米）…………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图象分别交于M 、N 两点． （1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分 231cos.32π=-=………………………………5分 （2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 2222t t =-……...8分 26t π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………………………….11分 ∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN ……………15分19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||1()22xx f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．19、【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分 由条件可知，2122,22210,2x x x x -=-⋅-=即解得21x =…………6分∵(220,log 1x x >∴= …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t t t t m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．20、【解】（1）所求渐近线方程为0,0y x y x == ……………...3分 （2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分 ()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分02x ≥λ∴的取值范围是(,1].-∞-……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l的斜率.k ⎛∈ ⎝⎭……………11分由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝⎭时……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭⎩….16分21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分． 已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列 {}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）． 记112233n n n T b a b a b a b a =++++．（1）若1231264a a a a ++++=，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．21、【解】（1） 12312...a a a a ++++()()()12342564786r r r r =++++++++++++++484.r =+………………..2分 ∵ 48464, 4.r r +=∴=………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。
2008高考理科数学(含答案)
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 14．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长． 18．（本小题满分12分） 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．20．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值． 22．（本小题满分12分） 设函数sin ()2cos xf x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．AB CD EA 1B 1C 1D 12008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案和评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题13．2 14．2 5．3+16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =， 由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··············································· 5分 （Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ················································································································ 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==， 故2206513AB =，132AB =． 所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ····························································································· 10分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ， 则4~(10)B p ξ，．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=， ··································································································································· 2分 ()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =． ························································································································ 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 1000010000500E aE ηξ=--， ······················································ 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯．0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．········································································· 12分19．解法一：依题设知2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．由三垂线定理知，1BD AC ⊥．···························································································· 3分在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于1AA ACFC CE== 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1AC EF ⊥． 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直， 所以1AC ⊥平面BED ． ······································································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ······································································ 8分EFCE CF CG EF ⨯==EG ==． 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC ==11AG AC CG =-=．11tan A GA HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为 ······························································· 12分 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．(021)(220)DE DB == ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······················································································· 3分AB CDEA 1B 1C 1D 1 FH G（Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DB DE D = ，所以1AC ⊥平面DBE ． ········································································································ 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥ n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ··································································· 9分1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角，111cos AC AC AC ==，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为arccos 42． ······························································ 12分 20．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ·························································································· 4分 因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ·············································································· 6分 （Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ， 于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ········································································· 12分 21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ··············································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．①由6ED DF = 知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以212k =+， 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ············································································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h==． ·····································································9分又AB==AEBF的面积为121()2S AB h h=+12===≤当21k=，即当12k=时，上式取等号．所以S的最大值为 ·······························12分解法二：由题设，1BO=，2AO=．设11y kx=，22y kx=，由①得2x>，21y y=->，故四边形AEBF的面积为BEF AEFS S S=+△△222x y=+ ······························································································································9分===当222x y=时，上式取等号．所以S的最大值为··················································12分22．解：（Ⅰ）22(2cos)cos sin(sin)2cos1()(2cos)(2cos)x x x x xf xx x+--+'==++．·····································2分当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<．因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数． ···································· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭．故当13a ≥时，()0g x '≥． 又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤． ······························ 9分 当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-． 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>． 因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加．故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=， 即sin 3x ax >．于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x xf x ax x =>>+．当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=>⎪⎝⎭ ≥． 因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． ····················································································· 12分。
最新上海高考数学试卷理科答案与解析
精品文档2008年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）（2008?上海）不等式|x﹣1|＜1的解集是（0，2）．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴﹣1＜x﹣1＜1?0＜x＜2．故答案为：（0，2）．【点评】此题考查绝对值不等式的解法，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型，此题是一道基础题．2．（4分）（2008?上海）若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=2．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】由题意A∩B={2}，得集合B中必定含有元素2，且A，B只有一个公共元素2，可求得a即可．【解答】解：由A∩B={2}，则A，B只有一个公共元素2；可得a=2．故填2．【点评】本题考查了集合的确定性、交集运算，属于基础题．3．（4分）（2008?上海）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则z=1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简出z，然后化简表达式为a+bi（a、b∈R）即可．解：由．【解答】．故答案为：1+i 本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．【点评】12﹣．=4）2＞f（x）=x（x0），则f（）的反函数为上海）若函数分）4．（4（2008?f（x反函数．【考点】计算题．【专题】21﹣t=2．（=4t＞0）?=4f4【分析】令f（）=t?（t）?t=t ）【解答】解：令f（41﹣，）∴f（t=42）t＞0（t∴=4 ．∴t=2 ．答案：2精品文档．精品文档【点评】本题考查反函数的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．则，的夹角为满足，且=5．（4分）（2008?上海）若向量与．平面向量数量积的运算．【考点】根据【分析】可得答案．解：∵与【解答】且的夹角为=7∴∴则=故答案为：本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．【点评】上海）函数的最大值是（4分）（2008?6．．2三角函数的最值；运用诱导公式化简求值．【考点】计算题．【专题】先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦函数的性质即可得到其最大值．【分析】．解：由【解答】2 故答案为：考查考生对正弦本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的性质﹣﹣最值．【点评】函数的性质的掌握和应用．三角函数式高考的一个必考点，重点在对于基础知识的考查．、1）C（1，、B（2，0）、）20087．（4分）（?上海）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果3）、F（，3（D（0，2）、E2，2用分数表示）．【考点】等可能事件的概率．【分析】本题是一个古典概型．由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；3333﹣CC六个无共线的点生成三角形总数为C；可构成三角形的个数为C﹣3646【解答】解：本题是一个古典概型F、C、E、共线；由题目中所给的坐标知A C、D共线；、B3 C∵六个无共线的点生成三角形总数为：；6333，=15C﹣﹣C可构成三角形的个数为：C364；∴所求概率为：精品文档．精品文档．故答案为：在计算时要求做实际上是考查排列组合问题在几何中的应用，【点评】本题考查的是概率，到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．）（x+∞）时，f）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，8．（4分）（2008?上海）设函数f（x （）∪，x=lg x，则满足f（）＞0的x的取值范围【考点】奇函数．【专题】压轴题．的图象，然后由奇函数的图象关于原点对=lg x（x）0（，+∞）时，f【分析】首先画出x∈）时的图象，∞，0称画出x∈（﹣最后观察图象即可求解．）的草图f（x【解答】解：由题意可画出）+∞，0）∪（1，f观察图象可得（x）＞0的解集是（﹣1 ）+∞0）∪（1，故答案为（﹣1，的图象特征，同时考查数形结合的思想方）x=lg x【点评】本题考查奇函数及对数函数f（法．，，13.7b，12，3，7，a，已知总体的各个体的值由小到大依次为．9（4分）（2008?上海）2，3的取b．若要使该总体的方差最小，则a、，20，且总体的中位数为10.5，平均数为1018.3 值分别是．b=10.5a=10.5，极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【考点】综合题；压轴题．【专题】）﹣10与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求（aa 【分析】根据中位数的定义得到22的二次函数，求出函数的最小a，得到关于ba10）最小，利用与b的关系式消去﹣+（b b的值．值即可得到a和10解：这．个数的中位数为=10.5【解答】．10这个数的平均数为10 要使总体方差最小，22 b+10a即（﹣）（﹣最小．10）精品文档．精品文档2222﹣+（b10）10）=（21﹣b﹣10）（又∵（a﹣10）+b﹣222）=2b﹣42b+221，（11﹣b）+（b﹣10=22﹣10）取得最小值．10b=10.5时，（a﹣）+（b∴当又∵a+b=21，a=10.5，b=10.5．∴b=10.5 故答案为：a=10.5，此题是一道【点评】考查学生掌握中位数及方差的求法，以及会利用函数的方法求最小值．综合题．要求学生灵活运用二次函数的知识解决数学问题．上海）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区?（200810．（4分）的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高2b2a，短轴长为（含边界），其边界是长轴长为现有船只经且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，h，度分别为h、21，那么船θθ、过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为21．θ+h?cotθ≤2a只已进入该浅水区的判别条件是h?cot2112【考点】椭圆的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】先根据题意分别表示出|MF|和|MF|，只要令|MF|+|MF|小于或等于椭圆的长轴即2211可．【解答】解：依题意，|MF|+|MF|≤2a?h?cotθ+h?cotθ≤2a；221211故答案为：h?cotθ+h?cotθ≤2a2112【点评】本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生运用基础知识解决实际问题的能力．2x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=分）（2008?上海）方程x+的11．（44）图象交点的横坐标，若x+ax﹣4=0的各个实根x，x，…，x（k≤4）所对应的点（x，i21k（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】原方程等价于，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．3+a，原方程的实根是曲线，原方程等价于y=x≠【解答】解析：方程的根显然x033的交点的横坐标；而曲线y=x与曲线+a是由曲线y=x向上或向下平移|a|个单位而得到精品文档．精品文档与交点为：（﹣2，，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x的．若交点（x），（i=1，2i（2，2）；，﹣2）所以结合图象可得：；【点评】华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）r）∈Z）恒等于（＞nr≥1，n、r（12．（4分）2008?上海）组合数C（n（r+1）n+1．B．（）A D．nr ．C【考点】组合及组合数公式．【专题】计算题．rr1﹣的关系，即可得答案．由组合数公式，【分析】C进行运算、化简，找到其与c 1nn﹣，解：由【解答】故选D．【点评】本题考查组合数公式的运用，须准确记忆公式，另外如本题的一些性质需要学生了解．13．（4分）（2008?上海）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．精品文档．精品文档【分析】由垂直的定义，我们易得“直线l与平面α垂直”?“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题，反之，“直线l与平面α内无数条直线都垂直”?“直线l与平面α垂直”却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”?“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”?“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选C【点评】判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．﹣的无穷等比数列，且{a}各项}是首项为1，公比为a200814．（4分）（?上海）若数列{a nn的和为a，则a的值是（）．．2CD．A．1B【考点】等比数列的前n项和；等比数列．【专题】压轴题．【分析】由无穷等比数列{a}各项和为a，则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可．n﹣，且|q|＜1，，【解答】解：由题意知a=1q=a 1，即，==a∴S n解得a=2．故选B．【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式与极限思想．15．（4分）（2008?上海）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）精品文档．精品文档DC．．A．B ．二元一次不等式（组）与平面区域．【考点】【专题】压轴题．落在两直线则点P过点P′分别作平行于两坐标轴的直线，【分析】P优于P′的几何意义是：构成的左上方区域内．组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直解：依题意，在点Q【解答】Q组成的集合才为所求．线，构成的左上方区域与点Q组成的集合无公共元素，这样点D．故选本题考查如何把代数语言翻译成几何语言，即数与形的结合．【点评】分）6小题，满分90三、解答题（共的是BCDBC中，EABCD12（分）（2008?上海）如图，在棱长为2的正方体﹣A16．11111所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．DE与平面ABCD中点．求直线直线与平面所成的角．【考点】计算题．【专题】所ABCD与平面EDF是直线DE，得到∠于⊥过【分析】E作EFBC，交BCF，连接DF 中求出此角即可．成的角，然后再在三角形EDF ．，连接于，交⊥作解：过【解答】EEFBCBCFDF精品文档．精品文档BC⊥BC，CC∵EF⊥1ABCD ⊥平面CC，而CC∴EF∥11，EF⊥平面ABCD∴分）所成的角（4与平面∴∠EDF是直线DEABCD．EF=由题意，得∵分）（8∵EF⊥DF分），∴（10．所成角的大小是ABCD故直线分）DE与平面（12运算能力和推理论证本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力、【点评】能力，属于基础题．，小区的扇形AOB上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°（17．13分）（2008?C 已知某人从的小路CD，处，的两个出入口设置在点A及点C且小区里有一条平行于BO分钟，若此人步行的速度为每分钟6A用了沿10分钟，从DDA走到沿CD走到D用了米）的长（精确到150米，求该扇形的半径OA【考点】弧长公式．【专题】三角函数的求值．的长度．，可由余弦定理得到CDO=60°OCOC 【分析】连接，由CD∥OB知∠．r米，连接CO【解答】解：法一：设该扇形的半径为CDO=60°（米）（米），DA=300，∠CD=500由题意，得222 =OC°?2CDOD?cos60﹣CDCDO在△中，+OD即，解得（米）精品文档．精品文档答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°222在△CDO中，AC=CD+AD﹣=．°?AD?cos1202?CD ．AC=700∴（米）．AH=350（米），，在直角△HAO中，．（米）∴答：该扇形的半径OA的长约为445米．【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长．上海）已知双曲线，P为C（2008?上的任意点．．18（15分）（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题．【分析】（1）先设P（x，y）是双曲线上任意一点，再求出双曲线的渐近线方程，根据点11到线的距离公式分别表示出点P（x，y）到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理即11可得到答案．2（2）先设P的坐标为（x，y），根据两点间的距离公式表示出PA|并根据双曲线方程为，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值．精品文档．精品文档【解答】解：（1）设P（x，y）是双曲线上任意一点，11该双曲的两条渐近线方程分别是x﹣2y=0和x+2y=0．和，）到两条渐近线的距离分别是x，y 点P（11?．它们的乘积是点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．222== =（x﹣3）+y（（2）设P的坐标为x，y），则|PA|2，，∴当时，|PA|∵|x|≥2的最小值为的最小值为．即|PA|【点评】本题主要考查双曲线的基本性质﹣﹣渐近线方程，考查点到线的距离公式和两点间的距离公式．上海）已知函数．2008? 19．（16分）（，求x的值；）若f（x）=2（1t恒成立，求实数0m对于的取值范围．（）若3f（2t）+mft）≥2（【考点】函数恒成立问题；函数的值．【专题】综合题．【分析】（1）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；t，代入得t）=）≥0恒成立得到，得到f（+mf（2）由时，3f（2t）（t到m的范围即可．xx【解答】解（1）当x＜0时，f（x）=3﹣3=0，∴f（x）=2无解；，，时，x当＞0xx2 1=0，3）∴（3﹣2?﹣．∴x 3∵＞0，．∴（舍）∴，．∴精品文档．精品文档）∵，2 （，∴．∴，∴2t 1恒成立m即＞﹣3﹣时2t又﹣3﹣1∈[﹣10，﹣4]，∴m＞﹣4．∴实数m的取值范围为（﹣4，+∞）．【点评】考查学生理解函数恒成立的条件，以及会根据条件求函数值的能力．20．（16分）（2008?上海）设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原2点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x=2py（p≠0）的异于原点的交点（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标2，p==1）在椭圆上，ab（a，b）（≠0+y）若点（2P22 =1上Q落在双曲线4x﹣4y求证：点轴对称的抛物线上，，若点Q始终落在一条关于≠）若动点（3P（a，b）满足ab0，xp=试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】综合题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立姐方程求出交点坐标，（2）将直线方程与抛物线方程联立求出交点Q的坐标；将P的坐标代入椭圆方程得到a，b满足的关系，变形得到Q的坐标满足双曲线方程，证出点Q在双曲线上．（3）设出Q所在的抛物线方程，将Q的坐标代入得到a，b满足的方程；通过对p，c的分类讨论得到P所在的曲线．【解答】解：（1）当a=1，b=2，p=2时，得即点Q的坐标为（8，16）解方程组（3分）得）证明：由方程组2（的坐标为（5Q分）即点=1时椭圆上的点，即∵P精品文档．精品文档∴，22 8分）4y=1上（Q因此点落在双曲线4x﹣2 10分）≠0（x﹣c），qy（3）设Q所在的抛物线方程为=2q（22 12分），即b=2qa﹣2qca将（代入方程，得2的轨迹落在抛物线上；=2qa，此时点P当c=0时，b的轨迹落在圆上；时，当，此时点qc=P的轨迹落在椭圆上；，此时点≠P时，=1当qc＞0且qc分）（16=1，此时点P当qc＜0的轨迹落在双曲线上；时判断动本题考查直线与圆锥曲线的位置关系常用的处理方法是将它们的方程联立、【点评】点的轨迹常通过动点的方程来判断．=}满足：a为首项的数列分）（2008?上海）已知以a{a1821．（n+1n1的通项公式时，求数列{a}，）当a=1c=1，d=3（1n1项的和100S表示数列{a}的前a＜2）当0＜a1，c=1，d=3时，试用（100n11，﹣﹣，aa时，是正整数）m，，c=d≥3m求证：数列a﹣，（a0）（3当＜＜6m+2213m+2．成等比数列当且仅当d=3ma﹣9m+2【考点】数列的应用；等比关系的确定；数列递推式．计算题；证明题；压轴题．【专题】1【分析】（）由题意得精品文档．精品文档，，所以S=a（2+）由题意知，1100（a+a+a）+（a+a+a）+…+（a+a+a）1006498699253=．=，d=3m，时，数列，（3）由题设条件可知，当，时，的等比数列；当d≥3m+1，是公比为，不是等比数列．所以，数列故数列，成等比数列当且仅当d=3m）由题意得1 【解答】解：（（2）当0＜a＜1时，a=a+1，a=a+2，a=a+3，1231141，，，，，∴S=a+（a+a+a）+（a+a+a）+…+（a+a+a）10059910061723984===）当（3d=3m，时，∵，∴；∵∴；精品文档．精品文档，∵，∴，∴，，∴，，综上所述，当d=3m，时，数列是公比为的等比数列时，，≥当d3m+1，，，由于，，故数列，不是等比数列，所以，数列d=3m成等比数列当且仅当本题考查数列的性质及其应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出【点评】错．精品文档．。
2008年上海市高考数学试卷(理科)及答案
2008年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）不等式|x﹣1|＜1的解集是．2．（4分）若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=．3．（4分）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则z=．4．（4分）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x＞0），则f（4）=．5．（4分）若向量，满足且与的夹角为，则=．6．（4分）函数的最大值是．7．（4分）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．8．（4分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是．9．（4分）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是．10．（4分）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是．11．（4分）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．B．（n+1）（r+1）C．nr D．13．（4分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要14．（4分）若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．三、解答题（共6小题，满分90分）16．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）18．（15分）已知双曲线，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．19．（16分）已知函数．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3t f（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．21．（18分）已知以a1为首项的数列{a n}满足：a n+1=（1）当a1=1，c=1，d=3时，求数列{a n}的通项公式（2）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，试用a1表示数列{a n}的前100项的和S100（3）当0＜a1＜（m是正整数），c=，d≥3m时，求证：数列a2﹣，a3m+2﹣，a9m+2﹣成等比数列当且仅当d=3m．﹣，a6m+22008年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）（2008•上海）不等式|x﹣1|＜1的解集是（0，2）．【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2．故答案为：（0，2）．2．（4分）（2008•上海）若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=2．【分析】由题意A∩B={2}，得集合B中必定含有元素2，且A，B只有一个公共元素2，可求得a即可．【解答】解：由A∩B={2}，则A，B只有一个公共元素2；可得a=2．故填2．3．（4分）（2008•上海）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则z=1+i．【分析】直接化简出z，然后化简表达式为a+bi（a、b∈R）即可．【解答】解：由．故答案为：1+i．4．（4分）（2008•上海）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x＞0），则f（4）=2．【分析】令f（4）=t⇒f﹣1（t）=4⇒t2=4（t＞0）⇒t=2．【解答】解：令f（4）=t∴f﹣1（t）=4，∴t2=4（t＞0）∴t=2．答案：2．5．（4分）（2008•上海）若向量，满足且与的夹角为，则=．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：6．（4分）（2008•上海）函数的最大值是2．【分析】先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦函数的性质即可得到其最大值．【解答】解：由．故答案为：27．（4分）（2008•上海）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．【分析】本题是一个古典概型．由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；六个无共线的点生成三角形总数为C63；可构成三角形的个数为C63﹣C43﹣C33【解答】解：本题是一个古典概型由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；∵六个无共线的点生成三角形总数为：C63；可构成三角形的个数为：C63﹣C43﹣C33=15，∴所求概率为：；故答案为：．8．（4分）（2008•上海）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．【分析】首先画出x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x的图象，然后由奇函数的图象关于原点对称画出x∈（﹣∞，0）时的图象，最后观察图象即可求解．【解答】解：由题意可画出f（x）的草图观察图象可得f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）9．（4分）（2008•上海）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是a=10.5，b=10.5．【分析】根据中位数的定义得到a与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求（a﹣10）2+（b﹣10）2最小，利用a与b的关系式消去a，得到关于b的二次函数，求出函数的最小值即可得到a和b的值．【解答】解：这10个数的中位数为=10.5．这10个数的平均数为10．要使总体方差最小，即（a﹣10）2+（b﹣10）2最小．又∵（a﹣10）2+（b﹣10）2=（21﹣b﹣10）2+（b﹣10）2=（11﹣b）2+（b﹣10）2=2b2﹣42b+221，∴当b=10.5时，（a﹣10）2+（b﹣10）2取得最小值．又∵a+b=21，∴a=10.5，b=10.5．故答案为：a=10.5，b=10.510．（4分）（2008•上海）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a．【分析】先根据题意分别表示出|MF1|和|MF2|，只要令|MF1|+|MF2|小于或等于椭圆的长轴即可．【解答】解：依题意，|MF1|+|MF2|≤2a⇒h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a；故答案为：h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a11．（4分）（2008•上海）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【分析】原方程等价于，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．【解答】解析：方程的根显然x≠0，原方程等价于，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线的交点的横坐标；而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x i，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：；二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）（2008•上海）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．B．（n+1）（r+1）C．nr D．r﹣1的关系，即可得【分析】由组合数公式，C n r进行运算、化简，找到其与c n﹣1答案．【解答】解：由，故选D．13．（4分）（2008•上海）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要【分析】由垂直的定义，我们易得“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题，反之，“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选C14．（4分）（2008•上海）若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．【分析】由无穷等比数列{a n}各项和为a，则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可．【解答】解：由题意知a1=1，q=a﹣，且|q|＜1，∴S n==a，即，解得a=2．故选B．15．（4分）（2008•上海）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【分析】P优于P′的几何意义是：过点P′分别作平行于两坐标轴的直线，则点P 落在两直线构成的左上方区域内．【解答】解：依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域与点Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的集合才为所求．故选D．三、解答题（共6小题，满分90分）16．（12分）（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，得到∠EDF是直线DE与平面ABCD 所成的角，然后再在三角形EDF中求出此角即可．【解答】解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．∵EF⊥BC，CC1⊥BC∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD，∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）由题意，得EF=．∵（8分）∵EF⊥DF，∴．（10分）故直线DE与平面ABCD所成角的大小是（12分）17．（13分）（2008•上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）【分析】连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°=OC2即，解得（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°在△CDO中，AC2=CD2+AD2﹣2•CD•AD•cos120°=．∴AC=700（米）．．在直角△HAO中，AH=350（米），，∴（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．18．（15分）（2008•上海）已知双曲线，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．【分析】（1）先设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示出点P（x1，y1）到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理即可得到答案．（2）先设P的坐标为（x，y），根据两点间的距离公式表示出PA|2并根据双曲线方程为，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值．【解答】解：（1）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是x﹣2y=0和x+2y=0．点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是•．点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2==∵|x|≥2，∴当时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为．19．（16分）（2008•上海）已知函数．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3t f（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f （x）=2求出x即可；（2）由时，3t f（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．【解答】解（1）当x＜0时，f（x）=3x﹣3x=0，∴f（x）=2无解；当x＞0时，，，∴（3x）2﹣2•3x﹣1=0，∴．∵3x＞0，∴（舍）．∴，∴．（2）∵，∴，∴．∴，即时m≥﹣32t﹣1恒成立又﹣32t﹣1∈[﹣10，﹣4]，∴m≥﹣4．∴实数m的取值范围为[﹣4，+∞）．20．（16分）（2008•上海）设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立姐方程求出交点坐标，（2）将直线方程与抛物线方程联立求出交点Q的坐标；将P的坐标代入椭圆方程得到a，b满足的关系，变形得到Q的坐标满足双曲线方程，证出点Q在双曲线上．（3）设出Q所在的抛物线方程，将Q的坐标代入得到a，b满足的方程；通过对p，c的分类讨论得到P所在的曲线．【解答】解：（1）当a=1，b=2，p=2时，解方程组得即点Q的坐标为（8，16）（3分）（2）证明：由方程组得即点Q的坐标为（5分）∵P时椭圆上的点，即=1∴，因此点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（8分）（3）设Q所在的抛物线方程为y2=2q（x﹣c），q≠0（10分）将代入方程，得，即b2=2qa﹣2qca2（12分）当c=0时，b2=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；当qc=时，，此时点P的轨迹落在圆上；当qc＞0且qc≠时，=1，此时点P的轨迹落在椭圆上；当qc＜0时=1，此时点P的轨迹落在双曲线上；（16分）21．（18分）（2008•上海）已知以a1为首项的数列{a n}满足：a n+1=（1）当a1=1，c=1，d=3时，求数列{a n}的通项公式（2）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，试用a1表示数列{a n}的前100项的和S100（3）当0＜a1＜（m是正整数），c=，d≥3m时，求证：数列a2﹣，a3m+2﹣，a9m+2﹣成等比数列当且仅当d=3m．﹣，a6m+2【分析】（1）由题意得（2）由题意知，，，所以S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a6）+…+（a98+a99+a100）==．（3）由题设条件可知，当d=3m时，数列，，，是公比为的等比数列；当d≥3m+1时，，，故数列，不是等比数列．所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m【解答】解：（1）由题意得（2）当0＜a1＜1时，a2=a1+1，a3=a1+2，a4=a1+3，，，，，，∴S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+…+（a98+a99+a100）===（3）当d=3m时，，∵，∴；∵∴；∵，∴，∴，，，∴综上所述，当d=3m时，数列，，，是公比为的等比数列当d≥3m+1时，，，，，由于，，故数列，不是等比数列所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m。
2008年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)
学习县委书记刘天波在县一中教职工大会上讲话心得体会杨喜莲近段时间，自己认真学习了县委书记刘天波在县一中教职工大会上讲话会上的讲话，刘书记从三大方面高瞻远瞩地阐述清水教育发展存在的差距、发展的思路目标以及切实可行的措施，提出急需解决的“五个问题”，全力重视和抓好三个方面的具体工作。
这次讲话是凝聚人心、鼓舞志气、求实创新、团结奋进的讲话，吹响了坚持科学发展、办好人民满意教育、促进教育大发展的进军号角，开启了新起点上实现全县教育事业崛起新跨越的征程。
使我重新掂量了肩上担子的分量，明确了努力的方向，必须做一个业务能力强、综合素质高的教师，才能紧随教育改革的步伐，否则将会被淘汰，要想达到这一目标，我认为应从以下几方面做起。
一、加强学习，强化创新意识。
江泽民讲：“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。
”回顾以往，我们虽然对创新有了一定的认识。
但在实际教学中创新意识不是很强，力度也不够。
例如：在备课中，我们更多关注的是怎样符合规范化要求和应对各级领导的检查，很少关注其实用价值，既便关注，也只是把备课重点放“教法”上，很少去研究“学法”，关注学生的学习情感，在课堂教学中我们总是希望学生按教案设计的思路，对教师的提问做出回答。
当学生没有回答出教案中预设问题的答案时，教师不厌其烦地引导，要求其他学生再答，直到有人说出了教师教案中的答案，教师才心满意足。
这种教师牵着学生走的模式，大大扼杀了许多学生精彩的想法和创新的思想，教师过多的引导、讲解，挤掉了学生独立思考，探讨和练习的时间，导致课堂效率低，教学质量偏差，要想提高教学质量，就必须扭转这一现象，变以“教”为中心的教案为以“学”为中心的学案，陶行知先生说过：“我认为好的先生不是教书，不是教学生，而是教学生涯。
”如何教学生学，甚至学好，这就需要我们不断地去学习、去研究，去总结。
二、加强研讨，提高合作能力。
有句俗话说得好：“众人拾柴火焰高。
”新教材更需要教师的合作，因为它注重的不是教参，不是现成的课时教案，而是学生学习的实际情况，要想在课堂上大力创新，得心应手解决教学中出现的新情况、新问题，除了独自加强学习外，还必须善于和同事合作交流，从他们那里直接获取信息和灵感，产生新的想法，从而达到事半功倍的效果。
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2008年普通高等学校招生全国统一考试上海高考数学试卷(文史类)
上海市教育考试院 保留版权 数学（文）2008第1页（共10页）2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷(文史类)考生注意：1. 答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟. 请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.一. 填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11<-x 的解集是 . 2．若集合{}2≤=x x A 、{}a x x B ≥=满足{}2=B A ，则实数a = .3．若复数z 满足)2(i z z -=（i 是虚数单位），则z = .4．若函数)(x f 的反函数为x x f 21log )(=-，则=)(x f .5．若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 的夹角为3π，则b a += . 6．若直线01=+-y ax 经过抛物线x y 42=的焦点，则实数=a .7．若z 是实系数方程022=++p x x 的一个虚根，且2=z ，则=p .8．在平面直角坐标系中，从五个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__________（结果用分数表示）.9．若函数)2)(()(a bx a x x f ++= )R (∈b a 、常数是偶函数，且它的值域为(]4,∞-， 则该函数的解析式=)(x f .得 分评 卷 人10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 .11．在平面直角坐标系中，点C B A 、、的坐标分别为），（10、），（24、），（62. 如果 ),(y x P 是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当xy w =取到最大值时，点 P 的坐标是 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出 代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分．12. 设P 是椭圆1162522=+y x 上的点. 若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于 [答] ( )(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.13. 给定空间中的直线l 及平面α. 条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直 线l 与平面α垂直”的 [答] ( )(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.(C) 充要条件. (D) 既非充分又非必要条件.14. 若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( )(A) 1. (B) 2. (C) 21. (D) 45. 15. 如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），D C B A 、、、是该圆的四等分点. 若点),(y x P 、点()y x P ''',满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '. 如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( )(A) . (B) . (C) . (D) .AB BC CD DA得 分 评 卷 人三. 解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分12分）如图，在棱长为 2 的正方体1111D C B A ABCD 中，1BC E 是的中点. 求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.[解]得分评卷人17.（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC. 小区的两个出入口设置在点A及点C处. 小区里有两条笔直的小路AD、DC，且拐弯处的转角为120°. 已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟. 若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）.[解]18.（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+==6π2cos )(,2sin )(x x g x x f ，直线t x =)R (∈t 与函数)(x f 、)(x g 的图像分别交于N M 、两点.（1）当4π=t 时，求||MN 的值； （2）求||MN 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t 时的最大值. [解]（1）（2）19.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第 2小题满分8分．已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.[解] （1）（2）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分， 第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线12:22=-y x C . （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为)1,0(. 设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点. 记MQ MP ⋅=λ. 求λ的取值范围；（3）已知点M E D 、、的坐标分别为)1,0()1,2()1,2(、、---，P 为双曲线C 上在第一象限内的点. 记l 为经过原点与点P 的直线，s 为△DEM 截直线l 所得线段的长. 试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数.[解]（1）（2）（3）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2 小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11=a ，22=a ，r a =3，23+=+n n a a （n 是正整数），与数列 {}n b ：11=b ，02=b ，13-=b ，04=b ，n n b b =+4（n 是正整数）. 记n n n a b a b a b a b T ++++= 332211.（1）若6412321=++++a a a a ，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，n T n 412-=；（3）已知0>r ，且存在正整数m ，使得在 ,,212112++m m T T ，1212+m T 中有4项为100. 求r 的值，并指出哪4项为100.[解] (1)[证明]（2）[解]（3）2 0 0 8 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海数学试卷(文史类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答一、（第1题至第11题）1.)2,0(.2. 2.3. +1i .4. )R (2∈x x .5. 7.6. 1-.7. 4.8. 54. 9. 422+-x . 10.5.10,5.10==b a . 11. ⎪⎭⎫ ⎝⎛5,25. 二、（第12题至第15题） 题 号12 13 14 15 代 号D C B D 16．[解] 过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF .ABCD EF 平面⊥，EDF ∠∴是直线DE 与平面ABCD 所成的角. …… 4分由题意，得1211==CC EF . 121==CB CF , 5=∴DF . …… 8分 DF EF ⊥ ， 55tan ==∠∴DF EF EDF . …… 10分故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan . …… 12分 17. [解法一] 设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），︒=∠60CDO . …… 4分在△CDO 中，22260cos 2OC OD CD OD CD =︒⋅⋅⋅-+， …… 6分 即22221)300(5002)300(500r r r =⨯-⨯⨯--+, …… 9分 解得445114900≈=r （米）. 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分 [解法二] 连接AC ，作AC OH ⊥，交AC 于H . …… 2分 由题意，得CD =500（米），AD =300（米），︒=∠120CDA . …… 4分 在△ACD 中，︒⋅⋅⋅-+=120cos 2222AD CD AD CD AC 21300500230050022⨯⨯⨯++=2700=， ∴700=AC （米）， …… 6分14112cos 222=⋅⋅-+=∠AD AC CD AD AC CAD . …… 9分 在直角△HAO 中，350=AH （米），1411cos =∠HAO ， ∴ 445114900cos ≈=∠=HAO AH OA （米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. …… 13分18. [解] （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=6π4π2cos 4π2sin ||MN …… 2分233π2cos1=-=. …… 5分 （2）||MN ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=6π2cos 2sin t tt t 2cos 232sin 23-=…… 8分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6π2sin 3t . …… 11分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0t ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6ππ,6π6π2t ， …… 13分 ∴ ||MN 的最大值为3. …… 15分 19. [解] （1）当0<x 时，0)(=x f ；当0≥x 时，xx x f 212)(-=. …… 2分 由条件可知 2212=-x x ，即 012222=-⋅-x x ， 解得 212±=x . …… 6分 02>x ，()21log 2+=∴x . …… 8分（2）当]2,1[∈t 时，021*******≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t t t t m ， …… 10分即 ()()121242--≥-t t m .0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . …… 13分 ()]5,17[21],2,1[2--∈+-∴∈t t ，故m 的取值范围是),5[∞+-. …… 16分 20. [解]（1）所求渐近线方程为022,022=+=-x y x y . …… 3分 （2）设P 的坐标为()00,y x ，则Q 的坐标为()00,y x --. …… 4分 ()()1,1,0000---⋅-=⋅=y x y x MQ MP λ12020+--=y x 22320+-=x . …… 7分20≥x,∴ λ的取值范围是(]1,-∞-. …… 9分 （3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l 的斜率⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,0k . …… 11分 由计算可得，当⎥⎦⎤⎝⎛∈21,0k 时，22112)(k k k s +-=； 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,21k 时，22112)(k k k k k s +++=. …… 15分 s ∴表示为直线l 的斜率k 的函数是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<+++≤<+-=.2221,112,210,112)(2222k k k k k k k k k s …… 16分21. [解]（1） 12321a a a a ++++)6(87)4(65)2(4321++++++++++++++=r r r rr 448+=. …… 2分 64448=+r ，∴4=r . …… 4分 [证明]（2）用数学归纳法证明：当+∈Z n 时，n T n 412-=.① 当1=n 时，12T 1197531a a a a a a -+-+-=4-=，等式成立. …… 6分 ② 假设k n =时等式成立，即k T k 412-=， 那么当1+=k n 时，)1(12+k T k T 12=1112912712512312112++++++-+-+-+k k k k k k a a a a a a …… 8分)88()48()58()48()8()18(4+-++++-+++-++-=k r k k k r k k k 44--=k )1(4+-=k ，等式也成立.根据①和②可以断定：当+∈Z n 时，n T n 412-=. …… 10分 [解]（3）m T m 412-=(1≥m ).当212,112++=m m n 时，n T 14+=m ； 当412,312++=m m n 时，n T r m -+-=14； 当612,512++=m m n 时，n T r m -+=54； 当812,712++=m m n 时，r m T n --=4； 当1012,912++=m m n 时，44+=m T n ；当1212,1112++=m m n 时，44--=m T n . …… 13分 14+m 是奇数，r m -+-14，r m --4，44--m 均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. …… 15分 ∴ 1004454=+=-+m r m ，解得24=m ，1=r ，此时298297294293,,,T T T T 为100. …… 18分1．不等式11x -＜的解集是 ． 【答案】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<. 2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a = ．【答案】2 【解析】由{2}, 22AB A B a =⇒⇒=只有一个公共元素.3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 【答案】1i +【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-. 4．若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ．【答案】()2x x R ∈ 【解析】令2log (0),y x x =>则y R ∈且2,y x =()()2.x f x x R ∴=∈5．若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ． 7【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++22||||2||||cos73a b a b π=++=||7.a b ⇒+=6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 【答案】-1【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=- 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ． 【答案】4【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z ==，由韦达定理直线22,1,zz a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=-+--=8．在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）． 【答案】45【解析】由已知得 A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线,所以五点中任选三点能构成三角形的概率为333524.5C C -= 9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，， 则该函数的解析式()f x = ． 【答案】224x -+【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数，则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，，224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20， 且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别 ． 【答案】10.5,10.5a b ==【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，总体方差最小.11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ， 是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标 是 ． 【答案】5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点， 则12PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】 由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直” 是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 【答案】C【解析】“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”. 14．若数列{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ， 则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【答案】B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或. 15．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ．ABB ．BC C ．CD D ．DA【答案】D【解析】由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方, ∴当Q 在DA 上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点, ∴Q 组成的集合是劣弧DA .三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所A B CD Oxy成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF.∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分由题意，得EF =111.2CC = ∵11,2CF CB DF ==∴=..8分 ∵ EF ⊥DF ， ∴tan 5EF EDF DF ∠==……………..10分 故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan 5.12分17．（本题满分13分） 如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里 有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060在CDO ∆中，2222cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=2220222,2cos12015003002500300700,2ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米） …………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中（米）∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）. ………………………13分18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图象分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分231cos .32π=-=………………………………5分 （2）sin 2cos 26MN t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3sin 222t t =……...8分26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………….11分∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN……………15分19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．已知函数||1()22xx f x =-． （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 19、【解】（1）()()100;0,22x x x f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知，2122,22210,2x x x x -=-⋅-=即解得21x =…………6分 ∵(220,log 1x x >∴=+ …………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t t t ttt m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线2212x C y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）已知点M 的坐标为(01)，．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记MP MQ λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s表示为直线l 的斜率k 的函数．20、【解】（1）所求渐近线方程为0,0y x y x == ……………...3分 （2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分02x ≥λ∴的取值范围是(,1].-∞-……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l的斜率.k ⎛∈ ⎝⎭……………11分由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈=时当()1,2k s k ⎛∈= ⎝⎭时……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭….16分21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分． 已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++．（1）若1231264a a a a ++++=，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．21、【解】（1） 12312...a a a a ++++()()()12342564786r r r r =++++++++++++++484.r =+………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴=………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分 ()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分 ∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。
08年上海市高考理科数学十校联考试卷
08年上海市高考理科数学十校联考试卷一、填空题. （本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}R x x y y A ∈+==,12，函数)4l g(2x x y -=的定义域为B ，则=B A ________2．不等式2112<+x 的解集为___________. 3. 函数y=1og 2(x 2+2)(x ≤0)的反函数是_________________.4．已知复数,,4321i t z i z +=+= 且21z z ⋅是实数，则实数._________=t5．函数x xx f sin )2(cos 2)(2+=的最小正周期是____________.6．以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.7.在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛32,1π到圆θρcos 2=上动点的距离的最大值为________. 8. 函数,121)(--=x x f 则方程12)(=⋅x x f 的实根的个数是_________. 9．特奥会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为___________. 10．设M 是),,,()(,30,32,p n m M f BAC ABC =︒=∠=⋅定义且内一点∆其中p n m 、、分别是yx y x M f MAB MCA MBC 41),,21()(,,,+=则若的面积∆∆∆的最小值是_______________.11．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,,R b a ∈，满足)()()(a bf b af b a f +=⋅,)(2)2(),()2(,2)2(**∈=∈==N n f b N n n f a f n n n n n 考查下列结论：（1）)1()0(f f =；（2）)(x f 为偶函数；（3）数列{}n a 为等比数列；（4）e b nb nn =+∞→)11(lim 。
2008高考上海数学文科试题含答案(全word版)
2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式11x -＜的解集是 ．2．若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B = ，则实数a = ． 3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 4．若函数f (x )的反函数为12()log fx x -=，则()f x = ．5．若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ． 6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ． 7．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ． 8．在平面直角坐标系中，从六个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ． 11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是A B C △围成的区域（含边界）上的点，那么当w x y =取到最大值时，点P 的坐标是______ ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．设p 是椭圆2212516xy+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ）A ．4B ．5C ．8D ．1013．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 14．若数列{}n a 是首项为l ，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12Ｄ．5415．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ） Ａ． ABB ． BCC ． CD D ． DA三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．(本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路A D D C ，，且拐弯处的转角为120 ．已知某人从C 沿C D 走到D 用了10分钟，从D 沿D A 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径O A 的长（精确到1米）．18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分． 已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点． （1）当π4t =时，求｜MN ｜的值；（2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||1()22xx f x =-．（1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0tf t m f t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．已知双曲线2212xC y -=：．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为(01)，．设p 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记M P M Q λ=．求λ的取值范围；（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为D E M △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值； （2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +， ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．2008年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准一、（第1题至第11题） 1. （0，2）. 2. 2. 3. 1+i. 4. ()2xx R ∈.5.6. -1.7. 4.8.45.9. 224x -+ 10. 10.5,10.5a b ==11. 5,52⎛⎫⎪⎝⎭. 二、（第12题至第15题）题号 12 13 14 15 代号DCBD三、（第16题至第21题）16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF .∵ EF ⊥平面ABCD ，∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分 由题意，得EF =111.2C C =∵11,2C F C BD F ==∴=..8分∵ EF ⊥DF ， ∴tan 5EF ED F D F∠==……………..10分故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan5….12分17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060……………………………4分 在C D O ∆中，22022cos 60,C D OD C D OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分 即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分解得490044511r =≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=………….4分 222222,2cos12015003002500300700,2AC D AC C D AD C D AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中∴ AC =700（米）…………………………..6分22211cos .214AC AD CDCAD AC AD+-∠==⋅⋅………….…….9分在直角11,350,cos 0,14H A O A H H A ∆=∠=中（米）∴ 4900445cos 11A H O A H AO==≈∠（米）. ………………………13分18、【解】（1）sin 2cos 2446M N πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………….2分 231cos.32π=-=………………………………5分（2）sin 2cos 26M N t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭3sin 2cos 222t t =- …………...8分s i n 26t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………………………….11分∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………13分∴ ｜MN. ……………15分 19、【解】（1）()()100;0,22x xx f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分由条件可知，2122,22210,2x xxx-=-⋅-=即解得21x=±…………6分∵(220,log 1xx >∴=+…………..8分（2）当2211[1,2],2220,22t tt t t t m ⎛⎫⎛⎫∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时 ……………10分即 ()()242121.t t m -≥--()22210,21.ttm ->∴≥+ ………………13分()2[1,2],12[17,5],tt ∈∴-+∈--故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分20、【解】（1）所求渐近线方程为0,022y x y x -=+= ……………...3分（2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分 ()()000,1,1o M P M Q x y x y λ=⋅=-⋅---22200031 2.2x y x =--+=-+ ……………7分0x ≥λ∴的取值范围是(,1].-∞- ……………9分（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l的斜率0,.2k ⎛∈ ⎪⎝⎭……………11分由计算可得，当()1(0,],2k s k ∈=时当()1,,22k s k ⎛⎫∈= ⎪ ⎪⎝⎭时 ……………15分∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是()1(0,],21.22k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭⎩….16分21、【解】（1）()()()12312...12342564786a a a a r r r r ++++=++++++++++++++484.r =+………………..2分∵ 48464, 4.r r +=∴=………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+()4441,k k =--=-+等式也成立.根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分【解】（3）()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m Tm r nn m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。
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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{|0}A x x =>，{|12}B x x =-≤≤，则A B =（A ）{|1}x x ≥- （B ）{|2}x x ≤ （C ）{|02}x x <≤ （D ）{|12}x x -≤≤ （2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （A ）2π（B ）π （C ）32π （D ）2π（3）已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =（A ）21-（B ）2- （C ）2 （D ）21（5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则（A ）12ab ≤（B ）12ab ≥（C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤（6）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274（7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 （8）若双曲线12222=-by ax 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （9）对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（A ）,a b αα⊂⊂ （B ）,//a b αα⊂ （C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα⊂⊥ABCD（10）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于 （A ）12（B ）4π（C ）1 （D ）2π二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。