2019高三数学知识点总结
2019人教A版 高中数学知识点梳理 ---- 第六章 数列
第六章数列【知识网络】【知识点梳理】1. 数列的概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数称为数列数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项通项公式如果数列{a n}的第n项a n与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式前n项和数列{a n}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a n}的前n项和，记作S n 分类标准类型含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数________的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有__________ (n∈N*)递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有___________ (n∈N*)数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系为a n ＝S n −S n−1(n ∈N *且n ≥2))，对吗？应为_________________ 5. 常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n ＝n. (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n ＝2n. (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n ＝_________. (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n ＝_________.(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n ＝_________ . (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n ＝__________________. (7)a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式为a n ＝（a ＋b ）＋（－1）n －1（a －b ）2.(8)9，99，999，…的一个通项公式为a n ＝_______________________.6. 等差数列定义：{a n }是等差数列 a n −a n−1=d （d 是_________）或a n ＋1－a n ＝d(n ∈N ＋).⇔2a n =_______________________（n ≥2,n ∈N ∗）等差中项：由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A 叫做a 与b 的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A ＝____________. 7. 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d. 该式又可以写成a n ＝_______________ ，这表明d ≠0时，a n 是关于n 的___________函数，且____________时是增函数，___________时是减函数.(2)前n 项和公式：S n ＝_______________＝_____________________, 该式又可以写成S n ＝______________，这表明d ≠0时，S n 是关于n 的_____________函数，其中常数项__________，且___________时图象开口向上，_________时图象开口向下.8. 等差数列的性质 (1)与项有关的性质①等差数列{a n }中，若公差为d ，则a n ＝a m ＋________d ，当n ≠m 时，d ＝___________.②在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N *)，则________________. 特别地，若m ＋n ＝2p ，则__________________.③若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n ＋b}(λ，b 为常数)是公差为_________的等差数列. ④若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{λ1a n ＋λ2b n }(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为______________.⑤数列{a n }是公差为d 的等差数列，则从数列中抽出项a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…，组成的数列仍是等差数列，公差为_____________. (2)与和有关的性质①等差数列中依次k 项之和S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…组成公差为___________的等差数列. ②记S 偶为所有偶数项的和，S 奇为所有奇数项的和.若等差数列项数2n(n ∈N *)，则S 2n ＝n(a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝_______，S 偶S 奇＝a n ＋1a n (S 奇≠0)；若等差数列的项数为2n －1(n ∈N *)，则S 2n －1＝_______________(a n 是数列的中间项)，S 奇－S 偶＝a n ，S 偶S 奇＝n －1n(S 奇≠0).③{a n }为等差数列⇒ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为___________数列.④两个等差数列{a n }，{b n }前n 项和S n ，T n 之间关系为a nb n ＝_________ (b n ≠0，T 2n －1≠0).例1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.(1)若数列{a n }满足a 3－a 2＝a 2－a 1，则{a n }是等差数列. ( ) (2)已知数列{a n }为等差数列，且公差d>0，则{a n }是递增数列. ( ) (3)4是2和8的等差中项. ( )(4)若数列{a n }是等差数列，则数列{a n ＋2a n ＋1}也是等差数列. ( )(5)S n ＝An 2＋Bn(A ，B 为常数，A 不为0，n ∈N *)是{a n }为等差数列的充要条件. ( ) 9. 等比数列的概念(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)，即a n ＋1a n＝q (n ∈N *)，或_____________(n ∈N *，n ≥2).(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝_______.10. 等比数列的通项公式与前n 项和公式(1)通项公式：a n ＝________. 又可写成a n ＝a 1q ·q n，这表明q ≠1时，a n 是常数与指数函数(关于n)的乘积.(2)前n 项和公式：S n ＝____________________ 当q ≠1时，该式又可以写成S n ＝a 11－q －a 11－q·q n ，这表明q ≠1时，S n 的图象是指数型函数y ＝－Aq x＋A ⎝⎛⎭⎪⎫A ＝a 11－q 图象上一群孤立的点. 11. 等比数列的性质 (1)与项有关的性质①在等比数列{a n }中，a n ＝a m qn －m(n ，m ∈N *).②等比数列{a n }，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，m ，n ，p ，q ，k ∈N *，则a m a n ＝____________=____________③在公比为q 的等比数列{a n }中，取出项数成等差数列的项a k ，a k ＋d ，a k ＋2d ，…，仍可组成一个等比数列，公比是__________④m 个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积.⑤若{a n }，{b n }均为等比数列，公比分别为q 1，q 2，则{ka n }(k ≠0)仍为等比数列，且公比为_______；{a n b n }仍为等比数列，且公比为____________；⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍为等比数列，且公比为_____________. ⑥若{a n }是公比为q(q>0)正项等比数列，数列{lga n }是_______数列，首项为________，公_____为_______. (2)与和有关的性质①等比数列{a n }的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列，S m ,S 2m -S m ,-m S 3S 2m ,S 4m -S 3m ……仍为等比数列， 公比=____________注意:公比为___________时, S 4,S 8-S 4,-12S S 8,……不成等比数列 ②在等比数列中，若项数为2n(n ∈N *)，则S 偶S 奇＝_______.③在等比数列中，当q m≠1时，S n S m ＝1－q n1－qm ，n ，m ∈N *.④在等比数列中，S n ＋m ＝S n ＋q n S m ，n ，m ∈N *. 12. 等比数列的单调性(1)当a 1>0，q>1或a 1＜0，__________时，等比数列{a n }是递增数列； (2)当a 1>0，___________或a 1＜0，__________时，等比数列{a n }是递减数列； (3)当q ＝1时，它是一个________数列； (4)当q<0时，它是一个摆动数列.13. 若S n ＝Aq n＋B(AB ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列⇔A ＋B ＝_________.例2.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.(1)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab. ( )(2)一个等比数列的公比大于1，则该数列单调递增. ( ) (3)任何等比数列前n 项和都可以写成S n ＝a 1（1－q n）1－q . ( )(4)如果数列{a n }是等比数列，那么数列{a 2n }是等比数列. ( )(5)如果数列{a n }是等比数列，那么数列{a n ＋a n ＋1}一定是等比数列. ( ) 14.小结：等差(比)数列的判定方法15. 求等差数列前n 项和最值的主要方法：①利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作关于n 的二次函数，根据二次函数的性质求最值.无论用哪种方法，都要注意a n ＝0的情形.例3. （1）若{a n }是等比数列，且S n =3n+1+r ，则公比=______,r ＝ （2）已知数列｛a n ｝中前n 项和S n =3n ，则通项为________________已知数列｛b n ｝中前n 项积T n =3n ，则通项为________________ （3）已知数列｛a n ｝中，a 1=2 S n+1=2S n +1，求a n =____________。
2019高考数学必背公式与知识点终极总结(修改过的精华版)(word文档物超所值)
l
，C
，S=
=
．
3.三角函数定义式：角 终边上任一点（非原点）P (x, y) ,设| OP | r 则
3
sin
， cos
4．同角三角函数的基本关系：
， tan
1平方关系：
2商数关系：tan =
．
5.函数的诱导公式：口诀：
1sin 2k sin
ab c
abc
sin A sin B sin C sin A sin B sin C
13. 余弦定理：
式）
（以 A 角和其对边来表示）
.（变
14. 三角形面积公式： SABC
=
=
． （用边与角的正弦值来表示） 三角形面积导出公式：
SABC
（ r 为 ABC 内切圆半径）=
6．四种命题：原命题：若 p ，则 q ；逆命题：若
，则
；否命题：若
，则
；逆否命题：若 ，则 ； 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与
否命题、逆命题与逆否命题互
；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为
。
互为逆否的命题
7．充要条件的判断： p q ， p 是 q 的
条件； p q ， q 是 p 的
=
(坐标公式)
ar
r b
（一般表示）
（坐标表示） ．
rr a∥b
（一般表示）
（坐标表示）．
夹角公式： cos 2.若 G 为 ABC 的重心，则
=
r =0；
(坐标公式).
且 G 点坐标为 (
，
)
3.三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线
第四章 三角恒等变换(知识点总结梳理)-高中数学北师大版(2019)必修第二册
2019新教材北师大版数学必修第二册第四章知识点清单目录第四章三角恒等变换§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数公式§3 二倍角的三角函数公式第四章 三角恒等变换 §1 同角三角函数的基本关系一、同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系：sin 2α+cos 2α=1. 2. 商数关系：tan α= sin αcos α.3. 公式的常见变形(1)sin 2α=1-cos 2α；cos 2α=1-sin 2α.(2)sin α=±√1−cos 2α；cos α=±√1−sin 2α. (3)cos αtan α=sin α.(4)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (5)1+tan 2α=1cos 2α；1+1tan 2α=1sin 2α二、由一个三角函数值求其他三角函数值1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，利用同角三角函数的基本关系式可以“知一求二”.2. 若题目中没有指出角终边所在的象限，则必须根据条件推断该角可能是第几象限角，再分情况加以讨论.三、利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明 1. 利用同角三角函数的基本关系化简或证明时常用的方法(1)化切为弦，即把正切函数化成正弦、余弦函数，从而达到化简的目的. (2)对于含有根号的三角函数式，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造出“sin 2α+cos 2α”的形式，以降低次数，达到化简的目的.四、关于sin α，cos α的齐次式的求值问题1. 关于sin α，cos α的齐次式是指式子中的每一项都是关于sin α或cos α的式子，且每一项的次数相等，通常为一次齐次式、二次齐次式.2. 当齐次式为分式时，可将分子与分母同除以cos α的n(n为齐次式的次数)次幂，此时分式的分子与分母都可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.3. 当二次齐次式为整式时，可将其视为分母为1的式子，然后将分母1用sin2α+cos2α替换，这时再将式子的分子与分母同时除以cos2α，即可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.五、利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值1. 若已知sin α±cos α，sin αcos α 中的一个,则可以利用方程思想进一步求得sin α, cos α 的值，从而解决相关问题. 常涉及的三角恒等式有：(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α；(3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2；(4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α.2. 求sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α的值时，要注意结合角的范围进行符号判断.§2 两角和与差的三角函数公式一、两角和与差的三角函数公式二、知识拓展 1. 公式的记忆方法：(1)公式C α+β，C α-β可记为“同名相乘，符号反”. (2)公式S α+β，S α-β可记为“异名相乘，符号同”.(3)公式T α+β，T α-β的结构特征可记为“分子为正切的和或差，分母为1与正切的积的差或和”，符号规律可记为“分子同，分母反”.2. 两角和与差的正切公式的变形：(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). (2)1-tan αtan β=tan α+tan βtan(α+β)，1+tan αtan β=tan α−tan βtan(α−β).(3)1+tan α1−tan α=tan π4+tan α1−tan π4⋅tan α=tan (π4+α)，1−tan α1+tan α=tan π4−tan α1+tan π4⋅tan α=tan (π4−α).以上式子中各角应保证各式有意义.三、三角函数的叠加公式1：asin α+bcos α=√a 2+b 2sin(α+φ)，其中sin φ=√a 2+b2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.公式2：asin α+bcos α=√a 2+b 2cos(α-φ)，其中sin φ=√a 2+b 2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.四、积化和差与差化积公式 1. 积化和差公式(1)cos αcos β=12 [cos(α+β)+cos(α-β)].(2)sin αsin β=-12 [cos(α+β)-cos(α-β)]. (3)sin αcos β=12 [sin(α+β)+sin(α-β)].(4)cos αsin β=12 [sin(α+β)-sin(α-β)].2. 和差化积公式 (1)sin x+sin y=2sinx+y 2cos x−y 2.(2)sin x-sin y=2cosx+y 2sinx−y2.(3)cos x+cos y=2cosx+y 2cos x−y2.(4)cos x-cos y=-2sinx+y 2sinx−y 2.五、利用公式解决给角求值问题利用公式解决给角求值问题的关键是通过公式的合理运用，使所求式中的非特殊角转化为特殊角，或使式中出现可以正负抵消的项，或使式中出现分子、分母能约分的项，从而达到化简求值的目的. 具体注意以下几点：(1)看角：把角尽量向特殊角或可化简或可求出值的角转化，合理拆角，化异为同； (2)看名称：把式子中的三角函数的名称尽量化成同一名称，例如可以把正切函数化为正、余弦函数，或把正、余弦函数转化为正切函数，再解决问题；(3)看式子：看式子是否满足两角和与差的正弦、余弦、正切公式，准确选择公式求解.六、利用公式解决给值求值问题给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，其关键在于“变角”，即使“所求角”变为“已知角”，常见的技巧如下：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个已知角的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，应注意“已知角”与“所求角”的关系，通过诱导公式或引入特殊角，将“所求角”变成“已知角”；(3)配角技巧：①2α=(α+β)+(α-β)，②α=(α+β)-β=β-(β-α)，③α=(α+π4)-π4=(α−π4)+π4，④α−β2=(α+β2)-(α2+β).七、利用公式解决给值求角问题1. 解决给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.2. 通过求角的某个三角函数值来求角，选取函数是关键，一般遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选取正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值，选取正弦函数或余弦函数；若角的范围是(0，π2)，选正弦函数、余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是(−π2，π2)，选正弦函数较好.八、利用三角函数的叠加研究函数的性质1. 公式的作用：利用三角函数的叠加公式可将形如asin α+bcos α(a，b不同时为0)的三角函数式转化为Asin(α+φ)或Acos(α+φ)的形式，从而达到化简或求值的目的，也有利于研究函数的图象和性质.2. 形式选择：化为正弦还是余弦的形式，要由具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.§3 二倍角的三角函数公式一、二倍角公式二、半角公式1. 半角的正弦公式：sinα2=±√1−cos α2.2. 半角的余弦公式：cosα2=±√1+cos α2.3. 半角的正切公式：tanα2=±√1−cos α1+cosα=sin α1+cosα=1−cos αsinα.三、知识拓展 二倍角公式的变形1. 降幂公式：sin αcos α=12sin 2α；sin 2α=1−cos 2α2；cos 2α=1+cos 2α2.2. 升幂公式：1±sin 2α=(sin α±cos α)2；1+cos 2α=2cos 2α；1-cos 2α=2sin 2α.3. 万能公式：sin 2α=2tan α1+tan 2α；cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α.四、半角公式的应用利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系.(2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备. (3)选公式：涉及正切时，常利用tan α2=sin α1+cos α=1−cos αsin α进行计算；涉及正弦、余弦时，常利用sin 2α2=1−cos α2，cos 2α2=1+cos α2进行计算.(4)下结论：结合(2)求值. 五、三角函数公式的综合应用三角函数公式在三角函数式的化简、求值以及研究与三角函数有关函数的图象与性质等方面具有重要作用，尤其是研究与三角函数有关函数的图象与性质时，需要先对函数解析式进行化简，化简的过程就是运用公式的过程. 通常情况下，需要先对解析式降幂，变为一次式，再利用三角函数的叠加公式将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)+k 或y=Acos(ωx+φ)+k 的形式，最后研究函数的图象与性质.。
高考数学知识点总结之数列公式及结论总结
2019高考数学知识点总结之数列公式及结论总结一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn=当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时(a10)，Sn=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式：an= a1 qn-1 an= ak qn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n 的正比例式)；当q1时，Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{anbn}、仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d，a，a+d；四个数成等差的设法：a-3d，a-d，，a+d，a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设法：a/q3，a/q，aq，aq3 (为什么?)11、{an}为等差数列，则(c0)是等比数列。
12、{bn}(bn0)是等比数列，则{logcbn} (c0且c1) 是等差数列。
2019新人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语知识点总结
2019新人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语知识点总结的表示法是将a放在大括号中，表示一个只含有a这一个元素的集合。
2）描述法中，要注意符号的使用和表达的准确性。
3）在交集与并集的性质中，要注意交集和并集的交换律和结合律。
4）在全集和补集的性质中，要注意补集的定义和符号的使用。
第一章集合和常用逻辑用语1.1 集合的含义和表示集合是由一些元素组成的总体。
元素具有确定性、互异性和无序性。
我们通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示集合，用小写拉丁字母a、b、c等表示元素。
如果元素x在集合A中，我们称x属于A，记为x∈A，否则称x不属于A，记作x∉A。
常用的数集有非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。
集合的表示法有列举法、描述法和图示法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法是用集合所含元素的公共特征表示集合的方法，可以用语言描述法和数学式子描述法。
图示法是用Venn图表示集合和元素之间的关系。
1.2 集合间的基本关系集合间有“包含”关系和“相等”关系。
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A⊆B，例如N⊆Z。
子集的个数为2的n次方（n为集合中元素个数）。
如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
真子集的个数为2的n次方减1（n为集合中元素个数）。
如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。
空集是不含任何元素的集合，用∅来表示。
空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
1.3 集合的基本运算集合有交集和并集两种基本运算。
交集是指集合A和集合B中共同拥有的元素组成的集合，记为A∩B。
并集是指集合A和集合B中所有元素组成的集合，记为A∪B。
交集和并集有交换律和结合律。
全集是指包含所有元素的集合，通常用U来表示。
补集是指集合A中不属于集合B的元素组成的集合，记为CBA。
2019年高中数学必修二知识点总结(复习提纲)
2019年高中数学必修二知识点总结（复习提纲）当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个朋友;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老朋友重逢。
我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。
让我们一起到一起学习吧!2019年高中数学必修二知识点总结高中数学必修二知识点总结：圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3、高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;(2)过圆外一点的切线：①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含;当时,为同心圆.注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线5、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面和相交,交线是a,记作=a.符号语言：公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法.②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行高中数学必修二知识点总结：空间直线与直线之间的位置关系①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行,又不相交.③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是(0,90],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.(8)空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点.三种位置关系的符号表示：aa=Aa‖(9)平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点;‖相交有一条公共直线.=b2、空间中的平行问题(1)直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行(2)平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(线面平行面面平行),(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.(线线平行面面平行),(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行线面平行)(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行线线平行)3、空间中的垂直问题(1)线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.③平面和平面垂直：如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直.(2)垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.4、空间角问题(1)直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为.②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.(2)直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为.②平面的垂线与平面所成的角：规定为.③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：一作,二证,三计算.在作角时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线.(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角必修二知识点总结：解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.(2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.高中数学必修二知识点总结：数列(1)数列的概念和简单表示法①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).②了解数列是自变量为正整数的一类函数.(2)等差数列、等比数列①理解等差数列、等比数列的概念.②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.高中数学必修二知识点总结：不等式高中数学必修二知识点总结：不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.(2)一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.(4)基本不等式：①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.(2)棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.(3)棱台：几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形.(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成。
高中数学人教A版(2019)必修第一册知识点总结
高中数学新教材必修第一册知识点总结第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.2.集合的三个特性：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.3.集合中元素的三个特性：（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.@简单高中生（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.（3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.4.集合的符号表示通常用大写的字母A，B，C，…表示集合，用小写的字母a，b，c表示集合中的元素.5.集合的相等当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合A与集合B相等记作=.A B6.元素与集合之间的关系∈，读作a属（1）属于：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a A于A.（2）不属于:如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉，读作a 不属于A .7.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程21x =的实数根组成的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式10x ->的解组成的集合.8.常用数集及其记法（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作*N 或N +.（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作N .（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z .（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q .（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作R .9.集合表示的方法（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.@简单高中生（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程(1)(2)0x x -+=的所有实数根”组成的集合表示为{1,2}-.（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为{()}x p x ，其中x 是集合中的元素代表，()p x 则表示集合中的元素所具有的共同特征.例如，不等式73x -<的解集可以表示为{73}{10}x R x x R x ∈-<=∈<.1.2集合间的基本关系1.子集一般地，对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记为A B Í或（B A Ê）读作集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ）.集合A 是集合B 的子集可用Venn 图表示如下：或关于子集有下面的两个性质：（1）反身性：A A ⊆；（2）传递性：如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆.2.真子集如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A是集合B 的真子集，记为@简单高中生A B ⊂≠（或B A ⊃≠），读作集合A 真包含于集合B （或集合B 真包含集合A ）.集合A 是集合B 的真子集可用Venn 图表示如右.3.集合的相等如果集合A B ⊆，且B A ⊆，此时集合A 与集合B 的元素是一样的，我们就称集合A 与集合B 相等，记为A B =.集合A 与集合B 相等可用Venn 图表示如右.4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即（1）A ∅⊆（A 是任意一个集合）；（2）A ⊂∅≠（A ≠∅）.1.3集合的运算1.并集自然语言：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A B ⋃（读作“A 并B ”）.@简单高中生符号语言：{,}A B x x A x B ⋃=∈∈或.图形语言：理解：x A ∈或x B ∈包括三种情况：x A ∈且x B ∉；x B ∈且x A ∉；x A ∈且x B ∈.并集的性质：（1）A B B A ⋃=⋃；（2）A A A ⋃=；（3）A A ⋃∅=；（4）()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃；（5）A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃；（6）A B B A B ⋃=⇔⊆.2.交集自然语言：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ⋂（读作“A 交B ”）.符号语言：{,}A B x x A x B ⋂=∈∈且.图形语言：理解：当A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，只能说A 与B 的交集是∅.@简单高中生交集的性质：（1）A B B A ⋂=⋂；（2）A A A ⋂=；（3）A ⋂∅=∅；（4）()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂；（5）A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆；（6）A B A A B ⋂=⇔⊆.3.补集（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U .（2）补集的概念自然语言：对于一个集合A ，由属于全集U 且不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记为U A ð.符号语言：{,}U A x x U x A =∈∉且ð图形语言：补集的性质（1）()U A A ⋂=∅ð；（2）()U A A U ⋃=ð；（3）()()()U U U A B A B ⋃=⋂痧；（4）()()()U U UA B A B ⋂=⋃痧.1.4充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作@简单高中生p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.在生活中，q 是p 成立的必要条件也可以说成是:q ⌝⇒p ⌝（q ⌝表示q 不成立），其实，这与p q ⇒是等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.如果“若p ，则q ”为假命题，那么由p 推不出q ，记作/p q ⇒.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.2.充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题，即既有p q⇒，又有q p⇒就记作⇔.p q此时，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p q⇔，那么p与q互为充要条件.@简单高中生“p是q的充要条件”,也说成“p等价于q”或“q当且仅当p”等.1.5全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“"”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.p x成立”可用符号简记为全称量词命题“对M中的任意一个x，有()p x，"Î，()x Mp x成立”.读作“对任意x属于M，有()（2）存在量词短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“$”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.p x成立”可用符号简记为存在量词命题“存在M中的元素x，使()p x，x M∃∈，()p x成立”.读作“存在M中的元素x，使()2.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：x M "Î，()p x ，它的否定：x M ∃∈，()p x ⌝.全称量词命题的否定是存在量词命题.（2）存在量词命题的否定存在量词命题：x M ∃∈，()p x ，它的否定：x M "Î，()p x ⌝.存在量词命题的否定是全称量词命题.@简单高中生第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质1.比较原理0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<.2.等式的基本性质性质1如果a b =，那么b a =；性质2如果a b =，b c =，那么a c =；性质3如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4如果a b =，那么ac bc =；性质5如果a b =，0c ≠，那么a b c c=.3.不等式的基本性质性质1如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.即a b b a>⇔<性质2如果a b >，b c >，那么a c >.即a b >，b c >a c ⇒>.性质3如果a b >，那么a c b c +=+.由性质3可得，()()a b c a b b c b a c b +>⇒++->+-⇒>-.这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质4如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <，那么ac bc <.性质5如果a b >，c d >，那么a c b d +>+.性质6如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >.性质7如果0a b >>，那么n n a b >（n N ∈，2n ≥）.2.2基本不等式1.重要不等式,a b R ∀∈，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.2.基本不等式如果0a >，0b >，则2a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立.@简单高中生2a b +叫做正数a ，b 的算术平均数叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.与基本不等式相关的不等式（1）当,a b R ∈时，有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立.（2）当0a >，0b >时，有211a b ≤+当且仅当a b =时，等号成立.（3）当,a b R ∈时，有22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立.4.利用基本不等式求最值已知0x >，0y >，那么@简单高中生（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S .2.3二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(0)a >0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++ac bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数的概念设A ,B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()y f x =,x A ∈.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{|(})f x x A ∈叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集.@简单高中生2.区间：设a ,b 是两个实数，而且a b <，我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：[,)a b ,(,]a b .这里的实数a ，b 都叫做相应区间的端点.这些区间的几何表示如下表所示.定义名称符号数轴表示{}x a x b ≤≤闭区间[,]a b {}x a x b <<开区间(,)a b{}x a x b ≤<半开半闭区间[,)a b{}x a x b <≤半开半闭区间(,]a b （4）实数集R 可以表示为(,)-∞+∞,“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <的实数x 的集合，用区间分别表示为[,)a +∞，(,)a +∞(,]b -∞，(,)b -∞.这些区间的几何表示如下表所示.定义符号数轴表示{}x x -∞<<+∞(,)-∞+∞{}x x a ≥[,)a +∞{}x x a >(,)a +∞{}x x b ≤(,]b -∞{}x x b <(,)b -∞注意：@简单高中生（1）“∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.（2）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.3.函数的三要素（1）定义域；（2）对应关系；（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.4.函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.5.函数的表示方法（1）解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系.（2）图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.说明：将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值0()f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x .当自变量取遍函数的定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象.函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在y 轴上的射影构成的集合就是函数的值域.@简单高中生函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.（3）列表法通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.6.分段函数（1）分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如（1）,0,(),0x x f x x x x -<⎧==⎨≥⎩，（2）22,0,(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩.说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.（2）分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.@简单高中生3.2函数的基本性质函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性.1.单调性与最大（小）值（1）增函数设函数()f x 的定义域为I ,区间D ⊆I .如果∀1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.（2）减函数设函数()f x 的定义域为I ，区间D ⊆I.如果∀1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x >,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.（3）单调性、单调区间、单调函数如果函数()y f x =在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数()y f x =在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.（4）证明函数()f x 在区间D 上单调递增或单调递减，基本步骤如下：①设值：设12,x x D ∈，且12x x <；②作差：12()()f x f x -；③变形：对12()()f x f x -变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心，要注意变形到底；@简单高中生④判断符号，得出函数的单调性.（5）函数的最大值与最小值①最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足:（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =.那么我们称M 是函数()y f x =的最大值.②最小值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足:（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =.那么我们称m 是函数()y f x =的最小值.2.奇偶性（1）偶函数设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论：①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；②偶函数的图象关于y 轴对称.反之也成立；③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.（2）奇函数设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数.关于奇函数有下面的结论：①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；@简单高中生②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；③如果奇函数当0x =时有意义，那么(0)0f =.即当0x =有意义时，奇函数的图象过坐标原点；④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.3.3幂函数1.幂函数的概念一般地，形如y x α=（R α∈，α为常数）的函数称为幂函数.对于幂函数，我们只研究1α=，2，3，12，1-时的图象与性质.2.五个幂函数的图象和性质x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y 定义域RRR[0,+)∞(,0)(0,+)-∞⋃∞值域R[0,+)∞R[0,+)∞(,0)(0,+)-∞⋃∞奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数在(,0]-∞上递减在[0,+)∞上递增增函数增函数在(,0-∞），0,+)∞（上递减定点(1,1)3.4函数的应用（一）略.第四章指数函数与对数函数4.1指数1.n 次方根与分数指数幂（1）方根如果n xa =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n N ∈.①当n 是奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 方根是负数.这时，a 的n 方表示.@简单高中生②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >）.负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0=.叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.关于根式有下面两个等式：n a =；,,a na n⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数..2.分数指数幂（1）正分数指数幂mna=0a>，m，*n N∈，1n>）.0的正分数指数幂等于0.（2）负分数指数幂1mnmnaa-=0a>，m，*n N∈，1n>）.0的负分数指数幂没有意义.（3）有理数指数幂的运算性质①r s r sa a a+=（0a>，r，s Q∈）；②()r s rsa a=（0a>，r，s Q∈）；③()r r rab a b=（0a>，0b>，r Q∈）.3.无理数指数幂及其运算性质（1）无理数指数幂的概念当x是无理数时，x a是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当x的不足近似值m和过剩近似值n逐渐逼近x时，m a和n a都趋向于同一个数，这个数就是x a.所以无理数指数幂x a（0a>，x是无理数）是一个确定的数.@简单高中生（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质.①r s r sa a a+=（0a>，r，s R∈）；②()r s rsa a=（0a>，r，s R∈）；③()r r rab a b=（0a>，0b>，r R∈）.4.2指数函数1.指数函数的概念函数x y a =（0a >，且1a ≠）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .2.指数函数的图象和性质一般地，指数函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象和性质如下表所示：01a <<1a >图象定义域R值域(0,)+∞性质（1）过定点(0,1)，即0x =时，1y =（2）在R 上是减函数（2）在R 上是增函数4.3对数1.对数的概念一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.@简单高中生当0a >，且1a ≠时，log N x a a N x =⇔=.2.两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N .（2）自然对数：以e （e 是无理数， 2.71828e =…）为底的对数叫做自然对数，并把log e N 记作ln N .3.关于对数的几个结论（1）负数和0没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a =.4.对数的运算如果0a >，且1a ≠，0M >，0N >，那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M M N N =-；（3）log log n a a M n M =（n R ∈）.5.换底公式log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠，0b >，0c >，1c ≠）.4.4对数函数1.对数函数的概念一般地，函数log a y x =（0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0,)+∞.@简单高中生2.对数函数的图象和性质01a <<1a >图象定义域(0,)+∞值域R3.反函数指数函数x y a =（0a >，且1a ≠）与对数函数log a y x =（0a >，且1a ≠）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.4.不同函数增长的差异对于对数函数log a y x =（1a >）、一次函数y kx =（0k >）、指数函数x y b =（1b >）来说，尽管它们在(0,)+∞上都是增函数，但是随着x 的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数log a y x =（1a >）的增长速度越来越慢；一次函数y kx =（0k >）增长的速度始终不变；指数函数x y b =（1b >）增长的速度越来越快.总之来说，不管a （1a >），k （0k >），b （1b >）的大小关系如何，x y b =（1b >）的增长速度最终都会大大超过y kx =（0k >）的增长速度；y kx =（0k >）的增长速度最终都会大大超过log a y x =（1a >）的增长速度.因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，恒有log x a b kx x >>.4.5函数的应用（二）1.函数的零点与方程的解（1）函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数解，也是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点的横坐标.所以@简单高中生方程()0f x =有实数解⇔函数()y f x =有零点性质（1）过定点(1,0)，即当1x =时，0y =.（2）增函数（2）减函数⇔函数()y f x =的图象与x 轴有公共点.（2）函数零点存在定理如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解.2.用二分法求方程的近似解对于在区间[,]a b 上图象连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.@简单高中生给定精确度ε，用二分法求函数()y f x =零点0x 的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点0x 的初始区间[,]a b ，验证()()0f a f b <.（2）求区间(,)a b 的中点c .（3）计算()f c ，并进一步确定零点所在的区间：①若()0f c =（此时0x c =），则c 就是函数的零点；②若()()0f a f c <（此时0(,)x a c ∈），则令b c =；③若()()0f c f b <（此时0(,)x c b ∈），则令a c =.（4）判断是否达到精确度ε：若a b ε-<，则得到零点的近似值a （或b ）；否则重复步骤（2）~（4）.由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.3.函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.第五章三角函数5.1任意角和弧度制1.任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线的端点叫做角的顶点，射线在起始位置和终止位置分别叫做角的始边和终边.（2）正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.（3）象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.@简单高中生（4）终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅︒∈即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍；象限角的表示：第一象限角的集合{}|36090360,k k k Z αα⋅︒<<︒+⋅︒∈第二象限角的集合{}|90360180360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第三象限角的集合{}|180360270360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第四象限角的集合{}|270360360360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表.位置表示终边在x 轴非负半轴{360,}k k Z αα=⋅︒∈终边在x 轴非正半轴{180+360,}k k Z αα=︒⋅︒∈终边在x 轴{180,}k k Z αα=⋅︒∈终边在y 轴非负半轴{90+360,}k k Z αα=︒⋅︒∈终边在y 轴非正半轴{270+360,}k k Z αα=︒⋅︒∈终边在y 轴{90180,}k k Z αα=︒+⋅︒∈终边在坐标轴{90,}k k Z αα=⋅︒∈2.弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.@简单高中生在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为αrad ，那么l rα=.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.（2）弧度与角度的换算（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为α（rad ），半径为R ，弧长为l ，则有①l R α=；②212S R α=；③12S lR =.5.2三角函数的概念1.三角函数的概念（1）三角函数的定义一般地，任意给定一个角R α∈，它的终边OP 与单位圆相交于点(,)P x y .把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即@简单高中生sin y α=；把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos x α=；把点P 的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切函数，记作tan α，即tan yxα=（0x ≠）.正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数sin y α=，x R ∈；余弦函数cos y α=，x R ∈；正切函数tan y α=，2x k ππ≠+（k Z ∈）.设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点重合）的坐标为(,)x y ，点P 与原点的距离为r =.可以证明：sin y r α=；cos xr α=；tan y xα=.（2）几个特殊角的三角函数值0，2π，π，32π的三角函数值如下表所示：α函数2ππ32πsin α0101-cos α101-0tan α不存在0不存在（3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等.@简单高中生sin(2)sin k απα+⋅=，cos(2)cos k απα+⋅=，tan(2)tan k απα+⋅=，其中k Z ∈.2.同角三角函数间的基本关系（1）平方关系22sin cos 1αα+=.（2）商数关系sin tan cos ααα=.作用：（1）已知α的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；（2）化简三角函数式；@简单高中生（3）证明三角函数恒等式.5.3诱导公式1.公式二sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=.2.公式三sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-.3.公式四sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-.小结：（1）2k απ+⋅（k Z ∈），πα+，α-，πα-的三角函数，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时原三角函数值的符号.（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：4.公式五sin()cos 2παα-=，cos()sin 2παα-=.5.公式六sin()cos 2παα+=，cos()sin 2παα+=-.小结：2πα-，2πα+的正弦（余弦），等于α的余弦（正弦），前面加上把α看成锐角时原三角函数值的符号.5.4三角函数的图象与性质1.正弦函数、余弦函数的图象（1）正弦函数sin y x =的图象.①画点00(,sin )T x x @简单高中生在直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆，O 与x 轴正半轴的交点为(1,0)A .在单位圆上，将点A 绕着点O 旋转0x 弧度至点B ，根据正弦函数的定义，点B 的纵坐标00sin y x =.由此，以0x 为横坐标，0y 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点00(,sin )T x x .。
高中数学知识点及公式大全(人教A版2019)
高中数学知识点及其公式大全（人教A版2019）必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1.集合1.1集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号1.2集合间的基本关系1.3集合之间的基本运算2.逻辑用语2.1充分条件、必要条件与充要条件的概念【特别提醒】若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⇒B可得，p是q 的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．①若A B，则p是q的充分不必要条件；②若A⇒B，则p是q的必要条件；③若A B，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⇒B且A⇒B，则p是q的既不充分也不必要条件．2.2全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．第二章一元二次函数、方程与不等式1.一元二次不等式的概念及形式(1).概念：把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2).形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．2.一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系(1)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.(2)关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集；若二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则一元二次不等式f (x )>0或f (x )<0的解集，就是分别使二次函数f (x )的函数值为正值或负值时自变量x 的取值的集合． (3)三个“二次”之间的关系：3.基本不等式的变形与拓展1．(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+；(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）．2．(1)若00a ,b >>,则ab ba ≥+2；(2)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）；(3)若00a ,b >>,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． 3．若0x >,则12x x +≥（当且仅当1x =时取“=”）；若0x <,则12x x+≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12x x+≥,即12x x +≥或12x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 4．若0>ab ,则2≥+ab b a （当且仅当b a =时取“=”）；若0ab ≠,则2abb a +≥,即2a bb a +≥或2a bb a+≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：2112a b a b+≤≤≤+． 第三章 函数的概念与性质 3.1函数与映射的相关概念注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 3.2函数的三要素 （1）．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}. （2）．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.（3）．函数的值域：函数的值域就是函数值构成的集合，掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数y ＝kx ＋b (k 为常数且k ≠0)的值域为R . (2)反比例函数ky x=(k 为常数且k ≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)，当a >0时，二次函数的值域为24[,)4ac b a -+∞；当a <0时，二次函数的值域为24(,]4ac b a--∞.求二次函数的值域时，应掌握配方法：2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++. 3.3函数的单调性 单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义：如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 函数的最值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数；（2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 单调性相反； （3）函数()()()0y f x fx =>在公共定义域内与()y f x =-，1()yf x =的单调性相反； （4）函数()()()0y f x fx =≥在公共定义域内与y =的单调性相同；（5）一些重要函数的单调性： ①1y x x=+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减； ②by ax x =+（0a >，0b >）的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上单调递减． 3.4 函数的奇偶性（1）．函数奇偶性的定义及图象特点注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）． （2）．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =． （4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．重难点 复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，偶函数×偶函数=偶函数； 3.5 幂函数(1)幂函数的定义：一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质：①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 3.6函数的应用 1.函数零点的定义 一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则α叫做这个函数的零点.重点强调：零点不是点，是一个实数； 2.零点存在性定理 如果函数()y f x =在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间（a ,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c也就是方程0)(=x f 的根. 3.二分法二分法求零点：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；（2）求区间a (，)b 的中点1x ；（3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点； ②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4. 注意：二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数与指数函数 （1）根式概念：n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.性质：(n a )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.（2）分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数 指数幂没有意义.有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q. （3）指数函数及其性质概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. 指数函数的图象与性质)(a f )(b f 0<4.2 对数与对数函数 （1）对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N Ma a a log log log -=； ③M n M a n a log log =(n ∈R)； ④b nm b a ma n log log =.(3)换底公式：abb c c a log log log =(a ，b 均大于零且不等于1). （3）对数函数及其性质(1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质第五章 三角函数 1. 角的概念1．角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}． 2.弧度制及应用 1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式3.任意角的三角函数有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线4.同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系：(1)sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)．(2)tan α＝sin αcos α 2．同角三角函数基本关系式的应用技巧 5.三角函数的诱导公式⎧⎫π6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x，x ∈[0,2π]的图象上，五点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念3.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：7.三角恒等变换1、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②tan θ=θθcos sin ，2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）3、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. ααααcos sin 21)cos (sin 2±=±4、二倍角公式及降幂公式sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+== 必修第二册第六章 平面向量及其应用 1.向量的有关概念2.向量的线性运算三角形法则 平行四边形法则三角形法则|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa3.平面向量的坐标运算运算 坐标表示和(差) a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2) 数乘已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数任一向量的坐标 已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1) 4.向量的夹角定义图示范围共线与垂直 已知两个非零向量a 和b ，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇒a ∥b ，θ＝90°⇒a ⊥b5.平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a·b投影 |a|cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积6.向量数量积的运算律 交换律 a ·b ＝b ·a 分配律 (a ＋b)·c ＝a ·c ＋b ·c 数乘结合律 (λa)·b ＝λ(a ·b)＝a ·(λb)第七章 复数1．复数的有关概念及分类(1)代数形式为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中实部为a ，虚部为b ； (2)共轭复数为z ＝a －b i(a ，b ∈R )． (3)复数的分类复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)⎩⎨⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧,整数分数无理数(无限不循环小数)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)①若 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是实数，则z 与z 的关系为z ＝z .②若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则z 与z 的关系为z ＋z ＝0(z ≠0)．2．与复数运算有关的问题(1)复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(2)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.(3)复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )①加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； ②减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；④除法：z 1z 2＝(a 1a 2＋b 1b 2)＋(a 2b 1－a 1b 2)i a 22＋b 22＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； 3．复数的几何意义(1)任何一个复数z ＝a ＋b i 一一对应着复平面内一个点Z (a ，b )，也一一对应着一个从原点出发的向量OZ →.(2)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ →1、OZ →2不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ →1、OZ →2为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (3)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ →1、OZ →2的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数． 第八章 立体几何初步 1．多面体的结构特征2．旋转体的形成3．空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°或135°，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变(3)平面图形的直观图与原图形面积的关系：S 直观图＝24S 原图．4．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式67．直线与平面平行的判定定理和性质定理8(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．9.平面与平面平行的判定定理和性质定理(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.10．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：11(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理． 12．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．(2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直线与平面垂直的性质． 13．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：14.(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．第九章 统计 1.简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法. 2.分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样. (2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 3.系统抽样(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样. (2)系统抽样的操作步骤：假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本.①先将总体的N 个个体编号；②确定分段间隔k ，对编号进行分段，当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝Nn ； ③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k )，依次进行下去，直到获取整个样本. 4. 用样本的频率估计总体的频率 (1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表. (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 5.用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2)中位数：把n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：把a 1＋a 2＋…＋a nn称为a 1，a 2，…，a n 这n 个数的平均数.(4)标准差与方差：设一组数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为x －，则这组数据的标准差和方差分别是 s ＝1n [（x 1－x －）2＋（x 2－x －）2＋…＋（x n －x －）2]，s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n－x －)2]. 6. 线性回归分析1、 相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.2、线性回归方程（1）最小二乘法：使样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． （2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，其回归方程为，则注意：线性回归直线经过定点．（3）相关系数：．3、回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x －，y －)称为样本点的中心.()()()1122,,,,,,n n x y x y x y a bx y +=∧1221,.ni i i ni i x y nx y b x nx a y bx ==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑(),x y ()()nii xx y y r --=∑ni ix y nxy-=∑(3)相关系数当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关. r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(4)相关指数：R 2＝1－∑n i ＝1（y i －y ^i ）2∑ni ＝1（y i －y －）2.其中∑n i ＝1(y i －y ^i )2是残差平方和，其值越小，则R 2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. 第十章 概率 1.有关随机事件的概率(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.有关古典概型的概率1.古典概型-具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.2.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝mn . 3. 古典概型的概率公式-P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.3. 有关长度的几何概率 1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. 2. 几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 3.几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）. 选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何 1．空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|．②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 【几类特殊的向量】(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 2．空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1 图2(1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC →＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a ，则实数λ与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa ．其中：①当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a 的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a 的方向相反．②当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0． (4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量a 与b ，有①λa ＋μa ＝(λ＋μ)a ；②λ(a ＋b )＝λa ＋λb ． 3．空间向量的数量积 (1)空间向量的夹角如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b ．(2)空间向量数量积的定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积(或内积)，记作a·b ． (3)数量积的几何意义 ①向量的投影如图所示，过向量a 的始点和终点分别向b 所在的直线作垂线，即可得到向量a 在向量b 上的投影a ′.②数量积的几何意义： a 与b 的数量积等于a 在b 上的投影a ′的数量与b 的长度的乘积，特别地，a 与单位向量e 的数量积等于a 在e 上的投影a ′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. (4)空间向量数量积的性质：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②a ·a ＝|a |2＝a 2；③|a ·b |≤|a ||b |；④(λa )·b ＝λ(a ·b )；⑤a ·b ＝b ·a (交换律)； 5．共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，则向量a ，b ，c 共面的充要条件是存在唯一的实数对(x ，y )，使c ＝x a ＋y b ． 6．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．特别地，当a ，b ，c 不共面时，可知x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z ＝0． 7．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e 1，e 2，e 3}中，e 1，e 2，e 3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则称有序实数组(x ，y ，z )为向量p 的坐标， 记作p ＝(x ，y ，z )．其中x ，y ，z 都称为p 的坐标分量． 8．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a ，b 满足a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则有以下结论： (1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)；(2)若u ，v 是两个实数，u a ＋v b ＝(ux 1＋v x 2，uy 1＋v y 2，uz 1＋v z 2)；(3)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2；(4)|a |＝a ·a(5)当a ≠0且b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22．9．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a ≠0时，a ∥b ⇔b ＝λa ⇔(x 2，y 2，z 2)＝λ(x 1，y 1，z 1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1y 2＝λy 1z 2＝λz 1，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有a ∥b ⇔x 2x 1＝y 2y 1＝z 2z 1．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0． 10．空间直角坐标系(1)在空间中任意选定一点O 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy ，然后过O 作一条与xOy 平面垂直的数轴z 轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz ．(2)在空间直角坐标系Oxyz 中，x 轴、y 轴、z 轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．(3)z 轴正方向的确定：在z 轴的正半轴看xOy 平面，x 轴的正半轴绕O 点沿逆时针方向旋转90°能与y 轴的正半轴重合．(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz 时，一般把x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与y 轴正方向夹角为135°(或45°)，z 轴与y 轴(或x 轴)垂直．(5)空间中一点的坐标：空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，其中x 叫做点M 的横坐标(或x 坐标)，y 叫做点M 的纵坐标(或y 坐标)，z 叫做点M 的竖坐标(或z 坐标)．(6)三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy 的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦。
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2019高三数学知识点总结
2019高三数学知识点总结
很多的同学是非常的想知道，高三数学知识点有哪些，如何学好数学呢，小编整理了相关信息，希望会对
大家有所帮助！
一、高三数学知识点有哪些
1、同化命题的否认与否命题
命题的“否认”与命题的“否命题”是两个不合的
概念，命题p的否认是否认数题所作的断定，而“否命题”是对“若p，则q”情势的命题而言，既要否认前提也要否认结论。
2、忽略集合元素的三性致误
集结中的元素具有确定性、无序性、互异性，集结
元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字
母参数的集结，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
3、判断函数奇偶性忽略定义域致误
断定函数的奇偶性，首先要考虑函数的界说域，一
个函数具备奇偶性的必要前提是这个函数的界说域关于
原点对称，若是不具备这个前提，函数必定是非奇非偶
函数。
4、函数零点定理使用不当致误
若是函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续
的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)0时，不能否认函数y=f(x)在(a，b)内有零点。
函数的零点有“变号零点”和“不
变号零点”，对付“不变号零点”函数的零点定理是
“力所不及”的，在处理函数的零点问题时要注意这个
问题。
5、函数的单调区间理解禁绝致误
在研究函数问题时要不时辰刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、探求处理问题的编制。
对付函数的几个不合的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只需指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间
即可。
6、三角函数的单调性断定致误
对付函数y=Asin(ωx+φ)的单调性，当ω0时，由
于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sinx的单调性不异，故可完全按照函数y=sinx
的单调区间处理;但当ω0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数y=sinx的单调性处理，一样平常是按照三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为负数后
再加以处理。
对付带有绝对值的三角函数应该按照图像，从直不雅观不雅观上停止断定。
7、向量夹角规模不清致误
解题时要全面考虑问题。
数学试题中往往隐含着一
些随意被考生所轻忽的身分，能不能在解题时把这些身
分考虑到，是解题成功的关头，如当a·b0时，a与b的夹角不必定为钝角，要注意θ=π的情形。
8、轻忽零向量致误
零向量是向量中最不凡的向量，划定零向量的长度
为0，其标的目的是肆意的，零向量与肆意向量都共线。
它在向量中的位置正照实数中0的位置一样，但有了它
随意引起一些同化，略微考虑不到就会出错，考生应给
以充足的正视。
9、对数列的界说、性子理解错误
等差数列的前n项和在公役不为零时是关于n的常数项为零的二次函数;一样平常地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要前提是c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，
S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。
10、an与Sn关系不清致误
在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存不才列关系：an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2。
这个关系对肆意数列都是建立的，但要注意的是这个关系式是分
段的，在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不合的默示
情势，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢谨记住其“分段”的特点。
、错位相减乞降项措置不妥致误
错位相减乞降法的合用前提：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所构成的，求其前n项和。
根基编制是设这个和式为Sn，在这个和式两头同时乘以等比数列的公比获得另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前n项和或前n-1项和为主的乞降问题.这里最随意出现问题的就是错位相减后对残剩项的措置。
12、不等式性子应用不妥致误
在使用不等式的基赋性子停止推理论证时必定要切确，特别是不等式两头同时乘以或同时除以一个数式、两个不等式相乘、一个不等式两头同时n次方时，必定要注意使其可以如许做的前提，若是轻忽了不等式性子建立的前提早提就会出现错误。
、数列中的最值错误数列问题中其通项公式、前n项和公式都是关于正整数n的函数，要擅长从函数的概念熟悉和理解数列问题。
数列的通项an与前n项和Sn的关系是高考的命题重点，解题时要注意把n=1和n≥2分隔会谈，再看能不能统一。
在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要按照正整数间隔二次函数的对称轴的远近而定。
、不等式
恒建立问题致误
处理不等式恒建立问题的惯例求法是：借助相应函
数的单调性求解，其中的首要编制稀有形连系法、变量
分手法、主元法。
经由过程最值产生结论。
应注意恒建
立与存在性问题的区别，如对肆意x∈[a，b]都有
f(x)≤g(x)建立，即f(x)-g(x)≤0的恒建立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)建立，则为存在性问题，即f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与
最小值的关系。
、轻忽三视图中的实、虚线致误
三视图是按照正投影事理停止绘制，严格按照“长
对正，高平齐，宽相称”的轨则去画，若相邻两物体的
概况订交，概况的交线是它们的原分界线，且分界线和
可视轮廓线都用实线画出，不偏见的轮廓线用虚线画出，这一点很随意忽略。
、面积体积计较转化不矫捷致误面积、体积的计较既必要门生有踏实的根本知识，
又要用到一些重要的思惟编制，是高考调查的重要题型.是以要谙练把握以下几种常用的思惟编制。
(1)还台为锥的思惟：这是措置台体时常用的思惟编制。
(2)割补法：求犯警则图形面积或几何体体积时常用。
(3)等积变换法：充实把持三棱锥的肆意一个面都可作为底面的特点，矫
捷求解三棱锥的体积。
(4)截面法：尤其是关于改变体及与改变体有关的组合问题，常画出轴截面停止分析求
解。
、轻忽根基不等式应用前提致误
把持根基不等式a+b≥2ab以及变式ab≤a+b22等求函数的最值时，务必注意a，b为负数(或a，b非负)，ab 或a+b其中之一应是定值，特别要注意等号建立的前提。
对形如y=ax+bx(a，b0)的函数，在应用根基不等式求函
数最值时，必定要注意ax，bx的符号，必要时要停止分类会谈，别的要注意自变量x的取值规模，在此规模内
等号能否取到。