典型环节的频率特性

e jw t
M | G ( jw ) |
e jj e jw t
2j
M | G ( jw ) | 2j
e jj e jw t
e j( w t j ) - e j( w t j ) M | G ( jw ) |
M | G ( j w ) | Sin ( w t j )
ai S P1 i 1

n
C ( t ) L 1 [ C ( s )] b 1e
jw t
b 2e
jw t

a ie
i 1
n
pit
b 1 e jw t b 2 e jw t
n
如果系统稳定时，
系数 b 1 G ( s ) *
p i 0，当 t , 有 a i e p i t 0
U 1m 1 w
2 2
sin( w t j ) U 1 m
1 1 jω 1
1 1 j w
sin( w t
1 1 j w
)
C ( jw ) R ( jw )

RCj ω 1
G ( j w ) A( w ) e j j ( w )
j ( w ) G ( j w ) tg 1 w
令 0，得ω
L ( w ) 20 lg 1 0
L ( w ) 20 lg w 20 lg w 20 lg
1 τ
1 两条线交于 w 处
L(¦ ) Ø
-20dB/dec
1
L ( w ) | w 1 3 dB

•绘制惯性环节的Bode图方法 对数幅频特性：
1
伯德图
传递函数：
频率特性：
G (s ) K
G ( jw ) K
A( w ) G ( j w ) K
j( w ) G ( jw ) 0
L ( w ) 20 lg A( w ) 20 lg K
j (w) 0
20dB
20lgK 1
（二） 积分环节
传递函数： G (s ) 1 S
通常用L(ω)简记对数幅频特性，也称L(ω)为增 益用j(ω)简记对数相频特性。
§5-2 典型环节的频率特性
l l l l
1.比例环节 G(jω )=K=U+jV
Im
(jω) = G
V 2 K U
2
0
K
Re
w ) tg 1 V 0 o G( j
U
l
比例环节是复平面实轴上 的一个点，它到原点的距 离为K。
MG ( j w ) 2j
e
jw t

MG ( j w ) 2j
e jw t
G ( j w ) G ( j w ) 记 A( w )
记： G ( j w ) j ( w )
则： G ( j w ) tg
-1
Im G ( j w ) Re G ( j w )
Mw S
2
R ( s ) L [ r ( t )]
w
2
C (s ) G (s ) *
Mw ( S j w )( S j w )
C (s )
N(S) Mw (S P 1 )(S P 2 )(S P n ) S 2 w 2
b1 b2 S jw S jw
三、频率特性的求取：
1、根据定义求取。 即对已知系统的微分方程，把正弦输入函数 代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正 弦量的复数比即可得到。 2、根据传递函数求取。 即用s=jw代入系统的传递函数，即可得到。 3、通过实验的方法直接测得。
4
§5-1 频率特性
例：
u1
l
i
R
U（ S ） 1 2 U（ S ） S 1 1
1
w
1 w 0 90
o 1
G ( j w ) tg
（三） 惯性环节
传递函数：
频率特性：
G (s )
G ( jw )
1 S 1
1 j w 1
j ( w ) tg 1 w
A( w ) 1 2w 2 1
¦ Ø 1/10¦ Ó ¦ (¦ )(¶ ) -5.7 Õ Ø È L(¦ )£ dB£ Ø ¨ ©
系统
二、频率特性的性质
1、与传递函数一样，频率特性也是一种数学模 型。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当
系统结构参数给定了，则系统的频率特性也完全确定。
2
2、频率特性是一种稳态响应。 系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则无 法直接观察到这种稳态响应。 从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分 离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因 此，我们仍可以用频率特性来分析研究系统，包括它 的稳定性、动态性能、稳态性能等。 3、系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 当输入量频率w改变，则输出、输入量的幅值之比 A（w）和它们的相位移j（w）也随之改变。所以 A（w）和j（w）都是w的函数。这是由于系统中的 储能元件引起的。 3
tg
-1
Im G ( j w ) Re G ( j w )
j (w )
G ( j w ) G ( j w ) e jj G ( jw ) G ( jw ) e
jj
C(t)
MG ( j w ) 2j 2j
e jw t
MG ( j w ) 2j
i 1
MG ( j w ) Mw ( S j w ) |S j w ( S j w )( S j w ) 2j
b 2 G (s ) *
Mw ( S j w ) |S ( S j w )( S j w )
jw

MG ( j w ) 2j
C(t)
L( w ) 10 lg[( 2 w 2 ) 2 ]
L( w ) 40 lg( w )
低频段0dB/dec线，过转折频率w1=1/ 后 斜率变为-40dB/dec直线
振荡环节Bode 图： • 幅频特性精确曲线 与大小有关； • 相频特性曲线也 与大小有关； • 在w=1/处幅频特性 精确曲线和近似曲线 误差最大： L(w)| w=1/ = - 20lg(2 )
第五章 控制系统的频域分析
引言 §5-1 频率特性
§5-2 典型环节的频率特性 §5-3 系统开环频率特性的绘制 §5-4 乃奎斯特稳定判据和系统的相 对稳定性 §5-5 系统的频率特性及频域性能指标 §5-8 频率特性的实验确定方法
引言
一、频率特性的定义：
l
在正弦输入下，系统的输出稳态分量与输入量的复数 之比。一般用G(jw)表示。
j ( w ) tg
2 w 1 2w 2
L( w ) 10 lg[( 1 2 w 2 ) 2 ( 2 w ) 2 ]
绘制半对数频率特性坐标图： 由对数幅频特性：当 w 1
w 1
2 w 2 1
( 2 w ) 2 1
L( w ) 0
-20lg¦ Ø
1 10
L(¦ ) Ø
10
Õ Ø ¦ (¦ )
1
w
-90¡ ã
. 5-8 .
渐近线误差
w 1 T 1 T
L ( w ) 20 lg 1 T w
2 2
20 lg T w
w
L (w ) 20 lg
1 T w
2
2
转角频率处： 低于渐近线3dB 低于或高于转角频 率一倍频程处： 低于渐近线1dB
1/5¦ Ó -11.3
1/2¦ Ó -26.6
1/¦ Ó -45
2/¦ Ó -63.4
5/¦ Ó -78.7
10/¦ Ó -84.3
w从0到值 取 代入计算,得
对数幅频特性曲线 Bode图如右
通常用折线近似
L(w )

w
+20dB/dec
j (w ) w -90 o
折线近似方法:
w 1 w 1
L1(w)
-20dB/dec
-20dB/dec
频率特性：
G ( jw ) 1 jw
A( w ) 1 w
L( w ) 20 lg w
j ( w ) 90 o
传递函数： G 1 (s ) K S
积分环节幅相频率特性
1 jw 1 w
G ( jw )
j
| G ( j w ) |
j （ w ） j 1 (w ) j 2 (w ) j 3 (w )
相频
(dB)
对数幅频
幅值相乘变为相加，简化作图。
L ( w ) 20 lg A ( w ) 20 lg | G ( j w ) |
频率比
dec
oct
拓宽图形所能表示的频率范围
关于Bode图：
ω =0不可能在横坐标上表示出来； 横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范 围确定； 只标注ω的自然对数值。
G(s)
C m A G (s ) S jw M
j j 0 G ( s ) |S j w
三要素：频率： w 不变 幅值： M Cm 关系为： 幅角： j0 j 关系为：
证：
G (s ) C (s ) R (s ) N(S) (S P 1 )(S P 2 )(S P n百度文库)
惯性环节极坐标图
G ( j w ) A ( j w )e j j ( w )
A( w ) 1 2w 2 1
j ( w ) tg 1 w
-20dB
（四） 微分环节
传递函数：
频率特性：
20dB/dec
1
G (s ) S
G ( jw ) jw
20dB/dec
A( w ) w L( w ) 20 lg w
j ( w ) 90 o
传递函数与积分环节互为倒数，它们的 Bode图以实轴相互对称；而一阶微分环 节则与惯性环节对称。
纯微分环节幅相频率特性
G ( jw ) jw
| G ( j w ) | w
G ( j w ) tg
1
w 0
90
o
（五） 振荡环节
传递函数：
( 0 1)
1/¦ Ó
w
w 1
w 1
20lg(1/¦ ) Ó
1、找出 w 1 1 / w 2、 1部分画0dB/dec线 3、 延长至 w 1 处斜率转折为 -20dB/dec线 称 w 1 1 / 为转折频率 相频特性： 1、在 w c 1 处为-45度 2、在2、5、10倍频处的幅角 如上表，连接画光滑曲线
C ( t ) C m Sin ( w t j )
Cm 可见： A( w ) G ( j w ) M j ( w ) G ( jw )
幅频特性
相频特性
G ( s ) |s j w G ( j w )
幅相频率特性图
Nyquist图
[极坐标图]在极坐标复平面上画出w值由零变化到 无穷大时的G(j w)曲线。 [实虚频图]不同频率w时和实频特性和虚频特性。
w2 n 1 G(s) 2 2 S 2 w n S w 2 T S 2 TS 1 n
G(j w )
A( w )
频率特性：
1 2 w 2 j 2 w 1
1 (1 2 w 2 ) 2 ( 2 w ) 2
1
幅频特性： 相频特性： 对数幅频特性：
尼奎斯特图 Nyquist
对数频率特性图
G ( j w ) A (w ) e
jj ( w )
Bode图
A1 w ） A 2 w ） A3 w ） e （ （ （
jj 1 ( w ) jj 2 ( w ) jj 3 ( w )
L (w ) 20 lg A (w ) 20 lg A1 (w ) 20 lg A 2 ( w ) 20 lg A 3 ( w ) L1 L 2 L 3
A( w ) G ( j w )
1 w22 1
幅频特性
G ( jw ) 1 1 w
2 2
相频特性
X (w ) jY (w )
j
w 2 1 w
2
实频特性
虚频特性
7
• 任意系统频率特性 输入 r(t)=M Sin（wt+j0） 通常令j0=0 稳定后输出
系统 C(t)=C Sin（wt+j） m
u 1 U 1 m sin w t U 1 ( s )
U 1m w s w
2 2
C
u2
U（ S ） 2
U 1m 1 w
2 2
1
U 1m w
2 2
S 1 s w
u2
U 1 m w 1 w
2 2

t
e


sin( w t j )
l im u 2
G(j ω )